Um cabo de massa ρ por unidade de comprimento é puxado por uma força constante F ao longo de uma superfície horizontal com trechos lisos e rugosos. O cabo inicia em repouso no trecho rugoso. A velocidade v do cabo é calculada quando x=L.
1. Uma corrente pesada com uma massa ρ por unidade de comprimento é puxada pela
força constante F ao longo de uma superfície horizontal que é composta de um trecho
liso e de um trecho rugoso. A corrente está inicialmente em repouso na superfície
rugosa com x=0. Se o coeficiente de atrito cinético entre a corrente e a superfície rugosa
é , determine a velocidade v da corrente quando x=L. A força F é maior que
, a fim de iniciar o movimento.
Solução:
pois, como o movimento é na horizontal apenas, |⃗⃗⃗⃗|
𝑁 |𝑃| =𝜌 𝑔 𝐿, onde ⃗𝑁 é a
⃗⃗ ⃗
força
Sabe-se que F> , logo tem-se que, no início do movimento, | ⃗ |= ,
normal entre a superfície rugosa e a corrente.
Então, supondo um instante t qualquer do movimento, tem-se a seguinte situação:
, | ⃗⃗|= . Logo, | ⃗ |= . Então, pode-se fazer o seguinte diagrama de
corpo livre:
⃗⃗
𝑁
⃗𝐿
𝐹 𝑋 /𝑥
⃗𝑋 ⃗
𝐹
⃗ 𝑎𝑡
𝐹 𝐹 𝐿 𝑋
2 1
⬚⬚
⬚⬚ ⬚⬚
L-X X
⃗⃗
𝑃
Obs.: Foram consideradas apenas as forças importantes para a resolução do problema.
Pela simetria do problema, 1 e 2 apresentam a mesma aceleração a.
Logo: | ⃗ | |⃗ | (I)
E
|⃗ | |⃗ | | ⃗ | (II).
2. Como | ⃗ | |⃗ |e|⃗ | |⃗ | , tem-se:
|⃗ | |⃗ |.
Logo, pode-se concluir que: | ⃗ | [ ]
Então: [ ( )].
Logo: [ ( )].
Aplicando a regra da cadeia:
[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
Integrando ambos os lados:
∫ ∫ [ ( )]
Resolvendo a integral e realizando as devidas manipulações, e considerando V0 =0 e
X 0 =0:
( )
Logo, no instante em que X=L:
( )
{ [( ) ]}