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Euklidischer Abstand dE                          y                              A                     yA       Euklid  (3....
Minkowski-Metriken Hermann Minkowski   (1864 – 1909)                     D. Totaro & C. Spannagel
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  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • Im Zweiergruppen bearbeiten!
  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • 3. Folge: z.B. 9, 11, 13: ungerade Zahlen; oder aber 11, 13, 17: Primzahlen ab 3 4. Folge: z.B. 1, 6, 1; oder aber 9, 2, 6: Ziffern von Pi
  • Beweis der ersten drei Axiome trivial. Problem bei der Dreiecksungleichung: Minkowski hat diese für die Lp-Räume bewiesen, indem er die Höldersche Ungleichung verwendet hat. Hier nur zweidimensionale Formulierung; eigentlich mit Summenzeichen etc. Minkowski studierte an den Universitäten von Berlin und später Königsberg , wo er 1885 promovierte . Anschließend lehrte an den Universitäten Bonn , Königsberg ( 1895 ) und Zürich ( 1896 ). In Königsberg lernte er David Hilbert kennen, mit dem ihn eine lebenslange Freundschaft verband. 1902 übernahm er einen Lehrstuhl in Göttingen, den er bis zu seinem Tode inne hatte. In Göttingen wurde er von Hilbert in mathematischer Physik unterwiesen, beschäftigte sich mit der der Theorie der Elektronen und der Elektrodynamik. Um 1907 erkannte Minkowski, dass die Arbeiten von Hendrik Antoon Lorentz und Albert Einstein in einem nicht-euklidischen Raum verstanden werden können. Er vermutete, dass Raum und Zeit, die bis dahin als unabhängig voneinander angesehen wurden, in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum miteinander verbunden sind und verfasste Abhandlungen über eine vierdimensionale Elektrodynamik. Seine Ideen zum Raum-Zeit-Kontinuum entwickelte Einstein später zu seiner Relativitätstheorie weiter. Im Alter von 44 Jahren erlitt Minkowski einen Blinddarmdurchbruch. Zu dieser Zeit waren operative Eingriffe zur Heilung der Krankheit noch nicht üblich und sein Tod absehbar. In den letzten Stunden versuchte er noch zahlreiche Manuskripte zu vervollständigen. Er verstarb am 12. Januar 1909. Kumpel von Hilbert Minkowski-Raum / Minkowski-Welt: vier Dimensionen, drei Dimensionen für den Raum und eine Dimension für die Zeit! Minkowski stellte fest, dass die Arbeiten von Lorenz und Einstein am Besten mit einer vierdimensionalen, nicht-euklidischen Geometrie erklärt werden konnten. Wir bewegen uns nicht in einem dreidimensionalen euklidischen Raum, sondern in einem vierdimensionalen nicht-euklidischen Raum!
  • Die Beteiligten haben die Situation unterschiedlich interpretiert. Sie hatten beide ein unterschiedliches mathematisches Modell der Situation angefertigt. Was ist eigentlich ein mathematisches Modell? Dazu müssen wir erst einmal klären, was ein Modell ist.
  • Pollack: Unterscheidung zwischen Mathematik und „dem Rest der Welt“ „ Anwenden von Mathematik“, „anwendungsbezogene Mathematik“ A) Ausgangspunkt: problemhaltige Situation Alpha) Betrachter / Problemlöser muss sich mit der Situation vertraut machen, Problem formulieren, von Details abstrahieren, vereinfachen, idealisieren, strukturieren etc. abstrahieren B) Reales Modell der Ausgangssituation, welches zum einen noch so differenziert ist, dass es wesentliche Züge der Situation wiedergibt, zum anderen aber schon so strukturiert und Vereinfacht ist, dass es einen Zugang mit mathematischen Mitteln ermöglicht Beta) Mathematisierung: Übersetzung des Realmodells in die Sprache der Mathematik (In diesem Fall nach (RxR, d_2)). Hierbei werden auch umgangssprachlich gefasste Aussagen Mathematisch formuliert (Beispielsweise „der kürzeste Weg zwischen A und B“ mit Hilfe von d_2(A,B) Mathematisieren: Transformieren der Realität in die Mathematik Identifikation „relevanter Mathematik“ Repräsentieren des Problems Annahmen machen Generalisieren und Formalisieren (Abstrahieren) C) Mathematisches Modell; besteht aus Objekten (Funktionen, Punkten, …), die eine Entsprechung im Realmodell haben, und aus deren Beziehungen untereinander NCTM: Math. Modell = Mathematische Repräsentation der Elemente und Beziehungen in einer idealisierten Version eines komplexen Phänomens Muss sich nicht nur um Formeln o.