1. Chapitre 2 : Potentiel électrostatique
Circulation d’un champ de vecteurs……………………………………………………….
Circulation d’un champ électrique créé par une charge ponctuelle-Notion de potentiel…..
Potentiel créé par une distribution de charges……………………………………………...
Travail des forces électrostatiques………………………………………………………….
Relation entre champ et potentiel électrostatiques………………………………………...
Topographie électrostatique………………………………………………………………...
Potentiel électrostatique
I- Circulation d’un champ de vecteurs
1) Définition
ur
A(M) est un champ de vecteurs et (L) une courbe dans
l’espace. La circulation élémentaire dC du champ de
u
r u
r uu
r
vecteurs A(M) est donnée par : dC = A(M) dl(M) où
uu
r A(M)
dl est un déplacement élémentaire pris sur (L) au point
M. dl
La circulation de ce champ de vecteurs le long de la
courbe (L), se déduit de la circulation élémentaire
u
r uu
r
comme suit : ΔC = ∫
(L)
dC = ∫
(L)
A(M) dl(M) (L)
2) Champ conservatif
a) Définition
u
r
Un champ de vecteurs A est conservatif si la circulation de ce champ entre deux points M et
N ne dépend que de ces points. En d’autres termes, la circulation du champ de vecteurs ne
dépend pas du chemin suivi.
N N u uu
r r
ΔC = ∫ M
dC = ∫M
A dl = C(N) − C(M)
C(M) étant la valeur de la circulation au point M et C(N) la valeur de la circulation au point
N.
b) Propriétés

2. u
r
Un champ de vecteurs A(M) est conservatif si et seulement s’il dérive d’une fonction scalaire
f(M). Ceci se traduit par la relation :
u
r uu
r
df = dC = A(M) dl(M)
u
r
Lorsqu’un champ de vecteurs A(M) dérive d’un champ de scalaires f(M), alors la circulation
u
r uu
r
de ce champ le long d’une courbe fermée est nulle : Ñ
∫ A(M) dl(M) = 0
II- Circulation du champ électrique créé par une charge
ponctuelle - Notion de potentiel
1) Calcul de la circulation
On considère une charge ponctuelle q placée en un point O. Elle crée au point M un champ
r r uuur r
q r r
électrique : E(M) = 2
u , r = OM et u=
4πε o r r
uu
r
Soient (L), une courbe dans l’espace et dl un déplacement élémentaire le long de (L).
E(M)
M
dl
r
(L)
u ≡ er
O
q
r
La circulation élémentaire du vecteur E le long de la courbe (L), est donnée par :
r uu
r q r uu
r
dC = E(M) dl(M) = 2
u dl
4πε o r
uu
r
L’élément déplacement dl exprimé en coordonnées sphériques (cf.fig.page 12) a pour
expression :
uu
r r r r r r r r r r
dl = dr e rφ + r dθ e θ + r sinθ dφ e , u ≡ er , u ⊥ eθ et u ⊥ e φ

3. La circulation élémentaire peut s’écrire alors sous la forme :
q dr
dC = 2
4πε o r
 q 
soit : dC = − d  + K  = − dV(M)
 4πε o r 
où V(M) est un champ de scalaires défini par :
q
V(M) = + K
4πε o r
Remarquons que V n’est pas unique (il est défini à une constante additive près), on mettra
cette liberté à profit pour choisir le potentiel scalaire le plus adapté à la résolution de chaque
problème.
Dans le cas d’une charge ponctuelle, on prend un potentiel de référence tel que V = 0 lorsque
r → ∞ , on a : 0 = 0 + K . La constante K est alors nul et le potentiel créé par une charge
ponctuelle en tout point de l’espace est :
q
V(M) =
4πε o r
2) Potentiel électrostatique
a) Définition
r
Le potentiel électrostatique au point M, généré par un champ électrostatique E(M) est la
fonction scalaire V(M) tel que :
r uu
r
dV(M) = − dC = − E(M) dl(M)
b) Remarque
Le potentiel électrique n’est connu qu’à une constante près. V(∞) = 0 est un choix arbitraire,
car seule la différence de potentiel entre deux points est une grandeur mesurable.
Dans le système international (SI), l’unité du potentiel est le volt (symbole : V).
III- Potentiel créé par une distribution de charges

