2. @FEUI, 2003 2
Kemampuan Yang Dihasilkan:
1. Menjelaskan pengertian pendugaan interval
parameter
2. Melakukan pendugaan interval rerata populasi
populasi terbatas dan populasi tak terbatas
3. Melakukan pendugaan interval proporsi populasi
4.4. MelakukanMelakukan pendugaan intervalpendugaan interval selisih rerataselisih rerata
populasipopulasi
5.5. MelakukanMelakukan pendugaan intervalpendugaan interval selisih proporsiselisih proporsi
populasipopulasi
3. @FEUI, 2003 3
Pengertian
Inferens: kegiatan penarikan kesimpulan tentang
parameter populasi berdasarkan hasil sampel.
Pada pendugaan interval kita menyatakan
kemungkinan besarnya parameter populasi dalam
suatu interval tertentu
Interval kemungkinan besarnya parameter disebut
confidence interval; umumnya 95% dan 99%.
Confidence interval 95%: penerapan cara itu untuk
sembarang sampel berpeluang benar sebesar 95%.
4. @FEUI, 2003 4
Ciri-ciri penduga yang baik
Unbiassed: expected value nilai distribusi sampling
penduga sama dengan nilai yang diduga. Penduga
yang unbiassed untuk adalah .
Efisien: nilai persebaran dari distribusi sampling
tentang variabel penduganya adalah yang terkecil.
merupakan penduga yang efisien untuk
karena distribusi samplingnya mempunyai ukuran
persebaran yang terkecil.
X
X Xµ
Xµ
5. @FEUI, 2003 5
Ciri-ciri penduga yang baik
Konsisten: dengan semakin besarnya sampel
maka nilai penduganya akan semakin
mendekati nilai parameter yang diduga.
merupakan penduga yang baik bagi
karena bila sampel diperbesar maka nilainya
akan semakin mendekati nilai .
X Xµ
Xµ
6. @FEUI, 2003 6
Penalaran penduga interval
Pertimbangkan sebuah sampel random dari
populasi normal dengan = 160 dan = 50
serta n = 25. Atribut distribusi samplingnya: =
160 dan =10.
Bila ditetapkan 95% dari keseluruhan alternatif
sampel di kiri dan kanan nilai sentralnya, akan
didapatkan batas–batas antara 140,4 dan 179,6.
(Gambar 2.1).
Xµ Xσ
Xµ
Xσ
7. @FEUI, 2003 7
Penalaran penduga interval
Dapat dinyatakan: 95% dari keseluruhan
kemungkinan sampel akan menghasilkan yang
nilainya terletak pada interval
Bila 95% itu disebut 1–α, maka α = 0,05.
Nilai 1,96 adalah nilai Zα/2
= Z0,025
, yaitu Z yang luas
di ujungnya sebesar 0,025.
XX σµ 96,1±
Xµ
10. @FEUI, 2003 10
Penalaran penduga interval
Secara lebih umum dapat dinyatakan:
Dengan:
parameter populasi yang diduga
statistik sampel penduga yang sesuai
deviasi standar distribusi sampling yang
sesuai
θ
( ) ασθθσθ θαθα −=+<<− 1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
θˆ
θσ ˆ
11. @FEUI, 2003 11
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
diketahui
Sebuah sampel random sebanyak 25
dilakukan terhadap populasi normal untuk
menduga rerata populasi tersebut. Populasi
tersebut mempunyai = 15. Sampelnya
menghasilkan = 40. Dengan tingkat
keyakinan 0,95, bagaimana dugaan interval
tentang rerata hitung populasinya?
X
Xσ
Xσ
12. @FEUI, 2003 12
Contoh pendugaan interval rerata populasi
dengan diketahui
Jawab:
α = 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 == ZZα
3
25
15 ==×σ
95,0)396,140396,140( =×+〈〈×− Xp µ
95,0)88,4512,34( =〈〈 Xp µ
Xσ
13. @FEUI, 2003 13
Pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Pendugaan harus dilakukan dengan
distribusi t
Distribusi t adalah distribusi normal yang
kelancipannya tergantung pada derajat
bebas (degree of freedom) yang besarnya
adalah n – k: (Gambar 2.3)
n adalah sample size
k adalah banyaknya parameter populasi
yang seharusnya diketahui.
Xσ
14. @FEUI, 2003 14
Pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Dengan tidak diketahui maka
Dan formula duga menjadi:
n
sX
X =σˆ
Xσ
Xσ
( ) ασµσ αα −=+<<− 1ˆˆ ,2,2 XdfXXdf tXtXp
16. @FEUI, 2003 16
Cara membaca distribusi t
Ada banyak sekali distribusi t.
Untuk keperluan praktis, tabel distribusi t hanya
memuat untuk luas tertentu pada ujung kurva,
yaitu: 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; dan 0,10.
