Dokumen tersebut membahas tentang analisis matematika. Ringkasannya adalah: 1. Membuktikan teorema integral Riemann untuk fungsi terbatas pada interval tertentu 2. Membuktikan ketidakterbatasan integral Riemann untuk fungsi kontinu 3. Menjelaskan hubungan antara integral Riemann dengan integral Riemann-Stieltjes [/ringkasan]

1. ANALISIS MATEMATIKA
NAMA : NURUL CHAIRUNNISA UTAMI PUTRI
NIM : 1620070008
FAK / JUR : SAINS & TEKNOLOGI / MATEMATIKA
http://roelcup.wordpress.com
UNIVERSITAS ISLAM AS-SYAFI’IYAH
JAKARTA TIMUR
2010

2. 1. Buktikan : Jika P = { , , ,… , } adalah sebuah partisi pada interval
[ , ] dan ∈ [ , ] untuk = , , , … , , maka untuk sembarang fungsi
[ , ]
( , )≤ ( ). ( − )≤ ( , )
Jawab :
Dimisalkan selang tertutup [ , ] → selang yang di berikan.
Sebelumnya, Partisi P dari interval selang [a,b] adalah sebuah himpunan berhingga dari titik-
titik
, , ,… , , dimana
= , ≤ ≤⋯ ≤ ≤ =
Dapat di ilustrasikan dengan gambar.
Paling sedikit anggota partisi adalah 2 . Anggotanya bisa a dan b. atau
a= b=
Jarak antara dua partisi terdekat ialah : ∆ = − ( = , , ,…, )
Contoh → ∆ = −
Dan adalah anggota dari [ , ] , atau ∈ [ , ]

3. Contoh → ∈ [ , ]
untuk = , , , … ,
a= b=
Dan terdapat titik anggota dari [ , ] , atau ∈ [ , ]
Contoh → ∈ [ , ]
untuk = , , , … ,
( )≤
∈ [ , ]
( )≥
( , )≤ ( ). ( − )≤ ( , )
Dapat di ilustrasikan dalam bentuk kurva.
Dari fungsi ƒ.
Batas atas → di atas tak berhingga banyak. Kalau continue, berarti batas atasnya di
.
( ) ƒ
( )
= ( )
= ( )
ƒ( )
a= =

4. = ƒ( ) ( ≤ ≤ )
= ƒ( ) ( ≤ ≤ )
Misalkan
= ƒ( ) ( ≤ ≤ )
= ƒ( ) ( ≤ ≤ )
Maka
( , ƒ) = = + +⋯+
( , ƒ) = = + +⋯+
( , ƒ) ≤ ( , ƒ)
ƒ
P={ , }
→ ( , ƒ) =
→ ( , ƒ) =

5. P={ , } ƒ
( )
( )
( )
= =
( , ƒ) = + =
( , ƒ) = + =
( )≤
∈ [ , ]
( )≥
Maka makin sedikit partisinya
( , ƒ) , ( , ƒ) .
Maka :
( , )≤ ( ). ( − )≤ ( , )
Integral atas
( ) = ( , ƒ)
Integral bawah
( ) = ( , ƒ)

6. Jika
( ) = ( )
( , ƒ) = ( , ƒ), maka sebagai ƒ terintegral Riemann, yang di tulis dengan ƒ∈ ( )
Dengan ℛ = Himpunan fungsi-fungsi yang terintegral Riemann
M ≤ ƒ( ) ≤ ( ≤ ≤ )
ƒ
ƒ(b)
ƒ(x)
ƒ(a)
( − )
0
a b
Untuk setiap P
( − ) ≤ ( , ƒ) ≤ ( , ƒ) ≤ ( − )
Dan
( , )≤ ( ). ( − )≤ ( , )
2. Buktikan :
Jika fungsi f kontinu di ∈ [ , ], maka

