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Uma corrente pesada com uma massa ρ por unidade de comprimento é puxada pela
força constante F ao longo de uma superfície horizontal que é composta de um trecho
liso e de um trecho rugoso. A corrente está inicialmente em repouso na superfície
rugosa com x=0. Se o coeficiente de atrito cinético entre a corrente e a superfície rugosa
é    , determine a velocidade v da corrente quando x=L. A força F é maior que
          , a fim de iniciar o movimento.




Solução:

    pois, como o movimento é na horizontal apenas, |⃗⃗⃗⃗|
                                                       𝑁                  |𝑃| =𝜌 𝑔 𝐿, onde ⃗𝑁 é a
                                                                           ⃗⃗               ⃗
    força

Sabe-se que F>            , logo tem-se que, no início do movimento, | ⃗ |=                         ,
normal entre a superfície rugosa e a corrente.

Então, supondo um instante t qualquer do movimento, tem-se a seguinte situação:

, | ⃗⃗|=          . Logo, | ⃗ |=             . Então, pode-se fazer o seguinte diagrama de
corpo livre:
                                     ⃗⃗
                                      𝑁
                                            ⃗𝐿
                                            𝐹    𝑋 /𝑥
                                                        ⃗𝑋                                 ⃗
                                                                                           𝐹
           ⃗ 𝑎𝑡
           𝐹                                            𝐹     𝐿   𝑋
                                2                                         1
                                                         ⬚⬚
                               ⬚⬚                                         ⬚⬚
                                      L-X                             X
                                                         ⃗⃗
                                                          𝑃

Obs.: Foram consideradas apenas as forças importantes para a resolução do problema.



Pela simetria do problema, 1 e 2 apresentam a mesma aceleração a.

Logo: | ⃗ |            |⃗      | (I)

E

|⃗ |       |⃗      |   | ⃗ | (II).
Como | ⃗      |       |⃗     |e|⃗ |              |⃗ |                , tem-se:



                             |⃗        |                                   |⃗          |.

Logo, pode-se concluir que: | ⃗         |            [                       ]

Então:            [   (            )].

Logo:             [    (               )].

Aplicando a regra da cadeia:

                                                 [           (                   )]


                                             [           (                       )]


                                             [           (                   )]

Integrando ambos os lados:

                       ∫          ∫              [           (                    )]


Resolvendo a integral e realizando as devidas manipulações, e considerando V0 =0 e
X 0 =0:

                                   (                             )



Logo, no instante em que X=L:

                                   (                             )



                             {    [(                         )                    ]}
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  • 1. Uma corrente pesada com uma massa ρ por unidade de comprimento é puxada pela força constante F ao longo de uma superfície horizontal que é composta de um trecho liso e de um trecho rugoso. A corrente está inicialmente em repouso na superfície rugosa com x=0. Se o coeficiente de atrito cinético entre a corrente e a superfície rugosa é , determine a velocidade v da corrente quando x=L. A força F é maior que , a fim de iniciar o movimento. Solução: pois, como o movimento é na horizontal apenas, |⃗⃗⃗⃗| 𝑁 |𝑃| =𝜌 𝑔 𝐿, onde ⃗𝑁 é a ⃗⃗ ⃗ força Sabe-se que F> , logo tem-se que, no início do movimento, | ⃗ |= , normal entre a superfície rugosa e a corrente. Então, supondo um instante t qualquer do movimento, tem-se a seguinte situação: , | ⃗⃗|= . Logo, | ⃗ |= . Então, pode-se fazer o seguinte diagrama de corpo livre: ⃗⃗ 𝑁 ⃗𝐿 𝐹 𝑋 /𝑥 ⃗𝑋 ⃗ 𝐹 ⃗ 𝑎𝑡 𝐹 𝐹 𝐿 𝑋 2 1 ⬚⬚ ⬚⬚ ⬚⬚ L-X X ⃗⃗ 𝑃 Obs.: Foram consideradas apenas as forças importantes para a resolução do problema. Pela simetria do problema, 1 e 2 apresentam a mesma aceleração a. Logo: | ⃗ | |⃗ | (I) E |⃗ | |⃗ | | ⃗ | (II).
  • 2. Como | ⃗ | |⃗ |e|⃗ | |⃗ | , tem-se: |⃗ | |⃗ |. Logo, pode-se concluir que: | ⃗ | [ ] Então: [ ( )]. Logo: [ ( )]. Aplicando a regra da cadeia: [ ( )] [ ( )] [ ( )] Integrando ambos os lados: ∫ ∫ [ ( )] Resolvendo a integral e realizando as devidas manipulações, e considerando V0 =0 e X 0 =0: ( ) Logo, no instante em que X=L: ( ) { [( ) ]}