Alfred Böge 
Technische Mechanik
Lehr- und Lernsystem 
Technische Mechanik 
•Technische Mechanik (Lehrbuch) 
von A. Böge 
•Aufgabensammlung Technische Mech...
Alfred Böge 
Technische Mechanik 
Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre 
28., verbesserte Auflage 
Mit 569 A...
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikatio...
Vorwort zur 28. Auflage 
V 
Dieses Lehrbuch fu¨r Studierende an Fach- und Fachhochschulen ist Hauptteil des Lehr- und 
Ler...
Inhaltsverzeichnis 
VII 
1 Statik in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
VIII Inhaltsverzeichnis 
1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden 
(zweite Grundaufgabe). . . . . . . . . . . ....
Inhaltsverzeichnis IX 
2 Schwerpunktslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
X Inhaltsverzeichnis 
3.3.2 Halten des Ko¨rpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) . . . . . . . . . 105 
3.3.2.1 Halte...
Inhaltsverzeichnis XI 
4 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
XII Inhaltsverzeichnis 
4.3.2 Winkelbeschleunigung a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Inhaltsverzeichnis XIII 
4.8 Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
XIV Inhaltsverzeichnis 
4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tra¨gheits-momenten 
J aus der Periodendauer . . . . . . . ...
Inhaltsverzeichnis XV 
5.2.2.4 Herabha¨ngende Sta¨be oder Seile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 
5.2.2.5 Ket...
XVI Inhaltsverzeichnis 
5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chen-momente 
2. Grades . . . . . . . . . . . . . ....
Inhaltsverzeichnis XVII 
5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355...
XVIII Inhaltsverzeichnis 
6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 388 
6.1.4.1 Hy...
Inhaltsverzeichnis XIX 
Arbeitspla¨ne 
Arbeitsplan zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
XX Inhaltsverzeichnis 
bungen 
bungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
Inhaltsverzeichnis XXI 
Tabellen 
Tabelle 3.1 Reibzahlen m0 und m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
1 Statik in der Ebene 
Formelzeichen und Einheiten1) 
A m2, cm2, mm2 Fla¨cheninhalt, Fla¨che, Oberfla¨che 
b m, cm, mm Bre...
2 1 Statik in der Ebene 
1.1 Grundlagen 
1.1.1 Die Aufgaben der Statik 
An technischen Bauteilen greifen Belastungskra¨fte...
1.1 Grundlagen 3 
1.1.2.1 Die Kraft F 
Kra¨fte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Ko¨r-per 
la¨sst sich nur dann genau ...
4 1 Statik in der Ebene 
1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M 
Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem 
Wirkabs...
1.1 Grundlagen 5 
1.1.3 bungen zur Berechnung von Drehmomenten 
1. bung: Fu¨r die Tretkurbelwelle eines Fahrrads 
sollen d...
6 1 Statik in der Ebene 
1.1.4 Bewegungsmo¨glichkeiten (Freiheitsgrade) eines Ko¨rpers 
Jeder frei bewegliche starre Ko¨rp...
1.1 Grundlagen 7 
Umgekehrt la¨sst sich auch schließen, dass dann 
keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Ko¨rper nicht 
versc...
8 1 Statik in der Ebene 
1.1.6 Der Parallelogrammsatz fu¨ r Kra¨ fte 
Der Parallelogrammsatz1) ist die wichtigste statisch...
1.1 Grundlagen 9 
1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kra¨ fte F1 und F2 
Das Kra¨fteparallelogramm la¨s...
10 1 Statik in der Ebene 
1.1.6.4 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨ r Kra¨ fte 
1. bung: Zwei Kra¨fte F1 ¼ 2 kN und F2 ¼ 3...
1.1 Grundlagen 11 
1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 
1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des 
Verfahrens, Oberfla¨chen- und 
V...
12 1 Statik in der Ebene 
Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden 
Kra¨fte richtig erfasst zu haben, geht jeder sta...
1.1 Grundlagen 13 
1.1.7.3 Zweigelenksta¨be 
Zweigelenksta¨be ko¨nnen Zug- oder Druck-kra 
¨fte aufnehmen, deren Wirklinie...
14 1 Statik in der Ebene 
Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Beru¨hrungs-fla 
¨che gegeneinander gleiten oder das eine auf ...
1.1 Grundlagen 15 
1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) 
Einwertige Lager (Loslager) ko¨nnen nur eine 
rechtwinklig zur Stu...
16 1 Statik in der Ebene 
Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebe-ebene 
(hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl...
1.1 Grundlagen 17 
1.1.7.8 Dreiwertige Lager 
Dreiwertige Lager ko¨nnen eine beliebig gerich-tete 
Kraft und ein Kraftmome...
18 1 Statik in der Ebene 
1.1.8 bungen zum Freimachen 
1. bung: Die skizzierte Leiter lehnt in A rei-bungsfrei 
am Mauerwe...
1.1 Grundlagen 19 
2. bung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem 
oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B 
drehba...
20 1 Statik in der Ebene 
3. bung: Der aufwa¨rts fahrende Wagen eines 
Schra¨gaufzugs soll freigemacht werden. 
Hierbei is...
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 21 
1.2 Die Grundaufgaben der Statik 
1.2.1 Zentrales und allgemeines Kra¨ ftesystem 
Unt...
Technische Mechanik: Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre
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Technische Mechanik: Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre

  1. 1. Alfred Böge Technische Mechanik
  2. 2. Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik •Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge •Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer •Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge
  3. 3. Alfred Böge Technische Mechanik Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre 28., verbesserte Auflage Mit 569 Abbildungen, 15 Tabellen, 22 Arbeitsplänen, 15 Lehrbeispielen und 40 Übungseinheiten Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge, Walter Schlemmer und Wolfgang Weißbach STUDIUM
  4. 4. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Das Lehrbuch Technische Mechanik erschien bis zur 22. Auflage unter dem Titel Mechanik und Festigkeitslehre. Die Liste der Auflagen seit 1970 zeigt die intensive Weiterentwicklung des Werkes: 12., überarbeitete Auflage 1970 13., überarbeitete Auflage 1971 14., unveränderte Auflage 1972 15., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1974 16., durchgesehene Auflage 1975 17., überarbeitete Auflage 1979 18., überarbeitete Auflage 1981 19., überarbeitete Auflage1983 20., überarbeitete Auflage 1984 21., verbesserte Auflage 1990 22., überarbeitete und erweiterte Auflage 1992 23., neu bearbeitete Auflage 1995 24., überarbeitete Auflage 1999 25., überarbeitete Auflage 2001 26., überarbeitete und erweiterte Auflage 2003 27., überarbeitete Auflage 2006 28., verbesserte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a. s., Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN 978-3-8348-0747-2
  5. 5. Vorwort zur 28. Auflage V Dieses Lehrbuch fu¨r Studierende an Fach- und Fachhochschulen ist Hauptteil des Lehr- und Lernsystems TECHNISCHE MECHANIK von A. Bo¨ge mit der umfangreichen Aufgaben-sammlung, dem Lo¨sungsbuch und der Formelsammlung mit Mathematik-Anhang. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt. Die linke Buchseite entha¨lt den ausfu¨hrlichen Lehrtext mit hervorgehobenen Sa¨tzen und Regeln. Dane-ben in der rechten Spalte wird das Problem durch Zeichnungen, mathematische Entwicklungen und Beispiele erla¨utert. bungen schließen jeden gro¨ßeren Lernabschnitt ab. Lehrbeispiele zeigen die Form schrift-licher Arbeiten in Schule und Beruf. Arbeitspla¨ne machen die erarbeiteten Lo¨sungsverfahren durchschaubar und erleichtern ihre Anwendung. Die am Ende eines Lernabschnitts im Raster angegebenen Aufgabennummern beziehen sich auf das Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik“. Im Abschnitt Festigkeitslehre (Kapitel 5.12) wird in die Berechnungsmethoden fu¨r Maschinenelemente eingefu¨hrt. Das Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien, Fachober-schulen und Bundeswehrfachschulen bewa¨hrt. In sterreich wird damit an den Ho¨heren Technischen Lehranstalten gearbeitet. Fu¨r Zuschriften steht die E-Mail-Adresse aboege@t-online.de zur Verfu¨gung. Braunschweig, Januar 2009 Alfred Bo¨ge
  6. 6. Inhaltsverzeichnis VII 1 Statik in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Die Aufgaben der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Physikalische Gro¨ßen in der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2.1 Die Kraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2.3 Das Kra¨ftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 bungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Bewegungsmo¨glichkeiten (Freiheitsgrade) eines Ko¨rpers . . . . . . . . . 6 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Gleichgewicht des Ko¨ rpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kra¨ften (Kra¨ftereduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kra¨fte F1 und F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kra¨fte. . . . . . . . . . 9 1.1.6.4 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . 10 1.1.7 Das Freimachen der Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberfla¨chen- und Volumenkra¨fte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7.3 Zweigelenksta¨be. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.7.4 Beru¨hrungsfla¨chen (ebene Stu¨tzfla¨chen) . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.7.5 Rollko¨rper (gewo¨ lbte Stu¨tzfla¨chen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.7.8 Dreiwertige Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.8 bungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Die Grundaufgaben der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Die zwei Lo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Die vier Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  7. 7. VIII Inhaltsverzeichnis 1.2.4.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (zweite Grundaufgabe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.4.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (dritte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleich-gewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.4.4 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (vierte Grundaufgabe), die zeichnerische Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.4.5 bungen zur dritten und vierten Grundaufgabe . . . . . . . . . 35 1.2.5 Die vier Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kra¨ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.5.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (fu¨nfte Grundaufgabe), der Momentensatz . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.5.2 Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden (sechste Grundaufgabe), das Seileckverfahren . . . . . . . . . . 40 1.2.5.3 Rechnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (siebte Grundaufgabe), die rechnerischen Gleich-gewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2.5.4 bung zur Stu¨tzkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.2.5.5 Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kra¨fte (achte Grundaufgabe), die zeichnerischen Gleich-gewichtsbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.2.6 Systemanalytisches Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraft-berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2.6.1 Herleitung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2.6.2 Zusammenstellung der Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . 60 1.2.6.3 Beschreibung des Programmlaufs zur Stu¨tzkraft-berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.2.6.4 bung zum systemanalytischen Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.2.7 Stu¨tzkraftermittlung beim ra¨umlichen Kra¨ftesystem (Getriebewelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3 Statik der ebenen Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.3.1 Gestaltung von Fachwerktra¨gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.3.2 Die Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerktra¨ger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.3.3 Ermittlung der Stabkra¨fte im Fachwerktra¨ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.3.3.1 Das Knotenschnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.3.3.2 Das Ritter’sche Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.3.3.3 Der Cremonaplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
