Matrices y determinantes: conceptos básicos

1. Índice de contenidos 1 MATRICES Y DETERMINANTES 1 1.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Suma de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Producto de una matriz por un número. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Producto de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Potencia de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Determinantes de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Determinantes de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Determinantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Matriz adjunta. Cálculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Cálculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Ejercicios propuestos en exámenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ESPACIOS VECTORIALES. 19 2.1 Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Base canónica de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Suma e intersección de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Intersección de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.3 Teorema de la dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios. . . . . . . . . 36 2.5 Ejercicios propuestos en exámenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 39 3.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Definiciones y notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3 Clasificación de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 v

2. vi 3.1.4 Teorema de Rouché-Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Resolución de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Sistemas diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Sistemas equivalentes. Método de resolución de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Método de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.5 Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . 52 3.2.6 Sistemas homogéneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Resolución de sistemas con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Ejercicios propuestos en exámenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. 1 MATRICES Y DETERMINANTES Este primer cap´ıtulo está dedicado a introducir los conceptos básicos relativos a las matrices y determinantes. Aunque tales cuestiones son de un amplio uso en diferentes sectores no sólo de la econom´ıa sino de cualquier disciplina del saber, nosotros inicialmente usaremos dichos conceptos como herramienta adecuada para la resolución, en el siguiente cap´ıtulo, de sistemas de ecuaciones lineales. As´ı la estructura del cap´ıtulo y los conceptos en él estudiados persiguen primordialmente dicho objetivo. 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS Llamamos matriz de números reales con m filas y n columnas, o de tipo m × n, a una lista de números reales ordenados en la forma: A = (aij)m×n =     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn     donde aij ∈ R, para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. El elemento aij es el que se encuentra en la fila i y la columna j. Al conjunto de todas las matrices de orden m×n se le denota mediante Mm×n. Cuando una matriz es del tipo 1×n se le llama matriz fila o vector fila de orden n y una matriz columna o vector columna de orden m si es del tipo m × 1. Dos matrices se dicen iguales si tienen igual número de filas y columnas y coinciden elemento a elemento. Ejemplo 1.1 • La matriz A = −2 1 0 4 2 4 es una matriz de orden 2 × 3. La matriz B = 1 0 es una matriz columna de orden 2. 1

4. 2 DEFINICIONES BÁSICAS Dada una matriz A = (aij), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida desde A suprimiendo filas y/o columnas. Ejemplo 1.2 • Dada la matriz A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 , la matriz B = 6 7 8 0 1 2 es una submatriz de A obtenida suprimiendo la primera fila y la primera columna de A. De igual forma, la matriz C = 1 2 4 5 6 8 9 0 2 es la submatriz de A obtenida suprimiendo la tercera columna de A. Una matriz con igual número de filas que de columnas (de tipo n×n) se dice que es una matriz cuadrada de orden n. Denotaremos mediante Mn al conjunto de matrices cuadradas de orden n. Sea A ∈ Mm×n. La matriz transpuesta de A, At ∈ Mn×m, es la matriz que se obtiene, desde A, cambiando la posición de las filas y columnas, entre s´ı. Ejemplo 1.3 • 1 0 −1 2 3 2 es la matriz transpuesta de 1 2 0 3 −1 2 . De forma evidente, se obtiene la propiedad (At )t = A. La matriz de orden m × n con todos los elementos nulos se llama matriz cero. Se denotará mediante 0m×n o simplemente por 0. 0 =       0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 0       . Dada A ∈ Mn, la diagonal principal de A es la matriz fila (a11, a22, . . . , ann). Es decir, los elementos en negrita en la figura siguiente: A =       a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n a31 a32 a33 . . . a3n ... ... ... ... ... an1 an2 an3 . . . ann       .

5. MATRICES Y DETERMINANTES 3 La traza de A ∈ Mn, tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal: tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann = n i=1 aii. Ejemplo 1.4 • La traza de la matriz A =   −1 0 3 0 0 1 2 0 0 −1   es tr(A) = a11 + a22 + a33 = −1 + 0 − 1 = −2. Una matriz cuadrada A se dice triangular superior (inferior) si todos los elementos por debajo (encima) de la diagonal principal son nulos y se llamará diagonal si es tanto triangular superior como triangular inferior (esto es, todo elemento fuera de la diagonal es cero). En muchas ocasiones, para simplificar la notación, designaremos por diag(a1, a2, · · · , an) a la matriz diagonal diag(a1, a2, · · · , an) =     a1 0 0 · · · 0 0 a2 0 · · · 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · an     . Ejemplo 1.5 • Las matrices   −1 0 3 0 0 1 2 0 0 −1   ,    1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1    y 1 0 0 1 son, respectivamente, triangular superior, triangular inferior y diagonal. Llamamos matriz identidad de orden n y la denotaremos por In ó simplemente por I, a la matriz diagonal de orden n con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. In = diag(1, 1, n) · · ·, 1) =     1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1     .

6. 4 OPERACIONES CON MATRICES. 1.2 OPERACIONES CON MATRICES. 1.2.1 Suma de matrices. No siempre es posible sumar dos matrices, para ello será necesario que ambas sean del mismo tipo. Dadas dos matrices A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n la matriz suma de A y B es una matriz (del mismo tipo a las anteriores), A + B = C ∈ Mm×n, cuyos elementos se obtienen sumando término término a término los elementos de A y de B, es decir, cij = aij + bij, i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n. A + B =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     +     b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n ... ... ... ... bm1 bm2 . . . bmn     =     a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n ... ... ... ... am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn     . Ejemplo 1.6 • Si A = 1 2 3 4 y B = −2 0 1 −4 , entonces A + B = 1 2 3 4 + −2 0 1 −4 = −1 2 4 0 . Como primeras propiedades de la suma de matrices obtenemos las siguientes:

7. Resultado 1.2.1 Sean A, B, C ∈ Mm×n y 0 ∈ Mm×n la matriz cero. En- tonces se veriﬁca: • (Conmutativa) A + B = B + A. • (Asociativa) A + (B + C) = (A + B) + C. • (Elemento neutro) A + 0 = 0 + A = A. • (Elemento opuesto) Existe una matriz A ∈ Mm×n, que llamaremos matriz opuesta de A, tal que A + A = 0. • (A + B)t = At + Bt . Resulta inmediato comprobar que la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A, es decir, aij = −aij, i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m. En lo sucesivo denotaremos a esta matriz por −A.

8. MATRICES Y DETERMINANTES 5 1.2.2 Producto de una matriz por un número. Sea A ∈ Mm×n y λ ∈ R, definimos la matriz producto de λ por A, y la denotamos mediante λ · A ∈ Mm×n como: λ ·     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     =     λ a11 λ a12 . . . λ a1n λ a21 λ a22 . . . λ a2n ... ... ... ... λ am1 λ am2 . . . λ amn     . Con esta definición resulta que la matriz opuesta de A es precisamente la matriz (−1) · A, es decir, −A = (−1) · A. Ejemplo 1.7 4 · 1 −1 2 0 2 3 0 0 = 4 −4 8 0 8 12 0 0 .

9. Resultado 1.2.2 Sean λ, µ ∈ R y A, B ∈ Mm×n. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: • (Distributiva respecto a la suma de matrices) λ · (A + B) = λ · A + λ · B, • (Distributiva respecto a la suma de escalares) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A, • (Elemento unidad) 1 · A = A, • (Pseudoasociativa) (λ µ) · A = λ · (µ · A), • λ · 0 = 0, 0 · A = 0, • (λ · A)t = λ · At , Una matriz cuadrada A se dice simétrica si coincide con su transpuesta, esto es, A = At . Esto, a su vez, se traduce en la relación entre coeficientes siguiente: aij = aj i, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. La matriz cuadrada A se dirá antisimétrica si, cumple que At = −A. Esto es, si aij = −aji, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. Es fácil deducir, empleando la relación entre coeficientes anterior para el caso i = j, que los elementos de la diagonal principal de matrices antisimétricas son todos nulos. Ejemplo 1.8 • 1 2 −1 2 4 0 −1 0 6 es una matriz simétrica y 0 2 −1 −2 0 3 1 −3 0 es antisimétrica. Toda matriz cuadrada se puede expresar como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Más concretamente, dada la matriz A ∈ Mn se puede escribir como A = B + C, donde B es la matriz simétrica B = 1 2 (A + At ) y C es la matriz antisimétrica C = 1 2 (A − At ).

10. 6 OPERACIONES CON MATRICES. Ejemplo 1.9 • Dada la matriz A = 1 4 −2 0 4 3 0 −3 6 , entonces A = B + C, donde B = 1 2 (A + At ) = 1 2 −1 2 4 0 −1 0 6 es una matriz simétrica y C = 1 2 (A − At ) = 0 2 −1 −2 0 3 1 −3 0 es antisimétrica. 1.2.3 Producto de matrices. Al igual que ocurr´ıa con la suma, no siempre será posible multiplicar dos matrices entre s´ı. De hecho, sólo existirá la multiplicación cuando exista una cierta compat- ibilidad entre el número de filas y columnas de ambas. Más concretamente, dadas las matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p se define la matriz producto de A y B, y la notaremos por A · B, como una matriz C = A · B ∈ Mn×p cuyos elementos se obtienen en la forma cij = n r=1 airbrj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p. Es decir, el elemento de la matriz A · B en la posición (i, j) se obtiene sumando los productos término a término de los elementos de la fila i de A y la columna j de B. Ejemplo 1.10    −1 1 2 3 0 −2 2 0    4×2 · 2 −1 0 1 −1 1 2×3 =    −1 · 2 + 1 · 1 −1 · (−1) + 1 · (−1) −1 · 0 + 1 · 1 2 · 2 + 3 · 1 2 · (−1) + 3 · (−1) 2 · 0 + 3 · 1 0 · 2 − 2 · 1 0 · (−1) − 2 · (−1) 0 · 0 − 2 · 1 2 · 2 + 0 · 1 2 · (−1) + 0 · (−1) 2 · 0 + 0 · 1    =    −1 0 1 7 −5 3 −2 2 −2 4 −2 0    4×3

11. Propiedad 1.2.1 Propiedades del producto de matrices • (A · B) · C = A · (B · C), para A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p y C ∈ Mp×q. • (A + B) · C = A · C + B · C, para A, B ∈ Mm×n y C ∈ Mm×p. • A · (B + C) = A · B + A · C, para A ∈ Mm×n y B, C ∈ Mm×n. • I · A = A · I = A, 0 · A = A · 0 = 0, donde las matrices I y 0 han sido convenientemente elegidas, para que tengan sentido las operaciones, y A ∈ Mn×m. • (A · B)t = Bt · At , para A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p.

12. MATRICES Y DETERMINANTES 7 Una observación interesante es que, en general, el producto de matrices, aún cuando esté definido en ambos sentidos, no siempre es conmutativo. Es decir, dadas matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×m, A · B no tiene porqué coincidir con B · A. (De hecho, A·B ∈ Mm y B ·A ∈ Mn; la propiedad conmutativa tampoco es cierta, en general, para el caso m = n). 1.2.4 Matriz inversa Una matriz B ∈ Mn se dice inversa de otra A ∈ Mn si satisfacen las igualdades A · B = B · A = I. En tal caso, a la matriz B se le denotará mediante A−1 y, como es lógico, también A es inversa de B, (es decir, A = B−1 y A = (A−1 )−1 ). Además, la matriz inversa de A, en caso de existir, es siempre única. Una matriz A ∈ Mn que posee inversa se le llama matriz regular. En caso contrario, se dice que A es singular. Ejemplo 1.11 • La matriz 1 1 1 0 es inversa de 0 1 1 −1 , pues 1 1 1 0 0 1 1 −1 = 0 1 1 −1 1 0 0 1 = 1 0 0 1 1.2.5 Potencia de una matriz Dada una matriz cuadrada A y número natural k ∈ N , donde N0 = N∪0, definimos la potencia k-ésima de A, de forma inductiva como Ak = I si k = 0 Ak−1 · A si k 0 Las potencias de matrices, como productos matriciales que son, se rigen por las mismas propiedades del producto de matrices; sin embargo, destacamos dos nuevas propiedades de particular interés.

