Teilbarkeit und       PrimzahlenAusgewählte Kapitel der Mathematik    Wintersemester 2012 / 2013     D. Totaro & C. Spanna...
Überblick Teilbarkeit und Primzahlen •   Was bedeutet Teilbarkeit? •   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es? •   Was sind arm...
Aufgaben  Lösen Sie folgende Aufgaben:  Bilden Sie 5-stellige Zahlen die teilbar sind:  a)        durch 15  b)        durc...
Definition Teilbarkeit ist eine Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen.    Man schreibt: a I bhttp://de.wikipedia.org/wiki/...
Überblick             Teilbarkeit und Primzahlen•   Was bedeutet Teilbarkeit?•   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?•   Was...
Teilbarkeitsregeln Wiederholen Sie gemeinsam die Teilbarkeitsregeln. Wann ist eine Zahl durch folgende Zahlen teilbar:   2...
Teilermenge  Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man  Teilermenge.  Schreiben Sie die Teilermenge von 36 a...
Teilersumme    Unter der Teilersumme einer natürlichen    Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl.   Beispiel...
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Teilersumme   Eine natürliche Zahl n > 1 heißt…    …teilerarm, wenn die echte Teilersumme kleiner ist    als n.    Echte T...
Teilersumme    Finden Sie noch weitere Beispiele für…    …eine teilerarme Zahl.    …eine teilerreiche Zahl.    ***…eine vo...
Teilersumme        Wie sieht die Teilersumme          einer Primzahl aus?                                    D. Totaro & C...
Überblick             Teilbarkeit und Primzahlen•   Was bedeutet Teilbarkeit?•   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?•   Was...
Definition Das Wort „Primzahl“(numerus primus) bedeutet „die erste Zahl“. Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die ge...
Finden Sie alle Primzahlen…Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosth...
Überblick            Teilbarkeit und Primzahlen•   Was bedeutet Teilbarkeit?•   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?•   Was ...
Finden Sie alle Primzahlen…Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosth...
Primzahlen - Besonderheiten Was fällt bei der Verteilung der Primzahlen auf? Was könnten Primzahlzwillinge sein? 2, 3, 5, ...
Überblick             Teilbarkeit und Primzahlen•   Was bedeutet Teilbarkeit?•   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?•   Was...
Primzahlzwillinge   Die Primzahlen 2 und 3 sind die einzigen unmittelbar   benachbarten Primzahlen.   Zwischen allen übrig...
Primzahlzwillige – Wo? Suchen Sie Primzahlzwillinge! 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 6...
Bausteine für natürliche Zahlen?Vgl. Padberg 2008, S.13                                   D. Totaro & C. Spannagel
Überblick             Teilbarkeit und Primzahlen•   Was bedeutet Teilbarkeit?•   Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?•   Was...
Primzahlen und der Rest der Welt...   …Bei den Tieren: Lebenslauf einer Zikade                                            ...
Primzahlen und der Rest der Welt...   … Bei den Pflanzen: Die FichteFoto by: Heinz Seehagel: http://de.wikipedia.org/w/ind...
Primzahlen und der Rest der Welt… …In der Technik: Die VerschlüsselungstechnikGrafik by:Stern: http://de.wikipedia.org/w/i...
Und zum Schluss… …noch ein einfaches Verschlüsselungsbeispiel:          19 03 08 15 05 14 05                              ...
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  1. 1. Teilbarkeit und PrimzahlenAusgewählte Kapitel der Mathematik Wintersemester 2012 / 2013 D. Totaro & C. Spannagel D. Totaro & C. Spannagel
  2. 2. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen • Was bedeutet Teilbarkeit? • Welche Teilbarkeitsregeln gibt es? • Was sind arme und reiche Zahlen? • Was sind Primzahlen? • Was ist das Sieb des Eratosthenes? • Was sind Primzahlzwillinge? • Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  3. 3. Aufgaben Lösen Sie folgende Aufgaben: Bilden Sie 5-stellige Zahlen die teilbar sind: a) durch 15 b) durch 3, aber nicht durch 9 c) durch 3 und 8 d) durch 2, aber nicht durch 4Bild by: Bdesham: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Text_document_with_red_question_mark.svg?uselang=de D. Totaro & C. Spannagel
  4. 4. Definition Teilbarkeit ist eine Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Man schreibt: a I bhttp://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit D. Totaro & C. Spannagel
  5. 5. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  6. 6. Teilbarkeitsregeln Wiederholen Sie gemeinsam die Teilbarkeitsregeln. Wann ist eine Zahl durch folgende Zahlen teilbar: 2 3 4 5 6 7 8 9 D. Totaro & C. Spannagel
  7. 7. Teilermenge Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man Teilermenge. Schreiben Sie die Teilermenge von 36 auf und dann die Teilermenge von 24. Erstellen Sie nun ein Venn-Diagramm. Welches ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)? ***Was wäre das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 36 und 24?Bild by: Bdesham: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Text_document_with_red_question_mark.svg?uselang=de D. Totaro & C. Spannagel