  8. 8. Inhaltsverzeichnis IX 2 Schwerpunktslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1 Begriffsbestimmung fu¨ r Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt 76 2.2 Der Fla¨chenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.1 Fla¨chen haben einen Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.2 Schwerpunkte einfacher Fla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Fla¨chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.3.1 Rechnerische Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . 79 2.2.3.2 bungen zur Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts. . . . . 81 2.3 Der Linienschwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.2 Schwerpunkte einfacher Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzu¨ge) . . . . . . . . . . . 84 2.3.3.1 Rechnerische Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . . 84 2.4 Guldin’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.1 Volumenberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.2 Oberfla¨chenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.3 bungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.1 Gleichgewichtslagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.1.1 Stabiles Gleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.1.2 Labiles Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.1.3 Indifferentes Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5.2 Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.2.1 Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit . . . . . . . . . . . 88 2.5.2.2 bung zur Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1 Grunderkenntnisse u¨ ber die Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2 Gleitreibung und Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen m, und m0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.3 Der Reibungskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2.4 bungen zur Lo¨sung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.1 Verschieben des Ko¨rpers nach oben (1. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.1.1 Zugkraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . . 100 3.3.1.2 Zugkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . . 101 3.3.1.3 Zugkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
  9. 9. X Inhaltsverzeichnis 3.3.2 Halten des Ko¨rpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall) . . . . . . . . . 105 3.3.2.1 Haltekraft F wirkt unter beliebigem Zugwinkel . . . . . . . . . 105 3.3.2.2 Haltekraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . . 106 3.3.2.3 Haltekraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3.3 Verschieben des Ko¨rpers nach unten (3. Grundfall) . . . . . . . . . . . . . . 110 3.3.3.1 Schubkraft F wirkt unter beliebigem Schubwinkel. . . . . . . 110 3.3.3.2 Schubkraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene . . . . . . . . . 111 3.3.3.3 Schubkraft F wirkt waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.3.4 bungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4 Reibung an Maschinenteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.1 Prismenfu¨hrung und Keilnut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.2 Zylinderfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4.3 Lager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4.3.1 Reibung am Tragzapfen (Querlager) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4.3.2 Reibung am Spurzapfen (La¨ngslager) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4.3.3 bungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . 118 3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.4.1 Bewegungsschraube mit Flachgewinde. . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.4.2 Bewegungsschraube mit Spitz- oder Trapezgewinde . . . . . 120 3.4.4.3 Befestigungsschraube mit Spitzgewinde. . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4.4.4 bungen zur Schraube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4.5 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.4.5.1 Grundgleichung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.4.5.2 Aufgabenarten und Lo¨sungsansa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.4.5.3 bungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.4.6 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.4.6.1 Backen- oder Klotzbremsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.4.6.2 Bandbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.4.6.3 Scheiben- und Kegelbremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.4.8 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.4.9 bungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 135 3.4.10 Rolle und Rollenzug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.4.10.1 Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.4.10.2 Lose Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.4.10.3 Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.4.10.4 bung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
  10. 10. Inhaltsverzeichnis XI 4 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1 Allgemeine Bewegungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.1.1 Gro¨ßen und v; t-Diagramm, Ordnung der Bewegungen . . . . . . . . . . . 144 4.1.2 bungen mit dem v; t-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichfo¨rmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichma¨ßig beschleunigten (verzo¨gerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.1.5 Arbeitsplan zur gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.6.1 Freier Fall ohne Luftwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.6.2 Luftwiderstand F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.6.3 Freier Fall mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.1.7 bungen zur gleichma¨ßig beschleunigten und verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.1.8.1 Kennzeichen der zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . 164 4.1.8.2 berlagerungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.1.8.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. . . . . . . . . . . . . 165 4.1.9 bungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.1.9.1 berlagerung von zwei gleichfo¨rmig geradlinigen Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.1.9.2 berlagerung von gleichfo¨rmiger und gleichma¨ßig beschleunigter Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2 Gleichfo¨rmige Drehbewegung (Kreisbewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.1 Die Drehzahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.2 Die Umfangsgeschwindigkeit vu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit vu und Drehzahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.2.4.1 Zahlenwertgleichungen fu¨r die Umfangs-geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit . . . . . . . 178 4.2.6 Die Winkelgeschwindigkeit w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . 179 4.2.7.1 Zahlenwertgleichung fu¨ r die Winkelgeschwindigkeit. . . . . 180 4.2.8 Baugro¨ßen und Gro¨ßen der Bewegung in Getrieben. . . . . . . . . . . . . . 180 4.2.9 bersetzung i (bersetzungsverha¨ltnis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte (verzo¨gerte) Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . 182 4.3.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
  11. 11. XII Inhaltsverzeichnis 4.3.2 Winkelbeschleunigung a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.3.3 Der Drehwinkel im w; t-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.3.4 Die Tangentialbeschleunigung aT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (Vergleiche mit Abschnitt 4.1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.4.1 Das Tra¨gheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton’sches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.4.3 Das dynamische Grundgesetz, zweites Newton’sches Axiom . . . . . . 191 4.4.4 Die gesetzliche und internationale Einheit fu¨r die Kraft . . . . . . . . . . . 193 4.4.5 bungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.4.6 Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.4.8 bungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.4.9 Impuls (Bewegungsgro¨ße) und Impulserhaltungssatz. . . . . . . . . . . . . 202 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.5.1 Arbeit Weiner konstanten Kraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.5.3 Federarbeit Wf (Forma¨nderungsarbeit) als Arbeit einer vera¨nderlichen Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.5.4 bungen mit der Gro¨ße Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5.5 Leistung P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.5.6 Wirkungsgrad h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.5.7 bungen mit den Gro¨ßen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . 212 4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei der Drehbewegung (Kreisbewegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.6.1 Gegenu¨berstellung der allgemeinen Gro¨ßen mit den entsprechenden Kreisgro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.6.2 Dreharbeit Wrot (Rotationsarbeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.6.3 Drehleistung Prot (Rotationsleistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.6.4 Zahlenwertgleichung fu¨r die Drehleistung Prot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.6.5 Wirkungsgrad, Drehmoment und bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.6.6 bungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und bersetzung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.7 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.7.1 Energie, Begriffsbestimmung und Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.7.2 Potenzielle Energie Epot und Hubarbeit Wh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4.7.3 Kinetische Energie Ekin und Beschleunigungsarbeit Wa . . . . . . . . . . 220 4.7.4 Spannungsenergie Es und Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . 220 4.7.5 Energieerhaltungssatz fu¨r technische Vorga¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.7.6 bungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