13. Resultado 1.2.3 Propiedades de las potencias de una matriz: • Dada A ∈ Mn y k, l ∈ N0, Ak · Al = Al · Ak = Ak+l , (Ak )l = Akl . • Si A ∈ Mn es una matriz diagonal, esto es, A = diag(a1, a2, · · · , an) y k ∈ N0, entonces Ak es tambi´en una matriz diagonal, siendo Ak = diag ak 1, ak 2, · · · , ak n .

14. 8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 1.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 1.3.1 Determinantes de orden 2 Supongamos que queremos resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas S ≡ a11x1 + a22x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2 (1.3.1) Usando el producto matricial y la igualdad de matrices, el sistema anterior puede escribirse matricialmente en la forma a11 a12 a21 a22 x1 x2 = c1 c2 . La matriz A = a11 a12 a21 a22 se denomina matriz de coeficientes del sistema. Para resolver el sistema (1.3.1) aplicamos el método de reducción: (multiplicamos la primera ecuación por a22 y la segunda ecuación por −a12) a22(a11x1 + a22x2) = c1a22 −a12(a21x1 + a22x2) = −c2a12 ⇒ a11a22x1 + a12a22x2 = c1a22 −a21a12x1 − a22a12x2 = −c2a12 Sumando ambas ecuaciones se obtiene: (a11a22 − a21a12)x1 = c1a22 − c2a12. Si a11a22 − a21a12 = 0, entonces x1 = c1a22 − c1a21 a11a22 − a21a12 . Procediendo de forma análoga se llegar´ıa a que x2 = c2a11 − c1a21 a11a22 − a21a12 . El número a11a22 − a12a21 se denomina determinante de la matriz A y se denota por det(A) = det a11 a12 a21 a22 = |A| = a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21. Utilizando la definición de determinante podemos enunciar el siguiente resultado conocido como regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2.

15. Resultado 1.3.1 (Regla de Cramer para sistemas de orden 2 × 2) Si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema (1.3.1) es distinto de cero, entonces las solución de (1.3.1) viene dada por x1 = c1 a12 c2 a22 a11 a12 a21 a22 , x2 = a11 c1 a21 c2 a11 a12 a21 a22 . 1.3.1.1 Propiedades de los determinantes de orden 2. Enunciamos a conti- nuación algunas de las propiedades de los determinantes de orden 2 cuya com- probación resulta inmediata. Dichas propiedades se generalizarán posteriormente a determinantes de orden superior.

16. MATRICES Y DETERMINANTES 9

17. Resultado 1.3.2 a) El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta a11 a12 a21 a22 = a11 a21 a12 a22 . (Esta propiedad nos permite que todos los resultados que enunciamos a continuación para las filas de una matriz sean también válidos para las columnas). b) Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, su determinante es cero. c) Si intercambiamos dos filas (columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo. d) Si una matriz tiene sus dos filas (columnas) iguales su determinante es cero. e) Si multiplicamos cada elemento de una fila (columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número, λa11 a12 λa21 a22 = λ a11 a12 a21 a22 . f) Si una matriz tiene dos filas (columnas) proporcionales, el determinante vale cero. g) Si los elementos de una fila (columna) de una matriz vienen expresados como suma de dos elementos, entonces el determinante se descompone en suma de dos determinantes del siguiente modo a11 + a11 a12 a21 + a21 a22 = a11 a12 a21 a22 + a11 a12 a21 a22 . h) Si a una fila (columna) le sumamos la otra fila (columna) multiplicada por un número, el determinante no cambia. a11 + λa12 a12 a21 + λa22 a22 = a11 a12 a21 a22 . 1.3.1.2 Una interpretación geométrica del determinante. En el siguiente paralelogramo se representa gráficamente la suma de los vectores (x1, y1) y (x2, y2). (x1, y1) (x2, y2) Para calcular el área comprobamos que

18. 10 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. y1 y2 x2 x1 A B C D E F Área del paralelogramo = Área del rectángulo − Área de A − Área de B − · · · − Área de F = (x1 + x2)(y1 + y2) − x2y1 − x1y1/2 − x2y2/2 − x2y2/2 − x1y1/2 − x2y1 = x1y2 − x2y1 As´ı, es fácil concluir que el área del paralelogramo coincide con el valor del determinante siguiente x1 x2 y1 y2 = x1y2 − x2y1 . 1.3.2 Determinantes de orden 3 Los determinantes de orden 3 surgen de forma análoga al considerar un sistema lineal de 3 ecuaciones y 3 incógnitas S ≡ a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 ⇔ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a23 x1 x2 x3 = c1 c2 c3 . Mediante un proceso de reducción (un poco más engorroso) se llega a expresiones del tipo x1 = ∆1 ∆ , x2 = ∆2 ∆ , x3 = ∆3 ∆ , supuesto que ∆ = 0, donde ∆ = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23. (1.3.2) El valor de ∆ se llama determinante de la matriz A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a23 y se denota por det(A) = det a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a23 = |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a23 . Para recordar la fórmula (1.3.2) se recurre a la regla de Sarrus. Para ello se repiten las dos primeras filas del determinante. Las diagonales trazadas desde a11, a21 y a31 corresponden a los sumandos positivos y las diagonales trazadas desde a13, a23 y a33 a los sumandos negativos. + a11 a12 a13 + a21 a22 a23 + a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 − a21 a22 a23 − a31 a32 a33 − a11 a12 a13 a21 a22 a23

19. MATRICES Y DETERMINANTES 11 Ejemplo 1.12 1 −1 0 2 2 0 3 −2 1 = 1 · 2 · 1 − 1 · 0 · 3 − 2 · 2 · 0 − 2 · 3 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0 = 4. 1.3.2.1 Propiedades de los determinantes de orden 3. Las propiedades de los determinantes de orden 3 son análogas a las de los determinantes de orden 2. De hecho las propiedades a)-g) que figuran en la Proposición 1.3.2 se enuncian exactamente igual para determinantes de orden 3. Por otra parte, la propiedad h) admite una formulación más general.

20. Resultado 1.3.3 h) Si a una fila (columna) le sumamos una combinación lineal de las restantes filas (columnas), el determinante no var´ıa. i) Si una fila (columna) es combinación lineal de las restantes filas (columnas), el determinante es cero. La propiedad h) es especialmente interesante porque nos permite efectuar transformaciones en las filas y columnas de una matriz A sin que se altere el valor de su determinante. De hecho esté será el procedimiento que seguiremos para el cálculo de determinantes de orden superior. 1.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento Consideremos la matriz A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a23 . Se llama menor complementario del elemento aij, y lo representamos por αij, al determinante de la submatriz de orden 2 × 2 obtenida al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A, es decir, al suprimir la fila y la columna en la que se encuentra dicho elemento. Por ejemplo: α11 = a22 a23 a32 a33 , α23 = a11 a12 a31 a32 , a22 = a11 a13 a31 a33 . Se llama adjunto del elemento aij, y lo denotaremos por Aij, al número Aij = (−1)i+j αij, es decir, el adjunto del elemento aij tiene el mismo valor que el menor complementario αij anteponiendo el signo + o − según que la suma de los ´ındices i, j sea par o impar. Por ejemplo: A11 = (−1)1+1 α11 = a22 a23 a32 a33 , A23 = (−1)2+3 α23 = − a11 a12 a31 a32 .

21. 12 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

22. Resultado 1.3.4 El determinante de la matriz A se puede obtener como la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos correspondientes Comprobemos que se cumple esta propiedad. En efecto, |A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23 = a11(a22a33 − a32a23) − a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22) = a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = a11A11 + a12A12 + a13A13. (1.3.3) En la expresión (1.3.3) se dice que el determinante se obtiene desarrollando los elementos de la primera fila por sus adjuntos correspondientes. De igual forma puede comprobarse fácilmente que se obtiene el mismo resultado desarrollando por los elementos de cualquier fila o columna. 1.3.3.1 Interpretación geométrica de un determinante de orden 3. También puede darse una interpretación geométrica para determinantes de orden 3. En este caso, el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3) coincide (salvo el signo) con el valor del determinante de la matriz cuyas filas o columnas vienen dadas por las coordenadas de los vectores. Ejemplo 1.13 • El volumen de la siguiente figura puede calcularse mediante el determinante (2, 0, 2) (0, 3, 1) (−1, 0, 1) 2 0 −1 0 3 0 2 1 1 = 12 1.3.4 Determinantes de orden superior La generalización de la definición de adjunto a matrices de orden n y la Proposición 1.3.4 nos permitirán calcular, de forma inductiva, el determinante de una matriz cuadrada de orden superior a 3. Basta observar que los menores complementarios de los elementos de una matriz de orden 4 serán determinantes de orden 3 que ya sabemos calcular. De hecho vamos a definir los determinantes de orden superior utilizando un desarrollo análogo al dado en la expresión (1.3.3).

23. MATRICES Y DETERMINANTES 13 Sea A una matriz cuadrada de orden n A =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann     , se define el determinante de A, y lo notaremos por cualquiera de las expresiones siguientes, det(A) = det     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann     = |A| = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . ann , al valor obtenido desarrollando los elementos de la primera fila por sus adjuntos correspondientes, es decir, det(A) = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n = n j=1 a1jA1j. (1.3.4) Observaciones: • El adjunto de un elemento tiene el mismo significado que el dado para matrices cuadradas de orden 3. • La definición de determinante dada en (1.3.4) es inductiva, es decir, si sabemos calcular determinantes de orden 2 sabemos calcular de orden 3 y, por tanto, de orden 4 y, por tanto, de orden 5, etc. • Puede probarse que el valor dado en (1.3.4) no var´ıa si hacemos el desarrollo por los elementos de cualquier otra fila o columna. • De igual forma, puede probarse por inducción, que los determinantes de orden superior cumplen las mismas propiedades que las enunciadas para determinantes de orden 2 y 3. Ejemplo 1.14 7 4 1 9 2 0 6 3 5 1 6 11 −1 7 2 8 =−4 2 6 3 5 6 11 −1 2 8 + 0 7 1 9 5 6 11 −1 2 8 − 1 7 1 9 2 6 3 −1 2 8 + 7 7 1 9 2 6 3 5 6 11 = 1628. En el ejemplo anterior hemos calculado el determinante haciendo el desarrollo de los elementos de la segunda columna por sus adjuntos correspondientes. El cálculo del determinante queda reducido al cálculo de (como máximo) 4 determinantes de orden 3. Observemos que la presencia de un cero en el elemento a22 de la matriz nos ahorra el cálculo del adjunto correspondiente en el desarrollo. Por tanto, resulta conveniente utilizar para el desarrollo del determinante aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros. La presencia de un cero nos ahorra cálculos y tiempo. Precisamente en esto se basa la técnica de cálculo de determinantes de orden superior: “Si no hay ceros, los hacemos”. Para ello utilizaremos la propiedad h) de los determinantes: “Si a una fila (columna) le sumamos una combinación lineal de las restantes filas (columnas), el determinante no var´ıa”.

24. 14 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. Ejemplo 1.15 7 4 1 9 2 0 6 3 5 1 6 11 −1 7 2 8 = F1 → F1 − 4F3 F2 → F2 F3 → F3 F4 → F4 − 7F3 = −13 0 −23 −35 2 0 6 3 5 1 6 11 −36 0 −40 −69 = desarrollando por los elementos de la segunda columna = −1 −13 −23 −35 2 6 3 −36 −40 −69 = 1628. Otras propiedades interesantes de los determinantes vienen recogidas en la proposici´on siguiente:

25. Resultado 1.3.5 Sean A, B ∈ Mn, entonces a) Si A ∈ Mn es una matriz triangular, entonces el determinante de A se obtiene multiplicando los elementos situados en la diagonal principal, es decir, |A| = a11a22 · · · ann. b) En particular, si A es una matriz diagonal A = diag(a1, a2, · · · , an), entonces |A| = a1a2 · · · an. En particular, |I| = 1. c) (Fórmula de Binet-Cauchy): |A · B| = |A| · |B|. d) A es regular si, y sólo si, |A| = 0. Además, en tal caso, |A−1 | = 1 |A| . e) |Ak | = |A|k , para k ∈ N0. 1.3.5 Matriz adjunta. Cálculo de la matriz inversa Dada una matriz A ∈ Mn se define la matriz adjunta de A, y se denota por adj(A), a la matriz cuyos elementos en la posición (i, j) son los adjuntos Aij de la matriz A. El cálculo de la matriz adjunta nos proporciona un método para calcular la matriz inversa, A−1 , de una matriz A regular.