Margin kiri menunjukkan degrees of freedom,
sedangkan margin atas adalah luas di ujung
kurva; sebagian buku menunjukkan luas pada
kedua ujung kurva. (Tabel 2.1).
18. @FEUI, 2003 18
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Sebuah usaha percetakan sedang mempertimbangkan
penggunaan jenis huruf arial sebagai pengganti yang biasa
digunakan. Ia mempertimbangkan rerata jumlah kata per
lembar hasil cetakannya. Untuk itu ia melakukan sampel
random terhadap 12 halaman, yang hasilnya adalah:
Bila distribusi jumlah huruf per lembar normal, bagaimana
dugaan interval rerata jumlah huruf per lembar? 1−α=0,95
Xσ
Lembar ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Jumlah kata 220 230 225 200 240 250 245 230 215 225 205 210
19. @FEUI, 2003 19
Contoh pendugaan interval rerata populasi,
dengan tidak diketahui
Jawab:
Df = n–1 = 11 terlalu kecil untuk digantikan oleh Z.
1–α = 0,95 maka tα/2,df
≡ t0.025,11
= 2,201.
= 224,58333; = 15,58821;
Xσ
X Xs
49993,4
12
58821,15ˆ ==Xσ
95,0)4999,4201,2583,2244999,4201,2583,224( =×+〈〈×− Xp µ
95,0)62819,23353847,215( =〈〈 Xp µ
20. @FEUI, 2003 20
Formula umum penduga interval
Telah diketahui bahwa formula umum pendugaan interval:
Variasi parameter yang diduga dan statistik penduga:
Parameter Statistik
( ) ασθθσθ θαθα −=+<<− 1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp
Xµ X
p p
21 XX µµ − 21 XX −
21 pp − 21 pp −
Dµ D
21. @FEUI, 2003 21
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Rerata Hitung:
– diketahui Z
– tidak diketahui tdf; df = n-1
Proporsi:
Z ; karena n sangat besar
Selisih proporsi:
Z ; karena n sangat besar
Rerata Selisih: tdf; df = n-1
n
X
X
σσ =
n
sX
X =σˆ
n
n
x
n
x
p
−
=
1
ˆσ
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 11
ˆ 21 n
n
x
n
x
n
n
x
n
x
pp
−
+
−
=−σ
Xσ
Xσ
n
sD
D =σˆ
22. @FEUI, 2003 22
Daftar deviasi standar distribusi sampling
Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF
Selisih Rerata Hitung:
– diketahui Z
Z
– tidak diketahui tdf ; df = n1 + n2 – 2
tdf ; df =
21
11
21 nn
XX +=− σσ
2
2
1
2
21
21 nn
XX
XX
σσ
σ +=−
21
11
ˆ 21 nn
spXX +=−σ
Xσ
Xσ
2
2
1
2
21
21
ˆ
n
s
n
s XX
XX +=−σ
( ) ( )
2
11
21
2
2
2
12 21
−+
−+−
=
nn
snsn
s
XX
p
s
n
s
n
s
n
n
s
n
n
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
21 1
+
−
+
−
23. @FEUI, 2003 23
Pendugaan interval proporsi populasi
Pembahasan ini berasumsi sampelnya sangat besar
sehingga memungkinkan digunakannya distribusi
normal. (Apabila sampelnya tidak cukup besar,
harus digunakan distribusi binomial)
Pendekatan normal di sini memerlukan ukuran
sampel sangat besar agar diperoleh interval duga
yang tidak terlalu lebar. (Ukuran sampel sebesar 75
masih menghasilkan lebar duga mencapai 22,17%
bila proporsi sampel 0,4).
24. @FEUI, 2003 24
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Seorang peneliti di bidang politik ingin mengetahui
popularitas dari presiden dua tahun setelah
pengangkatannya dimata para mahasiswa. Untuk itu
ia mengambil sampel random sebesar 200
mahasiswa. Hasilnya adalah bahwa 75 mahasiswa
menyatakan tetap memberikan dukungan pada
presiden terpilih. Dengan tingkat keyakinan 95%,
bagaimana hasil dugaan proporsi mahasiswa yang
masih mendukung presiden tersebut?
25. @FEUI, 2003 25
Contoh pendugaan interval proporsi populasi
Jawab:
α = 5% sehingga
Peristiwa sukses sampel 75 sehingga:
dan:
Maka:
96,1025,02 == ZZα
375,0
200
75
==p
( )
03423,0
200
375,01375,0
=
−×
=pσ
05,01)03423,096,10,37503423,096,1375,0( −=×+〈〈×− pp
95,0)00,442130790,0( =〈〈 pp
26. @FEUI, 2003 26
Contoh pendugaan interval selisih proporsi
populasi
Seorang peneliti di bidang periklanan ingin
mengetahui selisih proporsi pemirsa sebuah acara TV
antara kota A dan kota B. Untuk itu ia mengambil
sampel random independen sebesar 300 pemirsa kota
A dan 200 pemira kota B. Hasil dari sampel tersebut
adalah bahwa penonton acara tersebut di kota A ada
sebanyak 90 orang, sedangkan di kota B ada sebanyak
40 orang. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana
hasil dugaan selisih proporsi pemirsa acara TV
tersebut antara kota A dan kota B?