  12. 12. Inhaltsverzeichnis XIII 4.8 Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4.8.1 Stoßbegriff, Kra¨fte und Geschwindigkeiten beim Stoß. . . . . . . . . . . . 224 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4.8.3 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.8.4 Unelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.8.4.1 Schmieden und Nieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.8.4.2 Rammen von Pfa¨hlen, Eintreiben von Keilen . . . . . . . . . . . 228 4.8.5 Wirklicher Stoß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 4.8.6 bungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.9.1 Das dynamische Grundgesetz fu¨r die Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . 232 4.9.2 Tra¨gheitsmoment J und Tra¨gheitsradius i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.9.2.1 Definition des Tra¨gheitsmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.9.2.2 bung zum Tra¨gheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.9.2.3 Verschiebesatz (Steiner’scher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.9.2.4 Reduzierte Masse mred und Tra¨gheitsradius i . . . . . . . . . . . 238 4.9.3 bung zum dynamischen Grundgesetz fu¨r die Drehung. . . . . . . . . . . 239 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz fu¨r die Drehung . . . . . 239 4.9.5 Kinetische Energie Erot (Rotationsenergie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.9.6 Energieerhaltungssatz fu¨r Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.9.7 Fliehkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.9.7.1 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft . . . . . . . . . 242 4.9.7.2 bungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 4.9.8 Gegenu¨berstellung der translatorischen und rotatorischen Gro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.10 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.10.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.10.2 Ordnungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.10.3 Die harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.10.3.1 Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.10.3.1.1 Auslenkung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.10.3.1.2 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 247 4.10.3.1.3 Beschleunigung-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.10.3.2 Die Graphen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 248 4.10.3.3 Zusammenstellung der wichtigsten Gro¨ßen und Gleichungen der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . 249 4.10.3.4 Ru¨ckstellkraft FR, Richtgro¨ße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.10.4 Das Schraubenfederpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.10.4.1 Ru¨ckstellkraft FR und Federrate R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.10.4.2 Periodendauer T des Schraubenfederpendels . . . . . . . . . . . 253 4.10.5 Das Torsionsfederpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.10.5.1 Federrate R, Ru¨ckstellmoment MR und Perioden-dauer T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
  13. 13. XIV Inhaltsverzeichnis 4.10.5.2 Experimentelle Bestimmung von Tra¨gheits-momenten J aus der Periodendauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.10.6 Das Schwerependel (Fadenpendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 4.10.7 Schwingung einer Flu¨ssigkeitssa¨ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flu¨ssigkeitssa¨ule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4.10.9 Da¨mpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz . . . . 258 4.10.9.1 Da¨mpfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4.10.9.2 Energieminderung durch Da¨mpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.10.9.3 Energiezufuhr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.10.9.4 Die erzwungene Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . . . 260 4.10.9.5 Das Amplituden-Frequenz-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5.1.1 Die Aufgabe der Festigkeitslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5.1.2 Das Schnittverfahren zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.1.3 Spannung und Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 5.1.4 Die beiden Spannungsarten (Normalspannung s und Schubspannung t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 5.1.5 Die fu¨nf Grundbeanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren). . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung). . . . . . . . . . 270 5.1.5.6 Kurzzeichen fu¨r Spannung und Beanspruchung. . . . . . . . . 270 5.1.6 Die zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5.1.7 Bestimmen des inneren Kra¨ftesystems (Schnittverfahren) und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.1.7.1 Das allgemeine innere Kra¨ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.1.7.3 bungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.2 Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.2.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.2.2 Erkennen des gefa¨hrdeten Querschnitts in zugbeanspruchten Bauteilen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.2.2.1 Profilsta¨be mit Querbohrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.2.2.2 Zuglaschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.2.2.3 Zugschrauben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
  14. 14. Inhaltsverzeichnis XV 5.2.2.4 Herabha¨ngende Sta¨be oder Seile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 5.2.2.5 Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 5.2.3 Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz). . . . . . . . . . . . . . . . . 280 5.2.3.1 Verla¨ngerung Dl und Dehnung e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.2.3.2 Querdehnung eq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.2.3.3 Poisson-Zahl m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 5.2.3.4 Das Hooke’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 5.2.3.5 Wa¨rmespannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.2.3.6 Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.2.4 Reißla¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.3 Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.4 bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.5 Fla¨chenpressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.5.2 Fla¨chenpressung an geneigten Fla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.5.3 Fla¨chenpressung am Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 5.5.4 Fla¨chenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen . . . . 291 5.5.5 Fla¨chenpressung an gewo¨lbten Fla¨chen (Hertz’sche Gleichungen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.5.5.1 Pressung zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.5.5.2 Pressung zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.5.6 bungen zur Fla¨chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 5.6 Beanspruchung auf Abscheren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 5.6.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 5.6.2 Elastische Forma¨nderung (Hooke’sches Gesetz fu¨r Schub) . . . . . . . . 297 5.7 Fla¨chenmomente 2. Grades I und Widerstandsmomente W . . . . . . . . . . . 303 5.7.1 Gleichma¨ßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenu¨berstellung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 5.7.2 Definition der Fla¨chenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 5.7.3 Herleitungsu¨bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.7.4 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 5.7.5 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 5.7.6 Axiale Fla¨chenmomente 2. Grades unsymmetrischer Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . 314 5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes . . . . . . . . . . . . 315
  15. 15. XVI Inhaltsverzeichnis 5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chen-momente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.7.7 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.8 Beanspruchung auf Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 5.8.1 Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 5.8.3 Forma¨nderung bei Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.8.4 Forma¨nderungsarbeit Wf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 5.9 Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kra¨ftesystem bei Biegetra¨gern . . . . . . . 328 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkra¨fte an beliebigen Tra¨gerstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 5.9.3 Spannungsverteilung im Tra¨gerquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 5.9.5 Spannungsverteilung im unsymmetrischen Querschnitt . . . . . . . . . . . 332 5.9.6 Gu¨ ltigkeitsbedingungen fu¨r die Biege-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . 332 5.9.7 bungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraft-verlaufs bei den wichtigsten Tra¨gerarten und Belastungen. . . . . . . . . 333 5.9.7.1 Freitra¨ger mit Einzellast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 5.9.7.2 Freitra¨ger mit mehreren Einzellasten . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 5.9.7.3 Freitra¨ger mit konstanter Streckenlast (gleichma¨ßig verteilte Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5.9.7.4 Freitra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . 336 5.9.7.5 Stu¨tztra¨ger mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.9.7.6 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit mehreren Einzellasten . . . . . . 338 5.9.7.7 Stu¨tztra¨ger (Kragtra¨ger) mit konstanter Streckenlast . . . . . 340 5.9.7.8 Stu¨tztra¨ger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) . . . . . . . . . . . . . . . . 342 5.9.8 Tra¨ger gleicher Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.9.8.2 Achsen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 5.9.8.4 Konsoltra¨ger mit Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 5.9.8.5 Konsoltra¨ger mit Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 5.9.9 Forma¨nderung bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 5.9.9.1 Kru¨mmungsradius, Kru¨mmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 5.9.10 bungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 5.10 Beanspruchung auf Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.10.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
