Este documento presenta varios trucos matemáticos que involucran álgebra. Explica cómo, mediante el uso de operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, siempre se puede llegar al mismo resultado independientemente del número inicial. También muestra cómo calcular perímetros de cadenas de figuras geométricas usando fórmulas algebraicas. Finalmente, cubre conceptos como reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios.

1. d i v i n a....n ú m e r o s

2. agia con álgebra ¿Te gusta hacer trucos de magia? ¿Has probado a hacerlos con un poco de álgebra? En lugar de sombrero de mago necesitarás una hoja de papel y en lugar de varita mágica un lápiz. ¿Listo?

3. ¿Le has pedido alguna vez a alguien que piense un número y que haga varias operaciones con él para que tú después le adivines el número en que pensó? Empecemos con un ejemplo:

4. 1) piensa un número 2) súmale 5 3) multiplica el resultado por 2 4) a lo que quedó réstale 4 5) el resultado divídelo entre 2 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste El resultado es 3

5. El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado. ¿Cómo funciona el truco? Hagamos una tabla con varios ejemplos:

7. Lenguaje algebraico quedaría: x 1. piensa un número x + 5 2. súmale 5 3. multiplica el resultado por 2, 2(x + 5) = 2x + 10 2x + 6 4. a lo que quedó réstale 4 5. el resultado divídelo entre 2; (2x + 6) / 2 = x + 3 6. a lo que quedó réstale el número que pensaste x + 3 - x = 3

8. Truco 2 1) Piensa un número 2) Súmale 3 3) Multiplica por 2 el resultado 4) A lo que quedó súmale 4 5) El resultado divídelo entre 2 6) A lo que quedó réstale el número que pensaste El resultado siempre es 5

9. Truco 3 Piensa un número 2) Multiplícalo por 2 3) A lo que quedó súmale 9 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) El resultado divídelo entre 3 6) A lo que quedó súmale 4 7) Al resultado, réstale el número que pensaste El resultado siempre es 7

10. Truco 4 Piensa un número2) Súmale 1 3) A lo que quedó súmale el número que pensaste 4) Al resultado súmale 7 5) Lo que quedó divídelo entre 2 6) Al resultado réstale el número que pensaste El resultado siempre es 4

11. Truco 5 Piensa un número 2) Multiplícalo por 3 3) A lo que quedó súmale 14 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) A lo que quedó réstale 2 6) El resultado divídelo entre 4 7) A lo que quedó réstale 3

12. Erímetros Obtener el perímetro de una figura cerrada no es tan difícil; basta sumar lo que mide cada uno de los lados que forman su contorno. Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 1 cm, es 4 cm. (1+1+1+1 =4).El perímetro de un triángulo equilátero que mide 3 cm por lado, . será de 9 cm (3+3+3 =9).

13. ¿Qué pasará con el perímetro de una figura formada por una cadena de figuras iguales? Una cadena de triángulos equiláteros o de rectángulos o pentágonos etc. El perímetro total será el perímetro de la figura multiplicado por el número de figuras que contenga la cadena?

14. Problema 1 Encuentra el perímetro de una cadena de 10 triángulos equiláteros unidos por sus lados, donde cada lado mide 1 cm.

15. Vamos a trabajar como lo hacen los matemáticos, empecemos simplificando el problema: ¿Cuánto mide el perímetro de una cadena formada por un solo triángulo? ¿Cuánto mide el perímetro de una cadena con dos triángulos?

16. ¿Con tres triángulos? ¿Con cuatro? Para resolver el problema registremos los resultados en una tabla ¿Encontraste una regla?¿Cuál es?Intenta escribir la regla como una fórmula matemática. P = x + 2

17. Problema 2 ¿Cuál es el perímetro de una cadena de 8 rectángulos , donde cada rectángulo mide 2 cm. de largo y 1 cm. de ancho.? Perímetro Perímetro Perímetro

18. ¿Encontraste una regla? ¿Cuál es? Puedes escribirlo por medio de una formula P = 4x + 2

19. Problema 3 ¿Cuál es el perímetro de una cadena de10 hexágonos, donde cada lado del hexágono mide 6cm.? P = 12x + 6

20. Las figuras geométricas se pueden usar para comprender algunas operaciones que es posible efectuar con expresiones algebraicas. Para conocer la cantidad de lazo necesario para hacer un pentágono y un rectángulos se deben sumar las expresiones algebraicas

21. Unaexpresión algebraica es una combinación de números y letras sometidos a las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , potenciación y radicación , que cumplen las mismas reglas que con los números. Ejemplo: 3x2 + 6xy + 3y2 Un término es una expresión algebraica que únicamente contiene productos y cocientes en las que participan números y literales. Ejemplo: 9x5y, -8x2, y, – 10.

22. Todos los términos algebraicos se forman por un coeficiente numérico y una parte literal La expresión: "el triple del cuadrado de un número“ 3x2 Parte numérica +3 Parte literal x 2 La parte numérica, contempla signo y número La parte literal , contempla: letra y exponente.

24. CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES Las expresiones con uno, dos y tres términos reciben un nombre específico. Las expresiones algebraicas con varios términos se llaman polinomios. Los signos + y – separan los términos de un polinomio. Monomios;tienen un solo término; ejemplos 3x, 4xy3, –m4n, Binomios;por tener dos términos; ejemplos 3a + 5, 6x + 3y, – 43x + 5y, 9xy – 5 Trinomio; por tener tres términos; ejemplo 6x + 3y – 4

25. Se dice que dos términos son semejantes cuando sus partes literales son iguales, lo mismos que sus exponentes. Para llevar a cabo la reducción de términos semejantes suma de monomios, se suman o se restan los coeficiente numéricos y se escribe la misma parte literal. Ejemplo: -4a2b3 + 7a2b3= 3a2b3

26. 3a + 2a = – 5b – 7b = – a2 – 9a2 = 3ax– 2 + 5ax – 2 = – 4am+1 – 7am+1 =

27. X X P = _______ X X X a a a P = _______ a

28. n n P = _______ m m m 2x 2x P = _______ x

29. 3y 2y y 4y P = _______

30. Ejercicios 1) x + 2x = 2) 8a + 9 = 3) 11b + 9b = 4) – b – 5b = 5) – 8m – m = 6) – 9n – 7n 7) 4ax + 5ax = 8) 6ax+1 + 8ax+1 = 9) – 4mx+2 – 5ax+2 = 10) – 3ax – 2 – ax – 2 = 1) 8a – 6a = 2) 6a – 8a = 3) 9ab – 15ab = 4) 15ab – 9ab = 5) 2a - 2a = 6) – 7b + 7b = 7) – 14xy + 32xy = 8) – 25x2 y + 32x2 y = 9) 40x3 y – 51x3 y = 10) – m2 n – 6m2 n =

31. 8a +9a + 6a = 15x + 20x + x = – 7m – 8m – 9m = – a2b – a2b – 3a2b = ax + 3ax + 8ax = – 5ax+1 – 3ax+1 - 5ax+1 = a + ½ a + 2/3 a = – x – 2/3 x - ¼ x = 9a - 3a + 5a = – 8x + 19x – 18x = 12mn – 23mn – 5mn = – x + 19x – 18x = 19m – 10m + 6m = – 11ab – 15ab + 26ab = – 5ax + 9ax – 35ax = – 24ax+2– 15ax+2 + 39ax+2=

33. Suma de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los términos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes:

34. Ejercicios (3a + 2b – c) ; ( 2a + 3b + c) = (7a – 4b + 5c) ; ( – 7a + 4b – 6c) = (m + n – p) ; ( – m – n + p) = (9x – 3y + 5) ; ( – x – y + 4) ; ( – 5x + 4y – 9) =

35. (a + b – c) ; (2a + 2b – 2c) ; (– 3a – b + 3c) = (p + q + r) ; ( – 2p – 6q + 3r) ; ( p + 5q – 8r) = (– 7X – 4Y +6Z) ; (10X – 20Y – 8Z) ; (– 5X+24Y+2Z)= (– 2m+3n – 4);(3m – 8n + 8);(–5m+n – 10 ) = (–5a –2b –3c);(7a – 3b +5c);(–8a + 5b –3c) =

36. (ab +bc +cd);(–8ab –3bc – 3cd);(5ab+2bc+2cd) = (ax –ay –az); (–5ax –7ay – az);(4ax+9ay+8az) = (5x – 7y + 8);(–y + 6 –4x);(9 – 3x + 8y) = (2a + 3b) ; (6b – 4c) ; ( – a + 8c) = (6m – 3n) ; (– 4n + 5p) ; (– m – 5p) =

37. Resta de polinomios La resta de polinomios se convierte en una suma de polinomios donde el minuendo permanece sin variación, en tanto que el polinomio sustraendo cambia todos los signos de los términos. Ejemplo (2x –10x2) – (-4x + 6x2 + 2) = = 6x – 16x2-2 2x –10x2 4x- 6x2-2 6x – 16x2-2

38. EJERCICIOS (a + b) – (a – b) = (2x – 3y) – (– x + 2y) = (8a + b) – (– 3a + 4) = (X2 – 3x) – (– 5x + 6) = (a2 – a2b) – (7a2b + 9ab2) =

39. (x – y – z) – (x – y + z) = (x + y – z) – (– x – y + z) = (X2 + y2 – 3xy) – (– y2 + 3x2 – 4xy) = (x3 – x2 +6) – (5x2 – 4x + 6) = (y2 + 6y3 – 8) – (2y4 – 3y2 + 6y) =

40. (a3 – 6ab2 + 9a) – (15a2b – 8a + 5) = (x4 + 9xy3 – 11y4) – (– 8x3y – 6x2y2 + 20y4) = (a + b +c – d) – (– a – b + c – d) = (ab + 2ac – 3cd – 5de) – (– 4ac + 8ab – 5cd + 5de) = (x3 – 9x + 6x2 –19) – (–11x2 + 21x – 43 + 6y3) = (y5 –9y3 +6y2 –31) – (–11y4 +31y3 –8y2 –19y) =

41. FIN