26. Resultado 1.3.6 Sea A ∈ Mn una matriz regular, entonces A−1 = 1 |A| adj(A) t = 1 |A| adj At . Ejemplo 1.16 • Supongamos que queremos calcular la inversa de la matriz A =    1 1 1 1 −1 0 0 1 1 2 1 −1 3 0 0 1    .

27. MATRICES Y DETERMINANTES 15 En primer lugar hemos de probar que A es una matriz regular. Para ello calculamos su determinante |A| = 1 1 1 1 −1 0 0 1 1 2 1 −1 3 0 0 1 = F1 → F1 F2 → F2 F3 → F3 − F1 F4 → F4 = 1 1 1 1 −1 0 0 1 0 1 0 −2 3 0 0 1 = 1 −1 0 1 0 1 −2 3 0 1 = −4. Como el determinante es distinto de cero, la matriz A es regular. Ahora determi- namos la matriz adjunta, calculando los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz A, A11 = 0 0 1 2 1 −1 0 0 1 = 0, A12 = − −1 0 1 1 1 −1 3 0 1 = 4, · · · La matriz adjunta viene dada por adj(A) =    0 4 −8 0 1 −6 8 −3 0 −4 4 0 −1 −2 4 −1    . Finalmente, la matriz inversa será A−1 = 1 |A| adj(A) t = − 1 4    0 1 0 −1 4 −6 −4 −2 −8 8 4 4 0 3 0 −1    t =      0 −1 4 0 1 4 −1 3 2 1 1 2 2 −2 −1 −1 0 3 4 0 1 4      . También con ayuda del Mathematica podr´ıamos haber obtenido dicho inversa 1.4 RANGO DE UNA MATRIZ. Si en una matriz A ∈ Mm×m seleccionamos r filas y r columnas (r ≤ m, r ≤ n) se forma una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esta matriz lo llamaremos menor de orden r de la matriz A. El rango de A es el mayor de los ordenes de los menores de A no nulos; es decir, el mayor orden de las submatrices cuadradas de A con determinante distinto de cero. De forma evidente, se cumple que si A es una submatriz de B, entonces el rango de A es siempre menor o igual que el rango de B. Ejemplo 1.17 • La matriz A =    1 −1 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1    tiene rango 3.

28. 16 RANGO DE UNA MATRIZ. En efecto, la submatriz cuadrada de orden 3 obtenida a partir de la matriz A selec- cionando las 3 primeras filas y las 3 primeras columnas 1 −1 1 0 0 2 1 2 1 tiene determinante no nulo. Este nuevo concepto nos permite obtener una caracterización de las matrices regulares en función de él.

29. Resultado 1.4.1 Una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si, y sólo si, su rango es n. Como es lógico, desde esta proposición también se concluye una caracterización de la singularidad de una matriz cuadrada: A ∈ Mn es singular si, y sólo si, su rango es estrictamente menor que n. 1.4.1 Cálculo del rango de una matriz Para la determinación del rango de una matriz resulta conveniente tener en cuenta las siguientes observaciones: • De la definición inductiva de los determinantes se deduce inmediatamente que si todos los memores de orden r de una matriz A son nulos, entonces también serán nulos todos los menores de orden mayor que r que pudieran formarse en la matriz A. Esto nos sugiere una estrategia para calcular el rango de una matriz: seleccionar menores no nulos comenzando por menores de orden 1, 2, etc. • Como sabemos, la operación de sumar a una fila (columna) una combinación lineal de las restantes filas (columnas) no afecta al valor del determinante de una matriz y, por tanto, dicha operación tampoco afectará al rango de la matriz. De igual modo las operaciones de permutación de filas o columnas (que sólo afectan al signo del determinante) y la de multiplicación de los elementos de una fila o columna por un número distinto de cero (que sólo afecta al valor del determinante pero no al hecho de que éste sea o no distinto de cero), tampoco alterará el valor del rango de la matriz. Estas operaciones se llamarán operaciones elementales y constituyen una buena herramienta para simplificar el cálculo del rango de una matriz. • Por otra parte, también sabemos que si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación lineal de las restantes filas (columnas), el determinante vale cero. Esto se traduce en la siguiente propiedad: si una matriz tiene una fila (columna) que es combinación lineal de las restantes filas (columnas), dicha fila (columna) puede suprimirse dado que no afectará al rango de la matriz. Las observaciones anteriores nos sugieren el siguiente procedimiento para calcular el rango de una matriz:

30. MATRICES Y DETERMINANTES 17 1) Comprobar si hay alguna fila (columna) que sea combinación lineal de las restantes filas (columnas). En tal caso, ésta se suprime. 2) Seleccionar un menor de orden 2 que sea distinto de cero y marcarlo sobre la matriz. Si esto no es posible, el rango ser´ıa 1 (salvo en el caso trivial de que todos los elementos de la matriz sean cero en que el rango ser´ıa 0). 3) Formar posibles menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 seleccionado anteriormente (este proceso se llama orlar filas o columnas). Si todos estos menores son cero, el rango ser´ıa 2; en caso contrario tomar´ıamos el menor de orden 3 y continuamos estudiando los de orden 4, etc. Ejemplo 1.18 • Para calcular el rango de la matriz A =    −1 3 0 1 2 0 5 1 2 3 −3 −1 −2 −1 0 3 11 4 5 6    , procedemos de la siguiente manera: 1) Comprobamos si hay alguna fila (columna) que sea combinación lineal de las restantes filas (columnas). Aparentemente no. 2) Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero y lo señalamos en la matriz. En nuestro caso, el menor obtenido tomando las dos primeras filas y las dos primeras columnas satisface esta condición, −1 3 0 5 = −5 = 0. 3) Orlamos la 3a fila y formamos menores de orden 3 con las columnas 3a, 4a y 5a. −1 3 0 0 5 1 −3 −1 −2 = 0, −1 3 1 0 5 2 −3 −1 −1 = 0, −1 3 2 0 5 3 −3 −1 0 = 0. Todos los menores de orden 3 obtenidos orlando la 3a fila son cero, lo cual significa que la 3a fila es combinación lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puede suprimirse. 4) Continuamos formando determinantes de orden 3 orlando ahora la 4a fila con las columnas 3a, 4a y 5a. −1 3 0 0 5 1 3 11 4 = 0, −1 3 1 0 5 2 3 11 5 = 0, −1 3 2 0 5 3 3 11 6 = 0. De nuevo todos los menores obtenidos orlando la 4a fila son cero, lo cual significa que también la 4a fila es combinación lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puede suprimirse. En consecuencia, se concluye que rango(A) = 2. Para concluir esta sección, indicaremos que el rango del producto de dos matrices es menor o igual que el m´ınimo del rango de las dos matrices.

31. 18 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXÁMENES ANTERIORES 1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXÁMENES ANTERIORES 1.- Calcular el determinante de la matriz cuadrada de orden n, A = (aij), cuyos elementos vienen dados por aij = i + j − 1, i, j = 1, 2, . . . , n. 2.- Dada la matriz A =   0 1 3 0 1 3 0 0 0 0 1 3   calcular S = I + A + A2 + A3 + · · · + An . 3.- Obtener el valor de x para que se cumpla que 1 1 1 1 sen 0 senπ 6 −1 −x sen2 0 sen2 π 6 1 x2 sen3 0 sen3 π 6 −1 −x3 = 0. 4.- Sabiendo que a = −1, obtener el valor de x en la siguiente ecuación: 7a + 7 a + 1 a + 1 a + 1 7 −1 1 −1 7 2 4 8 7 x x2 x3 = 0. 5.- Sabiendo que A =      1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1      y A−1 =      1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1      , calcular la inversa de la matriz B =      2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 1      sabiendo que B = A.A . 6.- Calcular a, b, c, d ∈ R para que A2 − (a + d)A + (ad − bc)I + A = 1 2 0 −1 , siendo A = a b c d . 7.- Resolver la ecuación a −1 1 −1 a a a2 a3 a −b b2 −b3 a (a − b) (a − b)2 (a − b)3 = 0.

32. 2 ESPACIOS VECTORIALES. Los espacios vectoriales constituyen una de las estructuras algebraicas más importantes en Matemáticas. La mayor´ıa de los objetos matemáticos que usamos habitualmente: vectores, matrices, polinomios, funciones, ... tienen estructura de espacio vectorial. 2.1 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Sea V un conjunto, cuyos elementos llamaremos vectores y notaremos por u, v, · · · , en el que tenemos definidas dos operaciones: la operación ‘+’ que llamaremos suma de vectores y la operación ‘·’ que llamaremos producto a izquierda por un número real. Diremos que (V, +, ·) es un espacio vectorial real si se cumple que: 1.- La suma de vectores es una operación interna en V, es decir, si v, w ∈ V, entonces v + w ∈ V, verificando las siguientes propiedades: a1) Conmutativa: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u. a2) Asociativa: ∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w). a3) Existencia de elemento neutro: Existe un vector, 0 ∈ V, que llamaremos vector nulo tal que v + 0 = v , para todo v ∈ V . a4) Existencia de elemento opuesto: Para cada vector v ∈ V existe otro vector v ∈ V, que llamaremos vector opuesto de v, tal que v + v = 0. 19

33. 20 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 2.- La operación de multiplicación a izquierda por un número real es una operación externa sobre V, es decir, si λ ∈ R y v ∈ V, entonces λ · v ∈ V, verificando las siguientes propiedades: b1) Distributiva respecto a la suma de números reales: ∀ λ, µ ∈ R y ∀ v ∈ V, (λ + µ) · v = λ · v + µ · v. b2) Distributiva respecto a la suma de vectores:∀ λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ V, λ · (u + v) = λ · v + µ · v. b3) Pseudoasociativa: ∀ λ, µ ∈ R, ∀ v ∈ V, (λ µ) · v = λ · (µ · v). b4) Elemento unidad: ∀ v ∈ V, 1 · v = v. En lo que sigue, para simplificar la notación, el producto de un número real λ por un vector v ∈ V también lo notaremos simplemente por λ v. Ejemplo 2.1 • El conjunto de vectores del plano es un espacio vectorial. Geométricamente un vector del plano viene representado mediante un segmento orientado. Algebraicamente, un vector u del plano viene dado por un par de números reales u = (u1, u2) que se denominan coordenadas del vector. El conjunto de vectores del plano se identifica con el conjunto R2 = R × R = {x = (x1, x2) : x1, x2 ∈ R}, en el que se definen las operaciones usuales de suma de vectores y multiplicación por un número real dadas por x + y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), λ x = λ (x1, x2) = (λ x1, λ x2). (2.1.1) Entonces (R2, +, ·) es un espacio vectorial real. • El conjunto P2[x] de los polinomios grado menor o igual que 2 en la variable x, es decir, expresiones de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 con a0, a1, a2 ∈ R, tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones algebraicas usuales: p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2 ) + (b0 + b1x + b2x2 ) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 . λ · p(x) = λ(a0 + a1x + a2x2 ) = (λa0) + (λa1) + (λa2)x2 . En general, el conjunto Pn[x] (polinomios de grado menor o igual que n en la variable x con las operaciones usuales) tiene estructura de espacio vectorial). • El conjunto de matrices cuadradas reales de orden 2 que notaremos por M2×2(R) tiene estructura de espacio vectorial. Las operaciones de suma y producto por escalares vienen dadas por: A + B = a11 a12 a21 a22 + b11 b12 b21 b22 = a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 . λ · A = λ · a11 a12 a21 a22 = λ a11 λ a12 λ a21 λ a22

34. ESPACIOS VECTORIALES. 21 En general, el conjunto Mm×n(R), de las matrices reales com m filas y n columnas y las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación de una matriz por un número real, es un espacio vectorial. • El espacio de las funciones f : R → R es un espacio vectorial con las operaciones usuales: (f + g)(t) = f(t) + g(t), (λ f)(t) = (λ · f)(t) = λ f(t), t ∈ A.