7. ( )− ( )
<
−
untuk setiap bilangan positif .
Jawab :
Sekarang Jika fungsi kontinue di ∈ [ , ] , diberikan sembarang > 0 pilih >0
sedemikian sehingga
| ( ) − ( )| <
Jika | − | < , ≤ ≤ . sehingga , jika
− < ≤ ≤ < + ≤ < ≤
u t
− +
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
Pembuktian :
( )− ( )
− ( ) = ( ( ) − ( )) − ( )
− −
( )− ( )
− ( ) = ( ) − ( )
− − −
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )]
− −
( )=

8. Bukti bahwa
( )= ( )
−
( ) = [ ( ) ]
−
( ) = ( ( ) − ( ) )
−
( )= ( )( − )
−
( − )
( ) = ( )
( − )
( ) = ( )
Kembali lagi ke atas,
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
= [ ( ) − ( ) ]
−
= [( ( ) − ( ) ) − ( ( ) − ( ) )]
−
= [( ( ) − ( )) − ( ( ) − ( )) ]
−
= [( ( ) − ( ))( − )]
−
= [ ( ) − ( )] <
Menurut pengertian kontinue | ( ) − ( )| <
Maka terbukti bahwa

9. ( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
Sehingga,
( )− ( )
<
−

10. 3. Buktikan bahwa Integral Riemann adalah Integral Riemann-Stieltjes Khusus !
Jawab :
( ) ( )
Ini disebut Integral Riemann Stieltjes ( bentuk sederhana dari integral Steiltjes ) dari ƒ dengan
α di [a,b]. jika ∫ ada,. Jika ∫ = ( , ƒ, ) dan ∫ = ( , ƒ, )
bernilai Sama, dikatakan bahwa ƒ itu terintegral terhadap α,di persamaan Riemann, dan ditulis
ƒ∈ ( ).
Jika ∫ = ∫ , maka ƒ terintegral Stieltjes atau Riemann-Stieltjes terhadap α.
Ditulis :
ƒ∈ ( ).
Keterengan : ( ) = himpunan fungsi-fungsi Riemann-Stieltjes
Jika ( ) = , maka integral Riemann-Stieltjes akan menjadi antegral Riemann.
Disebutkan dengan jelas, bahwa bentuk umum tidak continue.
Bebeapa kata mengatakan tentang notasi. Biasanya digunakan pada ∫ untuk
∫ ( ) ( ) karena jika nampak di ∫ ( ) ( ) tidak meambah pengertian apapun di
∫ . Itu tidaklah penting Karen hanya sebuah variable integral. Sebagai contoh pada
∫ ( ) ( )yaitu
( ) ( )
Integral yang tergantung pada ƒ, α, a dan b, tapi tidak pada vaiabel integral yang boleh
di hilangkan
Peran variable integral yaitu hanya sebagai tambahan ; terdapat 2 simbol
,
Yaitu sama, karena + + …+ .

11. Tentu saja tidaklah sulit memasukkan variable di integral dan dalam banyak bentuk
mudah untuk di kerjakan.
Kita akan menyelidki adanya integral pada ∫ kita asumsikan ƒ nyata dan terbatas,
dan α monoton naik di [a,b], jika kita tulis ∫,maka di tulis ∫ .

12. 4. Berikan 3 contoh ( tidak boleh sama persis dengan yang ada di buku ) fungsi terintegral
Riemann-Stieltjes beserta buktinya !
Jawab :
(a) ∈ ( ) ∈ ( ) [ , ],
+ ∈ ( )
∈ ( ) ,
( + ) = + ,
= .
Contoh 1:
( + ) = +
.( + ) = ( + ) = +
Diketahui dari atas:
= = .
=( + )
(b) Jika ∈ ( ) ∈ ( ), maka ∈ ( + ), dan
( + )= +
Jika ∈ ( ) dan c adalah bilangan konstan positif, maka ∈ ( ) dan
( )=
Contoh 2 :
( + )= +

