1. Chapitre 1 : Loi de Coulomb et champ électrostatique :
Première partie : Loi de Coulomb
3
Charge électrique………………………………………………………………………….. 4
Notion de distribution de charges…………………………………………………………
6
Loi de Coulomb dans le vide………………………………………………………………
Seconde partie : Champ électrique
9
Définitions………………………………………………………………………………… 10
Champ électrique créé par des charges ponctuelles………………………………………. 11
Champ électrique créé par des distributions de charges continues…………………..........
Loi de Coulomb et
Champ électrostatique
Loi de Coulomb
I- Charge électrique
1) Aspect microscopique
a) Introduction
La matière est constituée d’atomes. Un atome est constitué de particules élémentaires :
électrons, protons et neutrons. Parmi les caractéristiques principales d’une particule, on peut
citer son état électrique. Cette dernière peut exister sous l’une des trois formes suivantes :
négative, neutre ou positive.
b) Charge électrique élémentaire
C’est la charge électrique notée e correspondant à la charge d’un proton. L’électron a une
charge −e.
e = 1,60207.10-19C
Le coulomb est l’unité de la charge électrique (symbole C).
2) Aspect macroscopique

2. a) Introduction
Tout corps ou système porte une quantité de charges ou d’électricité notée Q, qui est soit
négative (Q < 0), soit nulle (Q = 0), soit positive (Q > 0).
b) Conservation de la charge électrique
La quantité de charge portée par un système isolé reste constante.
c) Quantification de la charge électrique
Toute quantité d’électricité Q portée par un corps ou un système est un multiple entier relatif
de la charge élémentaire e.
Q = n.e où n ∈ ¢
On dit dans ce cas que la charge Q est quantifiée c'est-à-dire Q ne prend que des valeurs
discrètes.
3 1
Exemples : Q = −1020 e , Q = 25 e . On ne peut jamais avoir Q = e ou Q = e .
4 2
d) Notion de charge ponctuelle
Une charge ponctuelle est une charge qui existe en un point de l’espace. En réalité, ce n’est
qu’une approximation. La charge q étudiée peut être considérée comme ponctuelle si la
distance séparant le point d’observation et le centre de la charge est très grande devant les
dimensions de la charge q.
II- Notion de distribution de charges
1) Définition
Une distribution de charges est la manière dont sont réparties ces charges dans l’espace. Une
distribution peut être discrète ou continue. Elle est discrète (ou ponctuelle), si toutes les
charges qui la constituent sont ponctuelles. Elle est continue si les charges qui la constituent
sont réparties de façon continue sur, ou dans un support quelconque.
Une distribution continue de charges peut exister sous forme linéaire, surfacique ou
volumique.
2) Distribution linéaire
a) Définition

3. Une distribution de charges est considérée comme linéaire (ou linéique) si elle peut être
approchée par une répartition continue de charges sur une ligne.
b) Densité linéique de charges
La charge par unité de longueur notée λ est appelée densité linéique de charges. Si dq est la
quantité de charges portée par une longueur élémentaire dl (cf.fig et tableau.pages 12-13),
dq
alors la charge par unité de longueur est : λ =
dl
La charge totale Q portée par une ligne de longueur L est :
Q = ∫
(L)
dq = ∫
(L)
λ dl : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé
L’unité de la densité linéique de charges λ est le coulomb par mètre (symbole : C/m).
3) Distribution surfacique
a) Définition
Une distribution de charges est dite surfacique ou superficielle lorsqu’elle est répartie de
façon continue sur une surface.
b) Densité surfacique de charges
La charge par unité de surface notée σ est appelée densité superficielle (ou surfacique) de
charges. Si dq est la quantité de charges portée par l’élément de surface dS (cf.fig et
dq
tableaux.pages 14→17), alors la densité superficielle de charges est donnée par : σ =
dS
La quantité de charges portée par une surface d’aire S est :
Q = ∫
(S)
dq = ∫
(S)
σ dS : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée
L’unité de la densité superficielle σ est le coulomb par mètre carré (symbole : C/m2).
4) Distribution volumique
a) Définition
Une distribution volumique de charges traduit la manière dont sont réparties les charges dans
un volume.
b) Densité volumique de charges