  16. 16. Inhaltsverzeichnis XVII 5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5.10.4 Arbeitsplan fu¨r Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.10.5 Knickung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 5.10.5.1 Vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 5.10.5.2 Tragsicherheitsnachweis bei einteiligen Knicksta¨ben . . . . . 359 5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 5.10.5.4 Arbeitsplan (AP) zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . 359 5.10.5.5 Zusammengesetzte Knicksta¨be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5.11.1 Zug und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5.11.2 Druck und Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 5.11.3 bung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 5.11.4 Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 5.11.4.1 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannung sv . . . . . . 368 5.11.4.2 Vergleichsmoment Mv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 5.11.4.3 bung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 5.12 Festigkeit, zula¨ssige Spannung, Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm . . . . . . . . . . . . 375 5.12.2 Einflu¨sse auf die Festigkeit des Bauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.12.2.1 Beanspruchungsart und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.12.2.2 Temperatur und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.12.2.3 Belastungsart und Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.12.2.4 Gestalt und Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 5.12.3 Spannungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.12.3.1 Nennspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.12.3.2 rtliche Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.12.3.3 Zula¨ssige Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.12.3.4 Berechnungen im Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 5.12.3.5 Praktische Festigkeitsberechnungen im Maschinenbau . . . 381 5.12.4 Dauerbruchsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 5.12.4.1 Sicherheit SD bei ruhender Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 5.12.4.2 Sicherheit SD bei dynamischer Belastung . . . . . . . . . . . . . . 382 5.12.5 bungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 6 Fluidmechanik (Hydraulik). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 6.1 Statik der Flu¨ ssigkeiten (Hydrostatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 6.1.1 Eigenschaften der Flu¨ssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Flu¨ssigkeitsdruck, hydraulische Pressung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.1.3 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit ohne Beru¨cksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
  17. 17. XVIII Inhaltsverzeichnis 6.1.4 Anwendungen des Druck-Ausbreitungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 388 6.1.4.1 Hydraulischer Hebebock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 6.1.4.2 Druckkraft auf gewo¨lbte Bo¨den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 6.1.4.3 Beanspruchung einer Kessel- oder Rohrla¨ngsnaht . . . . . . . 390 6.1.4.4 Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6.1.5 Druckverteilung in einer Flu¨ssigkeit unter Beru¨cksichtigung der Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 6.1.6 Kommunizierende Ro¨hren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 6.1.7 Bodenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 6.1.8 Seitenkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 6.1.9 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 6.1.10 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Ko¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 6.1.12 Stabilita¨t eines Schiffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 6.2 Dynamik der Fluide (Stro¨mungsmechanik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 6.2.1 Kontinuita¨tsgleichung (Stetigkeitsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 6.2.2 Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltungssatz der Stro¨mung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 6.2.2.1 Horizontale Stro¨mung (Stro¨mung ohne Ho¨henunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 6.2.2.2 Nichthorizontale Stro¨mung (Stro¨mung mit Ho¨henunterschied) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 6.2.3 Anwendung der Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.2.3.1 Druck in einer Leitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.2.3.2 Ausfluss aus einem Gefa¨ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 6.2.3.3 Ausfluss unter dem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 6.2.3.4 Ausfluss bei berdruck im Gefa¨ß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 6.2.3.5 Ausfluss bei sinkendem Fluidspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 6.2.4 Stro¨mung in Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
  18. 18. Inhaltsverzeichnis XIX Arbeitspla¨ne Arbeitsplan zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der unbekannten Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der unbekannten Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Arbeitsplan zum Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Arbeitsplan zum Seileckverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Arbeitsplan zum 3-Kra¨fte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Arbeitsplan zum 4-Kra¨fte-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Arbeitsplan zur Aufzeichnung des Cremonaplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . 80 Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . 85 Arbeitsplan zur gleichma¨ßig beschleunigten oder verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . 153 Arbeitsplan zur Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kra¨ftesystems und der Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Fla¨chenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Arbeitsplan fu¨r Knickungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Arbeitsplan zum Tragsicherheitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Lehrbeispiele Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems . . . . . . 30 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr eines zentralen Kra¨ftesystems . . . . . . 31 Seileckverfahren, Zusammensetzen zweier Parallelkra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Reibung in Ruhe und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Prinzip von d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Nietverbindung im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Nietverbindung im Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Zugbolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Torsionsstabfeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Verdrehwinkel (Drehmomentschlu¨ssel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Knickung im elastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Knickung im unelastischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Berechnung einer Getriebewelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
  19. 19. XX Inhaltsverzeichnis bungen bungen zur Berechnung von Drehmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨r Kra¨fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 bungen zum Freimachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 bung zur dritten und vierten Grundaufgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 bung zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 bung zum systemanalytischen Lo¨sungsverfahren zur Stu¨tzkraftberechnung . . . . . . . . 62 bungen zur Bestimmung des Fla¨chenschwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 bungen mit den Guldin’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 bung zur Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 bungen zur Lo¨sung von Reibungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 bungen zur Reibung auf der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 bungen zur Trag- und Spurzapfenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 bungen zur Schraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 bungen zur Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 bungen zum Roll- und Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 bung zum Rollenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 bungen mit dem v; t-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 bungen zur gleichma¨ßig beschleunigten und verzo¨gerten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 160 bungen zur zusammengesetzten Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 bungen zum dynamischen Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 bungen zum Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 bungen mit der Gro¨ße Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 bungen mit den Gro¨ßen Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 bungen zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 bungen zum geraden zentrischen Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 bung zum Tra¨gheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 bungen zum dynamischen Grundgesetz fu¨r die Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 bungen zur Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 bungen zum Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 bungen zur Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 bungen zur Fla¨chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte . . . . . . . . . . . 306 bungen mit Fla¨chen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 316 bungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Tra¨gerarten und Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 bungen zur Durchbiegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 bung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen . . . . . . . . . . 367 bung zu Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 bungen zur Dauerfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
  20. 20. Inhaltsverzeichnis XXI Tabellen Tabelle 3.1 Reibzahlen m0 und m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Tabelle 4.1 Gleichma¨ßig beschleunigte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Tabelle 4.2 Gleichma¨ßig verzo¨gerte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Tabelle 4.3 Gleichma¨ßig beschleunigte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Tabelle 4.4 Gleichma¨ßig verzo¨gerte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Tabelle 4.5 Gleichungen fu¨r Tra¨gheitsmomente J (Massenmoment 2. Grades) . . . . 235 Tabelle 5.1 Axiale Fla¨chenmomente I, Widerstandsmomente Wund Tra¨gheitsradius i fu¨ r Biegung und Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Tabelle 5.2 Polare Fla¨chenmomente 2. Grades Ip und Widerstandsmomente Wp fu¨r Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Tabelle 5.3 Grenzschlankheitsgrad l0 fu¨ r Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Tabelle 5.4 Zuordnung der Knickspannungslinien zu den Stab-Querschnitts-formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Tabelle 5.5 Zula¨ssige Spannungen im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Tabelle 5.6 Zula¨ssige Spannungen im Kranbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Tabelle 5.7 Richtwerte fu¨r die Kerbwirkungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Tabelle 5.8 Festigkeitswerte fu¨r Sta¨hle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Tabelle 5.9 Festigkeitswerte fu¨r Gusseisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Das griechische Alphabet Alpha A a Beta B b Gamma G g Delta D d Epsilon E e Zeta Z z Eta H h Theta Q J Jota I i Kappa K j Lambda L l My M m Ny N n Xi X x Omikron O o Pi P p Rho R r Sigma S s Tau T t Ypsilon Y u Phi F j Chi C c Psi Y w Omega W w