ä. handeln, sondern können auch Zeichnungen, Beschreibungen der Struktur oder gut ausgefeilte Pläne sein Gamma) Arbeiten innerhalb des mathematischen Modells; rechnen, beweisen, Schlussfolgerungen ziehen, …); auch deduzieren (vgl. Schupp, 1988). Mathematisches Modell muss nicht unbedingt Formelsprache sein. Die hier gewonnen Aussagen haben nur auf der Ebene des Modells Gültigkeit!!! D) Mathematische Resultate Delta) müssen rückübersetzt werden! Es könnte sein, dass durch die ganzen Vereinfachungen sich Fehler derart eingeschlichen haben, dass die Lösung in der Realität keinen Sinn mehr macht. In manchen Fällen ist die reale Situation so komplex, dass ein Rückübersetzen in das reale Modell vorgenommen werden muss. Die Frage: Was das Modell brauchbar? VALIDIERUNG des Modells! 4. Pfeil: Validierung (findet in allen Phasen statt, aber besonders und explizit am Ende) Wenn herauskommt, dass das Modell unbrauchbar war, dann muss es modifiziert oder durch ein anderes ersetzt werden, d.h. der Kreislauf muss nochmal durchlaufen werden, und evtl. nochmal, usw… Wird häufig nicht linear durchlaufen. Z.B. wird das Realmodell häufig schon hinsichtlich der Mathematisierbarkeit gebildet („Blick nach vorn“), und Real- und Mathematisches Modell sind oft nur schwer zu trennen. In der Schule häufig vereinfacht, z.B. beim direkten Anwenden oder in eingekleideten Aufgaben. Es gibt auch so etwas wie „innermathematisches Modellieren“. D.h. z.B. PISA 2000, die Oberfläche einer vorgegebenen Pyramide berechnen. Hier Muss für einen rein mathematischen Körper ein mathematisches Modell erstellt werden.
  • Pollack: Unterscheidung zwischen Mathematik und „dem Rest der Welt“ „ Anwenden von Mathematik“, „anwendungsbezogene Mathematik“ A) Ausgangspunkt: problemhaltige Situation Alpha) Betrachter / Problemlöser muss sich mit der Situation vertraut machen, Problem formulieren, von Details abstrahieren, vereinfachen, idealisieren, strukturieren etc. abstrahieren B) Reales Modell der Ausgangssituation, welches zum einen noch so differenziert ist, dass es wesentliche Züge der Situation wiedergibt, zum anderen aber schon so strukturiert und Vereinfacht ist, dass es einen Zugang mit mathematischen Mitteln ermöglicht Beta) Mathematisierung: Übersetzung des Realmodells in die Sprache der Mathematik (In diesem Fall nach (RxR, d_2)). Hierbei werden auch umgangssprachlich gefasste Aussagen Mathematisch formuliert (Beispielsweise „der kürzeste Weg zwischen A und B“ mit Hilfe von d_2(A,B) Mathematisieren: Transformieren der Realität in die Mathematik Identifikation „relevanter Mathematik“ Repräsentieren des Problems Annahmen machen Generalisieren und Formalisieren (Abstrahieren) C) Mathematisches Modell; besteht aus Objekten (Funktionen, Punkten, …), die eine Entsprechung im Realmodell haben, und aus deren Beziehungen untereinander NCTM: Math. Modell = Mathematische Repräsentation der Elemente und Beziehungen in einer idealisierten Version eines komplexen Phänomens Muss sich nicht nur um Formeln o.ä. handeln, sondern können auch Zeichnungen, Beschreibungen der Struktur oder gut ausgefeilte Pläne sein Gamma) Arbeiten innerhalb des mathematischen Modells; rechnen, beweisen, Schlussfolgerungen ziehen, …); auch deduzieren (vgl. Schupp, 1988). Mathematisches Modell muss nicht unbedingt Formelsprache sein. Die hier gewonnen Aussagen haben nur auf der Ebene des Modells Gültigkeit!!! D) Mathematische Resultate Delta) müssen rückübersetzt werden! Es könnte sein, dass durch die ganzen Vereinfachungen sich Fehler derart eingeschlichen haben, dass die Lösung in der Realität keinen Sinn mehr macht. In manchen Fällen ist die reale Situation so komplex, dass ein Rückübersetzen in das reale Modell vorgenommen werden muss. Die Frage: Was das Modell brauchbar? VALIDIERUNG des Modells! 4. Pfeil: Validierung (findet in allen Phasen statt, aber besonders und explizit am Ende) Wenn herauskommt, dass das Modell unbrauchbar war, dann muss es modifiziert oder durch ein anderes ersetzt werden, d.h. der Kreislauf muss nochmal durchlaufen werden, und evtl. nochmal, usw… Wird häufig nicht linear durchlaufen. Z.B. wird das Realmodell häufig schon hinsichtlich der Mathematisierbarkeit gebildet („Blick nach vorn“), und Real- und Mathematisches Modell sind oft nur schwer zu trennen. In der Schule häufig vereinfacht, z.B. beim direkten Anwenden oder in eingekleideten Aufgaben. Es gibt auch so etwas wie „innermathematisches Modellieren“. D.h. z.B. PISA 2000, die Oberfläche einer vorgegebenen Pyramide berechnen. Hier Muss für einen rein mathematischen Körper ein mathematisches Modell erstellt werden.