4. La charge par unité de volume notée ρ est appelée densité volumique de charges. Si dq est la
quantité de charges contenue dans l’élément de volume dτ (cf.fig et tableau.pages 18-19),
dq
alors la densité volumique de charges peut s’écrire : ρ =
dτ
La charge électrique totale contenue dans un volume τ est :
Q = ∫
(τ)
dq = ∫
(τ)
ρ dτ
: l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé
L’unité de la densité volumique de charges ρ est le coulomb par mètre cube (symbole : C/m3).
5) Calcul de la charge Q
L’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.
Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte des
propriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au
problème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de Q.
III- Loi de coulomb dans le vide
1) Enoncé de la loi
Deux charges électriques ponctuelles q 1 et q 2 stationnaires s’attirent ou se repoussent
mutuellement avec une force proportionnelle au produit des valeurs des charges et
inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
La forme vectorielle de la loi de coulomb est donnée par :
r q1 q 2 r r q1 q 2 r
F12 = 2
u 12 ; F 21 = 2
u 21
4πε o r 4πε o r
u21 M
F12 ∆ r
M F21 O q2
u12 r
O q2 q1
q1 ∆
q1 q2
> 0
u21 M
F21 r
F12 ∆ O
M q2
u12 r
O q2 q1
q1 ∆
q1 q2 < 0

5. r
Ici q1 et q2 sont les nombres donnant la valeur absolue et le signe des charges respectives, u 12
est le vecteur unitaire dirigé de la charge 1 vers la charge 2, r est la distance séparant les deux
r r
charges et F12 est la force agissant sur la charge 2. u 21 est le vecteur unitaire dirigé de la
r
charge 2 vers la charge 1 et F 21 est la force agissant sur la charge 1.
2) Caractéristiques du vecteur Force électrique
r
M lorsque q agit sur q → F12 (M)

o Point d’application :  1 2
r
O lorsque q agit sur q → F 21 (O)
 2 1
o Direction : la droite d’action ∆
r r
dans le sens de u12 , si q q 〉 0 ; dans le sens contraire de u12 , si q q 〈 0
 1 2 1 2
o Sens :  r r
dans le sens de u 21 , si q1q 2 〉 0 ; dans le sens contraire de u 21 , si q1q 2 〈 0

q q
1 2
o Module : 2
4πε o r
εo est une constante appelée permittivité diélectrique du vide (ou constante diélectrique). Elle
1 2 2
vaut dans le système international (S.I.) : 9
C /N.m où 8,85 10 −12 Farad/m (le
36π 10
Farad est l’unité de la capacité dans le SI).
La loi de Coulomb exprime le fait que des charges de même signe se repoussent, et que des
charges de signe contraire s’attirent. Elle exprime aussi le caractère Newtonien de la force,
r r
c'est-à-dire que : F12 = − F 21
On remarque que la force d’interactions entre les charges électriques varie en 1/r2 comme la
force d’interactions gravitationnelle.
+
q n
3) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition
r n
Soient q 2 , ..................... q i , ............ ,q n , un ensemble de n−1 charges ponctuelles placées
F
i1 − uu
r
r q2
respectivement aux points O 2 , ................. O i , ............2 ,O n . La force électrique résultante F 1 exercée
M
sur la charge q 1 placée au 1point M est donné par :
q
+
F n1 F F 21
31
r i
r 3
+ q i
q3
−

6. r
u
r n qi r uuuu
r r ri
F1 (M) = ∑
i =2 4πε o r
2
ui , r i = Oi M et ui =
ri
i
uu
r uur uu
r uu
r uu
r
F 1 (M) = F21 + F31 + .......... + Fi1 + ............ + Fn1
Attention de bien additionner les forces de manière vectorielle
3) Comparaison entre les forces électrique et gravitationnelle
Considérons deux électrons séparés par une distance r.
2
e
L’intensité de la force électrique (répulsive dans ce cas) est : Fe = 2
4πε o r
2
m
La valeur de la force de gravitation (toujours attractive) est : Fg = G 2
r
où G = 6,67.10-11 S.I., est la constante de gravitation et m = 9,1.10 −31 kg est la masse de
l’électron.
Le rapport Fg/Fe est de l’ordre de 10−22. Ce résultat montre qu’on peut négliger la force de
gravitation par rapport à la force électrique. Ceci sera valable dans toute la suite de ce cours,
sauf mention explicite du contraire.
Un amas d’éléments positifs se repousserait avec une force énorme et éclaterait dans toutes
les directions. Un amas d’éléments négatifs en ferait autant. Mais un mélange égal d’éléments
positifs et négatifs ferait quelque chose de tout à fait différent. Les éléments opposés seraient
maintenus ensemble par des attractions énormes. Le résultat global serait que les forces
terrifiantes s’équilibreraient entre elles presque parfaitement en formant des mélanges fins et
serrés d’éléments positifs et négatifs, et entre deux amas d’un tel mélange, il n’y aurait
pratiquement pas du tout d’attraction ni de répulsion.