  21. 21. 1 Statik in der Ebene Formelzeichen und Einheiten1) A m2, cm2, mm2 Fla¨cheninhalt, Fla¨che, Oberfla¨che b m, cm, mm Breite d, D m, cm, mm Durchmesser e l Euler’sche Zahl (2,718 28 . . . ) F N ¼ kgm s2 , kN Kraft. Bestimmte Kra¨fte werden durch Indizes unterschieden, z. B. Fr resul-tierende Kraft ¼ Resultierende, FR Reibungskraft, FN Normalkraft, Fq Quer-kraft, FA Stu¨tzkraft im Lagerpunkt A usw. FG N ¼ kgm , kN Gewichtskraft. FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen fu¨r die s2 Gewichtskraft g m s2 Fallbeschleunigung Normfallbeschleunigung gn ¼ 9,80665 m s2 h m, cm, mm Ho¨he, Tiefe l m, cm, mm La¨nge jeder Art, Absta¨nde M Nm Kraftmoment, Drehmoment MT, T Nm Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zula¨ssig m kg, g Masse n 1 min ¼ min1 Drehzahl, Umdrehungsfrequenz P W, kW Leistung r m, cm, mm Radius, Halbmesser, Abstand A, q m2, cm2, mm2 Querschnittsfla¨che, Querschnitt s m, cm, mm Wegla¨nge, Kurvenla¨nge, Wanddicke V m3, cm3, mm3 Volumen, Rauminhalt v m s , km h , m min Geschwindigkeit W J ¼ Nm Arbeit x, y m, cm, mm Wirkabsta¨nde der Einzelkra¨fte (und -fla¨chen oder -linien), Koordinaten x0, y0, z0 m, cm, mm Schwerpunktabsta¨nde a, b, g rad, ebener Winkel h l Wirkungsgrad m l Reibungszahl r Reibungswinkel 1) Alle in diesem Buch verwendeten Einheiten fu¨r physikalische Gro¨ßen sind Einheiten des „Syste`me Inter-national d’Unite´s“ (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 (Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen). 1
  22. 22. 2 1 Statik in der Ebene 1.1 Grundlagen 1.1.1 Die Aufgaben der Statik An technischen Bauteilen greifen Belastungskra¨fte an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, Winddruck, Gasdruck, Zahnkra¨fte, Riemenkra¨fte, Zerspanungswidersta¨nde, Reibungswidersta¨nde usw. Mit den Verfahren der Statik werden die Stu¨ tz-kra ¨fte ermittelt, die den Ko¨rper im Gleichgewicht halten. Man sagt auch: Das angreifende Kra¨fte-system befindet sich im Gleichgewicht. Die Ermittlung der Stu¨tzkra¨fte, auch Auflager-kra ¨fte genannt, ist der erste Schritt zur Konstruk-tion eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden Kra¨fte bekannt, ko¨nnen die Abmessungen der Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre fest-gelegt werden: Belastungskra¨fte und Stu¨tzkra¨fte Gegeben: F1, F2, FG, l, l1, l2 Gesucht: FA, FB Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager werden auf Seite 15 erla¨utert. Die Ergebnisse der Statik sind die Grundlage der Festigkeitsrechnung. Beispiel: Erst wenn alle an einer Getriebewelle angrei-fenden Kra¨fte bekannt sind, ko¨nnen Wellen-und Lagerdurchmesser bestimmt werden. Bei allen folgenden Untersuchungen in der Statik werden die Ko¨rper als unverformbar angesehen (Statik der starren Ko¨rper). 1.1.2 Physikalische Gro¨ßen in der Statik Die wichtigsten Gro¨ßen der Statik sind die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in Newton (N), Dekanewton (daN), Kilonewton (kN) oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben wird; das Kraftmoment M der Kraft F, das in Newton-meter (Nm) oder Newtonmillimeter (Nmm) ange-geben wird. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bau-teils, dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes Kraftmoment als Biegemoment Mb, ein tordieren-des (verdrehendes) Kraftmoment als Torsions-moment MT bezeichnet. Das Newton ist die gesetzliche und interna-tionale Einheit (SI-Einheit) fu¨r die Kraft F: 1 daN ¼ 10 N; 1 kN ¼ 103 N ¼ 1000 N 1 MN ¼ 106 N ¼ 1000000 N Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer Kraft F und einer La¨nge l. Daher ist die SI-Einheit des Kraftmoments das Newtonmeter (Nm): 1 Nm ¼ 103 Nmm 1 kNm ¼ 103 Nm 1 MNm ¼ 106 Nm
  23. 23. 1.1 Grundlagen 3 1.1.2.1 Die Kraft F Kra¨fte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Ko¨r-per la¨sst sich nur dann genau angeben, wenn drei Bestimmungsstu¨cke bekannt sind: der Betrag der Kraft, z. B. F ¼ 18 N, die Wirklinie WL und der Richtungssinn. Gro¨ßen, die erst durch ihren Betrag und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete Gro¨ßen), heißen Vektoren, z. B. Kra¨fte, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Gro¨ßen, bei denen zur eindeutigen Bestim-mung die Angabe ihres Betrags genu¨gt, hei-ßen Skalare (nicht gerichtete Gro¨ßen), z. B. Wa¨rme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leistung. Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch durch einen Pfeil dargestellt. Die La¨nge des Pfeils gibt u¨ber den festgelegten Kra¨ftemaßstab MK den Betrag (die Gro¨ße) der Kraft an. Die Wirklinie zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer fest-gelegten Bezugsachse die Kraft wirkt (Richtungs-winkel). Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungs-sinn. Eine Kraft, die auf einen Ko¨rper dieselbe Wirkung ausu¨bt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wir-kende Kra¨fte F1 und F2, nennt man die Resultie-rende Fr dieser Kra¨fte: Die Resultierende Fr ist eine gedachte Ersatz-kraft fu¨ r mehrere Einzelkra¨fte. Will man eine genaue Angabe u¨ber die Wirkung mehrerer Kra¨fte auf einen Ko¨rper machen, z. B. daru¨ber, in welche Richtung er sich verschiebt, muss die Resultierende des Kra¨ftesystems bekannt sein. Die Schubkraft Fs mit dem Angriffspunkt As be-wegt den skizzierten Wagen mit der Geschwindig-keit v nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird durch die auf der selben Wirklinie WL liegende gleich große Zugkraft Fz ¼ Fs (Angriffspunkt Az) erzielt: Kra¨fte sind linienflu¨chtige Vektoren. Fu¨r sie gilt der La¨ngsverschiebungssatz Kra¨fte du¨rfen auf ihrer Wirklinie beliebig ver-schoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den starren Ko¨rper a¨ndert. Die Kraft Fs (Schubkraft) ¼ Fz (Zugkraft) kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL von As nach Az verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Ko¨rper a¨ndert (La¨ngsverschiebungssatz).
  24. 24. 4 1 Statik in der Ebene 1.1.2.2 Das Kraftmoment oder Drehmoment M Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem Wirkabstand l von einem beliebigen Bezugs-punkt D heißt Kraftmoment M ¼ Fl. Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmo-ment sind statisch gleichwertig. Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirk-abstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand l ist der rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Ab-stand. Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den Punkt D: M ¼ Fl Kraftmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l M ¼ Fl Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das Vorzeichen angegeben. M F l Nm N m (þ) ¼ Linksdrehsinn () ¼ Rechtsdrehsinn 1.1.2.3 Das Kra¨ ftepaar Wirken zwei gleich große, gegensinnige Kra¨fte auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand l (? zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Kra¨fte ein Kra¨ftepaar. Ist der Ko¨rper frei beweglich, so dreht ihn das Kra¨ftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben (Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Dreh-stabfeder), denn die Resultierende des Kra¨ftepaars ist gleich null. Das Kra¨ftepaar erzeugt ein Drehmoment M, die Resultierende ist Fr ¼ 0. Die Drehwirkung eines Kra¨ftepaares bezeich-net man als sein Drehmoment M. Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand ist der senkrecht zu den Wirklinien gemessene Abstand. Kra¨ftepaar am Fahrradlenker Drehmoment M ¼ Kraft F Wirkabstand l M ¼ Fl Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das Vorzeichen angegeben. M F l Nm N m (þ) ¼ Linksdrehsinn () ¼ Rechtsdrehsinn
  25. 25. 1.1 Grundlagen 5 1.1.3 bungen zur Berechnung von Drehmomenten 1. bung: Fu¨r die Tretkurbelwelle eines Fahrrads sollen die Drehmomente M1, M2, M3 in den drei skizzierten Stellungen berechnet werden. In allen Stellungen wirkt die Kraft F1 rechtwinklig nach un-ten. In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, in Stellung 3 vertikal. Stellung 2 liegt zwischen beiden Stellungen. Wie vera¨ndert sich das Drehmoment mit fort-schreitender Kurbeldrehung? Lo¨sung: Als Folge der Kraft F1 an der Tretkurbel tritt im Tretkurbellager eine gleich große, ent-gegengesetzt gerichtete Kraft F2 auf. Beide bilden ein Kra¨ftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es ergibt sich als Produkt aus der Kraft F1 und ihrem jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F2. Die Drehmomente M1 und M2 haben Rechtsdrehsinn. Sie erhalten daher das negative Vorzeichen. M1 ¼ F1l1 ¼ 150 N 0,2 m ¼ 30 Nm M2 ¼ F1l2 ¼ 150 N 0,08 m ¼ 12 Nm M3 ¼ F1l3 ¼ 150 N 0 m ¼ 0 Das Drehmoment fa¨llt von seinem Maximal-wert in der horizontalen Stellung bis auf null in der vertikalen Stellung der Tretkurbel. 2. bung: Die Kraft F1 wirkt jetzt unter dem Win-kel a ¼ 45 auf die horizontal liegende Tretkur-bel. Wie groß ist nun das Drehmoment M an der Tret-kurbelwelle? Lo¨sung: Der Wirkabstand l2 zwischen den Wirk-linien der Kra¨fte F1 und F2 ist jetzt kleiner gewor-den als vorher in der Stellung 1. l2 ¼ l1sin a l2 ¼ 0,2 m sin 45 l2 ¼ 0,141 m Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmo-ment M. Es erha¨lt das negative Vorzeichen, weil es Rechtsdrehsinn besitzt. M ¼ F1l2 ¼ 150 N 0,141 m M ¼ 21,15 Nm Aufgaben Nr. 1–8
  26. 26. 6 1 Statik in der Ebene 1.1.4 Bewegungsmo¨glichkeiten (Freiheitsgrade) eines Ko¨rpers Jeder frei bewegliche starre Ko¨rper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt oder dreht. Diese Bewegungen heißen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). Die Bewegungsmo¨glichkeiten, die ein Ko¨rper hat, nennt man seine Freiheitsgrade. 1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum Ein Ko¨rper, der im Raum frei beweglich ist, kann sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines ra¨umlichen Koordinatensystems verschieben (T(x), T(y), T(z)). Er kann sich außerdem um jede der drei Achsen drehen (R(x), R(y), R(z)). Daraus folgt: Ein im Raum frei beweglicher starrer Ko¨rper hat sechs Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung im Raum la¨sst sich auf diese sechs Freiheitsgrade zuru¨ckfu¨hren. 1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene Ein Ko¨rper, der nur in einer Ebene frei beweglich ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koor-dinatensystems verschieben (T(x), T(z)) und um die Achse y drehen (R(y)). Daraus folgt: Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Ko¨r-per hat drei Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung in der Ebene la¨sst sich auf diese drei Freiheitsgrade zuru¨ckfu¨hren. 1.1.5 Gleichgewicht des Ko¨rpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzel-kraft, die Ursache einer Drehung ist ein Kra¨ftepaar. Daraus folgt: Beachte: Die Drehwirkung eines Kra¨ftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet. Wird ein Ko¨rper verschoben, muss eine Kraft F wirken, wird er gedreht, muss ein Kraftmoment M wir-ken, wird er verschoben und gedreht, mu¨ssen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wirken.