4. 1) Charge ponctuelle
On sait qu’une charge ponctuelle placée en O crée en un point M de l’espace un champ
électrique qui dérive d’un potentiel électrique V tel que :
q uuu
r
V(M) = où r = OM
4πε o r
2) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition
Soient q , ..................... q , ............ , q
n , un ensemble de n charges ponctuelles placées
1 i
respectivement en des points O 1 , ..................... O i , ............ , O n , le potentiel V(M) créé par ces
charges en un point M est la somme algébrique des potentiels créés par chacune des ses
charges.
n qi uuuu
r
V(M) = ∑
i =1 4πε o ri
où ri = Oi M
3) Distribution linéique
(L) est une ligne chargée et λ est la densité
fil chargé
linéique de charges. On divise la charge de la
distribution en petits éléments infinitésimaux
qui peuvent être considérés comme des λ
charges ponctuelles. Un élément de longueur
dl centré en A et portant la charge d
=
dq(A) λ(A) d (A) l crée en un point M de
A
l’espace le potentiel élémentaire :
r
dq(A)
dV(M) =
4πε o r M
(L)
dV
Le potentiel total en M est :
λ(A) dl(A)
V(M) = ∫
(L)
4πε o r
: l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé
M
dV
4) Distribution surfacique
r
(S) est une surface chargée et σ est la densité
superficielle de charges . On divise la charge
de la distribution en petits éléments (S)
dS
A
surface chargée σ

5. infinitésimaux qui peuvent être considérés
comme des charges ponctuelles. Un élément
de surface dS centré en A et portant la charge
dq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M de
l’espace le potentiel élémentaire :
dq(A)
dV(M) =
4πε o r
Le potentiel total en M est :
σ(A) dS(A)
V(M) = ∫
(S)
4πε o r
: l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée
5) Distribution volumique
(τ) est un volume chargé et ρ est la densité
volumique de charges . On divise la charge M
dV
de la distribution en petits éléments
infinitésimaux qui peuvent être considérés
comme des charges ponctuelles. Un élément
r
de volume dτ centré en A et portant la charge
=
dq(A) ρ(A) d (A) τ crée en un point M de ρ
l’espace le potentiel élémentaire :
A
A
dV(M) =
dq(A) dτ
(τ)
4πε o r
Le potentiel total en M est :
volume chargé
ρ(A) dτ(A)
V(M) = ∫
(τ ) 4πε o r
: l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé
6) Calcul du potentiel V
L’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.
Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte des
propriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au
problème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de V. Notons que le
modèle de la distribution peut comporter des charges à l’infini. Dans ce cas, le choix d’un
potentiel nul à l’infini doit être exclu. On adopte alors une valeur de référence en un point
donné, cette convention n’ayant aucune conséquence sur la détermination du champ
électrostatique.

