Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
Reconocimiento unidad 2
1. Sección dorada
La búsqueda de la sección dorada es una técnica simple, es la búsqueda de una sola variable de
propósito general. Es similar que la utilizada en el método de bisección para localizar raíces.
Recordando el método de bisección para encontrar las raíces se hace necesario ubicar un intervalo
definido donde se encuentre dicha raíz, y se especifica un valor inicial inferior x1 u un valor inicial
superior x2. La presencia de una raíz entre estas fronteras se determina hallando f(x1) y f(x2) que
deben tener signos diferentes; y la raíz se localiza como el punto medio de este intervalo
El paso siguiente es establecer un intervalo más pequeño para hallar la aproximación de la raíz.
Podemos ahora desarrollar un proceso similar para localizar la raíz óptima de una función
unidimensional. Igualmente que el método de Bisección, se inicia definiendo un intervalo que
contenga una sola respuesta, es decir un intervalo que contenga un máximo, y por esto es llamado
unimodal. Adoptando la misma nomenclatura del método de bisección. Pero en vez de buscar los
dos valores función para detectar un cambio de signo, y por tanto el cero, se necesitaran tres
valores función para detectar si ocurre un máximo. Así, se ha de escoger un punto adicional dentro
del intervalo. Después se toma un cuarto punto.
Si Rango de A = Rango de B el sistema es:
Consistente y tenemos dos posibilidades: Si Rango de A = n el sistema tiene solución única y Si
Rango de A < n el sistema tendrá infinitas soluciones
Si el vector b es cero se dice que el sistema es:
Homogéneo
EL GRADIENTE.
Suponga que se tiene una función en dos dimensiones f(x, y). Un ejemplo podría ser su altura
sobre una montaña (a, b) y quiere saber la pendiente en una dirección arbitraria. Una forma de
definir la dirección es a lo largo de un nuevo eje h que forma un ángulo θ con el eje x. La elevación
a lo largo de este nuevo eje puede pensarse como una nueva función g. Si usted define su posición
como si estuviera en el origen de este eje (es decir, h=0), la pendiente en esta dirección podría
designarse como g’(x). Esta pendiente, que es llamada derivada direccional, se puede calcular a
partir de las derivadas parciales a los largo de los ejes x e y por
Donde las derivadas son evaluadas con x=a y y=b.
2. Suponiendo que su meta es obtener la mayor elevación con el segundo paso, ahora la pregunta
lógica podría ser: ¿En qué dirección está el paso de ascenso? La respuesta es clara, porque
matemáticamente se hace referencia a él como el gradiente, el cual se define como
Este vector también es referido como “del f”. El cual representa la derivada direccional de f(x,y) en
el punto x=a y y=b.
EJEMPLO
Utilización del gradiente para evaluar la trayectoria de paso ascendente
Enunciado del problema: Emplee el gradiente para evaluar la dirección del paso ascendente para
la función
f(x, y)= xy2
En el punto (2,2). Se considera que la x positiva está dirigida hacia el este y la y positiva apunta al
norte.
Solución. Primero, la evaluación se puede determinar como
f(4,2) = 2(2)2 = 8
Ahora, las derivadas parciales pueden ser evaluadas,
Las cuales se pueden usar para determinar el gradiente como
∆f = 4i + 8j
El método de Gauss normal, presenta dos problemas, el primero proviene de encontrar en
alguna de las sucesivas etapas, algún coeficiente diagonal igual a cero y el segundo es: debido a
los errores de redondeo que se pueden producir en este método
Debido a los errores de redondeo que se pueden producir en este método
Teniendo en cuenta la lección anterior, entonces ¿Cuál de los siguientes métodos se considera
como un método iterativo?:
Método de Gauss-Seidel
3. INTERPOLACIÓN
En el capítulo 2 de la unidad 2 estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en forma
directa (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones
cuya complicada naturaleza exija un remplazo por funciones más simples.
La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones complejas, con funciones
analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria
en el campo de la ingeniería.
Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias
de funciones denominadas elementales. En general tendrán la forma:
a0g0(x) + a1g1(x) +…+angn(x),
Donde ai, con i ? i ? n, son constantes por determinar gi(x) funciones de una familia particular. Los
monomios en x (x0, x1, x2,…) constituyen la familia o grupo más empleado; sus combinaciones
generan aproximaciones del tipo polinomial
a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn
Además del polinomial existen otros grupos como el exponencial y el grupo de las funciones de
Fourier. Y son lo más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones,
derivaciones, etc.
Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido
como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como ajuste de
curvas, por su ajuste exacto. Y su modo de ajuste consiste en encontrar una función polinomial
que pase por los puntos dados y que satisfaga la condición de minimizar la suma de sus
desviaciones elevadas al cuadrado.
Una vez obtenido el polinomio de aproximación, este se puede usar para obtener otros puntos
adicionales a los existentes, mediante una evaluación conocida como interpolación.
Los puntos más relevantes de este capítulo, las cuales estudiaremos y estará sentado en la lección
evaluativa son la Interpolación como concepto, Los polinomios de Lagrange, las diferencias
divididas, la aproximación polinomial de Newton, el método de mínimos cuadrados (como ajuste
de Curvas) y algunos conceptos de la transformada de Fourier.
Polinomios de interpolación de Lagrange
Un polinomio de interpolación de Lagrange, p se define en la forma:
4. en donde l0,l1,…, ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados x0, x1,…,xn, pero no
de las ordenadas y0, y1,…,yn. La fórmula general del polinomio li(x)es:
Para el conjunto de nodos x0, x1,…,xn, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales.
Utilizando estos polinomios en la ecuación obtenemos la forma exacta del polinomio de
interpolación de LaGrange.
Ejemplo: Suponga la siguiente tabla de datos:
x 5 -7 6 0
y 1 -23 -54 -954
Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación
de LaGrange correspondiente.
Las funciones cardinales, empleando la expresión, resultan ser:
El polinomio de interpolación de LaGrange es:
p3(x) = l0(x)-23l1(x)-54l2(x)-954l3(x)
De acuerdo al ejemplo realizado en la lectura anterior, se encontró que el coeficiente del
polinomio de LaGrange l3(x) es:
-954
Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el
conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como:
Ajuste de curvas
Interpolación por diferencias divididas de Newton
El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, (x0, y0), (x1, y1),
obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:
5. Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función f(x), la pendiente , que tiene una
forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de
f(x), con x variando en el intervalo [x0, x1].
En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio de
interpolación de grado dos de la forma
P(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando b1, b2, y b3, se obtiene:
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas
de un arreglo triangular:
Donde f[xi] = yi para i = 0, 1, 2. En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores b0, b1
y b2.
A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de
diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos (1, 4), (3, 1),
(4.5, 5) y (7,3). El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:
Se concluye entonces que
6. Teniendo en cuenta el ejemplo para visualizar el método de Interpolación de Diferencias
Divididas de Newton, se halló que los coeficientes de x y x3 son:
-13,4619 y -0,3429
En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio de
interpolación de:
Grado dos
Ajuste de curvas
El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que
posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción
tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al
ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).
Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos
Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:
y= ax + b
Esta línea tiene pendientea. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera.
Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.
Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:
y = ax2 + bx + c
Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un
polinomio de tercer grado, obtenemos:
y = ax3 + bx2 + cx + d
Que se ajustará a cuatro puntos.
Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada
restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o (1/R).
Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales
casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para
asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline. También
se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por
ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para
entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de
velocidad.
7. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar
la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero
podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres
puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada
aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.
Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos
simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen
varias:
Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos
encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso
divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de
encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar
aceptando una solución aproximada.
Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de
distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.
Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por
los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y
B. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener
valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo
existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda
garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado).
Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden
alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de
puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación
polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo
a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una
posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que
sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener,
como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o
cualquier número hasta cero.
Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto,
comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho
ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden
alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por
ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los
dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo
comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como
para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para
obtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable
una aproximación al ajuste.
8. Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener, como
máximo":
Trece puntos de inflexión
El polinomio y = ax3 + bx2 + cx + d de tercer grado se ajusta a:
Cuatro puntos