proyeccion oblicua y diferentes tipos: proyeccion caballera y gabinete con sus respectivos ejemplos

1. Concepto
Tipos
Proyecci´on Oblicua
Cam Urquizo Daniel Capa Sixe Jordan Castillo Farf´an
George
12 de febrero de 2013
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

2. Concepto
Tipos
´ındice
1 Concepto
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
2 Tipos
Caballera
matriz de proyeccion oblicua Caballera
gabinete
matriz de proyeccion oblicua Gabinete
Proyecci´on oblicua a´erea:
Ejercicios
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

3. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Clasificaci´on Proyecci´on
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

4. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Clasificaci´on Proyecci´on
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

5. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Concepto
La proyecci´on oblicua es un M´etodo de proyecci´on por el que un
objeto tridimensional se representa mediante la proyecci´on de l´ıneas
PARALELAS formando un a´ngulo con el plano del cuadro distinto
de 90 grados por tener una de sus caras principales paralela al
plano del cuadro. As´ı, dado un segmento, bastar´a proyectar los
puntos extremos del segmento mediante l´ıneas proyectantes
auxiliares obl´ıcuas, para determinar la proyecci´on sobre la recta.
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6. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
En una proyecci´on oblicua, el vector de proyecci´on se suele
especificar a partir de dos ´angulos, φ y α. Se proyecta el
punto (x, y, z) a la posici´on (xp, yp) en el plano de visi´on.
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7. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

8. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Recordemos que el ´angulo α es dado por el vector que proyecta la
linea desde el objeto original hasta el objeto proyectado en el plano
(cuyas medidas pueden ser de 0 a 90 grados), mientras que φ es el
´angulo formado entre la l´ınea de proyecci´on oblicua y la l´ınea
contenida en el plano de proyecci´on.
xp = x + Lcosφ
yp = y + Lsenφ
En funci´on del valor que tome α y la coordenada z del punto que
se va a proyectar, el valor de L se puede calcular como:
se tienen las siguientes ecuaciones:
tanα= Z
L ⇒ L= Z
tanα
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9. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
De luego se reemplaza:
xp = x + Zcos(φ)cotg(α)
yp = y + Zsen(φ)cotg(α)
As´ı tenemos que cualquier punto (X, Y, Z) en coordenadas de
vista, se transforma en coordenadas de proyecci´on como:





1 0 cos(φ)cotg(α) 0
0 1 sen(φ)cotg(α) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





.
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

10. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Las proyecciones oblicuas se obtienen para valores de L distintos de
cero, mientras que las proyecciones ortogonales se generan cuando
L = 0 lo cual queda:
xp= x
yp= y
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11. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Cuya matriz es:
V =





1 0 −a 0
0 1 −b 0
0 0 0 0
0 0 0 1





.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

12. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
por proyecci´on ortogonal tenemos que:
cosα=a/f ⇒ a=fcosα
senα=b/f ⇒ b=fsenα
y la matriz (T) ser´a:
T =





1 0 −fcosα 0
0 1 −fsenα 0
0 0 0 0
0 0 0 1





.
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

13. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

14. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
C´omo obtendriamos la matriz de proyecci´on a partir de
este problema?
Con los datos:
α=26,56o , Yp = Y, Zp=Z/2 ademas:
φ=90o porque se forma con el eje X.
Se eligio el ´angulo porque seg´un la figura es el doble en la parte z
que su proyecci´on Z por lo cual:
tan(α)=1/2, donde α = 26.56.
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15. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Si aplicamos un ejemplo: tenemos la gr´afica con los puntos y
queremos imitar el gr´afico anterior
Su matriz de puntos ser´a
V =





0 0 0
6 3 3
2 2 5
1 1 1





.
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

16. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
como se proyectar´a en solo en Y hacemos Xp=0 y Zp=0, siendo
φ= 90 grados y α = 26.56 grados
Entonces en las ecuaciones son:
Xp= x+Lcosφ ⇒ Xp=0
Ademas Yp=y+ Lsenφ y L=1/2 (por ser la mitad proyectada)
tendremos que:
T =





0 0 0 0
0 1 −1/2(sen90) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

17. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Multiplicando los puntos:
T ∗ V =





0 0 0 0
0 1 −1/2 0
0 0 0 0
0 0 0 1





∗





0 0 0
6 3 3
2 2 5
1 1 1





=





0 0 0
5 2 0,5
0 0 0
1 1 1





Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

18. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Los nuevos puntos ser´an:
A =(0,5,0)
B =(0,2,0)
C =(0,0.5,0)
si lo graficamos:
Pareciera como si lo hubiesemos proyectado en todo el objeto de
3D a un objeto lineal
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19. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Ejemplo
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

20. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

21. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
1 Proyecci´on Paralela: Consiste en proyectar puntos del espacio
contra el plano de proyecci´on mediante haces de rectas
siempre paralelas entre s´ı.
2 Proyecci´on Perspectiva: se denomina al sistema de
representaci´on gr´afico en donde el haz de rayos proyectantes
confluye en un punto (el ojo del observador), proyect´andose la
imagen en un plano auxiliar situado entre el objeto a
representar el punto de vista.
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22. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Paralela Vs perspectiva
1 La proyecci´on perspectiva
√
El tama˜no depende de la distancia. Parece real
√
Las distancias y los ´angulos no se conservan (en general)
√
Las l´ıneas paralelas no se representan como paralelas (en
general)
2 La proyecci´on paralela
√
Es ideal para realizar medidas
√
Las l´ıneas paralelas siguen siendo paralelas
√
Los ´angulos no tienen que conservarse
√
No parece real
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23. Concepto
Tipos
Clasificaci´on
Concepto
Ejemplo
Diferencia con proyecci´on paralela con perspectiva
Ejemplo diferencia
Proyecci´on paralela VS Proyecci´on perspectiva
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24. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Tipos de proyecci´on Obl´ıcua
1 Caballera
2 Gabinete
3 obl´ıcua a´erea
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25. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
1. Caballera
Concepto
Es cuando se realiza un dibujo oblicuo con el eje inclinado
utilizando ´angulos de α=45o y φ = 45o
´o φ = 30o y
est´a representada por s´olo dos coordenadas, X e Y. Mediante este
m´etodo todas las dimensiones sobre el eje oblicuo se representan
en su verdadero tama˜no. En estos dibujos en general dan una
apariencia un poco desproporcionada, y alargada; distinto a como
es en la realidad, es decir el tercer eje (Z) se mantiene a escala.
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26. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
El ´angulo φ suele ser de 30 o de 45 grados, desplegando una vista
de combinaci´on de las partes frontal, lateral y superior (o inferior)
de un objeto.
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27. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
El ´angulo α suele tomar aquellos valores para los cuales su
tangente vale 1 o 2. Adem´as tenemos, α = 45 grados,
obteni´endose las vistas denominadas proyecciones caballeras, en las
cuales todas las l´ıneas perpendiculares al plano de proyecci´on se
proyectan sin alterar su longitud. Este efecto puede apreciarse en la
siguiente figura:
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28. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
matriz de caballera
Como α= 45o y tomando φ = 45o, entonces:





1 0 cos(45o)cotg(45o) 0
0 1 sen(45o)cotg(45o) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





tenemos:
=








1 0
√
2
2
0
0 1
√
2
2
0
0 0 0 0
0 0 0 1








Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

29. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Ejemplo gr´afico de proyeccion oblicua Caballera
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30. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
2. Gabinete
Concepto
Llamado Punto de vista de alto. Es cuando el eje de profundidad
se reduce a tres cuadros de su tama˜no, o a la mitad. Se
contrarresta el alargamiento, resultando m´as natural, cuando se
han utilizado ´angulos de α = 63,4o y φ= 30o
´o 45o.
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31. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Tambi´en tenemos, α = 63,4o , obteni´endose las vistas
denominadas proyecciones de gabinete, en las cuales las l´ıneas
perpendiculares a la superficie de vista se proyectan alterando su
longitud a la mitad. Debido a esta reducci´on, este tipo de
proyecciones ofrecen un aspecto m´as realista que las proyecciones
caballera. Puede observarse este efecto a continuaci´on:
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32. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
como α = 63,4o y φ = 30o





1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 0
0 1 sen(30o)cotg(63,4o) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





Tenemos: 






1 0
√
3
4
0
0 1 1/4 0
0 0 0 0
0 0 0 1







Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

33. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Ejemplo gr´afico de proyeccion oblicua Gabinete
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

34. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
3. Proyecci´on oblicua a´erea:
Concepto
Es una proyecci´on oblicua realizada sobre un dibujo en planta de
una edificaci´on, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar su
forma tridimensional. Esta t´ecnica utilizada para representar
cuerpos en el espacio, aunque sin utilizar la deformaci´on producida
por la lejan´a de los cuerpos al observador, se le da preferencia a una
de las caras del cuerpo la cual aparece horizontal y en verdadera
magnitud, mientras las dem´as est´an deformadas. Generalmente se
utilizan ´angulos de 135o entre los ejes XZ e YZ (90o en XY). En
general, el eje Z puede adoptar cualquier ´angulo respecto de los
otros, pero los ejes XY siempre forman 90o y no se les aplica
deformaci´on. As´ı se suele llamar militar, m´as propiamente dicha, a
aquella cuyo ´angulo con los ejes XZ es 120o y entre YZ de 150o.
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35. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

36. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Ejercicios
Tenemos los puntos de un cubo





0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1





se grafican los puntos en los 3 ejes
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

37. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Ejercicios con caballera
Si dibujamos la transformaci´on del cubo con α=45o y φ=45o
T.V=





1 0 cos(45o)cotg(45o) 0
0 1 sen(45o)cotg(45o) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





∗





0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1





Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

38. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Obtenemos:





0 1 1 0
√
2/2
√
2/2 1 +
√
2/2 1 +
√
2/2
0 0 1 1 1 +
√
2/2
√
2/2
√
2/2 1 +
√
2/2
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1





Graficando los puntos:
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

39. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Ejercicios con Gabinete
Si dibujamos la transformaci´on del cubo con α=63,4o y φ=30o
T.V=





1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 0
0 1 sen(30o)cotg(63,4o) 0
0 0 0 0
0 0 0 1





∗





0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1





Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

40. Concepto
Tipos
Caballera
gabinete
Ejercicios
Obtenemos:





0 1 1 0
√
3/4
√
3/4 1 +
√
3/4 1 +
√
3/4
0 0 1 1 5/4 1/4 1/4 5/4
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1





Graficando los puntos:
A =(0,0,0) E =(
√
3/4, 5/4, 0)
B =(1,0,0) F =(
√
3/4, 1/4, 0)
C =(1,1,0) G =(1+
√
3/4, 1/4, 0)
D =(0,1,0) H =(1+
√
3/4, 5/4, 0)
Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua