presentacion acerca de los principios de la dinamica

1. Leyes de la Dinámica y aplicaciones
Unidad 14

2. 2
Contenidos (1).
1.- Cantidad de movimiento.
2.-Primera ley de Newton (ley de la inercia).
3.- Segunda ley de la Dinámica.
4.- Impulso mecánico.
5.- Conservación de la cantidad de movimiento
6.- Tercera ley de la Dinámica (acción y reacción).
7.- Sistemas de referencia:
7.1. Inerciales.
7.2. No inerciales (sólo introducción y algún ejemplo
sencillo).

3. 3
Contenidos (2).
8.- La fuerza de rozamiento.
9.-Estudio de algunas situaciones dinámicas:
9.1. Dinámica de cuerpos aislados. Planos inclinados.
9.2. Dinámica de cuerpos enlazados.
Cálculo de la aceleración y de la tensión.
9.3. Dinámica del movimiento circular uniforme.

4. 4
→
Cantidad de movimiento (p)
• Es el producto de la masa de una partícula
por su velocidad.
• p = m · v
• Es un vector que tiene la misma dirección y
sentido que v y es por tanto también
tangente a la trayectoria.
• Como: v = vx i + vy j + vz k
• p = m· v = m·(vx i + vy j + vz k) =
m· vx· i + m· vy· j + m· vz· k
• p = px· i + py· j + pz· k

5. 5
Principio de inercia
(primera ley de Newton)
• Se basa en las apreciaciones de Galileo.
• “Si no actúa ninguna fuerza (o la suma
vectorial de las fuerzas que actúan es
nula) los cuerpos permanecen con
velocidad (v) contante”.
• Es decir, sigue en reposo si inicialmente
estaba en reposo, o sigue con MRU si
inicialmente llevaba una determinada v.

6. 6
Segunda ley de Newton
• “La fuerza resultante aplicada a un objeto es igual a la
variación de la cantidad de movimiento con respecto al
tiempo, o lo que es lo mismo, al producto de la masa
por la aceleración”.
• d p d (m · v) d v
F = —— = ———— = m · —— = m · a
d t d t d t
• ya que la masa, al ser constante, sale fuera de la
derivada.
• En general, suele existir más de una fuerza por lo
que se usa:
Σ F = m · a

7. 7
Deducción del
principio de inercia
• En realidad el primer principio, se deduce
fácilmente a partir del anterior: Σ F = m · a.
• Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es
nula (Σ F = 0) ⇒ a = 0 ⇒ v = constante.
• También puede deducirse:
• Si Σ F = 0 ⇒ dp = 0 ⇒ p = constante
⇒ v = constante.

8. 8
Ejemplo:Ejemplo: Un coche de 900 kg de masa parte del reposo
y consigue una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calcula la
fuerza que aplica el motor, supuesta constante.
∆p = m · v2 – m · v1= m ·(v2– v1) =
= 900 kg · 20 m/s · i – 0 · i = 18000 · i kg ·m/s
∆p 18000 · i kg ·m/s
F = —— = ———————— = 30003000 ii NN
∆t 6 s
Se pueden sustituir diferenciales por incrementos,
pues aunque así obtendría Fuerza media, ésta
coincidiría con F al considerarla constante.

9. 9
Impulso mecánico (I).
• En el caso de que la fuerza que actúa sobre un
cuerpo sea constante, se llama impulso al
producto de dicha fuerza por el tiempo que está
actuando.
• I = F ·∆ t = ∆p = m · v2 – m · v1= m · ∆v
“El impulso mecánico aplicado a
un objeto es igual a la variación en
la cantidad de movimiento de
éste”.

10. 10
Ejemplo:Ejemplo: Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa
con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido
contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el
impulso que recibe la pelota y la fuerza media que aplica
el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta dura
una centésima de segundo.
I = F · ∆ t = ∆p = m · v2 – m · v1=
= 0,055 kg · (–10 m/s) · i – 0,055 kg · 20 m/s · i =
I = –1,65–1,65 ii kg ·m/skg ·m/s
I –1,65 · i kg ·m/s
F = —— = ———————— = –165–165 ii NN
∆ t 0,01 s
Lógicamente, tanto la componente del impulso como la de
la fuerza tienen signo negativo pues tienen sentido
contrario al inicial de la pelota.

11. 11
Teorema de conservación de la
cantidad de movimiento.
• De la propia definición de fuerza: dp
F = ——
dt
• se deduce que si F = 0, ( o Σ F, resultante de
todas aplicadas sobre una partícula, es 0,
entonces p debe ser constante.
• Lo que significa que deben ser constantes cada
una de sus componentes cartesianas: px, py y pz,
y por tanto también las de
la velocidad ⇒ MRU

12. 12
Principio de acción y reacción
(tercera ley de Newton)
• Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos que
interaccionan entre sí, pero aislados de toda fuerza
exterior, la cantidad de movimiento total de dicho
sistema permanecerá constante.
• ∆ptotal = ∆p1+ ∆p2 = 0
• Si dividimos ambos miembros por ∆ t
• ∆ptotall ∆p1 ∆p2
Σ F = ——— = —— + —— = 0 ⇒ F1= –F2
∆t ∆t ∆t
• Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la
interacción de 2) es igual que la ejercida sobre 2
(producida por 1).

13. 13
Principio de acción y reacción
(tercera ley de Newton) (cont).
• Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos ejercer,
en general efectos también distintos (aceleraciones
distintas).
• Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra
(Peso) tiene el mismo módulo y sentido contrario que la
Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra.
• Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce
sobre nosotros un efecto apreciable (aceleración de la
gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la
Tierra es absolutamente despreciable.

14. 14
Ejemplo:Ejemplo: Un libro está apoyado en la superficie horizon-
tal de una mesa y se tira de él horizontalmente con una
cuerda ligera. Identifica las fuerzas que actúan sobre el
libro y sus correspondientes pares acción-reacción.
• Hay tantas fuerzas como parejas de cuerpos interaccionan.
Con el libro interaccionan: la Tierra, la cuerda y la mesa.
• La Tierra actúa sobre el libro (peso) y el libro atrae a la Tierra
(despreciable para la Tierra).
• La cuerda aplica al libro la Tensión y el libro actúa sobre la
cuerda con una fuerza igual pero de sentido contrario.
• El libro empuja a la mesa con una fuerza igual a su peso. La
reacción de la mesa es la fuerza normal.
• Igualmente, la mesa se opone al deslizamiento del libro con
una fuerza de rozamiento y el libro actúa sobre la mesa con
una fuerza igual pero de sentido contrario.

15. 15
Conservación de la cantidad de
movimiento en dos cuerpos.
• Ya hemos visto que si Σ F= 0, p debe ser constante.
• En el caso de que la interacción sea un choque:
Σ pantes= Σ pdespués
• m1· v1 + m2· v2= m1· v1
’
+ m2· v2
’
• En el choque elástico v1
’
y v2
’
(velocidad con que salen
rebotados los objetos) son distintos.
• En el choque inelástico v1
’
= v2
’
. (los dos objetos salen
juntos incrustado el uno en el otro)

16. 16Ejemplo:Ejemplo: Una canica de 8 g lleva una velocidad constante
de 4 m/s, y golpea una bola de madera de 200 g que está
en reposo. Si como resultado del choque la canica sale
rebotada con una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad
con que comienza a moverse la otra bola.
m1· v1 + m2· v2= m1· v1’ + m2· v2’
8 g ·4 m/s i + 200 g · 0 i= 8 g ·(–2 m/s) i + 200 g · v2’
Despejando v2’ obtenemos:
32 g·m/s i + 16 g·m/s i
v2’ = —————————— = 0,240,24 ii m/sm/s
200 g

17. 17Ejercicio:Ejercicio: Una bola de billar choca a una velocidad de
4 m/s con otra bola igual que está parada. Después del
choque, la primera bola se mueve en una dirección que
forma 30º con la inicial, y la segunda con –60º con la
dirección inicial de la primera. Calcula el módulo de la
velocidad final de cada bola. (Sol: 2 m/s y 3,46 m/s)
m1· v1 + m2· v2= m1· v1’ + m2· v2’
Descomponiendo la ecuación vectorial en dos escalares:
x) m · (4 + 0) m/s = m · [v1’· cos 30º + v2’· cos (-60º)]
y) m · (0 + 0) m/s = m · [v1’· sen 30º + v2’· sen (-60º)]
4 m/s = 0,866 v1’ + 0,5 v2’
0m/s = 0,5 v1’ – 0,866 v2’
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas obtenemos:
vv ’’
= 1,732 m/s= 1,732 m/s ; vv ’’
= 2 m/s= 2 m/s

18. 18
Sistemas de referencia
• InercialesInerciales: El origen (observador) está en
reposo o MRU.
– Son aplicables las leyes de Newton.
– Las aceleraciones son producidas por fuerzas
debidas a la interacción entre cuerpos (contacto
o a distancia).
• No inercialesNo inerciales: El origen (observador) lleva
una determinada aceleración.
– No son aplicables las leyes de Newton.

19. 19
Sistemas no inerciales
• No son aplicables las leyes de Newton.
• Se introducen las llamadas fuerzas de inercia
Finercia(virtuales) que no son el resultado de la
interacción entre cuerpos sino un artificio
matemático para poder aplicar las leyes de
Newton. (Fi = – m· a )
• Cuando el sistema se encuentra en equilibrio se
cumple el principio de D’Alembert:
• Σ Freales+ Finercia = 0

20. 20
Viaje en autobús
• Al arrancar con aceleración “a”, la persona
se siente impulsada hacia atrás:
• Sist. Inercial: (fuera del autobús)
– No existe fuerza y por tanto tampoco “a” (nadie
le empuja, permanece quieto por inercia).
• Sist. No inercial: (dentro del autobús)
– Como experimenta el viajero una aceleración
“–a” (hacia atrás) deberá existir una fuerza
Fi = – m · a

21. 21
Dentro de un ascensor
• Sea un cuerpo de masa “m” suspendido del techo por una
báscula. Al subir el ascensor con aceleración “a”, el
objeto marca en la báscula una fuerza superior a su peso:
• Sist. Inercial: (fuera del ascensor)
– No existe equilibrio puesto que el objeto acelera con
“a” luego T + P = m · a (T– m· g = m· a)
– T = m · (g + a) (T es la fuerza que marca la báscula)
• Sist. No inercial: (dentro del ascensor)
– Hay equilibrio. Se aplica el principio de D’Alembert:
Σ F = 0; T + P + Fi = 0
(T– m· g – m· a = 0) ⇒ T = m · (g + a)

22. 22
Al tomar una curva
• Sea una pelota de masa “m” que viaja sobre una
plataforma móvil con velocidad lineal constante. Al
tomar la curva la plataforma se produce sobre ésta una
aceleración normal “an”, mientras que sobre la pelota ho
existe aceleración.
• Sist. Inercial: (fuera de la plataforma)
– La pelota sigue recta con “v” constante y se sale de la
plataforma que gira.
• Sist. No inercial: (dentro de la plataforma)
– La pelota sale lanzada hacia el exterior una aceleración
igual cuyo módulo vale “v2
/R”. Ello implica la
existencia de una fuerza (virtual) hacia el exterior que
se conoce como fuerza centrífuga.

23. 23
Fuerza de rozamiento (Fr)
• Es la fuerza que aparece en a superficie de contacto
de los cuerpos, oponiéndose siempre al movimiento
de éstos.
• Depende de:
– Los tipos de superficie en contacto.
– La fuerza normal N de reacción de la superficie sobre
el objeto (normalmente igual en módulo a PN excepto
que se aplique una fuerza no horizontal sobre el
mismo).
• No depende de:
– La superficie (cantidad).

