сфера и кълбо

1. Сфера и кълбо. Взаимно
положение на сфера и равнина и
на две сфери. Лице на сфера и
обем на кълбо.
12 клас

2. План на урока
1. Сфера и кълбо – определения и понятия
2. Взаимно положение на сфера и равнина
3. Взаимно положение на две сфери
4. Лице на сфера и обем на кълбо
5. Задачи

3. 1. Сфера и кълбо - определения
Сфера се нарича повърност, състояща се от
множеството на всички точки във пространството,
разположени на еднакво разстояние от дадена точка
– нейния център.
Сферата е ротационна повърхнина
получена от въртенето на една
полуокръжност около нейния диаметър.
Ако разстоянието на точка от
пространството до центъра на
сферата е по-малко от радиуса и,
точката се нарича вътрешна за
сферата
Кълбо се нарича нарича тялото ограничено от
сферата, то включва множеството от точките на
сферата и всичките и вътрешни точки.

4. Сфера и кълбо - понятия
радиус
Център
диаметър
кълбото
(сферата)

5. Сфера и кълбо - понятия
Хорда се нарича отсечка, краищата на която
принадлежат на сферата.
Секателна се нарича права, която пресича сферата
в две точки.
Допирателна се нарича права, която има със
сферата, само една обща точка.
Диаметър се нарича хорда на сферата, която
минава през нейния център.

6. 2. Взаимно положение на сфера и
равнина
Ако разстоянието от центъра на
сферата до равнината е Z
по – малко от нейния радиус,
то сечението на сферата с равнината R
е окръжност, а сечението на кълбото 1
Y
. O
с равнината е кръг. X d<R
d < R. Тогава R² – d² > 0

7. 2. Взаимно положение на сфера и
равнина
Z
Ако разстоянието от центъра
на сферата до равнината е
равно на нейния радиус,
то сферата и равнината имат
точно една обща точка. 2.
O Y
X R=d
d = R. Тогава R² – d² = 0

8. 2. Взаимно положение на сфера и
равнина
Ако разстоянието от центъра Z
на сферата до равнината е
по – голямо от нейния радиус,
то сферата и равнината нямат
общи точки. 3. O Y
X
d>R
d > R. Тогава R² – d² < 0

9. Теорема 1
Всяко сечение на кълбото с равнина е кръг.
Ортогоналната проекция на центъра на кълбото
върху секущата равнина съвпада с центъра на
този кръг.
Дадено:
кълбо ( O, R )
α − секуща равнина
ОО1 ⊥ α
Да се докаже :
че сечението е кръг
О1 − център на кръга

10. Доказателство:
Да разгледаме правоъгълния триъгълник, АОО1
върховете на който се явяват центъра на
къбото, пресечната точка на перпендикуляра
към равнината и равнината и произволна точка
от сечението.
ОА = R OO1 = d
AO = OO1 + AO1
2 2 2
R = d + AO
2 2
1
2
AO1 = R − d
2 2
AO1 = const

11. Следствие: Ако е известен радиусът на кълбото
и разстоянието от центъра му до равнината на
сечението, то радиусът на сечението се
изчислява по Пигаровата теорема.
О1 К + d = R
2 2 2
O1 K = R − d = r
2 2
−
rрадиус на сечението

12. Колкото е по-малко разстоянието от от центъра
на кълбото до равнинатата, толкова е по-голям
радиусът на сечението.
r= R −d 2 2
d1 = OO1
d 2 = OO2
r1 > r2 d1 < d 2

13. Определение
Най - голям радиус
сечението има, когато
равнината преминава през
центъра на кълбото.
Кръгът, получен в този
случай, се нарича голям
кръг. Големият кръг
разделя кълбото на две
полукълба.
Сечението на сфера и
равнина, която минава
през центъра на сферата,
се нарича голяма
окръжност на сферата.

14. 3. Взаимно положение на две сфери
а) Ако две кълба или сфери
имат само една обща точка,
то казваме, че те се допират.
Тяхната обща допирателна
равнина е перпендикулярна
на линията свързваща
центровете им (правата,
съединяваща центровете на
двете сфери).

15. Допирането
на сферите
(кълбата)
може да бъде
както
вътрешно,
така и
външно.

16. б) Двете сфери се пресичат
по окръжност, която лежи
в равнина,
перпендикулярна на
правата съединяваща
центровете им.
R1 - R2 < d < R1+R2
в) Двете сфери са
концентрични, когато
центровете им
съвпадат. d = 0
г) Двете сфери нямат
обща точка, когато
d > R1+R2.

17. ? 3
Две сфери имащи
еднакъв радиус, равен
на 5 см, се пресичат, а
разстоянието между
центровете им е 8 см.
Намерете радиуса на
пресечната окръжност
на сферите. За целта е
необходимо да
разгледаме сечение,
преминаващо през
центъра на сферите.

18. 4. Лице на сфера и обем на кълбо
Теорема 2
Лицето S на сфера с радиус R е S = 4π R 2
Теорема 3 4
V = π R3
Обемът V на кълбо с радиус R е 3

19. ЗАДАЧА. В куб e вписано кълбо. Намерете отношението на
лицето на повърхноста куба и кълбото.
В1 C1
A1
D1
В
C
2а
A D

20. Полезни връзки
 Сфери и кълбета
 Кълбо и сфера