35. Propiedad 2.1.1 En un espacio vectorial (V, +, ·) se satisfacen las identidades siguientes: p1) 0 · v = 0, p2) v + (−1)v = 0, p3) λ · 0 = 0. para todo v ∈ V y λ ∈ R. Observemos que la propiedad p2) nos indica que el vector opuesto de un vector v es precisamente el vector (−1)v. En lo sucesivo notaremos a este vector por −v. Asimismo, definiremos la operación de restar dos vectores en la forma u − v = u + (−v). Ejercicio 2.2 • Escribe el vector nulo en cada uno de los espacios vectoriales del Ejemplo 1.1. • Da un ejemplo concreto de un vector en cada uno de los espacios vectoriales del Ejemplo 1.1 y escribe su vector opuesto. 2.1.1 El espacio vectorial Rn La estructura de espacio vectorial definida sobre R2 puede extenderse fácilmente a Rn , conjunto de vectores de n coordenadas, Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}, definiendo las operaciones x + y = (x1, x2, . . . xn) + (y1, y2, . . . , xn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn), λ · x = λ (x1, x2, . . . xn) = (λ x1, λ x2, . . . λ xn). Ejemplo 2.3 • El espacio R3 (vectores de 3 coordenadas) se identifica con el conjunto de los vectores en el espacio tridimensional.

36. 22 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Observaciones: • Aunque hemos denotado a los elementos de Rn como vectores fila de orden n, en ocasiones, puede resultar más ventajoso utilizar la notación de vectores columna de orden n, x =     x1 x2 ... xn     . En este caso, las operaciones definidas anteriormente vendrán dadas por x + y =     x1 x2 ... xn     +     y1 y2 ... yn     =     x1 + y1 x2 + y2 ... xn + yn     , λ ·     x1 x2 ... xn     =     λ x1 λ x2 ... λ xn     . (2.1.2) • Por otra parte, si x = (x1, x2, · · · , xn) es un vector fila en Rn , también podemos utilizar la operación de transposición de matrices, para denotar por xt = (x1, x2, · · · , xn)t , al correspondiente vector columna en Rn . x = (x1, x2, . . . , xn) ⇒ xt =     x1 x2 ... xn     . • En lo que sigue utilizaremos indistintamente ambas notaciones, si bien, cuando sea necesario, distinguiremos entre vectores fila y vectores columna. 2.1.2 Subespacios vectoriales Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y sea S un subconjunto no vac´ıo de V. Diremos que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones ‘+’ y ‘·’ definidas en V. Notemos que el hecho de que (V, +, ·) sea un espacio vectorial real y que S ⊂ V, simplifica mucho las cosas a la hora de probar que (S, +, ·) tiene o no estructura de espacio vectorial.

37. Resultado 2.1.1 Sea (V, +, ·) un espacio vectorial real y S un subconjunto no vac´ıo de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si, y s´olo si, i) ∀ u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S, ii) ∀ λ ∈ R, ∀ v ∈ S ⇒ λ v ∈ S.

38. ESPACIOS VECTORIALES. 23 Ejemplo 2.4 • El conjunto S de las matrices cuadradas de orden 2 de la forma 0 a b c es un subespacio vectorial de M2×2(R). Solución: Hemos de comprobar que se cumplen las condiciones i) y ii) del Resul- tado 2.1.1. i) Tomemos dos matrices A, B ∈ S y veamos que A + B ∈ S. A = 0 a b c , B = 0 a b c , A + B = 0 a b c + 0 a b c = 0 a + a b + b c + c ∈ S. 1.- Tomemos λ ∈ R y A ∈ S y probemos que λ · A ∈ S. λ · A = λ · 0 a b c = 0 λ a λ b λ c ∈ S. Ejercicio 2.5 • Indica si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales: 1) El conjunto de funciones trigonométricas de la forma x(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t, a0, a1, b1 ∈ R. 2) El conjunto de matrices cuadradas de orden 2 cuya traza es 0 con las operaciones usuales. 3) El conjunto de vectores del plano cuyas coordenadas suman 1, con las operaciones usuales. 4) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 que se anulan en el punto x = 1, con las operaciones usuales. 2.2 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

39. Definición 1 Sea V un espacio vectorial. Se dice que el vector v es combinación lineal de los vectores {v1, v2, . . . , vk} ⊂ V, si puede escribirse en la forma v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk. Ejemplo 2.1 • El vector v = (4, −5, −2) de R3 es combinación lineal de los vectores v1 = (1, 1, 1) y v2 = (2, −1, 0), dado que v = −2v1 + 3v2. • Para saber si el vector v = (3, 0, −5) es combinación lineal de los vectores v1 y v2 anteriores, planteamos la igualdad v = λ · v1 + µ · v2 ⇒ (3, 0, −5) = λ(1, 1, 1) + µ(2, −1, 0)

40. 24 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES que conduce al sistema λ + 2µ = 3 λ − µ = 0 λ = −5 Dado que el sistema anterior es incompatible (no tiene solución) concluimos que el vector v no es combinación lineal de los vectores v1 y v2. • En M2×2(R), para averiguar si la matriz A = 3 1 −6 4 es combinación lineal de las matrices A1 = 1 −1 2 0 , A2 = 3 −1 0 2 , planteamos la igualdad A = λ · A1 + µ · A2 ⇒ 3 1 −6 4 = λ 1 −1 2 0 + µ 3 −1 0 2 que conduce al sistema    λ + 3µ = 3 λ − µ = 0 2λ = −6 2µ = 4 de donde se obtiene λ = −3, µ = 2. Por tanto, la matriz A es combinación lineal de las matrices A1 y A2 ya que A = −3A1 + 2A2. Ejercicio 2.2 • Determina si el polinomio p(x) = −1 − 6x2 + 19x − x3 es combinación lineal de los polinomios p1(x) = 1 + 3x − x3, p2(x) = 2 − 3x + x2, p3(x) = 4x − 4x2 + 2x3. • Determina si el vector v = (1, 0, −1, 4) de R4 es combinación lineal de los vectores v1 = (1, 1, 0, 1) y v2 = (2, 1, −1, 1). • En M2×3(R), determina si la matriz A = 3 1 0 −6 4 2 es combinación lineal de las matrices A1 = 1 −1 0 2 0 −1 , A2 = 3 −1 −1 0 0 2 , A3 = 0 0 −1 1 0 2 . 2.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores

41. Definici´on 2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de un espacio vectorial V se dice que es linealmente independiente, si ninguno de los vectores de S puede escribirse como combinaci´on lineal de los restantes vectores de S. En caso contrario, se dice que es un conjunto de vectores linealmente dependiente.

42. ESPACIOS VECTORIALES. 25 Ejemplo 2.3 • El conjunto S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente, ya que ninguno de ellos puede ponerse como combinaci´on lineal del otro. • El conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} de R3 es linealmente dependiente dado que el primer vector puede escribirse como combinaci´on lineal de los restantes: (4, −5, −2) = −2(1, 1, 1) + 3(2, −1, 0).

43. Propiedad 2.2.1 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si se cumple que λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λk = 0, es decir, si la única forma de escribir el vector nulo como combinación lineal de los vectores de S es que todos los coeficientes sean nulos. La propiedad anterior también puede enunciarse de esta otra forma:

44. Propiedad 2.2.2 Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} es linealmente dependiente si es posible expresar el vector nulo como combinación lineal de ellos con al menos un coeficiente no nulo. Dicho en términos matemáticos, es posible encontrar números λ1, λ2, · · · , λk no todos nulos, de forma que λ1v1 + λ2v2 + · · · + λkvk = 0 Ejemplo 2.4 • Para determinar si el conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente planteamos la igualdad λ(2, −1) + µ(1, 0) = (0, 0), que conduce al sistema 2λ + µ = 0 −λ = 0 cuya única solución es λ = µ = 0. Por tanto, deducimos que el conjunto S es linealmente independiente. • Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2), (1, 1, 1), (2, −1, 0)} de R3 es linealmente independiente planteamos la igualdad α(4, −5, −2) + β(1, 1, 1) + γ(2, −1, 0) = (0, 0, 0). (2.2.1) que conduce al sistema 4α + β + 2γ = 0 −5α + β − γ = 0 −2α + β = 0 que admite soluciones distintas de la trivial: α = t β = 2t γ = −3t , t ∈ R.

45. 26 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Tomando, por ejemplo, t = 1, obtenemos la solución particular α = 1, β = 2, γ = −3, por lo que la igualdad (2.2.1) nos asegura que es posible expresar el vector nulo como una combinación lineal de los vectores de S con coeficientes no nulos. En el caso particular de que trabajemos con vectores de Rn , podemos aplicar el siguiente resultado para determinar si son linealmente independientes:

46. Resultado 2.2.1 El conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn es linealmente independiente si, y solo si, rango (v1 | v2 | . . . | vk) = k. Ejemplo 2.5 • El conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente ya que −2 1 1 0 = 0. • Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4, −5, −2, 4), (1, 1, 1, 1), (2, −1, 0, 2)} de R4 es linealmente independiente calculamos el rango de la matriz A = 4 −5 −2 4 1 1 1 1 2 −1 0 2 . 1) En primer lugar observamos que la 4a columna es igual que la 1a por lo que puede suprimirse, es decir, rango 4 −5 −2 4 1 1 1 1 2 −1 0 2 = rango 4 −5 −2 1 1 1 2 −1 0 . 2) Por otra parte, 4 −5 1 1 = 9 = 0, 4 −5 −2 1 1 1 2 −1 0 = 0, de donde se concluye que rango(A) = 2 y por tanto, el conjunto de vectores S es linealmente dependiente.

47. ESPACIOS VECTORIALES. 27

48. Propiedad 2.2.3 En un espacio vectorial V se cumplen las siguientes propiedades: 1) El conjunto S = {v} formado por un sólo vector es linealmente dependiente si, y solamente si, v = 0. 2) Si 0 ∈ S, entonces S es un conjunto linealmente dependiente. 3) El conjunto S = {u, v} es linealmente dependiente si, y solamente si, v = λu (vectores proporcionales). 4) Si S es un conjunto linealmente independiente y S ⊂ S, entonces S es linealmente independiente. 5) Si S es un conjunto linealmente dependiente y S ⊂ S , entonces S es linealmente dependiente. 2.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto L(S) de todos los vectores que se pueden obtener como combinación lineal de los vectores de S es subespacio vectorial de V que se llama subespacio vectorial generado por S y se representa por L(S) = v1, v2, . . . , vn . El conjunto S se llama sistema de generadores de L(S). Un vector x ∈ L(S) si se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S, es decir, si x se puede escribir en la forma x = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn, λ1, λ2, . . . , λn ∈ R. Ejemplo 2.6 • Sea S = {u, v} un conjunto de vectores de R4 con u = (1, −1, 1, 2) y v = (1, 3, −2, 1). El subespacio vectorial L(S) viene dado por el conjunto de vectores x ∈ R4 tales que x = λ u + µ v, con λ, µ ∈ R. Si tomamos x = (x1, x2, x3, x4), la igualdad anterior se escribe como (x1, x2, x3, x4) = λ(1, −1, 1, 2) + µ(1, 3, −2, 1), λ, µ ∈ R. La igualdad anterior se denomina ecuación vectorial de L(S). De la ecuación anterior se obtienen las igualdades    x1 = λ + µ x2 = −λ + 3µ x3 = λ − 2µ x4 = 2λ + µ , λ, µ ∈ R. Los números λ, µ son números reales arbitrarios que reciben el nombre de parámetros. De ah´ı que a las ecuaciones anteriores se denominen ecuaciones paramétricas de L(S). Las ecuaciones paramétricas son útiles para obtener vectores que pertenezcan a L(S). Para ello basta darle valores concretos a los parámetros λ y µ. Por ejemplo, para λ = 1 y µ = 1, se obtiene el vector x = (2, 2, −1, 3) ∈ L(S).