  • Taxigeometrie

    1. 1. TaxigeometrieAusgewählte Kapitel der Mathematik Wintersemester 2012 / 2013 D. Totaro & C. Spannagel D. Totaro & C. Spannagel
    2. 2. Mathematik-Kongress in Mannheim 12 € 20 € !Taxicabs by Bochumi http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Treinstationstaxi%27s_Bochum.JPG (public domain) D. Totaro & C. Spannagel
    3. 3. Wie der Mathematiker gedacht hat… Hotel Konferenz D. Totaro & C. Spannagel
    4. 4. Wie der Taxifahrer gedacht hat… Hotel KonferenzKarte von openstreetmap.org. Die Kartendaten stehen unter der ODbL, die Kartografie unter CC-BY-SA© OpenStreetMap-Mitwirkende http://www.openstreetmap.org/copyright D. Totaro & C. Spannagel
    5. 5. Taxigeometrie Taxigeometrie Taxigeraden D. Totaro & C. Spannagel
    6. 6. Taxigeometrie Taxigeometrie Taxipunkte D. Totaro & C. Spannagel
    7. 7. Taxigeometrie Taxigeometrie 1 4 3 D. Totaro & C. Spannagel
    8. 8. Taxigeometrie Taxigeometrie 4 2 D. Totaro & C. Spannagel
    9. 9. Taxigeometrie Taxigeometrie 1 4 1 D. Totaro & C. Spannagel
    10. 10. Taxigeometrie Der Taxiabstand Der Taxiabstand der beiden Punkte beträgt 6. D. Totaro & C. Spannagel
    11. 11. Taxigeometrie: Aufgabena) Berechnen Sie den Taxiabstand zwischen den Punkten A und B.b) Geben Sie alle Taxipunkte an, die zu A den Taxiabstand 3 A haben.c) Es soll eine Haltestelle eingerichtet werden, die gleich weit entfernt von A und B ist. Welche Taxipunkte B kommen in Frage? D. Totaro & C. Spannagel
    12. 12. Metrik: Axiomatische Definition Sei M eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle gilt: 1. gdw. 2. 3. D. Totaro & C. Spannagel
    13. 13. Taxiabstand dT y A yA Hermann Minkowski (1864 – 1909) yB B x xA xB D. Totaro & C. Spannagel
    14. 14. Euklidischer Abstand dE y A yA Euklid (3. Jh. v. Chr.) yB B x xA xB D. Totaro & C. Spannagel
    15. 15. Minkowski-Metriken Hermann Minkowski (1864 – 1909) D. Totaro & C. Spannagel
    16. 16. Was in den Köpfen vor sich geht… Hotel Hotel Konferenz dE Konferenz dT 12 € 20 € ! D. Totaro & C. Spannagel
    17. 17. Mathematische Modellierung… dE 12 € Mathematisches Mathematische Modell Ergebnisse verarbeiten mathematisieren interpretieren Mathematik Realität Reale strukturieren Realmodell Ergebnisse validieren Realsituation D. Totaro & C. Spannagel
    18. 18. Mathematische Modellierung… dT 20 € Mathematisches Mathematische Modell Ergebnisse verarbeiten mathematisieren interpretieren Mathematik Realität Reale strukturieren Realmodell Ergebnisse validieren Realsituation D. Totaro & C. Spannagel

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