  27. 27. 1.1 Grundlagen 7 Umgekehrt la¨sst sich auch schließen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Ko¨rper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhan-den ist, wenn er sich nicht dreht. Keine Verschiebung: F ¼ 0 Keine Drehung: M ¼ 0 Ko¨rper, die mit anderen fest verbunden sind, las-sen sich auch durch Kra¨fte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkra¨fte und Gegenkraftmomente erzeugt. Beispiel: Fra¨smaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegen-einander, obwohl u¨ber das Werkstu¨ck Kra¨fte in den Schraubstock eingeleitet werden. Alle Kra¨fte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fa¨llen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Kra¨fte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Kra¨fte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Ko¨rper so verha¨lt, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment. Keine Verschiebung: SF ¼ 0 Keine Drehung: SM ¼ 0 S (Sigma) bedeutet: Summe aller . . ., d. h. die Summe aller Kra¨fte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null. Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Ko¨rpers in der Ebene bezogen ergibt: Ein Ko¨rper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kra¨fte in Richtung der x-Achse gleich null ist, die Summe aller Kra¨fte in Richtung der y-Achse gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die z-Achse gleich null ist. SFx ¼ 0 SFy ¼ 0 SMðzÞ ¼ 0 Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedin-gungen berechnet man unbekannte Kra¨fte und Kraftmomente. Nach dem Tra¨gheitsgesetz gilt das fu¨ r alle Ko¨rper, deren Bewegungszustand sich nicht a¨ndert. Dem-nach ist ein Ko¨rper in drei Fa¨llen im Gleichge-wicht: Beachte: Ruhelage und gleichfo¨rmig geradli-nige oder rotierende Bewegung sind gleich-wertige Zusta¨nde, d. h. es gelten die Gleich-gewichtsbedingungen. wenn er ruht (Geschwindigkeit v ¼ 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleiben-der Geschwindigkeit bewegt (v ¼ konstant) Die berlegungen zum Tra¨gheitsgesetz stam-men von dem italienischen Physiker Galileo Galilei (1564––1642). und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdre-hungsfrequenz) umla¨uft (n ¼ konstant).
  28. 28. 8 1 Statik in der Ebene 1.1.6 Der Parallelogrammsatz fu¨ r Kra¨ fte Der Parallelogrammsatz1) ist die wichtigste statische Grundoperation fu¨r das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten Gro¨ßen (Vektoren). Dazu geho¨ren neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Kra¨fte F. 1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kra¨ften (Kra¨ftereduktion) Kra¨fte sind linienflu¨chtige Vektoren, d. h. zwei Kra¨fte F1 und F2 ko¨nnen auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden Fr zusam-mengesetzt werden. Man nennt dies eine geometri-sche (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kra¨ftereduktion. Beachte: Skalare wie Masse m, Volumen V, Fla¨chen A usw. sind keine gerichteten Gro¨- ßen. Ihre Betra¨ge ko¨nnen algebraisch addiert und subtrahiert werden. Kra¨fte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln. Parallelogrammsatz Die Resultierende Fr (Ersatzkraft) zweier in einem Punkt A angreifender Kra¨fte F1 und F2 ist die Diagonale des Kra¨fteparallelogramms. Geometrische Addition der Kra¨fte F1 und F2 zur Resultierenden Fr Einfacher ist es, die Kra¨fte nach Betrag und Rich-tungssinn maßstabsgerecht in beliebiger Reihen-folge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kra¨ftedreieck (Krafteck, Kra¨ftezug). Im Krafteck ist die Resultierende Fr die Verbin-dungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Kra¨ftedreiecke als Ersatz fu¨r das Kra¨fteparallelogramm Der Betrag der Resultierenden Fr zweier Kra¨fte F1 und F2, die den Winkel a einschließen, la¨sst sich mit Hilfe des Kosinussatzes, der Winkel b mit dem Sinussatz berechnen. Die beiden Sa¨tze werden in der Mathematik (Trigonometrie) hergeleitet. Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 2 þ F2 2 þ 2F1F2 cos a p b ¼ arcsin F1 sin a Fr 1) Bo¨ge, A.; J. Eichler: Physik: Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lo¨sungen; Vieweg þ Teubner 2008
  29. 29. 1.1 Grundlagen 9 1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft F in zwei nichtparallele Kra¨ fte F1 und F2 Das Kra¨fteparallelogramm la¨sst sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL2 zweier gesuchter Kra¨fte F1, F2 zeichnen. Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten F1, F2 Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL1 und WL2 der gesuchten Kra¨fte F1, F2 parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maßsta¨blich auf-gezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Kra¨fteparallelogramm. Die Betra¨ge der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Fu¨r F1 gilt der Sinus-satz; die Gleichung fu¨r F2 la¨sst sich aus dem ge-strichelt gezeichneten Kra¨ftezug ablesen. F1 ¼ F sin b sin a F2 ¼ F cos b F1 cos a Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Kom-ponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Lo¨sungen mo¨glich. Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehen-den Komponenten Fx und Fy einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels a in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus. Fy Fx = F cos α F = F sin y α y F α x 1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Kra¨ fte F1 und F2 Fu¨r die gegebene Kraft F sollen die beiden paralle-len Kra¨fte F1 und F2 ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Absta¨nden l1 und l2 die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F. Zum Versta¨ndnis fu¨r die Lo¨sung dieser Aufgaben ist der spa¨ter erla¨uterte Momentensatz erforderlich (1.2.5.1, Seite 38): Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten Fl1 ¼ F2ðl1 þ l2Þ und Fl2 ¼ F1ðl1 þ l2Þ Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen fu¨r die Betra¨ge der Kra¨fte F1 und F2. F1 ¼ F l2 l1 þ l2 F2 ¼ F l1 l1 þ l2
  30. 30. 10 1 Statik in der Ebene 1.1.6.4 bungen zum Parallelogrammsatz fu¨ r Kra¨ fte 1. bung: Zwei Kra¨fte F1 ¼ 2 kN und F2 ¼ 3 kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel a ¼ 120 zueinander. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden Fr, b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr. Lo¨sung: a) der Betrag der Resultierenden la¨sst sich zeich-nerisch durch maßsta¨bliches Aufzeichnen des Kra¨fteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F1 2 þ F2 2 þ 2F1F2 cos a p Fr ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2 kNÞ2þð3 kNÞ2þ22 kN3 kN cos 120 q b) der Winkel b zwischen den Wirklinien von F1 und Fr wird mit dem Sinussatz berechnet: Fr ¼ 2,646 kN sin b sin ð180 aÞ ¼ F2 Fr ; sin ð180 aÞ ¼ sin a b ¼ arcsin F2 sin ð180 aÞ Fr ¼ 79,1 2. bung: Fu¨ r das skizzierte Lager einer Getriebe-welle wurden mit Hilfe der statischen Gleich-gewichtsbedingungen die Stu¨tzkraftkomponenten FAx ¼ 5089 N und FAy ¼ 471 N berechnet. Zur Bestimmung der Lagerabmessungen soll die Stu¨ tz-kraft (Lagerkraft) FA berechnet werden. Beachte: Die Stu¨tzkraftkomponenten ko¨nnen in den Lagermittelpunkt verschoben werden. Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten FAx und FAy (La¨ngsverschiebungssatz von Seite 3), Lo¨sung: b) Betrag der Lagerkraft FA, c) Richtungswinkel a zwischen der positiven x-Achse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft FA. FA ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FAx 2 þ FAy 2 q ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð50892 þ 4712Þ N2 q FA ¼ 5111 N Aufgaben Nr. 29–31 a ¼ arctan FAy FAx ¼ arctan 471 N 5089 N ¼ 5,29
  31. 31. 1.1 Grundlagen 11 1.1.7 Das Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Zweck und Beschreibung des Verfahrens, Oberfla¨chen- und Volumenkra¨fte Mit Hilfe der Statik werden unbekannte Kra¨fte zeichnerisch und rechnerisch bestimmt, z. B. die Stu¨tzkra¨fte (Lagerkra¨fte), die eine Getriebewelle oder einen Drehkran im Gleichgewicht halten. Beispiel: F1, F2 bekannte Kra¨fte, FAx, FAy, FB gesuchte Stu¨tzkra¨fte Die Lo¨sungen solcher Aufgaben ko¨nnen nur dann richtig sein, wenn tatsa¨chlich alle am Bauteil (Ge-triebewelle, Drehkran,Winkelhebel, Schraube usw.) angreifenden Kra¨fte in die Untersuchung einbe-zogen wurden. Hinweis: Wird etwa die tatsa¨chlich wirkende Stu¨tzkraftkomponente FAx nicht in die rech-nerischen Gleichgewichtsbedingungen auf-genommen (SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0), dann wird die Lo¨sung falsch. Jedes Bauteil wirkt auf die angrenzenden Bauteile mit Oberfla¨chenkra¨ften, die man sich im Mittel-punkt M der Beru¨hrungsfla¨che angreifend denkt, wie im Fall der beiden zusammengepressten Bauteile 1 und 2. Oberfla¨chenkra¨fte heißen auch a¨ußere Kra¨fte. Tatsa¨chlich verteilt sich jede Oberfla¨chenkraft mehr oder weniger gleichma¨ßig auf die Fla¨chen-teilchen der Beru¨hrungsfla¨che (siehe Abschnitt 5.5, Seite 288 Fla¨chenpressung). Auf jede Beru¨hrungsfla¨che eines Ko¨rpers wirkt die von ihr ausgeu¨bte Oberfla¨chenkraft von dem ande-ren Ko¨rper zuru¨ck (Aktion ¼ Reaktion). Es ist also F1,2 (Kraft F von 1 auf 2) gleich F2,1 (Kraft F von 2 auf 1). Außer den Oberfla¨chenkra¨ften ko¨nnen noch Volu-menkra ¨fte wirken, die man sich im Massenschwer-punkt (Massenmittelpunkt) M des homogenen Ko¨rpers angreifend denkt. Die wichtigste und immer wirkende Volumenkraft ist die Gewichtskraft FG. Eine andere Volumen-kraft ist die durch Magnete erzeugte Kraft. Gemeinsames Kennzeichen von Volumenkra¨ften ist das Vorhandensein eines „Feldes“, z. B. des Schwerefeldes der Erde oder eines Magnetfeldes. Volumenkra¨fte heißen daher auch Feldkra¨fte. Hinweis: Ob die Gewichtskraft FG beim Frei-machen beru¨cksichtigt wird, ha¨ngt davon ab, ob ihre Wirkung im Verha¨ltnis zu den Wir-kungen der anderen Kra¨fte groß oder klein ist.