24. 24
Tipos de fuerza de rozamiento
• Estático:Estático: Es igual a la fuerza necesaria para
iniciar un movimiento (de sentido contrario).
– Cuando un cuerpo está en reposo y se ejerce una
fuerza lateral, éste no empieza a moverse hasta que la
fuerza no sobrepasa un determinado valor (Fre).
– La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza
lateral mientras el cuerpo esté en reposo.
• Cinético o dinámico:Cinético o dinámico: Es la fuerza que se
opone a un cuerpo en movimiento (Frc).
– Es algo menor que Fre(en el mismo caso).

25. 25
Cálculo de Fr
• Fre(máxima) = µe · N Frc = µc · N
• En donde µe y µc son los “coeficientes de rozamiento
estático y dinámico respectivamente, que dependen
ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y
N es la normal (perpendicular a).
• La normal N es la fuerza de reacción de la superficie de
deslizamiento sobre el objeto debido a la PN y al resto
de componentes perpendiculares al movimiento.

26. 26
Manera práctica de obtención
de Fre y Frc.
• Se pone el objeto sobre la superficie y
se va inclinando ésta hasta que empiece
a moverse el objeto.
• En ese instante: PT = Fre
• Al no haber fuerzas exteriores: N = PN
• m·g·sen α = µre· m·g· cos α
• sen α
µre= ——— = tg α
cos α
• Una vez iniciado el movimiento puede
bajarse el ángulo hasta α’.
• Análogamente,
P
PN
PT
α
α
Fr
µrc = tg α’

27. 27
Dinámica de cuerpos aislados.
• Se basa en la segunda ley de Newton: Σ F = m · a
• Hay que determinar todas las fuerzas que actúa
sobre el cuerpo y sumarlas vectorialmente.
• Si hay fuerzas oblicuas al movimiento suelen
descomponerse éstas en paralelas y
perpendiculares al mismo.
• Estática: Estudia los cuerpos en equilibrio
– Se cumple que: a = 0 ⇒ Σ F = 0

28. 28
Movimiento sobre plano horizontal.
• Si arrastramos un objeto tirando con una fuerza “F”
de una cuerda que forma un ángulo “α” con la
horizontal.
– Dibujamos todas las fuerzas que actúan.
– Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy.
– Si existe rozamiento
determinamos si Fx> Fre para
comprobar si se mueve.
– Aplicamos : Σ Fx = m · a; Σ Fy = 0 P
N F
Fx
Fy α
Fr

29. 29Ejemplo:Ejemplo: Calcular las fuerzas de
rozamiento estático y cinético al
arrastrar una caja de 5 kg con una
fuerza de 20 N aplicada a una
cuerda que forma un ángulo con el
suelo de 30º, sabiendo que µe = 0,15
y µc = 0,12. ¿Se moverá la caja?
F = 20 N se descompone en:
Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º = 10,0 N
N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2
– 10 N = 39 N
Fre= µe · N = 0,15 · 39 N = 5,85 N
Frc = µc · N= 0,12 · 39 N = 4,68 N
Sí se moverá hacia la derecha, pues FSí se moverá hacia la derecha, pues Fxx > F> Frere
P
N F
Fx
Fy 30º
Fr

30. 30
Ejemplo: Calcular la aceleración de
la caja del ejemplo anterior:
m = 5 kg F = 20 N, α = 30º,
µd = 0,12.
• Calculamos todas las componentes de las fuerzas
existentes:
Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º = 10,0 N
Σ Fy = 0 ⇒ N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s2
– 10 N = 39 N
Frd = µd · N = 0,12 · 39 N = 4,68 N
• Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos:
Σ Fx = m · a; 17,3 N – 4,68 N = 5 kg · a
17,3 N – 4,68 N
a = ——————— = 2,528 m · s2,528 m · s–2–2
.
5 kg
P
N F
Fx
Fy 30º
Fr

31. 31
Planos inclinados.
• Puede descender sin necesidad de empujarlo si PT>Fre.
• Si arrastramos o empujamos con una fuerza “F” hacía
abajo, descenderá si F + PT > Fre.
• Si arrastramos o empujamos con una fuerza “F” hacía
arriba:
– Ascenderá si: F > Fre+ PT
– No se moverá si: PT – Fre ≤F ≤ Fre+ PT
– Descenderá si F < PT – Fre
• Recordad que Fr tiene siempre
sentido contrario al posible
movimiento.
P
PN
PT
α
α
F

