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Exercícios de Trigonometria

  1.    A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º
                                          Determine a área do triângulo [ABC] arredondado
                       B
                                          ao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.)


                   F


         A D                O          E    C


  2. Prove que:
                            1
        a) 1 + tg2x =
                          cos 2 x
                  cos 2 
        b) 1 –             sen
                 1  sen
               cos     1  sen     2
        c)                      
             1  sen     cos     cos 

        d)
             1  cos x 1  cos x   tg 2 x
                       cos 2 x

  3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de:

                            3                                                         3                          
        a) sen π + sen                 b) sen        + cos                c) tg     + tg             d) sen     . cos
                             2                     4        4                      4       4                   3       6


                               3      1
  4.    Sabendo-se que sen         x   e x   , 2  , calcule o valor exato de
                               2       3
                                 
        cos   x   2 cos   x 
                             2    

  5.    Resolva em |R, as equações:

                                                                                                  x
        a) sen (2x) = 1                         b) cos  t= 0                          c) 4 + 8sen   =0
                                                        3                                          2
             cos a 1                                1       1                                   1     3
        d)         =0                          e) tg x                                 f)         
               2   2                                3        3                              1  tg x 4
                                                                                                  2


                                                       1
        g) sen      x  - 1 = 0               h) sen    =0                             i) cos x + cos2 x = 0
                                                       x
                     t                                                                                       3 
        j) 5 – 10 cos
                     =0                        k) sen x + cos x = 0                    l) cos (2x) = sen   x    
                     3                                                                                         4 
        m) 3 cos  = 2 sen2                     n)   cos 2   2 sen  2

  6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo:

  a)    0, 2                            b)      ,  



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Exercícios de Trigonometria

                                      1
  7. Resolva a condição | sen x | <       no intervalo:
                                      2
  a)    0, 2                     b)   ,  


  8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo:

        (A) O seno e o co-seno são negativos

        (B) O co-seno é negativo e o seno é crescente

        (C) O seno é negativo e crescente

        (D) O seno é positivo e o co-seno é negativo

                                  1
  9. Sabendo-se que sen α = -       , qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
                                  3
                          8
        a) cos α = -
                         3
                            1
        b) sen         = -
                            3
                            1
        c) sen     = -
                             3
                           1
        d) cos     = -
               2            3

  10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1]

  11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2

  12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x  

  13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x –   )




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Exercícios de Trigonometria


Soluções:

1. 8 cm2
                                                      3
3. a) -1;         b)   2;          c) 0;         d)
                                                      4

     1 2 8
4.
        3
                                                                                                     5
5. a) x =      k , k   ;     b) t = -      k , k   ;        c) x = -       4k          x       4k , k   ;
            4                               6                                   3                        3
         3                    5                                             
d) a =       2 k      a        2 k , k   ;                   e) x =      k , k   ;
          4                     4                                             3
                           5                                            1                   5
f) x =      k       x       k , k   ;                       g)       2k       x       2k , k   ;
         6                   6                                            6                   6
          1                                                                   
h) x =      , k    0                                           i) x =       k         x    2k , k   ;
         k                                                                   2
                                                                              3
j) t = 1 + 6k  t  1  6k , k   ;                               k) x =        k , k   ;
                                                                               4
            2 k                                                                                           
l) x =                   x      2 k , k   ;            m)         2k , k   ;          n)        2k , k  
           12   3                4                                        3                                   2


           7   11                                                   5    
6. a) x  0,         , 2  ;                            b) x    ,        ,
             6   6
                                                                        6   6 
                                                                                    
              5 7   11                                         5       5 
7. a) x  0,    ,
           6  6 6     6 , 2  ;
                                     
                                                           b) x    ,      ,    ,  
                                                                          6   6 6  6      
8. C
9. C

10.
Sen x – x = 0
Sen (-1)  0
Sen (1)  0
Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o
corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.




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Exercícios de Trigonometria

11.
                                                             Como se vê na imagem é possível que sen x seja
                                                             igual a x – 2.
                        4
                                                             Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos
                                                             que existe uma imagem negativa e outra positiva;
                        2
                                                             podemos aplicar o corolário do Teorema de
                                h x = x-2
                                                             Bolzano e sabendo que se trata de uma função
          -5                                 5
                                   gx = sin x            contínua por se tratar de operações entre funções
                                                             contínuas (trigonométrica e polinomial);
                        -2
                                                             Assim:
                                                              lim sen x  x  2   
                        -4                                    x  

                                                              lim sen x  x  2   
                                                              x  
                                                             Como o produto das imagens é negativo, prova-
                                                             se que é verdadeiro.