49. 28 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Si despejamos (por ejemplo) λ en la primera igualdad λ = x1 − µ y sustituimos en las restantes ecuaciones se obtiene x2 = −(x1 − µ) + 3µ x3 = (x1 − µ) − 2µ x4 = 2(x1 − µ) + µ ⇒ x2 = −x1 + 4µ x3 = x1 − 3µ x4 = 2x1 − µ Si ahora repetimos lo mismo con el parámetro µ (lo despejamos en la última ecuación porque es más fácil), µ = 2x1 − x4 , y sustituimos en las restantes ecuaciones, se obtiene x2 = −x1 + 4(2x1 − x4) x3 = x1 − 3(2x1 − x4) ⇒ 7x1 − x2 − 4x4 = 0 5x1 + x3 − 3x4 = 0 Se obtienen 2 ecuaciones donde no intervienen los parámetros λ, µ. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cartesianas o ecuaciones impl´ıcitas de L(S). Las ecuaciones cartesianas de L(S) son útiles para comprobar si un determinado vector pertenece o no a L(S). Por ejemplo, el vector (2, −1, 3, 4) no pertenece a L(S) ya que no se cumplen las dos ecuaciones paramétricas. 7x1 − x2 − 4x4 = 7(2) − (−1) − 4(4) = −2 = 0. El vector (3, 1, 0, 5) ∈ L(S) ya que 7x1 − x2 − 4x4 = 7(3) − (1) − 4(5) = 0, 5x1 + x3 − 3x4 = 5(3) + (0) − 3(5) = 0. • Sea M el subespacio vectorial de R3 dado por las ecuaciones paramétricas x1 = µ x2 = λ − µ x3 = λ + 2µ , λ, µ ∈ R. Para determinar un sistema de generadores de M podemos escribir las ecuaciones paramétricas en la forma x1 x2 x3 = λ 0 1 1 + µ 1 −1 2 . Entonces resulta que S = {(0, 1, 1), (1, −1, 2)} es un sistema de generadores de L, es decir, podemos escribir M = L(S) = (0, 1, 1), (1, −1, 2) • Sea L el subespacio vectorial de R5 determinado por las ecuaciones cartesianas x1 − 2x3 + x5 = 0 x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 0 Para determinar un sistema de generadores de L resolvemos el sistema dado por las ecuaciones cartesianas.

50. ESPACIOS VECTORIALES. 29

51. Propiedad 2.2.4 Sean S = {v1, v2, . . . , vn} y S = {v1, v2, . . . , vn, w}. Si w es combinaci´on lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces se cumple que: L(S) = L(S ), es decir, los subespacios vectoriales generados por S y S son el mismo. 2.3 BASES Y DIMENSI´ON

52. Definición 3 Sea V un espacio vectorial y L un subespacio vectorial de V. Se dice que L es finitamente generado si existe un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vn} de V de forma que L = L(S) = v1, v2, . . . , vn . El conjunto S se dice que es un sistema de generadores del subespacio L. Si además, S es un conjunto de vectores linealmente independientes entonces se dice que S es una base del subespacio vectorial L. La propiedad 2.2.4 nos dice que si S es un sistema de generadores de L y elimi- namos aquellos vectores de S que sean combinación lineal de los restantes, entonces seguimos teniendo un sistema de generadores de L. De esta forma siempre será posible obtener un sistema de generadores que además sea linelmente independiente y, en definitiva, siempre será posible obtener una base de un subespacio vectorial finitamente generado. Ejemplo 2.7 • Los vectores {(1, 0), (0, 1)} forman un base de R2. • Sea S el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, −1, 0, 1), v3 = (0, 3, 2, 1). El conjunto {v1, v2, v3} es un sistema de generadores de S, sin embargo no es una base de S dado que no son linealmente independientes al ser v3 combinación lineal de v1 y v2, v3 = 2v1 − v2. Ahora bien, teniendo en cuenta que S = v1, v2, v3 = v1, v2 , donde ahora los vectores v1 y v2 son linealmente independientes. Por tanto, podemos concluir diciendo que {v1, v2} es una base de S.

53. Propiedad 2.3.1 Un conjunto de vectores B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V si, y sólo si, cualquier vector de V se expresa de forma única como combinación de los vectores de B. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V. Por la Propiedad 2.3.1, cualquier vector v ∈ V puede escribirse como combinación lineal única de los vectores de B, es decir, v = λ1 v1 + λ2 v2 + λk vk,

54. 30 BASES Y DIMENSIÓN donde λ1, λ2, . . . , λk, son números reales un´ıvocamente determinados. Los números reales λ1, λ2, . . . , λk se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B. 2.3.1 Base canónica de Rn Como sabemos el conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 . Dicha base recibe el nombre de base canónica de R2 y es la que suele utilizarse para estudiar los problemas de geometr´ıa en el plano. Cualquier vector de R2 viene determinado de forma única como combinación lineal de los vectores de B. Más concretamente, cualquier (x, y) ∈ R2 , puede escribirse como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Los números x e y se denominan coordenadas del vector (x, y). En general, el conjunto B = {e1, e2, · · · , en} de vectores de Rn , definidos por ei = (0, 0, . . . , i 1 , 0, . . . , 0), para i = 1, 2, · · · , n, determinan una base de Rn que se denomina base canónica de Rn . Cualquier vector x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn se escribe como x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen. 2.3.2 Dimensión de un espacio vectorial Un espacio vectorial V no tiene una base única. As´ı, por ejemplo, los conjuntos B = {(1, 0), (0, 1)} y B = {(1, 1), (0, 1)} son bases de R2 (De hecho, una base de R2 estará formada por dos vectores cualesquiera v1 y v2, no nulos, que no sean proporcionales; geométricamente significar´ıa que tienen distinta dirección). Sin embargo, todas las bases de un espacio vectorial V tienen algo en común: el mismo número de vectores. A tal número se le llamará dimensión del espacio vectorial V, y lo denotaremos mediante dim(V ). Ejemplo 2.8 • Dado que la base canónica de Rn tiene n vectores, podemos asegurar que cualquier base de Rn tendrá n vectores y que, por tanto, dim(Rn) = n. . • El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, . . . , xn} forman una base de Pn[x], por lo que dim(Pn[x]) = n + 1. • Las matrices 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 forman una base de M2(R), por lo que dim (M2×2(R)) = 4. En general, se cumple que dim (Mm×m(R)) = m n.

55. ESPACIOS VECTORIALES. 31 El siguiente resultado nos permite decidir cuando un conjunto de n vectores de Rn forman una base de Rn .

56. Resultado 2.3.1 Un conjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de vectores de Rn es una base de R si, y s´olo si, det (v1 | v2 | . . . | vn) = 0. Ejemplo 2.9 • Los vectores v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, −1, 3) y v3 = (3, 1, 1) forman una base de R3, dado que det (v1 | v2 | v3) = 1 0 3 0 −1 1 1 3 1 = −1 = 0. • Los vectores v1 = (1, 2), v2 = (−2, −4) no son una base de R2, dado que det (v1 | v2) = 1 −2 −2 4 = 0. El resultado anterior puede establecerse de manera m´as general como sigue,

57. Resultado 2.3.2 Sea S = v1, v2, . . . , vk , donde v1, v2, . . . , vk ∈ Rn . En- tonces se cumple que dim(S) = rango (v1 | v2 | . . . | vk) . Ejemplo 2.10 • Sea S el subespacio vectorial de R4, generado por los vectores, v1 = (1, 1, 1, 1) , v2 = (2, −1, 0, 1) y v3 = (0, 3, 2, 1) . Entonces, dim(S) = rango (v1 | v2 | v3) = rango 1 1 1 1 2 −1 0 1 0 3 2 1 = 2. 2.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial de dimensión n y supongamos que tenemos dos bases B = {u1, u2, . . . , un} y B = {v1, v2, . . . , vn}. Como sabemos, cualquier vector x de V podrá escribirse de forma única como combinación lineal de los vectores de B y de B . Respecto de la base B, el vector x tendrá unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn), es decir, se podrá expresar en la forma x = x1u1 + x2u2 + · · · + xnun = (x1, x2, . . . , xn)     u1 u2 ... un     . (2.3.1)

58. 32 BASES Y DIMENSIÓN Análogamente, el vector x tendrá unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de la base B , es decir, x = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = (x1, x2, . . . , xn)     v1 v2 ... vn     . (2.3.2) ¿Qué relación existe entre (x1, x2, . . . , xn) y (x1, x2, . . . , xn)? A partir de (2.3.1) y (2.3.2) obtenemos la igualdad en forma matricial (x1, x2, . . . , xn)     u1 u2 ... un     = (x1, x2, . . . , xn)     v1 v2 ... vn     (2.3.3) que se llama ecuación general del cambio de base. La ecuación (2.3.3) puede escribirse abreviadamente en la forma (x1, x2, . . . , xn)B = (x1, x2, . . . , xn)B , (2.3.4) donde B y B son las matrices cuyos vectores fila son las coordenadas de los vectores de las bases B y B respectivamente. Dado que B y B son bases, entonces necesari- amente las matrices B y B son regulares (su determinantes es distinto de cero) y, por tanto, existen sus matrices inversas B−1 y (B )−1 . La ecuación (2.3.3) nos permite conocer las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de B conocidas las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de B o viceversa, mediante las igualdades (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B(B )−1 , (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)B B−1 . Ejemplo 2.11 • En R2 se consideran la base canónica B = {(1, 0), (0, 1)} y la base B = {(2, −1), (3, 0)}. La ecuación general del cambio de base vendrá dada por (x1, x2) 1 0 0 1 = (x1, x2) 2 −1 3 0 . Si el vector x = (1, −5) respecto de la base B para determinar sus coordenadas respecto de la base B utilizamos la igualdad (1, −5) 1 0 0 1 = (x1, x2) 2 −1 3 0 , de donde se obtiene que (x1, x2) = (1, −5) 1 0 0 1 2 −1 3 0 −1 = (1, −5) 0 1 3 −1 2 3 = (13, −1), luego x = (13, −1) respecto de B .

59. ESPACIOS VECTORIALES. 33 Ejercicio 2.12 • Si x = (1, 2, −1) respecto de la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, hallar las coordenadas del vector x respecto de la base canónica de R3. • Sean B = {u1, u2, u3} y B = {v1, v2, v3} dos bases de R3 , tales que v1 = u2 + u3, v2 = u1 + u3 y v3 = u1 + u2. Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B y de la base B a B. • Dadas las bases de R3, B = {u1 = (2, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1), u3 = (0, 1, −2)} y B = {v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (2, 0, 1)}. a) Hallar la expresión anal´ıtica del cambio de base de B a B , de B a B y de B a la base canónica. b) Si a = (1, 1, 1) respecto de B, ¿cuáles son sus coordenadas respecto de B .? c) Si b = v1 − v2, escribir la expresión de b respecto de B. 2.4 SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS 2.4.1 Suma de subespacios

60. Definición 4 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectoriales de V. Se define el conjunto L + M = {w : w = u + v con u ∈ L, v ∈ M}, es decir, un vector w ∈ L + M si se puede escribir como suma de un vector de L y un vector de M. El conjunto L + M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vectorial suma de L y M. Si conocemos un sistema de generadores de los espacios L y M, entonces es muy fácil determinar cuál es el subespacio L + M.

61. Propiedad 2.4.1 Si L = L(S) y M = L(S ), entonces L + M = L(S ∪ S ). Ejemplo 2.13 • Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por L = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M = 2x2 − x3 = 0 x1 + x4 = 0 . Para determinar el subespacio L+M necesitamos conocer un sitema de generadores de L y de M. En nuestro caso, s´olo hemos de determinar un sistema de generadores de M. Para ello resolvemos el sistema dado por las ecuaciones cartesianas de M. 2x2 − x3 = 0 x1 + x4 = 0 ⇒ x1 = −x4 x3 = 2x2 ⇒    x1 = −x4 x2 = λ x3 = 2x2 x4 = µ ⇒    x1 = −µ x2 = λ x3 = 2λ x4 = µ ⇒    x1 x2 x3 x4    = λ    −1 0 0 1    + µ    0 1 2 0    .