32. 32
Ejemplo: Se moverá un baúl de 100 Kg situado en
una superficie inclinada 15º con la horizontal,
sabiendo que µe y µd valen 0,30 y 0,28
respectivamente.
PT = P · sen α = 980 N · sen 15 = 253,6 N
PN = P · cos α = 980 N · cos 15 = 946,6 N
• Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido
contrario)
Fre= µe · N = 0,30 · 946,6 N = 284 N
Como PT < Fre el baúl no se moveráel baúl no se moverá.
No se mueve hacia arriba porque
Fre no toma su valor máximo
P
PN
PT
α
α
Fr

33. 33
Ejemplo: ¿Qué fuerzas habrá que realizar a)a) hacia
abajo, b)b) hacia arriba, para que el baúl comience a
moverse? c)c) ¿Con qué aceleración se moverá si se
empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N.
Datos: m = 100 kg, α = 15º, µe = 0,30 y µd = 0,28
• PT= 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N
a) Fmínima (abajo) >
284 N – 253,6 N = 30,4 N30,4 N
b) Fmínima (arriba) >
284 N + 253,6 N = 537,6 N537,6 N
c) Frd = µd · N = 0,28 · 946,6 N =
265,0 N
Σ F = 100 N + 253,6 N – 265,0 N
= 88,6 N = 100 kg · a
P
PN
PT
α
α
FreFmín
P
PN
PT
α
α
Fre
Fmín
P
PN
PT
α
α
Fre
F

34. 34
Dinámica de cuerpos enlazados.
Cálculo de aceleración y tensión.
• La acción que ejerce un cuerpo
sobre otro se traduce en la
tensióntensión de la cuerda que los
enlaza, que es lógicamente
igual y de sentido contrario a la
reacción del segundo sobre el
primero.
• Se aplica la 2ª ley de Newton a
cada cuerpo por separado,
obteniéndose una ecuación para
cada uno con igual “a”.
P1
P2
T
T
N

35. 35
Dinámica de cuerpos enlazados.
Cálculo de aceleración y tensión.
• Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que
tienen la dirección del movimiento, pues las
perpendiculares se anulan (P1 = N).
• Utilizaremos componentes escalares con los que se
consideran positivas las fuerzas a favor y negativas
las que van en contra.
• Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben
desaparecer las tensiones.

36. 36
Ejemplo: ¿Cuál será la
aceleración del sistema y la
tensión de la cuerda suponiendo
que hay movimiento y que m1 =
5 kg y m2 = 2 kg y µd vale 0,08?
Cuerpo 1:Cuerpo 1: T – Frd = m1 · a ⇒ T – µd · m1· g = m1 · a
Cuerpo 2:Cuerpo 2: P2 – T = m2 · a ⇒ m2· g – T = m2 · a
———————————————————————
2 kg · 9,8 m/s2
– 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2
= (5 kg + 2 kg) · a
2 kg · 9,8 m/s2
– 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2
a = ——————————————— = 2,24 m/s2,24 m/s22
5 kg + 2 kg
T = 5 kg · 2,24 m/s2
+ 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2
= 15,12 N15,12 N
Fr
1
m2

37. 37
Ejercicio: ¿Se moverá el sistema
de la figura y en caso de que lo
haga hacia qué lado?
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;
µe = 0,12; µd = 0,10; α = 30º.
Calculamos el valor numérico de todas las fuerzas
implicadas:
P1T = P1 · sen 30º = 6 kg · 9,8 m/s2
· 0,5 = 29,4 N
P1N = P1 · cos 30º = 6 kg · 9,8 m/s2
· 0,866 = 50,9 N
P2= 2 kg · 9,8 m/s2
= 19,6 N
Fre = µe · N = µe · PN = 0,12 · 50,9 N = 6,1 N
Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N)
Se moverá hacia la izquierdaSe moverá hacia la izquierda.
1
P1
P2
T
TN
P1N
P1T
α