12.
F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o
cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.

13.

                                                    4




                                                    2


                                                         q x = s inx



                   -5                                                                         5


                                                             rx = s in x-

                                                    -2




                                                                       s x = -3+sin x-
                                                    -4




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Exercícios de trigonometria

  • 1. Exercícios de Trigonometria 1. A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º Determine a área do triângulo [ABC] arredondado B ao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.) F A D O E C 2. Prove que: 1 a) 1 + tg2x = cos 2 x cos 2  b) 1 –  sen 1  sen cos  1  sen 2 c)   1  sen cos  cos  d) 1  cos x 1  cos x   tg 2 x cos 2 x 3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de: 3     3   a) sen π + sen b) sen + cos    c) tg + tg d) sen . cos 2 4  4 4 4 3 6  3  1 4. Sabendo-se que sen   x   e x   , 2  , calcule o valor exato de  2  3   cos   x   2 cos   x  2  5. Resolva em |R, as equações:   x a) sen (2x) = 1 b) cos  t= 0 c) 4 + 8sen   =0  3  2 cos a 1 1 1 1 3 d)  =0 e) tg x  f)  2 2 3 3 1  tg x 4 2 1 g) sen  x  - 1 = 0 h) sen =0 i) cos x + cos2 x = 0 x  t   3  j) 5 – 10 cos  =0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen x   3  4  m) 3 cos  = 2 sen2  n) cos 2   2 sen  2 6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo: a)  0, 2  b)   ,   PROF.: LIMA
  • 2. Exercícios de Trigonometria 1 7. Resolva a condição | sen x | < no intervalo: 2 a)  0, 2  b)   ,   8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo: (A) O seno e o co-seno são negativos (B) O co-seno é negativo e o seno é crescente (C) O seno é negativo e crescente (D) O seno é positivo e o co-seno é negativo 1 9. Sabendo-se que sen α = - , qual das afirmações é necessariamente verdadeira? 3 8 a) cos α = - 3 1 b) sen     = - 3 1 c) sen     = - 3   1 d) cos    = - 2  3 10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1] 11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2 12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x  13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x – ) PROF.: LIMA
  • 3. Exercícios de Trigonometria Soluções: 1. 8 cm2 3 3. a) -1; b) 2; c) 0; d) 4 1 2 8 4. 3    5 5. a) x =  k , k  ; b) t = -  k , k  ; c) x = -  4k  x  4k , k  ; 4 6 3 3 3 5  d) a =  2 k  a  2 k , k  ; e) x =  k , k  ; 4 4 3  5 1 5 f) x =  k  x  k , k  ; g)  2k  x  2k , k  ; 6 6 6 6 1  h) x = , k  0 i) x =  k  x    2k , k  ; k 2 3 j) t = 1 + 6k  t  1  6k , k  ; k) x =  k , k  ; 4  2 k    l) x =    x  2 k , k  ; m)     2k , k  ; n)    2k , k  12 3 4 3 2  7   11   5     6. a) x  0,  , 2  ; b) x    ,    ,  6   6     6   6         5 7   11   5       5  7. a) x  0,    ,  6  6 6     6 , 2  ;  b) x    ,      ,    ,    6   6 6  6  8. C 9. C 10. Sen x – x = 0 Sen (-1) 0 Sen (1) 0 Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido. PROF.: LIMA
  • 4. Exercícios de Trigonometria 11. Como se vê na imagem é possível que sen x seja igual a x – 2. 4 Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos que existe uma imagem negativa e outra positiva; 2 podemos aplicar o corolário do Teorema de h x = x-2 Bolzano e sabendo que se trata de uma função -5 5 gx = sin x contínua por se tratar de operações entre funções contínuas (trigonométrica e polinomial); -2 Assim: lim sen x  x  2    -4 x   lim sen x  x  2    x   Como o produto das imagens é negativo, prova- se que é verdadeiro. 12. F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva. 13. 4 2 q x = s inx -5 5 rx = s in x- -2 s x = -3+sin x- -4 -6 PROF.: LIMA