62. 34 SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS Luego M = (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) y, por tanto, L + M = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0) . Ahora bien, dado que 1 2 3 4 −1 1 2 1 −1 0 0 1 0 1 2 0 = 0 dichos vectores no forman una base de L + M. Para determinar una base de L+M debemos seleccionar un conjunto de vectores que sean linealmente independientes. Para ello podemos calcular el rango de la matriz A =    1 2 3 4 −1 1 2 1 −1 0 0 1 0 1 2 0    De esta forma sabremos cuántos vectores hay linealmente independiente y cuáles son. Para ello procedemos de la siguiente forma: 1) Seleccionamos un menor de orden 2 distinto de cero. En nuestro caso, podemos tomar el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas dado que 1 2 −1 1 = 0. 2) Tomamos los menores de orden 3 obtenidos orlando filas y columnas al menor de orden 2 seleccionado anteriormente hasta encontrar un menor de orden 3 que sea distinto de cero. Orlamos la 3a fila y la 3a columna 1 2 3 −1 1 2 −1 0 0 = −1 = 0, Por lo que concluimos que rango(A)=3 y que una base de L + M viene dada por los vectores {(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1)}. Por tanto, dim(L + M) = 3. 2.4.2 Intersección de dos subespacios

63. Definición 5 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectoriales de V. Se define el conjunto L ∩ M = {w : w ∈ L y w ∈ M}. El conjunto L ∩ M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vectorial intersección de L y M.

64. Propiedad 2.4.2 Las ecuaciones cartesianas de L ∩ M vienen dadas por el sistema formado por las ecuaciones cartesianas de L y las de M.

65. ESPACIOS VECTORIALES. 35 Ejemplo 2.14 • Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por L = (1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1) , M = 2x2 − x3 = 0 x1 + x4 = 0 . Para determinar el subespacio L∩M necesitamos conocer las ecuaciones cartesianas de L y de M. En nuestro caso, sólo hemos de determinar las ecuaciones cartesianas de L. Para ello partimos de las ecuaciónes paramétricas x ∈ L ⇒    x1 x2 x3 x4    = λ    1 2 3 4    + µ    −1 1 2 1    ⇒    x1 = λ − µ x2 = 2λ + µ x3 = 3λ + 2µ x4 = 4λ + µ . Eliminando los parámetros λ y µ en las ecuaciones paramétricas de L se obtienen las ecuaciones cartesianas L = x1 − 5x2 + 3x3 = 0 2x1 + 5x2 − 3x4 = 0 . Por tanto, el subespacio vectorial L ∩ M viene dado por las ecuaciones cartesianas L ∩ M =    x1 − 5x2 + 3x3 = 0 2x1 + 5x2 − 3x4 = 0 2x2 − x3 = 0 x1 + x4 = 0 Resolviendo el sistema anterior se obtiene    x1 = −α x2 = α x3 = 2α x4 = α , α ∈ R ⇒    x1 x2 x3 x4    = α    −1 1 2 1    , por lo que L ∩ M = (−1, 1, 2, 1) y, en consecuencia, dim(L ∩ M) = 1. 2.4.3 Teorema de la dimensión

66. Resultado 2.4.1 Sean L y M subespacios vectoriales de V. Entonces se cumple que dim(L + M) = dim(L) + dim(M) − dim(L ∩ M). Ejercicio 2.15 • Probar que se cumple el Teorema de la dimensi´on para los subespacios L y M del Ejemplo 2.10. • Sea L el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que la suma de sus columnas es cero y M el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que las suma de sus ﬁlas es cero. a) Probar que L y M son subespacios vectoriales de M2×2(R). b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M. c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M).

67. 36 SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS d) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensión. • Sean L y M los siguientes subconjuntos de P4[x], el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 4 en la variable x, dados por L = {p(x) ∈ P4[x] : p(1) = 0, p (1) = 0}, M = 1 − x, 3 − 4x + x4 . a) Probar que L es un subespacios vectorial de P4[x]. b) Obtener una base de L, M, L + M y L ∩ M. c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩ M). 4) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimensión. 2.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios.

68. Definici´on 6 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Si L ∩ M = {0}, entonces al subespacio vectorial L+M se le denomina suma directa de los subespacios L y M y se denota por L ⊕ M. Aplicando el Teorema de la dimensi´on se obtiene que: dim(L ⊕ M) = dim(L) + dim(M) .

69. Definición 7 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Se dice que L y M son subespacios complementarios si, V = L ⊕ M. Ejemplo 2.16 • En P2[x] consideramos el subespacio vectorial L formado por todos los polinomios tales que p (1) = 0. Nos planteamos encontrar el subespacio vectorial complementario de L, es decir, un subespacio M de P2[x] de forma que L ⊕ M = P2[x]. Cualquier polinomio p(x) ∈ P2[x] puede escribirse en la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 . Observemos que el polinomio p(x) puede identificarse con el vector de R3 dado por p = (a0, a1, a2), es decir, P2[x] ←→ R3 p(x) = a0 + a1x + a2x2 ←→ p = (a0, a1, a2) Esta identificación nos permite trabajar exactamente igual que lo har´ıamos con vectores de R3. La condición p (1) = 0 se transforma en la ecuación a1 + 2a2 = 0. En efecto, p (x) = a1 + 2a2x, p (1) = 0 ⇒ a1 + 2a2 = 0, que determina la ecuación cartesiana del subespacio L. Resolviendo esta ecuación obtenemos a1 + 2a2 = 0 ⇒ a0 = λ a1 = −2µ a2 = µ ⇒ a0 a1 a2 = λ 1 0 0 + µ 0 −2 1

70. ESPACIOS VECTORIALES. 37 por lo que un sistema de generadores de L viene dado por los vectores p1 = (1, 0, 0) y p2 = (0, −2, 1) que se corresponden con los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = −2x+x2, es decir, L = p1, p2 = (1, 0, 0), (0, −2, 1) = p1(x), p2(x) = 1, −2x + x2 . Además, puesto que los vectores p1 y p2 son linealmente independientes podemos asegurar que {p1, p2} forman una base de L. Para determinar el subespacio M lo que se hace es completar la base de L hasta obtener una base de R3. Para ello basta añadir un vector p3 de forma que det(p1|p2|p3) = 0. En nuestro caso, podemos considerar el vector p3 = (0, 0, 1) dado que det(p1|p2|p3) = 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 = −2 = 0. El subespacio M complementario de L será el generado por el vector p3 = (0, 0, 1) que se corresponde con el subespacio vectorial de P2[x] generado por el polinomio p3(x) = x2, es decir, M = p3 = (0, 0, 1) = p3(x) = x2 . Ejercicio 2.17 • Sea L el subespacio vectorial de M2×2(R) formado por las matrices tales que la suma de las filas es cero. Determinar el espacio complementario de L. • En R4 se consideran los subespacios dados por L = x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 − x4 = 0 , M = (1, 0, −1, 0), (0, 2, 0, 1) . Probar que L ⊕ M = R4. 2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXÁMENES ANTERIORES 1.- En el espacio vectorial M2×3(R) se considera el conjunto de matrices S = a b a 0 c 0 : a, b, c ∈ R . a) ] Probar que S es un subespacio vectorial de M2×3(R). b) Escribir las ecuaciones cartesianas y paramétricas de S. c) Calcular la dimensión de S y encontar una base de S. d) Encontrar un subespacio T de M2×3(R) de forma que S ⊕ T = M2×3(R). 2.- Sea H el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 dado por H = λ λ + µ λ − µ λ : λ, µ ∈ R .

71. 38 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXÁMENES ANTERIORES a) Probar que H es un subespacio vectorial de M2×2(R). b) Escribir las ecuaciones cartesianas y paramétricas de H. c) Calcular la dimensión de H y encontrar una base de H. d) Dado el subespacio H1 = 0 1 a 0 , 1 0 0 1 , obtener, si es posible, el valor de a para que H1 = H. 3.- Dados los subespacios vectoriales L y M de R4 definidos por L = (1, 2, α, 1), (1, 0, 1, 1) , M = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x2 − x3 = 0, x1 − x2 + x4 = 0}, determinar, si es posible, el valor de α para que L ⊕ M = R4 . 4.- Sean B y B dos bases de R2 . Obtener la base B sabiendo que B = {(1, 1), (2, −1)} y que la matriz del cambio de base de B a B es 1 2 2 5 . 5.- Sea F el espacio vectorial de las funciones continuas de R en R. Se considera el subespacio vectorial L generado por las funciones f1(x) = 1, f2(x) = sen2 x, f3(x) = cos2 x, f4(x) = sen 2x y f5(x) = cos 2x. a) Determinar una base de L. b) Calcular las coordenadas de f(x) = cos 2x + sen 2x respecto de la base anterior. Nota: Se sabe que sen2 x = 1 − cos 2x 2 y cos2 x = 1 + cos 2x 2 . 6.- Sea P2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y W1 el subespacio vectorial vectorial de P2[x] dado por W1 = {p(x) ∈ P2[x] : p(x) = a + c + (2b + c − a)x + (b + c)x2 , a, b, c ∈ R}. a) Encontrar las ecuaciones impl´ıcitas de W1. b) Determinar un subespacio vectorial W2 de P2[x] de forma que W1 ⊕ W2 = P2[x]. 7.- Dados los subespacios vectoriales de M2×2(R) definidos por F = {A ∈ M2×2(R) : tr(A) = 0}, G = I2 . a) Determinar las ecuaciones cartesianas y paramétricas de F. b) Probar que F ⊕ G = M2×2(R).

72. 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en cualquier campo de la ciencia. Este cap´ıtulo trata sobre los tópicos relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estudiaremos su clasificación y algunos métodos de res- olución de los mismos, como el teorema de Rouché-Fröbenius y el método de Gauss. 3.1 PRELIMINARES. 3.1.1 Primeros conceptos Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones de orden 2 × 2. S1 ≡ x + 2y = 3 2x − y = 1 , S2 ≡ 2x − y = 1 4x − 2y = 8 , S3 ≡ 2x − y = 1 4x − 2y = 2 . Estos sistemas pueden resolverse utilizando cualquiera de los métodos algebraicos conocidos (reducción, igualación o sustitución). Por otra parte, si consideramos cada una de las ecuaciones de los sistemas anteriores como la ecuación de una recta en el plano podemos dar una interpretación gráfica de la soluciones de cada uno de los sistemas. Las soluciones serán precisamente los puntos de intersección de ambas rectas. El sistema S1 está formado por las ecuaciones de dos rectas r y s que se cortan en el punto (1, 1). El sistema S1 tiene solución única: x = 1 y = 1 . (1, 1) s:2x−y=1 r : x + 2y = 3 39

73. 40 PRELIMINARES. r:2x−y=1 r:4x−2y=8 El sistema S2 está formado por las ecuaciones de dos rectas r y s que son paralelas. Por tanto, las rectas r y s no tienen ningún punto en común, lo que significa que el sistema S2 no tiene solución. Finalmente, el sistema S3 está formado por las ecuaciones de dos rectas coinci- dentes. El sistema tiene, por tanto, infinitas soluciones. Cualquier punto de la recta r es solución del sistema. Para obtener soluciones particulares del sistema damos un valor a la incógnita x y, sustituyendo en la ecuación 2x − y = 1, obtenemos el correspondiente valor de y. x = 1 ⇒ y = 1. r:2x−y=1 s:4x−2y=2 Para expresar la solución general del sistema damos a x un valor arbitrario (x = λ, λ ∈ R) y calculamos el correspondiente valor de y. x = λ ⇒ y = 2λ − 1. La solución general del sistema S3 será, x = λ y = 2λ − 1 , λ ∈ R. El número λ se llama parámetro. Obsérvese que la solución general del sistema viene dada, precisamente, por las ecuaciones paramétricas de la recta r. Resolvamos algebraicamente los sistemas anteriores, utilizando el método de re- ducción, para ver cómo se traducen estas tres situaciones: S1 ≡ x + 2y = 3 2x − y = 1 ⇔ E1 → E1 E2 → E2 − 2E1 ⇔ x + 2y = −1 −5y = −5 . La segunda ecuación del sistema resultante nos permite despejar la incógnita y. Se obtiene y = 1. Sustituyendo este valor en la primera ecuación se llega a que x = 1. S2 ≡ 2x − y = 1 4x − 2y = 8 ⇔ E1 → E1 E2 → E2 − 2E1 ⇔ 2x − y = 1 0 = 6 . La segunda ecuación del sistema resultante es una contradicción. Esto significa que las ecuaciones del sistema son incompatibles. El sistema no tiene solución. S2 ≡ 2x − y = 1 4x − 2y = 2 ⇔ E1 → E1 E2 → E2 − 2E1 ⇔ 2x − y = 1 0 = 0 .

74. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 41 La segunda ecuación del sistema resultante es una identidad. Esto significa que la ecuación 4x − 2y = 2 no aporta nada al sistema y podr´ıa suprimirse. De hecho, se observa que esta ecuación es combinación lineal de la primera (E1 = 2E2). 3.1.2 Definiciones y notaciones Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es un conjunto de ecuaciones de la forma S ≡    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cm , (3.1.1) siendo aij ∈ R, los coeficientes, ci ∈ R, los términos independientes y xj las incógnitas, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n. Una solución del sistema (3.1.1) es cualquier conjunto de n valores reales (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn que satisfacen el sistema. Resolver un sistema lineal consistirá en: 1.- determinar si tiene solución y, 2.- en caso afirmativo, hallar el conjunto de todas sus soluciones, que notaremos por CS. Ejemplo 3.1 • Las ternas (−3, 0, 0) y (2, 4, 1) son soluciones del sistema S ≡    −x + 2y + 3z = 3 y + 4z = 0 x − y + z = −3 x + 5z = −3 En este caso, el conjunto solución del sistema S es CS = {(−3 − 5λ, −4λ, λ), λ ∈ R}, que habitualmente se indica en la forma x = −3 − 5λ y = −4λ z = λ , λ ∈ R. La expresión anterior recibe el nombre de solución general del sistema o ecuaciones paramétricas del sistema. 3.1.2.1 Expresión matricial de un sistema. El sistema (3.1.1) puede escribirse en forma matricial como     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... an1 an2 · · · amn         x1 x2 ... xn     =     c1 c2 ... cm     .

75. 42 PRELIMINARES. Llamando A =     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... an1 an2 · · · amn     , X =     x1 x2 ... xn     , C =     c1 c2 ... cm     , el sistema (3.1.1) puede escribirse abreviadamente como A · X = C. (3.1.2) La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema, X vector columna de incógnitas y C vector columna de términos independientes. En lo que sigue también consideraremos la matriz B =     a11 a12 · · · a1n c1 a21 a22 · · · a2n c2 ... ... ... ... an1 an2 · · · amn cm     que llamaremos matriz ampliada del sistema. Ejemplo 3.2 • El sistema S ≡    −x + 2y + 3z = 3 y + 4z = 0 x − y + z = −3 x + 5z = −3 puede escribirse matricialmente como    −1 2 3 0 1 4 1 −1 1 1 0 5    x y z =    3 0 −3 −3    . En este caso, A =    −1 2 3 0 1 4 1 −1 1 1 0 5    , X = x y z , C =    3 0 −3 −3    , B =    −1 2 3 3 0 1 4 0 1 −1 1 −3 1 0 5 −3    . 3.1.3 Clasificación de los sistemas lineales Los ejemplos que hemos comentado en la sección 2.1 muestran las 3 situaciones que nos podemos encontrar cuando resolvamos un sistema de ecuaciones lineales. Atendiendo al conjunto de soluciones, los sistemas pueden ser: Sistema    COMPATIBLE Tiene solución    DETERMINADO Solución única INDETERMINADO Infinitas soluciones INCOMPATIBLE No tiene solución Por otra parte, atendiendo al vector de términos independientes un sistema se dice homogéneo si la matriz C = 0; en caso contrario, el sistema se dice completo.

76. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 43 Obsérvese que cualquier sistema homogéneo admite siempre como solución a la solución trivial (0, · · · , 0), as´ı todo sistema homogéneo es compatible. Ejemplo 3.3 • El sistema S ≡ x + y + z = 0 x − y − z = 0 2x + 2y + z = 0 es un sistema homogéneo y compatible determinado con solución trivial (x, y, z) = (0, 0, 0). 3.1.4 Teorema de Rouché-Frobenius. El siguiente teorema nos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales mediante el cálculo de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

77. Teorema 3.1.1 Consideremos el sistema S ≡    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = cm Entonces se cumple que el sistema S es i) compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(B) = n, ii) compatible indeterminado si, y sólo si, rango(A) = rango(B) n. iii) Incompatible si, y sólo si, rango(A) = rango(B). Resulta evidente que no existe la posibilidad de que rango(A) = rango(B) n, pues A ∈ Mm×n. Ejemplo 3.4 • Consideremos el sistema   x + t = 1 y + z + t = 1 y + z = 0 −x + y = 1 x − t = 0 ⇔      1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 0 0 −1         x y z t    =      1 1 0 1 0      . En primer lugar observemos que rango(A) = 4, dado que podemos seleccionar un menor de orden 4 en la matriz A que es distinto de cero, 1 0 0 1 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 0 0 −1 = − 1 0 1 −1 1 0 1 0 −1 = − 1 1 1 −1 = 2 = 0. A continuación estudiamos el rango de la matriz ampliada B =      1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 −1 1 0 0 1 1 0 0 −1 0      .

78. 44 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Puesto que |B| = −1 = 0, resulta que rango(B) = 5. Como rango(A) = rango(B), el teorema de Rouché-Frobenius nos asegura que el sistema es incompatible. Ejercicio 3.5 • Clasificar el siguiente sistema según los diferentes valores de m (m + 2)x1 + x2 + x3 + mx4 = 0 mx1 + (m − 1)x2 + x3 + (m − 1)x4 = −1 − m (m + 1)x1 + (m + 1)x3 = −4 Solución: Estudiamos el rango de la matriz A = m + 2 1 1 m m m − 1 1 m − 1 m + 1 0 m + 1 0 . Para ello, calculamos el valor de los posibles menores de orden 3 de la matriz A, 1 1 m m − 1 1 m − 1 0 m + 1 0 = (m + 1) (m − 1)2 m + 2 1 m m 1 m − 1 m + 1 m + 1 0 = −m2 + 1 m + 2 1 m m m − 1 m − 1 m + 1 0 0 = (m + 1) 2m − 1 − m2 m + 2 1 1 m m − 1 1 m + 1 0 m + 1 = (m − 1) m (m + 1) . Todos los menores de orden 3 se anulan simultáneamente sólo cuando m = −1. As´ı resulta que, para m = −1, rango(A) = 3. Sustituyendo el valor m = −1 en la matriz A se deduce fácilmente que, en este caso, rango(A) = 2. Estudiaremos, a continuación, el rango de la matriz ampliada. Puede comprobarse que para cualquier valor de m rango(B) = rango m + 2 1 1 m 0 m m − 1 1 m − 1 −1 − m m + 1 0 m + 1 0 −4 = 3. Resumiendo, pueden presentarse los siguientes casos: 1.- m = −1 rango(A) = rango(B) = 3 = número de incógnitas ⇒ sistema compatible determinado 2.- m = −1 rango(A) = 2 = rango(B) = 3 ⇒ sistema incompatible.

79. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 45 3.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 3.2.1 Sistemas diagonales Obviamente, los sistemas de ecuaciones lineales más fáciles de resolver son los que “ya están resueltos”. En estos sistemas, la matriz de coeficientes es la matriz identidad,     1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 1         x1 x2 ... xn     =     c1 c2 ... cn     , y las ecuaciones del sistema son sencillamente de la forma xi = ci, i = 1, 2, · · · , n. Estos sistemas son un sistema particular de sistemas diagonales. Un sistema se dice diagonal si la matriz de coeficientes del sistema es una matriz diagonal. En forma matricial, un sistema diagonal, viene dado por     a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · ann         x1 x2 ... xn     =     c1 c2 ... cn     . Las ecuaciones de un sistema diagonal son de la forma aii xi = ci, i = 1, 2, · · · , n. Si aii = 0, para cada i = 1, 2, · · · , n, la solución se obtiene directamente en la forma xi = ci/aii, i = 1, 2, · · · , n, y el sistema será compatible determinado. Por el contrario, si aii = 0 para algún valor de i, el sistema será indeterminado si el correspondiente ci = 0 (la ecuación i-ésima será de la forma 0 = 0) o incompatible si ci = 0 (la ecuación i-ésima resulta una contradicción 0 = ci = 0). 3.2.2 Sistemas triangulares Un sistema de ecuaciones lineales de orden m × n se llama triangular superior si se verifica que aii = 0, i = 0, 1, · · · , k ; aij = 0, si i j, siendo k = min{m, n}; es decir, la matriz de coeficientes verifica que los elementos situados en la diagonal principal son todos distintos de cero y los elementos situados debajo de la diagonal principal son todos nulos. 3.2.2.1 Resolución de sistemas triangulares. Podemos encontrarnos con las siguientes situaciones: 1.- m = n El número de ecuaciones es igual al números de incógnitas. En este caso, el sistema será de la forma    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1 a22x2 + · · · + a2nxn = c2 · · · · · · · · · · · · annxn = cn La solución del sistema se obtiene de forma recursiva:

80. 46 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS • Despejamos xn en la última ecuación. • Sustituimos su valor en la ecuación anterior y despejamos xn−1. • Continuamos el proceso hasta determinar el valor de cada una de las incógnitas. Observemos que esto es posible por la condición de que aii = 0, i = 1, 2, · · · , n. La solución viene dada por xnn = cn ann , xi = 1 aii ci − n j=i aijxj , i = n − 1, · · · , 1. El sistema tiene, por tanto, solución única, es decir, se trata de un sistema compatible determinado. 2.- m n El número de ecuaciones es mayor que el números de incógnitas. El sistema será de la forma    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = c1 a22x2 + · · · + a2nxn = c2 · · · · · · · · · · · · annxn = cn 0 = cn+1 ... 0 = cm Si alguno de los ci, i = n+1, · · · , m, es distinto de cero, entonces se presenta una contradicción, es decir, el sistema es incompatible. En cambio, si ci = 0 para i = n + 1, · · · , m, las últimas m − n ecuaciones quedan reducidas a igualdades del tipo 0 = 0, es decir, no aportan nada al sistema y pueden suprimirse. A continuación se procede como en el caso a). 3.- m n El número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas El sistema será del tipo    a11x1 + a12x2 + · · · + a1m + · · · + a1nxn = c1 a22x2 + · · · + a2m + · · · + a2nxn = c2 · · · · · · · · · · · · amm + · · · amnxn = cm En este caso se dice que las incógnitas xm+1, · · · , xn “no están sometidas a control” y, por tanto, podrán tomar valores arbitrarios. Para resolver el sistema procedemos de la siguiente manera: • Asignamos a las variables xm+1, · · · , xn valores arbitrarios xn+1 = λ1, xn = λn−m. • A continuación despejamos el resto de las incógnitas xi, j = m, · · · , 1, si- guiendo el procedimiento descrito en el caso a). Los valores de estas incóg- nitas vendrán dados en función de λ1, · · · , λm−n que se llaman parámetros. El sistema es, por tanto, compatible indeterminado (con n−m parámetros).

81. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 47 Ejemplo 3.6 • El sistema S ≡ −x + 2y + 3z − 3t = 3 y + 4z − 2t = 11 , es un sistema triangular con 2 ecuaciones y 4 incógnitas. Las incógnitas z y t no están sometidas a control. Para resolver el sistema asignamos a estas incógnitas valores arbitrarios, S ≡    −x + 2y + 3z − 3t = 3 y + 4z − 2t = 11 z = λ t = µ , λ, µ ∈ R. Ahora podemos despejar el valor de las incógnitas y y x, de forma recursiva,    x = 19 − 6λ + 3µ y = 11 − 4λ + 3µ z = λ t = µ , λ, µ ∈ R. Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 2 parámetros). 3.2.3 Sistemas equivalentes. Método de resolución de Gauss Dos sistemas de ecuaciones S y S se dicen equivalentes cuando ambos tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, toda solución de S es también solución de S y viceversa. Resolver un sistema será, por tanto, lo mismo que resolver otro que sea equivalente a él.