6. IV- Travail des forces électrostatiques
r
Une charge ponctuelle q placée dans une région ou règne un champ électrostatique E dérivant
r uu
r
d’un potentiel V, est soumise à une force F . Lors d’un déplacement élémentaire dl de la
charge q, la force effectue le travail élémentaire suivant :
r uu
r r uu
r
dW = F dl = q E dl = − q dV
Lorsque q se déplace du point A au point B le travail total se calcule comme suit :
B B
WA → B = ∫ A
dW = − q ∫A
dV
= q (VA − VB )
V- Relation entre le champ et le potentiel électrostatique
1) Notion de gradient
a) Différentielle d’une fonction à plusieurs variables
Soit f une fonction à plusieurs variables x 1 , ..................... x i , ............ , x n . La différentielle totale
exacte de f, notée df est donnée par :
n
∂f
df =
i =1 ∂x i
∑ dx i
∂f
où est la dérivée partielle de f par rapport à la variable xi.
∂x i
Dans le repère cartésien (Oxyz), un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que
uuu r r r r r r r
OM = xe x + ye y + ze z . Les vecteurs e x , e y et e z sont respectivement les vecteurs unitaires
des axes (Ox), (Oy) et (Oz).
Si f(M) est une fonction à trois variables, la différentielle totale exacte s’écrit :
∂f ∂f ∂f
df = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
∂f r ∂f r ∂f r r r r
df = ( ex + ey + e z ) ⋅ (dx e x + dy e y + dz e z )
∂x ∂y ∂z

7. ∂f r ∂f r ∂f r uu r
soit : df = ( ex + ey + e z ) ⋅ dl
∂x ∂y ∂z
b) Définition du gradient
uuur
Le gradient de f, noté ( grad f ) est le vecteur dont les composantes en coordonnées
∂f ∂f ∂f
cartésiennes sont : ( , , ).
∂x ∂y ∂z
uuuur ∂f r ∂f r ∂f r
grad f = ( ex + ey + ez )
∂x ∂y ∂z
2) Relation entre le champ et le potentiel électrostatiques
r uu
r
On sait que dV = − dC = − E dl . Sachant que V(x,y,z) est un champ scalaire et en écrivant
la différentielle de V, il vient :
∂V ∂V ∂V
dV = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
uuur uu
r
soit : dV = grad V d l
r uu
r uuur uu
r r uuur
dV = − E dl et dV = grad V d l → E = − grad V
Les composantes du vecteur champ électrique, sont données par les relations suivantes :
∂V ∂V ∂V
Ex = − ; Ey = − ; Ez = −
∂x ∂y ∂z
En coordonnées cylindriques et sphériques, nous avons les relations suivantes :
 ∂V  ∂V
 Eρ = − ∂ ρ  Er = − ∂ r
 
 1 ∂V  1 ∂V
 Eφ = − ;  Eθ = −
ρ ∂φ  r ∂θ

 ∂V  1 ∂V
 Ez = −  E φ = − r sin θ ∂ φ
 ∂z 
r uuur
La relation E = − grad V permet de déterminer soit le champ électrostatique à partir du
r
potentiel V, soit le potentiel électrostatique à partir du champ E .

8. 3) Application : Calcul du champ électrostatique d’une charge ponctuelle à
partir de son potentiel.
r r r
Considérons une charge ponctuelle placée en O, origine du repère (O ; e z , e z , e z ) . En un point
M repéré par ses coordonnées x, y et z, le potentiel associé à la charge ponctuelle est donné
par :
q q 1 uuu
r
V(M) = = où r = OM
4πε o r 4πε o 2
x + y + z
2 2
Les composantes du champ électrostatique associé à la charge q au point M sont calculées par
les formules :
∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z)
Ex = − , Ey = − , Ez = −
∂x ∂y ∂z
∂  2 2 2
)

(
1
q −2 q x
Ex = −  x +y +z =
4πε o ∂x 
 
 4πε o r
3
En opérant de la même manière pour y et z, on trouve :
∂  2 2 2
)

(
1
q −2 q y
Ey = −  x +y +z  =
4πε o ∂y 
 
 4πε o r
3
∂  2 2 2
)

(
1
q −2 q z
et Ez = −  x +y +z =
4πε o ∂z 
 
 4πε o r
3
r r r r uuu r
r r r r
Sachant que E = E x e x + E y e y + E z e z et OM = r = xe x + ye y + ze z , le champ
électrostatique sous forme vectorielle s’écrit :
r u
r r
r q x ex + y e y + z ez
E(M) = 3
4πε o r
r
r q r
soit : E(M) = 3
4πε o r

