1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Третья лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

4. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n

5. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!

6. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .

7. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»;

8. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из
разряда в разряд при этом сложении.

9. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .

10. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .

11. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)

12. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .

13. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
p, 2p, 3p, . . . ,

14. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p

15. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p

16. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2

17. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3

18. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3
...

19. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3
...
βp(k) =
k
p
+
k
p2
+
k
p3
+ . . .

20. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .

21. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .

22. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .

23. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)

24. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .

25. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .

26. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
=
m + n
p
−
m
p
−
n
p
+
m + n
p2
−
m
p2
−
n
p2
+
+
m + n
p3
−
m
p3
−
n
p3
+ . . .

27. Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса

28. Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
m = r
j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0
n = r
j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0
m + n = r
j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0
m/pk = mr . . . mk
n/pk = nr . . . nk
(m + n)/pk = r . . . k

29. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .

30. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
=
m + n
p
−
m
p
−
n
p
+
m + n
p2
−
m
p2
−
n
p2
+
+
m + n
p3
−
m
p3
−
n
p3
+ . . .

31. Следствия теоремы Куммера

32. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным

33. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.

34. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент a
b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
ak ≥ bk

35. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент a
b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
ak ≥ bk
a
b
=
b + (a − b)
b

36. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k

37. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .

38. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b

39. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b

40. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒
a
c
нечетн.

41. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒
a
c
нечетн. ∧
b
c
нечетн.

42. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒
a
c
нечетн. ∧
b
c
нечетн. ∧
∧
(a − c) + (b − c)
a − c
нечетн.

43. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒
a
c
нечетн. ∧
b
c
нечетн. ∧
∧
(a − c) + (b − c)
a − c
нечетн.

44. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b ⇐=
a
c
нечетн. ∧
b
c
нечетн. ∧
∧
(a − c) + (b − c)
a − c
нечетн.

45. Поразрядное умножение
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
c =
∞
k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .
b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .
c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a − c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .
b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b ⇐⇒
a
c
нечетн. ∧
b
c
нечетн. ∧
∧
(a − c) + (b − c)
a − c
нечетн.

46. Биномиальные коэффициенты

47. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0

48. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
0
+ · · · +
m
n
+ · · · +
m
m

49. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
0
+ · · · +
m
n
+ · · · +
m
m
c =
m
n
⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m
= pun+1
+ cun
+ q ∧
c < u ∧ q < un−1
∧ u > 2m
}

50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.

51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}

52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
a = bc
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c, x1, . . . , xm) = 0}

53. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)

54. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2

55. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .

56. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .

57. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .

58. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

59. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n)

60. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n)
= 2(n + 1) − n

61. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1) − α2(n)
= 2(n + 1) − n
= n + 2

62. Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm)
такой что
b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}

63. Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1, . . . , xm)
такой что
b ≥ 4 & x = αb(k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x, b, k, x1, . . . , xm) = 0}

64. Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2

65. Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)

66. Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn

67. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn

68. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n

69. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n

70. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n
≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n
≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n

71. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n
≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n
≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n
≤ αd (n + 1) ≤ dn
≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n

72. От α к β
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n
≤ αb(n + 1) ≤ bn
≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n
≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n
≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n
≤ αd (n + 1) ≤ dn
≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
bd − 1
d + 1
n
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ bn
≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
bd + 1
d − 1
n

73. От α к β
bd − 1
d + 1
n
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ bn
≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
bd + 1
d − 1
n

74. От α к β
bd − 1
d + 1
n
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ bn
≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
bd + 1
d − 1
n
a = bn
⇐⇒
⇐⇒ ∃d
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
≤ a ≤
αbd+1(n + 1)
αd (n + 1)
≤
αbd (n + 1)
αd+1(n + 1)
+
1
2

75. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)

76. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)

77. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb

78. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

79. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

80. Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1) − αb(n)
Ab(n) =
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψ

81. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)

82. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)

83. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)

84. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n

85. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n

86. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n

87. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n
= 1

88. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n
= 1
x2
− bxy + y2
= 1

89. Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2
b(n) − αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2
b(n + 1) − bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2
b(n − 1) − bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψn
b)
= (det Ψb)n
= 1
x2
− bxy + y2
= 1
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
x = αb(n − 1)
y = αb(n)

90. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
или же
x = αb(n)
y = αb(n + 1)

91. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
или же
x = αb(n)
y = αb(n + 1)
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).

92. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).

93. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1

94. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1.

95. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)

96. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).

97. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
y − 1

98. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1

99. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что

100. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
y = αb(n), x = αb(n + 1)

101. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)

102. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)

103. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)

104. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)

105. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)

106. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0

107. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x

108. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x
≤ by z = by − x

109. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x
≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x

110. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)

111. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y

112. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x

113. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x
> by −
y2
y
= by − y

114. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x
> by −
y2
y
= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y

115. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)

116. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1

117. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2

118. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2

119. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2

120. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2
= 1

121. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1

122. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1

123. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)

124. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)

125. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1

126. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }

127. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy + y2
= 1}

128. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy + y2
= 1}

129. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy + y2
= 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)

130. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2
− bxy + y2
= 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?

131. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m

132. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k

133. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)

134. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b

135. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b

136. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)

137. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)
= Ab(n)Ab(k)

138. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)
= Ab(n)Ab(k)
=
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)

139. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
(mod αb(k))

140. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))

141. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)

142. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k , 0 ≤ n < k

143. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
≡
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)αb(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k , 0 ≤ n < k
n = 0 m = k

144. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)

145. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)

146. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)

147. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= αb(k)
b −1
1 0
− αb(k − 1)
1 0
0 1

148. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= αb(k)
b −1
1 0
− αb(k − 1)
1 0
0 1
= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E]

149. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= αb(k)
b −1
1 0
− αb(k − 1)
1 0
0 1
= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E]
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b

150. Свойства делимости
m = k
Ab(m) = Ab(k)
=
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
=
bαb(k) − αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
= αb(k)
b −1
1 0
− αb(k − 1)
1 0
0 1
= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E]
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b

151. Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
=

152. Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b

153. Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))

154. Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1) αb(k − 1)
1 0
0 1
+
+(−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1)
b −1
1 0
(mod α2
b(k))

155. Свойства делимости
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ab(m)
=
i=0
(−1) −i
i
αi
b(k)α −i
b (k − 1)Ψi
b
≡ (−1) αb(k − 1)E + (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1) αb(k − 1)
1 0
0 1
+
+(−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1)
b −1
1 0
(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))

156. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))

157. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k − 1)

158. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k − 1)
αb(k) |

159. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k − 1)
αb(k) |
m = k

160. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1) −1
αb(k)α −1
b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | α −1
b (k − 1)
αb(k) |
m = k