  8. 8. Teilersumme Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl. Beispiel: Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12. Die echte Teilersumme der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst. Die echte Teilersumme der Zahl 6 lautet also 1+2+3 = 6http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme D. Totaro & C. Spannagel
  9. 9. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  10. 10. Teilersumme Eine natürliche Zahl n > 1 heißt… …teilerarm, wenn die echte Teilersumme kleiner ist als n. Echte Teilersumme von 10: 1+2+5 = 9 …teilerreich, wenn die echte Teilersumme größer ist als n. Echte Teilersumme von 12: 1+2+3+4+6= 16 …vollkommen, wenn die echte Teilersumme gleich n ist. Echte Teilersumme von 6: 1+2+3=6http://de.wikipedia.org/wiki/Teilersumme D. Totaro & C. Spannagel
  11. 11. Teilersumme Finden Sie noch weitere Beispiele für… …eine teilerarme Zahl. …eine teilerreiche Zahl. ***…eine vollkommene Zahl.Bild by: Bdesham: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Text_document_with_red_question_mark.svg?uselang=de D. Totaro & C. Spannagel
  12. 12. Teilersumme Wie sieht die Teilersumme einer Primzahl aus? D. Totaro & C. Spannagel
  13. 13. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  14. 14. Definition Das Wort „Primzahl“(numerus primus) bedeutet „die erste Zahl“. Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (nämlich 1 und p). Welche dieser Zahlen sind Primzahlen? 9 5 2 0 15 1 7Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/PrimzahlenVgl. Padberg 2008, S.13 D. Totaro & C. Spannagel
  15. 15. Finden Sie alle Primzahlen…Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif?uselang=de#filehistory (CC-BY-SA) D. Totaro & C. Spannagel
  16. 16. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  17. 17. Finden Sie alle Primzahlen…Bild by: Sebastian Koppehel: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_Sieb_des_Eratosthenes.gif?uselang=de#filehistory (CC-BY-SA) D. Totaro & C. Spannagel
  18. 18. Primzahlen - Besonderheiten Was fällt bei der Verteilung der Primzahlen auf? Was könnten Primzahlzwillinge sein? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 5 9, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 1 81, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 24 1, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311 , 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 4 49, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 52 1, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599 , 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643… D. Totaro & C. Spannagel
  19. 19. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  20. 20. Primzahlzwillinge Die Primzahlen 2 und 3 sind die einzigen unmittelbar benachbarten Primzahlen. Zwischen allen übrigen Primzahlen liegt mindestens eine gerade Zwischenzahl. Zwei aufeinanderfolgende Primzahlen pn und pn+1 mit: pn+1 – pn = 2 bezeichnet man als Primzahlzwillinge.Vgl. Padberg 2008, S.13Bild by: Raul Carabeo: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Twin_boys.JPG (CC-BY-SA) D. Totaro & C. Spannagel
  21. 21. Primzahlzwillige – Wo? Suchen Sie Primzahlzwillinge! 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643… D. Totaro & C. Spannagel
  22. 22. Bausteine für natürliche Zahlen?Vgl. Padberg 2008, S.13 D. Totaro & C. Spannagel
  23. 23. Überblick Teilbarkeit und Primzahlen• Was bedeutet Teilbarkeit?• Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?• Was sind arme und reiche Zahlen?• Was sind Primzahlen?• Was ist das Sieb des Eratosthenes?• Was sind Primzahlzwillinge?• Primzahlen – wofür gut? D. Totaro & C. Spannagel
  24. 24. Primzahlen und der Rest der Welt... …Bei den Tieren: Lebenslauf einer Zikade Alle Erwachsenen 13 oder 17 Jahre lange schlüpfen gleichzeitig, Entwicklung im Boden machen ca. 6 Wochen Party, vermehren sich und sterben dannFoto by Karsten Dörre: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhododendron-Zikade_2006_08.jpg?uselang=de (CC-BY-SA)Foto by ©entomart: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Cicadella_viridis01.jpg&filetimestamp=20060514051829 D. Totaro & C. SpannagelFoto by: Martin Hauser: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Magicicada_fg06_ver%C3%A4ndert.jpg&filetimestamp=20061217105935 (CC-BY-SA)
  25. 25. Primzahlen und der Rest der Welt... … Bei den Pflanzen: Die FichteFoto by: Heinz Seehagel: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:GemeineFichte.jpg&filetimestamp=20051217132402Illustration by: Franz Eugen Köhler: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Picea_abies_-_K%C3%B6hler%E2%80%93s_Medizinal-Pflanzen-105.jpg&filetimestamp=20070129225405 D. Totaro & C. Spannagel
  26. 26. Primzahlen und der Rest der Welt… …In der Technik: Die VerschlüsselungstechnikGrafik by:Stern: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Verschl%C3%BCsselung_(symmetrisches_Kryptosystem)_Schema.svg&filetimestamp=20110809183718Foto by:Hk kng:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lock-icon.svg?uselang=de (CC-BY-.SA) D. Totaro & C. Spannagel
  27. 27. Und zum Schluss… …noch ein einfaches Verschlüsselungsbeispiel: 19 03 08 15 05 14 05 06 05 18 09 05 14 !!!Foto by Ben Tubby: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Falkland_Islands_Penguins_22.jpg (CC-BY) D. Totaro & C. Spannagel

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