Saber D

1. Saber Direito
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O conjunto dos números complexos
De números complexos você deve saber :
i 2 = −1
Conjugado de um número complexo : z = a + bi ⇔ z = a − bi
z1 z1 .z 2
Divisão de dois números complexos : =
z 2 z 2 .z 2
Módulo de um número complexo : z = a 2 + b 2
a b
Argumento de um número complexo : cos(θ ) = e sen(θ ) =
z z
Forma trigonométrica ou polar : z = z .(cos(θ ) + i. sen(θ ))
Multiplicação na forma trigonométrica : z1 .z 2 = z1 . z 2 .(cos(θ 1 + θ 2 ) + i. sen(θ 1 + θ 2 ))
z1 z
Divisão na forma trigonométrica : = 1 .(cos(θ 1 − θ 2 ) + i. sen(θ 1 − θ 2 ))
z2 z2
n
Potenciação na forma trigonométrica : z n = z .(cos(nθ ) + i. sen(nθ ))
Exercícios resolvidos
2+i
1) Calcule .
5 − 3i
Multiplicam - se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do
denominador :
(2 + i ) (5 + 3i ) 10 + 6i + 5i + 3i 2 10 + 11i − 3 7 + 11i 7 11
. = = = = + i
(5 − 3i ) (5 + 3i ) 25 − 9i 2
25 − ( −9) 34 34 34
1− i i
2) Coloque na forma a + bi a expressão + .
1+ i i − 2
Em cada fração, multiplicamos seus termos pelo número complexo conjugado do
denominador :
(1 − i ) (1 − i ) i ( −2 − i ) 1 − 2i + i 2 − 2i − i 2 1 − 2i − 1 − 2i − (−1)
. + . = + = + =
(1 + i ) (1 − i ) (−2 + i ) (−2 − i ) 1− i 2
4−i 2
1 − (−1) 4 − (−1)
− 2i 1 − 2i 1 − 2i − 5i + 1 − 2i 1 − 7i 1 7
= + = −i+ = = = − i
2 5 5 5 5 5 5

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3) Calcule :
92 4 45 4
a) i 92
→ 92 23 → i =1
0
b) i 45
→ 44 11 → i1 = i
0 1
310 4 1081 4
c) i 310
→ 308 77 → i = −1 2
d) i 1081
→ 1080 270 → i 1 = i
2 1
e) i 4 n = i 4 = i 2 .i 2 = (−1).(−1) = 1 f) i 4 n +1 = i 4 n .i = 1.i = i
g) i 4 n + 2 = i 4 n .i 2 = 1.(−1) = −1 h) i 4 n + 3 = i 4 n .i 3 = 1.(−i ) = −i
(4 − 3i )(12 − 5i )
4) Ache o módulo do número complexo .
2i
Primeiramente colocamos o número na forma a + bi :
(4 − 3i )(12 − 5i ) (− 2i ) (48 − 20i − 36i + 15i 2 ).(− 2i ) (33 − 56i ).(− 2i )
. = = =
( 2i ) (− 2i ) − 2i 2
− 2(−1)
− 33 2i − 56 2 33 2
= = − 28 2 − i
2 2
Agora encontramos o módulo desse número complexo :
2
 33 2  2178 8450 4225
z = a + b = (−28 2 ) +  −
2

2
 = 1568 +
 =
2
= =
 2  4 4 2
65 2 65 2 65 2
= . = → z =
2 2 2 2
5) Obtenha o argumento dos números complexos a seguir :
a) z = 2 + 2 3i → z = 2 2 + (2 3 ) 2 = 4 + 12 = 16 = 4
a 2 1
cos(θ ) =  = =
z 4 2 π
 θ = 60 =
0
b 2 3 3  3
sen(θ ) = = =
z 4 2 

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b) z = 4i → z = 0 2 + 4 2 = 16 = 4
a 0 
cos(θ ) = = =0
z 4  π
 θ = 90 =
0
b 4 2
sen(θ ) = = = 1 
z 4 

6) Passe o número complexo z = 8i para a forma trigonométrica.
z = 0 2 + 8 2 = 64 = 8
a 0 
cos(θ ) = = =0 
z 8  π
 θ =
b 8 2
sen(θ ) = = = 1 
z 8 

Passando para a forma trigonométrica :
z = z .(cos(θ ) + i. sen(θ ))
 π   π 
z = 8. cos  + i. sen   
 
 2  2 
 π   π 
7) Dados z1 = 5(cos(π ) + i. sen(π )) e z 2 = 3. cos  + i. sen  , obtenha z1 .z 2 .
 
 3  3 
z1 = (5 cos(π )) 2 + (5 sen(π )) 2 = (−5) 2 + 0 2 = 25 = 5
2 2
  π    π  9 27 36
z 2 =  3 cos   +  3 sen    =
    + = = 9 =3
  3    3  4 4 4
a 3/ 2 1 
a −5  cos(θ 2 ) = = = 
cos(θ 1 ) = = = −1 z2 3 2
z1 5  
 π
 θ1 = π 3 3  θ2 =
b 0 3
sen(θ 1 ) = = =0  b 
2 = 3 
z1 5 
 sen(θ 2 ) = =
z2 3 2 

z1 .z 2 = z1 . z 2 .(cos(θ 1 + θ 2 ) + i. sen(θ 1 + θ 2 ))
  π  π 
z1 .z 2 = 5.3. cos π +  + i. sen  π +  

  3  3 

  4π   4π 
z1 .z 2 = 15. cos
  + i. sen  

  3   3 