13. ( + )= ( + )
= +
= +
(c) Jika ∈ ( ) [ , ] dan jika < < , maka ∈ ℛ( ) pada [ , ] dan pada
[ , ] , dan
+ =
ƒ
a b c
Contoh 3 :
+ =
] + ] = ]
{ ( )− ( )}+ { ( )− ( )} = { ( )− ( )}
( − )+( − )=( − )
=

14. Contoh 4.
Misal f(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3],
Dari teorema 6.12 a kita buktikan bahwa
( + 2 ) = + 2
1 1
+ = +[ ]
3 3
1 1 1 1
3 +3 − 1 +1 = 3 − 1 + (3 − 1 )
3 3 3 3
1 1
9+9− +1 = 9− +9−1
3 3
4 26
18 − = +8
3 3
54 4 26 24
− = +
3 3 3 3
50 50
=
3 3
Terbukti...!!!
Contoh 5
Jika f(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3] dan 1 < 2 < 3 dan jika f(x) = x2 + 2x
terintegral Riemann di [1,2] dan di [2,3]
Sehingga dari teorema 6.12 c kita buktikan bahwa
( + 2 ) + ( + 2 ) = ( +2 )

15. 1 1 1
+ + + = +
3 3 3
1 1 1 1 1 1
2 +2 − 1 +1 + 3 +3 − 2 +2 = 3 +3 − 1 +1
3 3 3 3 3 3
8 12 1 3 27 27 8 12 27 27 1 3
+ − + + + − + = + − +
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
50 50
=
3 3
Terbukti...!!!
Contoh 6
Jika f1(x) = x + 2 ≤ f2(x) = x2 + 2x terintegral Riemann di [1,3]
Sehingga dari teorema 6.12 b kita buktikan bahwa
( + 2) ≤ ( +2 )
1 1
+2 ≤ +
2 3
1 1 1 1
3 + 2.3 − 1 + 2.1 ≤ 3 + 3 − 1 + 1
2 2 3 3
9 12 1 4 27 27 1 3
+ − + ≤ + − +
2 2 2 2 3 3 3 3
16 50
≤
2 3
Terbukti...!!!

16. 5. Buktikan : Jika h terintegral Riemann pada [ , ] dan didefinisikan
( )= ( ) .
untuk ∈ [ , ] , maka
a. kontinu pada [ , ].
b. Jika kontinu di ∈ [ , ] , maka terdiferensial di dan ’( ) = ( ).
Jawab :
Penjelasan berupa gambar :
ℎ
( )
keterangan :
( )→
( )→
| ( )− ( )| = ∫ ( ) →
Bukti :
Saat ∈ ( ), adalah suatu pembatas. Misalkan | ( )| ≤ untuk ≤ ≤ . jika ≤ <
≤ , maka
| ( )− ( )| = ( ) ≤ ( − )

17. Dari teorema 6.1(c) dan (d). diberikan sembarang > 0, kita dapat melihat bahwa
| ( )− ( )| < ,
| ( )| ≤
| ( )− ( )| = ( ) ≤ | ( )| ≤ = . = ( − )
Teo. 6.13 Teo. 6.12(d)
| ( )− ( )| <
Hal ini membuktikan bahwa | − |< = terbukti kontinue pada .
∴ Terbukti bahwa kontinue Seragam.
Sekarang , Jika terdapat fungsi kontinue di , diberikan sembarang > 0 pilih >0
sedemikian sehingga
| ( ) − ( )| <
Jika | − | < , ≤ ≤ . sehingga , jika
− < ≤ ≤ < + ≤ < ≤
r s
− +
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
Pembuktian :
( )− ( )
− ( ) = ( ( ) − ( )) − ( )
− −
( )− ( )
− ( ) = ( ) − ( )
− − −

18. ( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )]
− −
( )=
Bukti bahwa
( )= ( )
−
( ) = [ ( ) ]
−
( ) = ( ( ). − ( ). )
−
( ) = ( )( − )
−
( − )
( ) = ( )
( − )
( ) = ( )
Kembali lagi ke atas,
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
Bukti bahwa
[ ( ) − ( )] = [ ( ) − ( )] <
−
Yaitu :
= [ ( ). − ( ). ]
−