38. 38
Ejercicio: Calcular la
aceleración del sistema y la
tensión de la cuerda del
ejemplo anterior.
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;
µe = 0,12; µd = 0,10; α = 30º.
P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2= 19,6 N
Frd = µd · N = µd · PN = 0,10 · 50,9 N = 5,1 N
1:1: P1T – T – Frd = m1 · a ⇒ 29,4 N – T – 5,1 N = 6 kg · a
2:2: T– P2 = m2 · a ⇒ T – 19,6 N = 2 kg · a
29,4 N – 5,1 N – 19,6 N = (6 kg + 2 kg) · a
29,4 N – 5,1 N – 19,6 N
a = —————————— = 0,59 m/s0,59 m/s22
6 kg + 2 kg
T = 2 kg · 0,59 m/s2
+ 19,6 N = 20,8 N20,8 N
1
P1
P2
T
TN
P1N
P1T
α

39. 39
Dinámica del M.C.U.
• Se cumplen las siguientes condiciones:
• v = v = k ⇒ at = 0
• an = an= v2
/ R = v2
/ R = cte
donde anes un vector dirigido hacia el centro de la
trayectoria.
• Aplicando la 2ª ley de Newton deberá haber una fuerza
también dirigida hacia el centro cuyo Fn= m·an=
m· v2
/ R que se conoce como fuerza centrípeta (FC).
• En caso de objetos que giran horizontalmente debido a
una cuerda: FC= T .

40. 40
Dinámica del M.C.U.

41. 41
Ejemplo: Una bola de 200 g, sujeta a una cuerda de
1,5 m se mueve a v cuyo módulo constante es 6 m/s
sobre una mesa sin rozamiento describiendo un
círculo. Calcular la tensión de la cuerda.
El peso de la bola “P” queda
compensado por la reacción del
plano” “N”, por lo que ambas
fuerzas se anulan
La tensión “T” es la responsable del
movimiento circular. Es por tanto
la fuerza centrípeta.
m · v2
0,2 kg · (6 m/s)2
T = ——— = ———————
R 1,5 m
T =T = 4,8 N4,8 N

42. 42
Ejemplo: La misma bola de 200 g, sujeta a una
cuerda de 1,5 m se hace girar en aire a velocidad
constante describiendo un péndulo cónico. Si la
cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. ¿cuál
será la velocidad de la bola?
La tensión es ahora una fuerza oblicua
que descomponemos en Tx que será la
fuerza centrípeta y Ty que neutralizará
el peso de la bola:
0,2 kg · v2
Tx = T · sen 30º = ——————
1,5 m · sen 30º
Ty = T · cos 30º = 0,2 kg · 9,8 m/s2
= 1,96 N
Resolviendo el sistema obtenemos que:
v = 2,06 m/sv = 2,06 m/s

43. 43
Movimiento de un cubo en vertical.
• T + P = m · an
• Ecuaciones escalares:Ecuaciones escalares:
• Arriba: T + m· g = m· an= m·v2
/ R
• Abajo: T – m· g = m· an= m·v2
/ R
• Si v = cte, T tiene que ser mucho mayor abajo.
• La velocidad mínimavelocidad mínima para que el agua no caiga se
obtendrá cuando T (arriba) tome el mínimo valor
posible, es decir 0.
• m· g = m·v2
/ R ⇒ v = √ g· R

44. 44Ejemplo: La misma bola gira ahora en
un plano vertical. Sabiendo que
vA = 10 m/s, vB = 8,4 m/s, vC = 6,4 m/s,
calcular la tensión de la cuerda en cada
punto y la aceleración tangencial.
a)a) m · v2
TA – m · g = ———
R
0,2 kg · (10 m/s)2
TA= 1,96 N + ———————— = 15,3 N15,3 N
1,5 m
b)b) m · v2
0,2 kg · (8,4 m/s)2
TB = ——— = ———————— = 9,4 N9,4 N
R 1,5 m
c)c) m · v2
0,2 kg · (6,4 m/s)2
TC = ——— – m · g = ———————— – 1,96 N = 3,5 N3,5 N
R 1,5 m
Sólo existe at en B pues FT= P (m· at = m· g) ⇒ at = g = 9,8 m/s9,8 m/s22
En a) y c) a es nula.