27. @FEUI, 2003 27
Contoh pendugaan interval selisih proporsi
populasi
α = 5% maka
Peristiwa–peristiwa sukses dalam sampel adalah 90
di antara 300 dan 40 di antara 200, sehingga:
Maka:
96,1025,02 == ZZα
20,0
200
40
dan30,0
300
90
21 ==== pp
( ) ( )
03873,0
200
2,012,0
300
3,013,0
21
=
−×
+
−×
=− ppσ
05,01)03873,096,12,00,303873,096,12,03,0( 21 −=×+−〈−〈×−− ppp
95,0)07591,00,107591,01,0( 21 =+〈−〈− ppp
95,0)75910,102409,0( 21 =〈−〈 ppp
28. @FEUI, 2003 28
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi,
dengan diketahui
Andi, seorang pimpinan pabrik ingin mengetahui perbedaan
rerata umur bola lampu yang dihasilkan dengan rerata umur bola
lampu yang dihasilkan pesaing. Untuk itu diambil dua sampel
random independen sebanyak 10 (dari yang dihasilkannya) dan
12 bola lampu (dari pesaing). Dari sampel diperoleh rerata umur
bola lampu sendiri adalah 1.000 jam dan pesaing adalah 800
jam. Bila umur bola lampu kedua produk didistribusikan normal
dengan deviasi standar 125 jam dan 110 jam, bagaimana hasil
pendugaan interval selisih rerata umur bola lampu keduanya?
Gunakan tingkat keyakinan 95%.
Xσ
29. @FEUI, 2003 29
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan diketahui
α = 5% sehingga
sedangkan
Maka:
96,1025,02 == ZZα
Xσ
70339,50
12
110
10
125 22
21
=+=−XXσ
95,0)70339,5096,1800100070339,5096,18001000( 21
=×+−〈−〈×−− XXp µµ
95,0)37864,9920037864,99200( 21
=+〈−〈− XXp µµ
95,0)37864,92962136,100( 21
=〈−〈 XXp µµ
30. @FEUI, 2003 30
Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi
dengan diketahui
Badut, pengusaha angkutan umum ingin mengetahui, dengan
tingkat keyakinan 95%, beda rerata daya kerja ban merek A dan
merek B. Diambilnya sampel random ban dari kedua merek.
Hasilnya disajikan pada tabel di bawah ini. Daya kerja ban
dalam ribuan kilometer jelajah. Spesifikasi dari pabrik
menyebut deviasi standar masing2
sama, yaitu: = 2,7.
Bagaimana hasil dugaan interval untuk selisih rerata keduanya?
21 XX σσ =
Xσ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Merek A 26 28 30 32 30 35 34 31 31 30 27 26
Merek B 33 34 35 37 38 40 40 39 38 36 35 33
31. @FEUI, 2003 31
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan diketahui
Misalkan Merek A adalah X1 dan Merek B adalah X2.
α = 5% sehingga
dan
sedangkan
Maka:
96,1025,02 == ZZα
Xσ
301 =X 5,362 =X
10227,1
12
1
12
1
7,221
=+=−XXσ
95,0)10227,196,15,363010227,196,15,3630( 21
=×+−〈−〈×−− XXp µµ
95,0)16045,25,616045,25,6( 21
=+−〈−〈−− XXp µµ
95,0)33955,466045,8( 21
=−〈−〈− XXp µµ
32. @FEUI, 2003 32
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan tidak diketahui
Misalkan untuk contoh daya kerja ban deviasi
standar populasi tidak diketahui namun
diyakini mempunyai nilai yang sama.
Bagaimana 95% confidence interval-nya?
Xσ
34. @FEUI, 2003 34
Contoh pendugaan interval selisih rerata
populasi dengan tidak diketahui
Sebuah perusahaan peternakan penghasil telur ayam ingin
membandingkan rerata berat telur dari dua jenis ayam.
Diambilnya sampel random independen masing2
sebanyak 26
telur dari jenis 1 dan 20 butir dari jenis 2. Hasil sampel tersebut
serta
Dengan 1– α = 95%, bagaimana hasil dugaan interval selisih
rerata populasi berat telur kedua jenis ayam tersebut? Asumsikan
bahwa deviasi standar populasi berat telur keduanya adalah
berbeda.
Xσ
13dan80 11 == XsX 11dan71 22 == XsX
36. @FEUI, 2003 36
Contoh pendugaan interval rerata selisih
populasi
Untuk mengetahui manfaat sebuah pelatihan kerja bagi buruh,
dilakukan sampel random terhadap 35 buruh. Kepada mereka
diamati produktivitas bulanan sebelum (Xi
) dan sesudah (Yi
)
mengikuti pelatihan. Hasilnya tertera pada tabel. Bagaimana
dugaan interval rerata selisih produktivitas tersebut? α=0,05
X Y X Y X Y X Y X Y
90 98 60 67 88 91 70 82 75 85
85 92 62 65 85 91 80 84 72 79
65 79 70 78 75 76 72 75 77 80
80 82 65 66 80 78 75 87 80 90
85 95 80 89 70 70 70 71 82 85
70 76 75 83 60 62 62 69 75 75
72 76 90 92 65 72 65 69 72 70
37. @FEUI, 2003 37
Contoh pendugaan interval rerata selisih
populasi
Nilai–nilai variabel Di
= (Yi
– Xi
) = {8, 7, …, 0, –2} dengan
n = 35, sehingga df = 34. maka ta/2,df
≡ t0,025,34
= 2,032.
Atribut D:
Maka:
07390,4dan14286,5 == DsD
68861,0
35
07390,4ˆ ==Dσ
95,0)68861,0032,214286,568861,0032,214286,5( D =×+〈〈×− µp
95,0)6,5422974343,3( D =〈〈 µp
38. @FEUI, 2003 38
Penentuan sample size pada pendugaan interval
rerata populasi
Dimaksudkan untuk menghasilkan lebar duga tertentu pada
suatu tingkat keyakinan yang tertentu pula
Lebar duga adalah
Separuh lebar duga, atau sampling error,
Maka:
Bila tidak diketahui: lakukan sampel pendahuluan
untuk dapatkan sebagai estimator
( )XZ σα ×2/2
( )XZe σα ×= 2/
n
Ze Xσ
α ×= 2/
e
Z
n Xσα ×
= 2/
2
2/
×
=
e
Z
n Xσα
Xσ
Xs Xσ
39. @FEUI, 2003 39
Contoh penentuan sample size pada pendugaan
interval rerata populasi
Dari sebuah populasi normal dengan = 20, berapa
besarnya sampel yang dibutuhkan untuk pendugaan interval
bila sampling error yang diinginkan adalah 10 dan tingkat
keyakinan sebesar 95%?
Jawab: e = 10 ; 1–α = 0,95 sehingga: Zα/2
= 1,96
Xσ
20=Xσ
2
10
2096,1
×
=n
( ) 3664,1592,3 2
==n
15≈n
40. @FEUI, 2003 40
Penentuan sample size pada pendugaan
interval proporsi populasi
Dengan cara yang sama diperoleh:
Formulanya melibatkan p yang justru akan diduga sehingga
dilakukan upaya mendapatkan n maksimum
Maka:
( )pZe σα ×= 2/
( )
n
pp
Ze
−
×=
1
2/α
( )
e
ppZ
n
−×
=
12/α
( )
2
2
2/ 1
e
ppZ
n
−×
= α
( ) ( )
2
2
2/
2
2
2/ 5,05,05,015,0
e
Z
e
Z
n
×
=
−×
= αα
2
2/5,0
=
e
Z
n α
41. @FEUI, 2003 41
Contoh penentuan sample size pada
pendugaan interval proporsi populasi
Sebuah usaha reparasi mesin cetak menyatakan bahwa produk
yang sudah direparasinya akan menghasilkan proporsi gagal
cetak sebesar–besarnya 2%. Berapa besarnya sampel untuk
pendugaan interval proporsi produk yang cacat bila sampling
errornya adalah 0,005 dan tingkat keyakinan 95%?
e = 0,005. Perkiraan p maksimum 0,02 sehingga digunakan p =
0,02. Maka:
3012≈n
( )
3.011,814
005,0
98,002,096,1
2
2
=
×
=n
42. @FEUI, 2003 42
Contoh penentuan sample size pada
pendugaan interval proporsi populasi
Pendapat para ahli menyebutkan bahwa popularitas
presiden saat ini berkisar pada 45% hingga 60% dari
para pemilihnya. Berapa besarnya sampel untuk
pendugaan interval proporsi popularitas presiden di
mata para pemilihnya dengan sampling error 0,05 dan
1 – α = 95%?
Jawab: e = 0,05. Perkiraan p: 0,45 – 0,6 sehingga p = 0,5
karena interval tersebut dapat mencakupi nilai 0,5. Maka:
384≈n
384,16
05,0
96,15,0
2
=
×
=n