7. Champ électrostatique
I- Définitions
1) Champ de vecteurs
a) Définition
Un champ de vecteurs est une région de l’espace où à chaque point, on fait correspondre un
vecteur.
b) Conséquence de la loi de Coulomb
On sait qu’une charge électrique ponctuelle q O placée en un point O, exerce une force
d’origine électrique sur une autre charge ponctuelle q M placée au point M telle que :
r uuu
r r
q q r r r
F(M) = O M u 2
, r = OM et u=
4πε o r r
r qO r r r
On pose : E(M) = 2
u d’où F(M) = q M E(M)
4πε o r
Cette écriture permet de définir en tout point M de l’espace (M≠O), un nouveau vecteur
r
E(M) appelé champ électrostatique ou champ électrique.

8. 2) Champ électrique
r
On appelle champ électrostatique E (ou champ électrique), un champ de vecteur capable
d’exercer une force, sur toute charge électrique q M placée dans sa zone d’influence :
r r
F(M) = q M E(M) .
r r
F et E ont le même sens si q M > 0. Ils sont opposés lorsque q M < 0.
Dans le système international (SI), l’unité du champ électrique est le Newton par Coulomb
(symbole : N/C ), ou le volt par mètre (symbole : V/m).
II- Champ électrique créé par des charges ponctuelles
1) cas d’une seule charge
r
Le champ électrique E(M) en un point M créé par une charge ponctuelle q O placée en un
r q r
point O (O≠M) a pour expression : E(M) = O
2
u
4πε o r
E(M) M ∆
E(M) ∆ r
r M O u
O u q
qO qO
>0
O
q O< 0
uuu
r r
où r = OM est la distance du point O au point M et u (dans le sens de O vers M) est un
vecteur unitaire de la droite d’action ∆.
2) Caractéristiques du vecteur champ électrique
o Point d’application : le point M
o Direction : la droite d’action ∆

9. r r
le sens de u, si q est positive : E s'éloigne de la charge positive
 o
o Sens  r r

 le sens contraire de u, si q o est négative : E se dirige vers la charge négative
qO
o Module : 2
4πε o r
3) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition
Soient q 1 , ..................... q i , ............ , q n , un ensemble de n charges ponctuelles placées respectivement
aux points O 1 , ................. O i , ............ , O n . Le champ électrique résultant au point M est donné par :
r
r n qi r uuuu
r r ri
E(M) = ∑ i =1 4πε o r
2
ui , ri = Oi M et ui =
ri
i
+
q 1
u 1
r 1
En −
r 2 u 2
q 2
M
E1 E E2
i
r n
r i
u n+ q n
qi
−
u i
uu
r uu
r uu
r uu
r uu
r
E (M) = E1 + E 2 + .......... + E i + ............ + E n
Attention de bien additionner les forces de manière vectorielle
III- Champ électrique créé par des distributions continues

10. 1) Distribution linéique
fil chargé
(L) est une ligne chargée et λ est la densité
linéique de charges. On divise la charge de la λ>0
distribution en petits éléments infinitésimaux
qui peuvent être considérés comme des
charges ponctuelles. Un élément de longueur d
u
dl centré en A et portant la charge A
=
dq(A) λ(A) d (A) l crée en un point M
r
(M∉L) le champ élémentaire :
uu
r dq(A) r M
dE(M) = 2
u (L) dE
4πε o r
Expressions d’éléments de longueurs dans les trois systèmes de coordonnées

11. rectangulaires cylindriques
sphériques
uu
r uuuuuuur r r r uu
r uuuuuuur r r r
dl1 = M1M 2 = dx e x + dy e y + dz e z ; dl 2ρ = M1M 2 φ= dρ e z+ ρdφ e + dz e
uu
r uuuuuuur r r r
dl 3 = M1M 2 = dr e rθ + rdθ e + rsinθdφ e
φ
Rectangulaires Cylindriques Sphériques
dx dρ dr