19. = [ ( ( ). − ( ). ) − ( ( ). − ( ). ) ]
−
= ( )− ( ) − ( )− ( )
−
= ( )− ( ) ( − )
−
= [ ( ) − ( )] <
Menurut pengertian kontinue | ( ) − ( )| <
Maka terbukti bahwa
( )− ( )
− ( ) = [ ( ) − ( )] <
− −
( )− ( )
= ( )
−
Berdasarkan teorema nilai tengah
∴ Setiap ℎ kontinue dan setiap ada 2 titik yang berbeda , maka ada titik diantara 2 titik yang
berbeda itu, sedemikian sehingga adalah ′( ). Maka
( )− ( )
= ( )= ( )
−
Maka terdefferensial di k dan ’( ) = ( )
Dan TERBUKTI …!!!

20. 6. Jika adalah ruang metric kompak dan 〈 〉 adalah barisan fungsi-fungsi real yang
kontinue seragam dan terbatas titik demi titik pada , maka terdapat bilangan
sedemikian hingga | ( )| ≤ untuk semua di dalam dan = , , , . ..
Buktikan !
Jawab :
Notasi :
{ } adalah barisan fungsi-fungsi real yang kontinue seragam dan terbatas titik demi titik
pada E.
{ }= , , ,…
( )
( )
( )
( )
...
...
( )
x y b
0
{ ( )} adalah barisan bilangan
Terdapat bilangan sedemikian sehingga | ( )| ≤
Untuk semua = , , , . ..

21. Kurva disini berupa fungsi barisan bilangan sebanyak anggota yang dimiliki interval [ , ]
{ ( )} → ( ), ( ), ( ), …
setiap titik ∈ akan menghasilkan suatu barisan bilangan dan titiklain juga akan
menghasilkan suatu barisan bilangan (misal y)
apabila semua barisan bilangan yang terbentuk adalah konvergen maka dapat didefiniskan
suatu fungsi dimana
( )= ( ) …( ∈ )
→
Sehingga terdapat fungsi baru yang dinamakan fungsi .
fungsi → fungsi konvergensi dari fungsi barisan bilangan { ( )}. Maka,dikatakan bahwa
barisan fungsi { ( )} konvergen pada adalah limit atau fungsilimit dari barisan { }
dan jenis konvergennya adalah titik demi titik
jika ∑ ( ) adalah suau deret bilangan yang konvergen untuk setiap ∈ , dan jika
didefinisikan
( )= ( ) ; …( ∈ )
Maka fungsi dinamakan jumlah dari deret ∑ (deret fungsi)
Dan TERBUKTI...!!!

22. 7. Jelaskan manfaat Teorema Pendekatan Weierstrass !
Jawab :
 Jika adalah sebuah fungsi komplex kontinue pada [ , ], dimana sebuah barisan
polinomial sedemikian sehingga
( )= ( )
→∞
Seragam pada [ , ], jika Real , mungkin juga dapat Real.
 Manfaatnya adalah untuk pembuatan pesawat terbang. Mulai dengan perhitungan
berapa panjang sayap pesawat agar bisa seimbang dalam penerbangan, seimbang dalam
putar haluan atau arah. Berat pesawat yang ideal juga dapat diperhitungkan agar
pesawat tidang terlalu berat dan tidak terlalu ringan.

23. 8. Buktikan bahwa norma supremum adalah suatu metrik !
Jawab :
Misal f terbatas di selang [a,b] dan p adalah partisi dari selang [a,b]
( )= ( ≤ ≤ )
( , )= = + +⋯+
Dapat dirubah menjadi
= + + ⋯+
= [ … ] …
Maka terbukti bahwa supremum adalah metrik

24. Nurul Chairunnisa Utami Putri :
http://roelcup.wordpress.com
roelcup@gmail.com
cup_13@yahoo.co.id