45. 45
Curvas sin peralte (con rozamiento)
• La fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva
es precisamente la fuerza centrípeta.
v2
FR = µe · m · g = m · —
R
• Eliminando la masa podemos obtener el radio en
función de la velocidad o viceversa:
µ·g
v
R
2
= gRv ⋅⋅= µ

46. 46
Ejemplo: Un coche de 1500 kg circula a 30 m/s por
una carretera siendo 0,2 su coeficiente de rozamiento
estático entre las ruedas y el suelo. Calcula el radio
mínimo de la curva sin peraltar.
v2
(30 m/s)2
R = ——— = —————— = 459 m459 m
g · µ (9,8 m/s2
)· 0,2

47. 47
Curvas peraltadas (sin rozamiento)
Nx = N · sen α ; Ny = N · cos α
m g
∑ Fy = 0 ⇒ N · cos α – m g = 0 ⇒ N = ——
cos α
La Nxes la responsable del giro:
m g
Nx = N · sen α = —— · sen α
cos α
v2
Nx = m g · tg α = m · —
R α
αtg·g
v
R
2
=

48. 48Ejemplo: Un coche de 1200 kg circula por una curva
de 50 m de radio peraltada 30º. Suponiendo que no
exísta rozamiento cuál será la velocidad que deberá
llevar para no derrapar. ¿Qué ocurriría si llevara
una velocidad inferior?
v = (R · g · tg α)½
= (50 m · 9,8 m·s–2
· tg 30º)½
v = 16,8 m/sv = 16,8 m/s
Si “v” fuese inferior iría cayendo hacia el interior
del peralte al no existir rozamiento.

49. 49
Ejercicio: ¿Por qué los astronautas situados en la
Estación Internacional Alfa a sólo unos cientos de
km de la superficie terrestre flotan en la nave?
• Su peso es algo menor que en la superficie de
la Tierra, pero es bastante significativo.
• Debido a que el peso está dirigido hacia el
centro de la Tierra, actúa de fuerza centrípeta
que lo mantiene en órbita (está continuamente
cayendo).
• Si utilizáramos un sistema de referencia no
inercial (la nave), tendríamos que acudir a una
fuerza inercial (centrifuga) para explicar el
aparente equilibrio.

50. 50
Ejercicio: ¿Cual será la altura de una órbita
geoestacionaria? (los satélites permanecen siempre en
la vertical de un punto de la Tierra)
• La velocidad angular del satélite es igual a la
terrestre: 2π rad / 86164 s = 7,29 ·10–5
rad/s
• El peso del satélite es igual a la fuerza centrípeta:
MT
m · G · ———— = m · ω2
·(RT+ h)
(RT+ h)2
MT N m2
5,98·1024
kg
(RT+ h)3
= G · —— = 6,67 ·10–11
—— · ———————
ω2
kg2
(7,29 ·10–5
s–1
)2
RT+ h= 4,22 ·107
m
h= 4,22 ·107
m – 6,37 ·106
m = 3,58 · 103,58 · 1077
mm

51. 51
Ejercicio: ¿Cuántas veces menos pesará un objeto
situado en un satélite en órbita geoestacionaria en
comparación la superficie terrestre?
• El peso de un objeto en la superficie terrestre es:
m · 9,8 m/s2
.
• El peso en la órbita geoestacionaria es:
MT N m2
5,98·1024
kg
m · G · ———— = m · 6,67 ·10–11
—— · ——————
(RT+ h)2
kg2
(4,22 ·107
m)2
= m · 0.224 m/s2
• El cociente es: m · 9,8 m/s2
—————— = 43,8 veces menos43,8 veces menos
m · 0.224 m/s2