82. Resultado 3.2.1 Las operaciones que permiten pasar de un sistema lineal a otro equivalente son: 1.- Cambiar de orden las incógnitas. 2.- Cambiar de orden las ecuaciones. 3.- Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero. 4.- Sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes. 5.- Suprimir del sistema una ecuación que sea combinación lineal de las restantes. Observemos que estas operaciones guardan una estrecha relación con las operaciones elementales sobre matrices que no alteraban el rango de una matriz. De hecho, en el método de Gauss (que exponemos a continuación), las operaciones b)-e) se traducirán en hacer operaciones elementales en las filas de la matriz ampliada del sistema. 3.2.3.1 Método de Gauss. El método de Gauss consiste en aplicar operaciones elementales sobre un sistema S para transformarlo en otro que sea equivalente a él y además sea triangular superior.

83. 48 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Consideremos el sistema S ≡    a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = c2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cm El método de Gauss consiste en lo siguiente: 1) Suponemos que a11 = 0. Si esto no fuera cierto reordenamos las ecuaciones y/o las incógnitas del sistema para situar en la posición (1, 1) un coeficiente distinto de cero.(En la práctica es aconsejable que a11 = 1, esto podr´ıa conseguirse dividiendo la primera ecuación por −a11 o reordenando las ecuaciones y/o las incógnitas, según lo que más interese). 2) A continuación mantenemos la 1a ecuación E1 → E1 y transformamos el resto de las ecuaciones sumándoles la primera ecuación multiplicada por −ai1/a11, Ei → Ei − ai1 a11 E1 , i = 2, · · · , m. Tras esta operación se consigue un sistema S , equivalente al anterior, dado por S ≡    a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = c1 a∗ 22x2 + a∗ 23x3 + · · ·+ a∗ 2nxn = c∗ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a∗ m2x2 + a∗ m3x3 + · · · + a∗ mnxn = c∗ m donde, a∗ ij = aij − ai1a1j a11 , c∗ i = ci − ai1c1 a11 , i = 2, · · · , m, j = 2, · · · , n. 3) Ahora repetimos el procedimiento anterior para el subsistema (∗), suponiendo que a∗ 22 = 0. En caso contrario reordenamos las ecuaciones y/o las incógnitas del subsistema (∗) para conseguir situar un elemento en la posición (2, 2) que sea distinto de cero, ... (En el caso de que sea necesaria una reordenación de las incógnitas ésta también afectará a la ecuación primera). 4) Reiteramos el procedimiento hasta encontrarnos con alguna de las siguientes situaciones: • Hemos agotado todas las ecuaciones. • Hemos agotado todas las incógnitas. • Todos los coeficientes del subsistema obtenido son cero. La resolución del sistema triangular resultante se hará teniendo en cuenta la técnica descrita en la sección 3.2.2. Ejercicio 3.7 • Resolver el sistema S ≡ x + y = 2 −2x − y + 2z = −3 2x − 4z = 2 aplicando el método de Gauss

84. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 49 Solución: S ≡ x + y = 2 −2x − y + 2z = −3 2x − 4z = 2 ⇔ E1 → E1 E2 → E2 + 2E1 E3 → E3 − 2E1 ⇔ x + y = 2 y + 2z = 1 −2z − 4z = −2 ⇔ E1 → E1 E2 → E2 E3 → E3 + 2E2 ⇔ x + y = 2 y + 2z = 1 0 = 0 La incógnita z no está sometida a control, por lo que le asignamos un valor arbitrario x + y = 2 y + 2z = 1 z = λ , λ ∈ R. Despejando las incógnitas y y x se obtiene x = 1 + 2λ y = 1 − 2λ z = λ , λ ∈ R. Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 1 parámetro). En la práctica, con objeto de simplificar las notaciones, las transformaciones anteriores se aplican directamente sobre la matriz de coeficientes del sistema. Las operaciones sobre cada una de las ecuaciones del sistema se traducen en las correspondientes operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada. x + y = 2 −2x − y + 2z = −3 2x − 4z = 2 ⇔ 1 1 0 2 −2 −1 2 −3 2 0 −4 2 ⇔ F1 → F1 F2 → F2 + 2F1 F3 → F3 − 2F1 ⇔ 1 1 0 2 0 1 2 1 0 −2 −4 −2 ⇔ F1 → F1 F2 → F2 F3 → F3 + 2F2 ⇔ 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 0 0 ⇔ x + y = 2 y + 2z = 1 0 = 0 Por otra parte, las transformaciones que hemos efectuado sobre las filas de la matriz ampliada pueden expresarse matricialmente en la forma F1 → F1 F2 → F2 + 2F1 F3 → F3 − 2F1 ⇔ F1 F2 F3 → 1 0 0 2 1 0 −2 0 1 F1 F2 F3 F1 → F1 F2 → F2 F3 → F3 + 2F2 ⇔ F1 F2 F3 → 1 0 0 0 1 0 0 2 1 F1 F2 F3 . Las matrices M1 = 1 0 0 −2 1 0 2 0 1 y M2 = 1 0 0 0 1 0 0 2 1 , se llaman matrices de cambio correspondientes a cada una de las transformaciones. El efecto producido sobre la matriz ampliada del sistema por cada una de estas transformaciones puede obtenerse multiplicando a izquierda por cada una de estas matrices de cambio. Más concretamente, la transformación 1a puede expresarse como M1 · B = 1 0 0 −2 1 0 2 0 1 1 1 0 2 −2 −1 2 −3 2 0 −4 2 = 1 1 0 2 0 1 2 1 0 −2 −4 −2 = B

85. 50 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS y la transformación 2a se corresponde con el producto, M2 · B = 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 2 0 1 2 1 0 −2 −4 −2 = B . La matriz B resultante tras estas transformaciones se puede escribir B = M2 · B = M2 · (M1 · B) = (M2 · M1) · B = M · B, donde M = M2 · M1 = 1 0 0 0 1 0 0 2 1 · 1 0 0 0 1 0 0 2 1 = 1 0 0 2 1 0 −2 2 1 . Podemos decir que la matriz M es la matriz que sintetiza todos las transformaciones que hemos de efectuar sobre las filas de la matriz ampliada o sobre las ecuaciones del sistema para convertirlo en un sistema triangular equivalente. Además, puesto que la 3a fila de la matriz final es nula, la 3a fila de la matriz M tiene un significado especial: −2F1 + 2F2 + 3F3 = 0 ⇒ F3 = 2F1 − 2F2, lo que nos dice que la 3a fila de la matriz B es combinación lineal de la 1a y la 2a filas, o lo que es lo mismo, que la 3a ecuación del sistema S es combinación lineal de la 1a y de la 2a. De hecho, E3 = −2E1 + 2E2 como puede comprobarse directamente. 3.2.4 Método de Cramer Un sistema lineal de n ecuaciones y n incógnitas se dice que es un sistema de Cramer si la matriz de coeficientes del sistema es regular. Si escribimos el sistema en la forma matricial abreviada A · X = C, (3.2.1) donde A ∈ Mn, entonces la condición para que (3.2.1) sea un sistema de Cramer es que det(A) = 0. Esta condición es equivalente a que rango(A) = n, lo que implica que también rango(B) = n. Por tanto, aplicando el Teorema de Rouché-Frobënius concluimos que todo sistema de Cramer es compatible determinado. Además, la única solución del sistema (3.2.1) se puede obtener como X = A−1 · C, (3.2.2) o equivalentemente, en cada coordenada i xi = a11 · · · c1 · · · a1n a21 · · · c2 · · · a2n ... ... ... ... ... an1 · · · cn · · · ann |A| , i = 1, 2, · · · , n, (3.2.3) donde el determinante que figura en el numerador es el determinante de la matriz de coeficientes en la que hemos sustituido la i-ésima columna por el vector de términos independientes.

86. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 51 Ejemplo 3.8 • El sistema x − z = 0 2x − y + z = 3 x − y + 3z = 4 ⇔ 1 0 −1 2 −1 1 1 −1 3 · x y z = 0 3 4 , es un sistema de Cramer, dado que det(A) = 1 0 −1 2 −1 1 1 −1 3 = −1 = 0. Para calcular la solución del sistema podemos utilizar la igualdad (3.2.2), X = A−1 · C ⇒ x y z = 1 0 −1 2 −1 1 1 −1 3 −1 0 3 4 = 2 −1 1 5 −4 3 1 −1 1 0 3 4 = 1 0 1 . El mismo resultado obtendr´ıamos si hacemos uso de la fórmula (3.2.3): x = 0 0 −1 3 −1 1 4 −1 3 |A| = 1, y = 1 0 −1 2 3 1 1 4 3 |A| = 0, z = 1 0 0 2 −1 3 1 −1 4 |A| = 1. 3.2.4.1 Método de Cramer generalizado. La fórmula (3.2.3) puede aplicarse también para resolver sistemas compatibles que no son de Cramer; es decir, a sistemas donde A no es cuadrada o A no es regular. El método consistirá en reducir el sistema inicial a otro sistema que sea de Cramer eliminando las ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes y pasando al segundo término las incógnitas que no estén controladas (a las que asignaremos valores arbitrarios). Ilustramos el método con el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.9 • Consideremos el sistema S ≡ 3x − 2y − 2z = 8 −x + 3y + 4z = 5 2x + 5y + 2z = 13 En primer lugar, observamos que no es de Cramer, dado que det(A) = 3 2 −4 −1 3 4 2 5 2 = 0, lo que significa que rango(A) ≤ 3. Veamos si se trata de un sistema compatible. Para ello estudiamos los rangos de la matriz A y de la matriz ampliada del sistema. A = 3 2 −4 −1 3 4 2 5 2 , B = 3 2 −4 8 −1 3 4 5 2 5 2 13 . Puesto que 3 2 −1 3 = 11 = 0 ⇒ rango(A) = 2, 3 2 8 −1 3 5 2 5 13 = 0 ⇒ rango(B) = 2.

87. 52 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Luego, rango(A) = rango(B) = 2 3 = número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado. Para resolver el sistema procedemos de la siguiente forma: 1) Tomamos el menor distinto de cero que hemos seleccionado para determinar el rango del sistema, x y ↓ ↓ E1 → 3 2 E2 → −1 3 obtenido tomando las dos primeras filas de la matriz A y las dos primeras columnas (que corresponden a las variables x e y). 2) Suprimimos aquellas ecuaciones que no intervienen en este menor (dado que serán combinación lineal de las ecuaciones que s´ı intervienen en él). En nuestro caso, suprimimos la 3a. 3) Aquellas incógnitas que no intervengan en el menor seleccionado (en nuestro caso la z) las pasamos al otro término y le asignamos un valor arbitrario (tales incógnitas no están sometidas a control). Tras estas operaciones, el sistema resultante será: 3x + 2y = 8 + 2z −x + 3y = 5 − 4z Finalmente, resolvemos el sistema anterior aplicando la fórmula de Cramer (3.2.3), x = 8 + 2z 2 5 − 4z 3 3 2 −1 3 = 14 + 14z 11 , 4 8 + 2z −1 5 − 4z 3 2 −1 3 = 23 − 10z 11 , z = λ, λ ∈ R. La solución vendrá dada por    x = 14 11 + 14 11 λ y = 23 11 − 20 11 λ z = λ , λ ∈ R. 3.2.5 Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa En la práctica, la fórmula X = A−1 · C, para resolver sistemas de Cramer resulta muy poco operativa debido a que el cálculo de la matriz inversa (utilizando la matriz adjunta) es demasiado engorroso para n ≥ 2. Por otra parte, el cálculo de la matriz inversa es una operación que tiene interés en si mismo dado que tiene muchas aplicaciones. El método de Gauss-Jordan simplifica notablemente el cálculo de la inversa de una matriz regular por medio de la realización de combinaciones lineales sobre las filas de ésta y está fundamentado en la siguiente propiedad que ya pusimos de manifiesto en la segunda parte del Ejemplo 2.5.

88. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 53

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