  32. 32. 12 1 Statik in der Ebene Um sicherzugehen, alle am Bauteil angreifenden Kra¨fte richtig erfasst zu haben, geht jeder stati-schen Untersuchung das Freimachen voraus. Hinweis: Statt „Freimachen“ wird auch die Bezeichnung „Freischneiden“ verwendet, weil man das Bauteil mit einem gedachten Schnitt von den angrenzenden Bauteilen trennt. Freimachen heißt: Man nimmt die Nachbarbauteile, die das frei-zumachende Bauteil beru¨hren, Stu¨ck fu¨r Stu¨ck weg und bringt dafu¨r an den Beru¨hrungsstellen diejenigen Kra¨fte an, die von den weggenom-menen Bauteilen auf das freigemachte Bauteil wirken. Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil schematisiert ohne die an-grenzenden Teile aufzeichnen. 2. Die Angriffspunkte aller Kra¨fte und die Wirklinien dieser Kra¨fte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf den frei-gemachten Ko¨rper eintragen. Fu¨r die zeichnerische Lo¨sung maßsta¨blich zeichnen (Lageplan), fu¨r die rechnerische Lo¨sung genu¨gt die Lageskizze. Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Frei-machen geben die folgenden Beispiele. 1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen Seile und a¨hnliche flexible Bauteile ko¨nnen nur Zugkra¨fte in Seilrichtung ausu¨ben oder aufnehmen. Zugkra¨fte wirken stets weg vom Angriffspunkt am freigemachten Bauteil. (Regel 1) Beispiel: Der Kranhaken soll freigemacht werden. Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Ko¨rper ausu¨ben kann. Es ist gleichgu¨ltig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft. Man nimmt den angeha¨ngten Zylinder weg und ersetzt ihn im Beru¨hrungspunkt durch die Gewichtskraft FG. Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F ¼ FG.
  33. 33. 1.1 Grundlagen 13 1.1.7.3 Zweigelenksta¨be Zweigelenksta¨be ko¨nnen Zug- oder Druck-kra ¨fte aufnehmen, deren Wirklinie die Ver-bindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen. (Regel 2) Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstu¨tze) stu¨tzt eine Plattform ab. Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Ein-fluss; er kann gerade oder gekru¨mmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenk-sta ¨be du¨rfen nur an zwei Punkten mit Nachbar-bauteilen verbunden sein und keine Kra¨fte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Kra¨fte ko¨nnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die bei-den Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss. Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkra¨fte auf. Er ko¨nnte aber auch Zugkra¨fte aufneh-men, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst. 1.1.7.4 Beru¨ hrungsfla¨chen (ebene Stu¨ tzfla¨chen) Beru¨hrungsfla¨chen ko¨nnen Normalkra¨fte und Tangentialkra¨fte aufnehmen. Normalkra¨fte wirken stets hin auf die Beru¨h-rungsfla ¨che am freigemachten Bauteil. (Regel 3) Beispiel 1: Ein prismatischer Ko¨rper liegt auf einer waa-gerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe. Beru¨hren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre Wirklinie steht immer rechtwinklig auf der Beru¨h-rungsfla ¨che. Gewichtskraft FG und Normalkraft FN haben gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Die Tangentialkraft FT wird durch Reibung (Reib-kraft FR) oder durch einen Rollwiderstand hervor-gerufen. Ihre Wirklinie liegt immer in der Beru¨h-rungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft FN. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fa¨llen erkennen, wenn alle u¨brigen Kra¨fte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR wirkt der Bewegung entgegen, die durch die u¨bri-gen Kra¨fte verursacht wird oder verursacht werden ko¨nnte. Beispiel 2: Der gleiche Ko¨rper liegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe. Gewichtskraft FG und Normalkraft FN allein ko¨nnen nicht im Gleichgewicht sein. Der Ko¨rper wu¨rde abwa¨rts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft FT ¼ Reibkraft FR daran hindern wu¨rde.
  34. 34. 14 1 Statik in der Ebene Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Beru¨hrungs-fla ¨che gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangential-kraft FT ¼ Reibkraft FR. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibkraft FR entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fa¨llen ist das „langsamere“ Bauteil eine ruhende Unterlage. Beispiel 3: Der Ko¨rper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben. Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Rich-tung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibkraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung. Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschie-bekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu ver-schieben, so tritt auch bei waagerechter Beru¨h-rungsfla ¨che eine Reibkraft FR auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich. Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft F, hatten Gewichtskraft FG und Normalkraft FN eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Bei-spiel 3 anders: F und FT ¼ FR bilden ein rechtsdrehendes Kra¨ftepaar. Bei Gleich-gewicht stellt sich dann das linksdrehende Kra¨ftepaar aus FG und FN ein. Die Kraft-momente M beider Kra¨ftepaare sind gleich groß und gegensinnig (SM ¼ 0). 1.1.7.5 Rollko¨rper (gewo¨lbte Stu¨ tzfla¨chen) Rollko¨rper ko¨nnen Radialkra¨fte und Tangen-tialkra ¨fte aufnehmen. Die Radialkra¨fte wirken immer auf den Beru¨h-rungspunkt am freigemachten Ko¨rper. (Regel 4) Beispiel: Eine Rolle ruht auf einer waagerechten Ebene und stu¨ tzt eine waagerecht liegende Platte ab. Zwischen Rollko¨rper und Unterlage wirkt eine Radialkraft Fr. Ihre Wirklinie verla¨uft durch den Beru¨hrungspunkt und den Rollko¨rpermittelpunkt. Die Bezeichnungen „Radialkraft“ und „Normal-kraft“ sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Norma-lenrichtung) auf der Beru¨hrungstangente. Die Beru¨hrungspunkte A und B liegen recht-winklig u¨bereinander. Die Radialkra¨fte FrA und FrB haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft. Eine Tangentialkraft FT tritt am ruhenden Rollko¨r-per nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Beru¨hrungsfla¨chen (siehe Regel 3, Seite 13). Ihre Wirklinie ist die Tangente an den Rollko¨rper im Beru¨hrungspunkt und steht darum immer recht-winklig zur Wirklinie der Radialkraft.
  35. 35. 1.1 Grundlagen 15 1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) Einwertige Lager (Loslager) ko¨nnen nur eine rechtwinklig zur Stu¨tzfla¨che wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt (eine Unbekannte). (Regel 5) Einwertige Lager werden fu¨r Tra¨ger auf zwei Stu¨t-zen verwendet, um die Wa¨rmeausdehnung in La¨ngsrichtung nicht zu behindern, z. B. an Bru¨- ckentra¨gern und Wellen. Bei zweifach gelagerten Tra¨gern muss ein Lager ein Loslager sein. 1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) ko¨nnen eine beliebig gerichtete Kraft aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbe-kannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig auf-einander stehende Komponenten Fx und Fy. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft un-bekannt, Betrag unbekannt (zwei Unbekannte). (Regel 6) Beispiel 1: Tra¨ger auf zwei Stu¨tzen Tra¨ger auf zwei Stu¨tzen, Wellen und Achsen erhal-ten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzula¨ssige La¨ngsverschiebung zu verhindern. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe: Verschiebt man die Stu¨tzfla¨che des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiwertigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit. Lager B ist einwertig, wie die Bewegungs-probe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB rechtwinklig zur Stu¨ tzfla¨che. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe). Die dort wirkende noch unbekannte Lager-kraft FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy und legt den Richtungssinn fu¨r die spa¨tere Rechnung nach Augenschein fest. Der zuna¨chst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten Fx und Fy wird bei der spa¨teren Berechnung durch ein posi-tives Vorzeichen besta¨tigt. Ein negatives Vor-zeichen fu¨r Fx oder Fy zeigt den entgegen-gesetzten Richtungssinn an.