12. (sur une droite : axe des x) (sur une demi-droite : (sur une demi-droite :
axe des ρ) axe des r)
Déplacements élémentaires
dy ρ dφ r dθ
(sur un demi-cercle de rayon
dl (sur une droite : axe des y ) (sur un cercle de rayon ρ :
r : axe des θ)
axe des ϕ)
dz dz r sinθ dφ
(sur une droite : axe des z) (sur une droite : axe des z) (sur un cercle de rayon
r sinθ : axe des ϕ)
Le champ global créé au point M est obtenu par intégration sur toute la ligne (L) :
r λ(A) dl(A) r
E(M) = ∫
(L)
4πε o r
2
u : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé
2) Distribution surfacique
(S) est une surface chargée et σ est la densité superficielle de charges . On divise la charge de
la distribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des
charges ponctuelles. Un élément de surface dS centré en A et portant la charge
dq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M (M∉S) le champ élémentaire :
uu
r dq(A) r
dE(M) = 2
u
4πε o r
dE
M
r
u
(S) A
AA dS
σ>0
surface chargée
Expressions de surfaces élémentaires dans les trois systèmes de coordonnées

13. a) Système rectangulaire
uu
r r r r uu
r r r r
dS1 = dy e y ∧ dz e z = dydz e x ; dS2 = dz e z ∧ dx e x = dxdz e y
uu
r r r r
dS3 = dx e x ∧ dy e y = dxdy e z
b) Système cylindrique

14. uu
r r r r uu
r r r r
1φ=
dSρdφ e ∧
z dz e =ρ
ρdφdz e ; dS2 = dz e zρ ∧ dρ e =φdρdz e
uu
r r r r
dS3ρ = dρ e ∧ ρdφ e = ρdρdφ e
φ z
c) Système sphérique

15. uu
r r r 2
r uu
r r r r
dS1θ = rdθ e ∧ rsinθdφ e = r sinθdθdφ e
φ r ; dS2φ= rsinθdφ e ∧ dr e =θ rsinθdrdφ e
r
uu
r r r r
dS3 = dr e rθ ∧ rdθ e =φ rdrdθ e
Surfaces élémentaires Rectangulaires Cylindriques Sphériques

16. 2
dS1 dy dz ρ dφ dz r sinθ dθ dφ
(sur la surface latérale du (sur la sphère de rayon
(dans le plan x = C te )
cylindre de rayon ρ = C te ) te
r = C )
dS2 dz dx dz dρ r sinθ dφ dr
te ) (sur le cône de demi-angle
(dans le plan y = C (dans le demi-plan φ = C te )
au sommet θ = C te )
dS3 dx dy ρ dρ dφ r dr dθ
(dans le plan z = C te ) (dans le plan z = C te ) (dans le demi-plan φ = C te )
Le champ global créé au point M est obtenu par intégration sur toute la surface chargée (S) :
r σ(A) dS(A) r
E(M) = ∫
(S)
4πε o r
2
u : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée
3) Distribution volumique
(τ) est un volume chargé et ρ est la densité volumique de charges . On divise la charge de la
distribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des charges
=
ponctuelles. Un élément de volume dτ centré en A et portant la charge dq(A) ρ(A) d (A) τ
crée en un point M de l’espace le champ élémentaire :
uu
r dq(A) r
dE(M) = 2
u
4πε o r
dE
M
r
ρ>0
u
A
A
A
dτ
(τ)
volume chargé
Expressions du volume élémentaire dans les trois systèmes de coordonnées

17. rectangulaires cylindriques
sphériques
r r r r r r
dτ 1 = dx e x . ( dy e y ∧ dz e z ) ; dτ 2 = dρ e ρ . ( ρdφ e φ ∧ dz e z )
r r r
dτ 3 = dr e rθ. ( rdθ e ∧ rsinθdφ e
φ )
Rectangulaires Cylindriques Sphériques

18. 2
Volume élémentaire dτ 1 = dx dy dz dτ 2 = ρ dρ dφ dz dτ 3 = r sinθ dr dθ dφ
Le champ global créé au point M est obtenu par intégration sur tout le volume (τ) :
r ρ(A) dτ (A) r
E(M) = ∫
(τ) 4πε o r
2
u : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé
u
r
4) Calcul du champ E
L’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.
Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte des
propriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au
r
problème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de E .