9. r
On peut aussi déduire le champ E de l’expression du gradient en coordonnées sphériques. Le
résultat est immédiat :
dV(r) q
E rθ = − φ
= 2
; E = 0 ; E = 0
dr 4πε o r
r
r q er
soit : E(M) = 2
4πε o r
VI- Topographie électrostatique
1) Surfaces équipotentielles
Soit V une fonction potentiel définissant un champ de scalaire, une surface Σ est dite
équipotentielle si et seulement si la valeur de V est la même en chacun de ses points.
1) Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe où en chacun de ses points le champ électrique lui est
tangent. Elle est orientée par continuité avec le vecteur champ.
E ligne de champ
M
dl
Remarques :
i/ Les lignes de champ sont ouvertes et ne se coupent nulle part. Elles s’éloignent des charges
positives vers l’infini, ou venir de l’infini vers les charges négatives; en particulier elles
partent des charges positives pour aboutir aux charges négatives.
ii/ L’équation qui permettra de définir une ligne de champ, puis de la tracer, s’obtient en
uur
exprimant que d l (ayant donc pour support la tangente au point M (cf.fig. ci-dessus)) est
r r uu
r
colinéaire au vecteur E(M) → E(M) = kdl où k est une constante de proportionnalité.
Ce qui conduit au système d’équations différentielles :
r r r r r r
• Système cartésien : E x e x + E y e y + E z e z = k (dx e x + dy e y + dz e z )

10. Par identification, on trouve : E x = k dx ; E y = k dy ; E z = k dz
dx E (x,y,z) dx E (x,y,z)
Soit : = x ; = x
dy E y (x,y,z) dz E z (x,y,z)
r r r r r r
• Système cylindrique : E ρ e ρ + E φ e φ + E z e z = k (dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z )
Par identification, on trouve : E ρ = k dρ ; E φ = k ρdφ ; E z = k dz
dρ E ρ (ρ,φ,z) dρ Eρ (ρ,φ,z)
Soit : = ; =
ρ dφ E φ (ρ,φ,z) dz E z (ρ,φ,z)
r r r r r r
• Système sphérique : E rθe rφ + E φ θ + E e = k (dr e + rdθφe θ + rsinθdφ e )
e r
Par identification, on trouve : E rθ = k dr ; E = k rdθ
z ; E = k rsinθdφ
dr E (r,θ,φ) dr E (r,θ,φ)
Soit : = r ; = r
r dθ Eθ (r,θ,φ) rsinθ dφ E φ (r,θ,φ)
La résolution de ces couples d’équation différentielles conduit aux équations :
f(x,y,z) = 0 f(ρ,φ,z) = 0 f(r,θ,φ) = 0
g(x,y,z) = 0 g(ρ,φ,z) = 0 g(r,θ,φ) = 0
qui définissent deux surfaces. Leur intersection est la ligne de champ.
3) Propriétés
r
a) Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles (E ⊥ Σ) .
b) Le sens du champ électrique est du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins
élevé.
4) Exemples de surfaces équipotentielles et de lignes de champ

11. a) Les surfaces Σ équipotentielles d’une charge ponctuelle q sont des sphères
concentriques de rayon r et de centre celui occupé par la charge q et les lignes de
champ sont des demi-droites radiales perpendiculaires aux surfaces Σ (cf.fig. ci-
dessous).
V3 V3
Σ2 Σ3 Σ2 Σ3
V2
Σ1 V2 Σ1
E E
V1 q V1 q
q > 0 q < 0
V1 > V2 >
V3 V1 < V2 <
V3
les lignes de champ divergent les lignes de champ convergent
à partir de la charge positive vers la charge négative
b) La figure ci-dessous représente les lignes de champ d’un dipôle électrique (un
dipôle électrique est un ensemble, supposé rigide, de deux charges de même
grandeur et de signes opposés séparées par une très faible distance).

12. E
les lignes de champ
d’un dipôle électrique