  36. 36. 16 1 Statik in der Ebene Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebe-ebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizon-tal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Kra¨fte aus jeder beliebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig fest-liegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits auf Seite 15 (1.1.7.7) erla¨utert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Kom-ponenten ein. Dabei wird versucht, deren Rich-tungssinn unter Beru¨cksichtigung der u¨brigen Kra¨fte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen. Beispiel 2: Tu¨r mit Halslager A und Spurlager B Bewegungsprobe: B ist zweiwertig, A ist ein-wertig. Den Stu¨tzhaken bei A wegnehmen: Die Tu¨r dreht nach rechts. Folglich muss FA nach links wirken. Den Stu¨tzhaken bei B wegneh-men: Die Tu¨r dreht nach links. FBx wirkt also nach rechts. Wellen sollen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkra¨fte u¨ber Wa¨lz- oder Gleitlager auf das Geha¨use u¨bertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet. Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager B Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten Fx und Fy. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waage-rechte Komponente Fx wird allein vom Festlager B aufgenommen (Fx ¼ FBx), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Geha¨use verschieb-bar. Es kann nur Normalkra¨fte aufnehmen, hier die Lagerkraft FA. Beachte: Außer Fx und Fy wirkt noch die Umfangskraft Fz in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Die Stu¨tzkra¨fte FA, FBx und FBy werden spa¨ter mit Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel Seite 371). Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingun-gen SFx ¼ 0, SFy ¼ 0, SM ¼ 0 (siehe Abschnitt 1.2.5.3, Seite 44) berechnet.
  37. 37. 1.1 Grundlagen 17 1.1.7.8 Dreiwertige Lager Dreiwertige Lager ko¨nnen eine beliebig gerich-tete Kraft und ein Kraftmoment aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten, das Kraftmoment durch den Momentendrehpfeil. Wirkungsanalyse: Wirklinie und Betrag der Lagerkraft unbekannt, Betrag des Kraft-moments (Einspannmoment) unbekannt (drei Unbekannte). (Regel 7) Beispiel: Eingespannter Freitra¨ger Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung fu¨ r die richtige zeichnerische und rechnerische Lo¨sung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan: Arbeitsplan zum Freimachen: Lageskizze des freizumachenden Bauteils zeichnen. 1. Schritt Kraftangriffspunkte (Beru¨hrungspunkte mit den Nachbarbauteilen) festlegen. 2. Schritt Wirklinien aller Kra¨fte nach den Regeln 1 bis 7 fu¨r das Freimachen einzeichnen. 3. Schritt Richtungssinn fu¨r alle Kraftpfeile nach den Regeln 1 bis 7 festlegen. 4. Schritt
  38. 38. 18 1 Statik in der Ebene 1.1.8 bungen zum Freimachen 1. bung: Die skizzierte Leiter lehnt in A rei-bungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutsch-fest gestu¨tzt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft FG belastet. Die Leiter soll nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die ha¨ufig Schwierigkeiten macht. Aufgabenskizze Lo¨sung: Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lager-punkte A und B markiert. Das sind die Beru¨h-rungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. Außerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft FG eingezeichnet. Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stu¨tzkra¨fte FA und FB einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig. Beachte: Immer zuerst die einwertige Lager-stelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stu¨tz-kraft bekannt. Diese ist eine Normalkraft. Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Kra¨fte u¨bertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft u¨bertragen, wenn die Reibung nicht beru¨ck-sichtigt wird. Bewegungsprobe: keine Lagevera¨n-derung bei Parallel-verschiebung des einwertigen Lagers. Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstu¨ck um B ergibt Lagevera¨nderungen der Leiter in jeder Rich-tung. Das Lager ist zweiwertig und u¨bertra¨gt eine beliebig gerichtete Stu¨tzkraft mit x- und y-Kom-ponenten. Lagevera¨nderung bei beliebiger Verschie-bung des zweiwerti-gen Lagers. Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die voll-sta ¨ndige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stu¨tzkraft FB an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es ko¨nnen nur ihre x- und y-Komponenten eingetragen werden. Das ist fu¨r die zeichnerische oder rechnerische Lo¨sung solcher Aufgaben ausreichend.
  39. 39. 1.1 Grundlagen 19 2. bung: Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil tra¨gt er ein Werkstu¨ck, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft FG belastet. Der Schwenkarm des Kranes soll nach dem Arbeitsplan von Seite 17 freigemacht werden. Aufgabenskizze Lo¨sung: Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zuna¨chst wieder ohne Kraft-angriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. In diesem Fall ist die von dem Werkstu¨ck hervor-gerufene Gewichtskraft FG bereits mit Angriffs-punkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird. 1. Schritt Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Festlager). Die Kraftangriffspunkte A 2. Schritt und B einzeichnen. Die Bewegungsprobe fu¨r beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (Regel 5, Seite 15), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben und unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenk-arm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spur-lager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach Regel 6 freigemacht. 3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerfla¨che vertikal steht. Die Wirklinien der Komponen-ten der Spurlagerkraft FB werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu einge-zeichnet. Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkra¨fte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft FA verhindert dies. 4. Schritt Auf derWirklinie der Halslagerkraft FA einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdre-hen nach rechts gehindert werden kann. Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fa¨llt außerdem nach unten. Beides mu¨ssen die Lagerkraftkomponenten FBx und FBy verhindern. Auf der horizontalen Wirklinie von FBx einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von FBy einen nach oben gerichte-ten Kraftpfeil einzeichnen.
  40. 40. 20 1 Statik in der Ebene 3. bung: Der aufwa¨rts fahrende Wagen eines Schra¨gaufzugs soll freigemacht werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst mu¨sste es z. B. heißen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizu-machen. Aufgabenskizze Lo¨sung: Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schra¨g stehenden Betriebslage, und zwar zuna¨chst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile. 1. Schritt Hier muss die Gewichtskraft FG beru¨cksichtigt werden, sonst ko¨nnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Kra¨fte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingeha¨ngt, die Ra¨der beru¨hren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens. 2. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S desWagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Ra¨der als Kraftangriffspunkte kennzeichnen. Die Gewichtskraft FG wirkt immer auf der Lot-rechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freige-macht, denn dort ist ein Seil weggenommen. Die Ra¨der werden nach Regel 4 (Seite 14) fu¨r Roll-ko ¨rper freigemacht. Da der Wagen rollt, wirken an beiden Ra¨dern Radial- und Tangentialkra¨fte. 3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirk-linie der Gewichtskraft FG zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkra¨fte verlaufen durch die Beru¨hrungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkra¨fte rechtwinklig dazu. Die Gewichtskraft FG wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radial-kra ¨fte Fr sind auf die Ra¨der zu gerichtet. Die Tan-gentialkra ¨fte FT versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn. 4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: FG nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, Fr nach links oben und FT der Bewe-gung des Wagens entgegen nach links unten. Aufgaben Nr. 9–28
  41. 41. 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 21 1.2 Die Grundaufgaben der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kra¨ ftesystem Unter einem Kra¨ftesystem versteht man beliebig viele Kra¨fte, die gleichzeitig an einem Bauteil wir-ken. Ein zentrales Kra¨ftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Kra¨fte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kra¨ftesystems. Nach dem La¨ngsverschiebungssatz ko¨nnen alle Kra¨fte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentral-punkt verschoben werden. Ein zentrales Kra¨ftesys-tem kann einen Ko¨ rper nur verschieben, aber nicht drehen. Zentrales Kra¨ftesystem Ein allgemeines Kra¨ftesystem besteht aus Kra¨ften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt mit-einander haben. Allgemeine Kra¨ftesysteme ko¨nnen genauso wie zentrale Kra¨ftesysteme einen Ko¨rper verschieben. Sie ko¨nnen ihn aber außerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen. Allgemeines Kra¨ftesystem 1.2.2 Die zwei Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kra¨ftesystem sind alle Kra¨fte nach Betrag, Lage und Richtungssinn be-kannt. Um eine Aussage u¨ber die Wirkung des Kra¨fte-systems auf ein Bauteil machen zu ko¨nnen (z. B. Verschiebung), mu¨ssen die resultierende Kraft Fr und das resultierende Kraftmoment Mr ermittelt werden. bekannt: F1, F2, F3 gesucht: Fr , Mr 2. Hauptaufgabe: In einem Kra¨ftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Kra¨fte bekannt. Um eine Festigkeitsrechnung an einem Bauteil ausfu¨hren zu ko¨nnen, mu¨ssen die noch unbe-kannten Kra¨fte ermittelt werden. bekannt: F1, F2, F3 gesucht: FAx, FAy, FB

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