3. DEFINIŢIE
Definitie: O matrice A ϵ Mn(ℂ) se numeste inversabila in in Mn(ℂ) pe
scurut inversabila) daca exista o matrice B ϵ Mn(ℂ) astfel incat
AB=BA=In
Observatii:
• Pentru o matrice de A ϵ Mn(ℂ) exista cel mult o matrice B ϵ Mn(ℂ)
cu proprietatea din enunt.Intr-adevar,daca Ab=BA=In si AC=CA=In cu
B,C ϵ Mn(ℂ) atunci B=B In=B(AC)=(BA)C=InC=C.De aceea ,daca A este
inversabila,matricea B din definitie este unica.Ea se noteraza cu A-1 si
se noteaza inversa lui A.
• Daca inlocuim,in definitie ,multimea ℂ cu una din multimile ℝ , ℚ,
sau ℤ obtinem notiunea de inversabilitate pentru matricele patratice
peste ℝ , ℚ, si respectiv ℤ.
Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din
Mn(ℂ),iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare
pentru matricele patratice peste ℝ, ℚ, si respectiv ℤ.
Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din
Mn(ℂ) ,iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare a
inversei unei matrice inversabile.
Avem nevoie,mai intai , de urmatoarea propozitie. Cuprins
4. PROPOZIŢIE
Daca A=(aij) ϵ Mn(ℂ) atunci, pentru orice i ≠ j avem:
Ai1 Г+ai2 Г+...+ain Гjm=0 si a1i+ Г1j+a2i Г2j +...+ani Гnj =0,
(deci suma produselor elementelor unei linii si complementii
algebrici ai elementelor altei linii este zero, proprietate
adevarata si pentru coloane).
Demonstratie.Consideram matricea B obtinuta din A
prin inlocuirea liniei j cu linia j cu linia i a matricei A,linia i
ramanand aceeasi .Deoarece matricele A si B difera,cel mult
,prin linia j atunci complementii algebrici ai elementelor
corespunzatoare e pe linia j din cele doua matrice sunt aceeasi
.Dezvoltand determinantul matricei B dupa linia j obtinem : det
B=aij Гj1 +ai2 Гj2 ...+ain Гjn .Pe de alta parte,matricea B are liniile i
si j egale.Atunci det B=0 si demonstratia este incheiata .Pentru
coloane demonstratia se face analog.
Cuprins
5. TEOREMĂ
O matrice A ϵ Mn (ℂ) este inversabila in Mn daca si numai daca det A≠0.
Demonstratie.( ⇒).Deoarece A∙A-1=In rezulta ca det(A∙A-1)=detIn=1.Din
proprietatea 6 a determinantilor obtinem detA∙detA-1=1,deci, in particular ,
detA≠0.
( ⇒)Fie A=(aij).
Γ11 Γ21 … Γn1
Γ12 Γ22 … Γn2
Notam cu A* matricea Γ13 Γ23 … Γn3 ,obtinuta din A prin
inlocuirea
… … ... …
Γ1n Γ2n … Γnn
elementului aij cu Γji (deci cu complementul algebric al elementului aij).
6. Daca A∙A*=(bik) atunci bik=ijΓkj , ∀ i,k
∊{1,2,….,n}. Din proprietatea 5 a determinantilor
(dezvoltarea dupa linie) si propozitia anterioara
rezulta bii=detA , ∀ i ∊{1,2,….,n} si bik=0, ∀ i,k
∊{1,2,….,n} cu i≠k . Obtinem A∙A*=(detA)∙In si
analog A*∙A=(detA)∙In . Deoarece det A≠0
rezulta ca A∙ ∙A* = ∙A* ∙A=In . In consecinta,
matricea A este
inversabila si A-1 = A*.
Cuprins
7. OBSERVAŢII
Matricea se numeşte matricea adjunct(reciprocă)
asociată matricei A.Ea este,de fapt,matricea transpusă a
complemenţilor algebrici ai elementelor lui A şi se mai
poate obţine astfel:se consideră matricea şi se
înlocuieşte fiecare element al ei cu complementul
algebric.
Matricea Aϵ(ℝ) atunci det Aϵ ℝ si ϵ (ℝ).În ipoteza că
det A≠0 atunci = este o matrice pătratică peste ℝ,deci A
este inversabilă în (ℝ).Proprietatea se păstrează dacă
înlocuim multimea ℝ cu multimea ℚ.În
consecinţă,teorema anterioară caracterizează şi
matricele inversabile din (ℝ) si (ℚ).
8. În cazul matricilor pătratice peste ℤ
este adevărat următorul rezultat:
Aϵ (ℤ) este inversabilă în (ℤ) daca şi
numai dacă det A≠±1.
Într-adevar,dacă A este inversabilă
în (ℤ) atunci,cum matricile A şi au
elemente întregi,rezultă că det A ϵ ℤ şi
det ϵ ℤ.Deoarece det A ∙ det
=1,deducem că det A =±1.
Reciproc,dacă det A =±1 rezultă că A
este inversabilă în (ℚ) şi
==±Complemenţii algebrici ai
elementelor lui A sunt numere întregi şi
în consecinţă elementele lui ,deci şi ale
lui sunt numere întregi.
Cuprins
11. Se da:
A= . Vom arăta că A este inversabilă şi vom determina .
Avem det A=. = * =9 0
Calculăm complemenţii algebrici ai elementelor lui A si obţinem
matricea adjunctă =
Inversa matricei A este = ∙ (ℂ).
12. Să observăm că dacă matricea A este gîndită în M3(ℝ)
sau M3(ℚ) concluzia este aceeaşi. Cum A-1 ϵM3 (ℚ)
rezultă că A este inversabilă inM3(ℝ) sau M3 (ℚ).
Nu acelaşi lucru se întîmplă dacă privim matricea A in
M3(ℤ). Determinantul ei nu este -1 sau 1,
Deci A nu este inversabilă în M3(ℤ). De altfel, se
observă cu usurinţă că A-1∉ M3(ℤ)
Cuprins
