1. GEOMETRIE
Capitole:
1. Figuri si corpuri geometrice
2. Dreapta
3. Unghiuri
4. Congruenta triunghiurilor
.
5. Perpendicularitate
6. Paralelism
7. Proprietati ale triunghiurilor
8. Patrulatere

2. FIGURI SI
CORPURI
GEOMETRICE
.

3. INSTRUMENTE GEOMETRICE
1. Rigla gradata = se utilizeaza pentru constructia de drepte si
segmente de dreapta de lungimi date si pentru masurarea lungimilor
segmentelor de dreapta.
2. Compas = se utilizeaza pentru constructia de cercuri si de
arcuri de cerc; de asemenea este folosit la constructia
triunghiurilor si a unor linii importante in triunghi.
3. Echerul = este folosit pentru verificarea masurilor unor
unghiuri date dar si pentru constructia unghiurilor de 30, 45, 60,
90 de grade.
4. Raportorul = este folosit pentru constructia si verificarea
masurii unui unghi dat.
.

4. FIGURI GEOMETRICE
Prezentare prin descriere si desen
Linia franta = este formata din reuniunea a mai
multor segmente de dreapta.
Linia curba = este formata din reuniunea de arce de
cerc si de segmente de dreapta.
Triunghiul = este
figura geometrica
formata din trei
laturi.
Patrulaterul = este
figura geometrica
formata din patru
laturi.
Cercul
.
Unghiul

5. CORPURI GEOMETRICE
CUBUL
PARALELIPIPEDUL
DREPTUNGHIC
CILINDRUL
CONUL
PIRAMIDA
SFERA
Varf
Varf Varf
Muchie
Muchie
Faţă
Faţă
Suprafaţa
cilindrică
Suprafaţa
conică
.

6. DESFĂŞURAREA
PARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC

7. IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICE
PLANE PE FEŢELE CORPURILOR GEOMETRICE
Patrat
Dreptunghi
Triunghi
Cerc

8. DREAPTA
.

9. PUNCT, DREAPTĂ, PLAN
1. Punctul este figura geometrică
ce se aseamănă cu o urmă lăsată
de varful unui creion. Punctul nu
are dimensiune.
2. Dreapta este figura
geometrică ce se aseamănă cu
un fir perfect intins si fără
margini. Dreapta are o
singură dimensiune:
lungimea.
3. Planul este figura
geometrică ce se
aseamănă cu o panză
perfect intinsă si fără
margini. Planul are
două dimensiuni:
lungimea si lăţimea.
Se reprezintă in desen astfel:
Se reprezintă in desen astfel:
Se reprezintă in desen astfel:
Se notează cu litere mari de tipar:
A
Se notează cu litere mici de mană
d
sau dacă există pe dreaptă două puncte, de ex. AB:
A B
Se notează cu litere mici
de mană, greceşti: α
Sau daca există trei puncte in plan, de ex. (ABC):
A C
B
.

10. SEMIDREAPTĂ, SEGMENT, SEMIPLAN
O A
Semidreapta este dreapta mărginită la
un capăt.
O = originea semidreptei.
Semidreapta se notează: [OA dacă
punctul O aparţine semidreptei sau (OA
dacă punctul O nu aparţine
semidreptei.
A B
Segmentul de dreaptă este dreapta
mărginită la ambele capete.
Segmentul de dreaptă se notează cu
[AB] dacă punctele A si B aparţin
segmentului sau (AB) dacă punctele A şi
B nu aparţin segmentului.
O dreaptă imparte un plan in două
semiplane:
Un punct nu poate fi decat intr-un singur
semiplan.
Se poate nota astfel: [dA sau (dA.
A
d
.
Semiplan

11. POZIŢIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT
FAŢĂ DE O DREAPTĂ
A
B
d
In figura de mai sus, punctul A se află pe dreapta d;
Scriem A∈d si citim: punctul A apartine dreptei d.
In figura de mai sus, punctul B nu se află pe dreapta d;
Scriem B∉d si citim: punctul B nu apartine dreptei d.
Prin doua puncte distincte trece o
dreapta si numai una.
A
B
Mai multe puncte ce se
afla pe o dreapta se
numesc puncte coliniare.
.

12. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE
1. Drepte concurente.
2. Drepte identice.
3. Drepte paralele.
Doua drepte sunt concurente daca
au un punct comun.
Doua drepte sunt identice daca au
doua puncte distincte comune.
Doua drepte se numesc paralele daca
nu au nici un punct comun.
d1∩d2 = {A}
d1∩d2 = ∅
d1∩d2 = {A,B}, A ≠ B.
d1
d1
d1
d2
d2
d2
A
A B
.

13. LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE
CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT
A B
Distanta de la punctul A la punctul B este lungimea segmentului [AB].
Lungimea segmentului [AB] se noteaza cu AB.
Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB).
Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente congruente.
D
C
B
A
1,5 cm
1,5 cm Daca AB = CD = 1,5 cm
Atunci segmentele AB si CD
sunt congruente.
[AB] ≡ [CD]
Mijlocul unui segment este punctul
ce imparte segmentul dat in doua
segmente congruente.
A BM
Daca AM = MB, atunci:
M este mijlocul lui [AB].
.

14. UNGHIURI
.

15. D e f i n i t i e . Figura geometrica formata din doua semidrepte care
au aceeasi origine se numeste u n g h i .
O
A
B
Varful unghiului
Laturile unghiului
Interiorul unghiului
Exteriorul unghiului
Unghiurile se noteaza:
AOB
sau
AOB
.

16. MĂSURAREA UNGHIURILOR
Si unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este ,,deschiderea” dintre laturile
unghiului. (in nici un caz lungimile laturilor).
Unitatea de masura a unghiului este gradul sexagesimal.
Instrumentul de masura se numeste raportorul.
Submultiplii gradului sunt: 10
= 60` (60 de minute).
1`
= 60`` (60 de secunde).
Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se numesc unghiuri congruente.
O
B
A
O`
A`B`
400400
Daca m(<AOB) = m(<A`O`B`)
atunci unghiurile sunt congruente:
AOB ≡ A`O`B`
.

17. CLASIFICAREA UNGHIURILOR
1. Unghi nul 2. Unghi ascutit
3. Unghi drept
4. Unghi obtuz
5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire)
O
A
B
m(<AOB) = 900
O A B
m(<AOB) = 00
00
< m(<AOB) < 900
m(<AOB) = 1800
900
< m(<AOB) < 1800
O A
B
O A
B
AOB .

18. UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA
O
A
B
C
Doua unghiuri se numesc adiacente
daca au varful comun, o latura comuna
iar celelalte doua laturi sunt respectiv
de o parte si de cealalta a laturii
comune.
Definitie. Bisectoarea unui unghi
propriu este semidreapta cu originea in
varful unghiului, situata in interiorul
unghiului si formeaza cu laturile unghiului
doua unghiuri congruente.
O
A
B
M
AOM ≡ MOB
OM = bisectoarea unghiului AOB
.

19. UNGHIURI COMPLEMENTARE SI
SUPLEMENTARE
O
C
B
A
Unghiurile AOB si
BOC sunt
complementare daca
suma masurilor lor
este egala cu 900
.
OA
B
C
Unghiurile AOB si BOC
sunt suplementare daca
suma masurilor lor este
egala cu 1800
.
.

20. UNGHIURI OPUSE LA VARF
O
A
BC
D
Definitie. Doua unghiuri cu
acelasi varf se numesc opuse la
varf daca laturile unuia sunt in
prelungirea laturilor celuilalt.
Unghiurile AOC si BOD sunt opuse la
varf si sunt congruente.
Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a unghiului BOD.
Suma masurilor unghiurilor in jurul
unui punct este de 3600
.
.

21. CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI
620
45`51``+
430
39`48``
ADUNAREA
1050
84`99``=
1060
25`39``
SCADEREA
700
12`20``–
340
35`40``
690
71`80``–
340
35`40``
350
36`40``
INMULTIREA
120
15`35``⋅
8960
120`280``=980
4`40``
Pentru ca:
280``=4`40``; 120`=20
.
IMPARTIREA 610
12`5``:5 =
610
:5=120
si rest 10
=60`
120
(12`+60`):5=72`:5=14` si rest 2`=120``
14`
(5``+120``):5=125``:5=25``
25``
.

22. CONGRUENŢA
TRIUNGHIURILOR

23. TRIUNGHI. DEFINIŢIE. ELEMENTE
A B
C
Varf
Latura
Interior
Unghi
Definitie. Se
numeste triunghi o
figura geometrica ce
rezulta dintr-o
reuniune ca
[AB]∪[BC]∪[CA],
unde A, B, C sunt
puncte necolineare.
Triunghiul se noteaza astfel: ∆ABC.
Triunghiul are: 3 varfuri;
3 laturi;
3 unghiuri.
.

24. CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR
Triunghi scalen Triunghi echilateralTriunghi isoscel
Are laturile de lungimi
diferite.
Are doua laturi de
lungimi egale.
Are toate cele trei
laturi egale.
Triunghi ascutitunghic Triunghi dreptunghic Triunghi obtuzunghic
Are toate
unghiurile ascutite.
Are un unghi drept. Are un unghi obtuz.
.

25. PERIMETRUL TRIUNGHIULUI
Definitie. Suma lungimilor laturilor unui triunghi se
numeste perimetrultriunghiului.
A
BC
a
b c
Conditia de existenta a unui triunghi:
a+b>c; a+c>b; b+c>a
Perimetrul triunghiului ABC:
P∆ABC = a + b + c
Semiperimetrul triunghiului:
2
cba
p
++
=
.

26. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
A
B
C D
Unghi exterior
Daca vom nota masurile unghiurilor de
pe figura cu (urmariti figura):
α
β κ
ε
Atunci avem relatiile:
ε = 1800
– κ
ε = α + β
α + β + κ = 1800
.

27. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l L.U.L.
Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.
Construiti un triunghi cu doua laturi
de 5 si respectiv 4 cm si masura
unghiului cuprins intre ele de 700
.
Etapele de lucru:
1. Construiti cu rigla un segment de 5cm.
5 cm.
2. Construiti un unghi de 700
, una din
laturi fiind de 5 cm.
3. Luati pe cea de-a doua latura un segment
de 4cm.
4. Uniti extremitatile celor doua laturi
construite.
700
4cm.
.

28. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l U.L.U.
Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.
Construiti un triunghi cu o latura de
5cm si doua unghiuri alaturate laturii
cunoscute, de 600
si respectiv 750
.
Etapele de lucru:
1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm.
2. Construiti un unghi de 600
alaturate
laturii de 5cm.
3. Construiti la cealalta extrema a laturii
date, un unghi de 750.
4. Identificati punctul de intersectie a
dreptelor construite.
5. Uniti punctul de intersectie cu
extremitatile laturii de 5cm.
5 cm.
600 750
.

29. CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l L.L.L.
Avem nevoie de o rigla gradata si un compas.
Construiti un triunghi cu lungimile
laturilor de 5, 6 si 7 cm.
Etapele de lucru:
1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre
exemplu, de 5 cm.
2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu
deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati
un arc de cerc.
3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu
deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati
un arc de cerc.
4. Identificati punctul de intersectie al arcelor
de cerc.
5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile
laturii de 5cm.
5 cm.A B
6cm.
7cm.
.

30. CAZURILE DE CONGRUENŢĂ
CAZUL L.U.L. CAZUL U.L.U. CAZUL L.L.L.
Doua triunghiuri
sunt congruente
daca au cate doua
laturi si unghiul
determinat de ele,
respectiv
congruente
Doua triunghiuri
sunt congruente
daca au cate o
latura si unghiurile
alaturate ei,
respectiv
congruente
Doua triunghiuri
sunt congruente
daca au toate
laturile, respectiv
congruente

31. ELEMENTE DE RAŢIONAMENT GEOMETRIC
demonstraţie = vine din limba latina: demonstratio = dovedire.
axiomă = vine din limba greaca: axioma = opinie, teza admisa.
teoremă = vine din limba greaca: theorema = examinare, cercetare.
ipoteză = este compus din doua cuvinte provenite din limba greaca:
hypo = sub si thesis = punere.
premisă – vine din limba latina: praemissus = pus inainte, anterior.
concluzie = vine din limba latina: conclusio = incheiere.
O problema de geometrie este compusa din trei
parti: ipoteza (datele problemei), concluzia
(cerinta problemei) si demonstratia (rezolvarea
problemei).

32. PERPENDICULARITATE
.

33. DREPTE PERPENDICULARE
Definitie. Doua drepte se numesc
perpendiculare (ortogonale) daca la
intersectia lor formeaza un unghi drept (de
900
).
Doua drepte perpendiculare se pot
construi cu ajutorul unui echer;
urmariti figura din stanga.
Cum se arata pe figura ca dreptele sunt perpendiculare:
d1
d2
Cum se scrie:
d1 ⊥ d2 .

34. DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA
O DREAPTĂA
d
O
Distanta de la un punct la o dreapta
data este lungimea segmentului de
dreapta perpendicular dus din punctul
dat pe dreapta data.
Urmariti cu atentie cum se
construieste ,,distanta” de la un
punct la o dreapta cu ajutorul
echerului.
Oblica fata de dreapta d este
dreapta ce trece prin punctul
A si un punct de pe dreapta d
diferit de cel O.
oblica
.

35. MEDIATOAREA UNUI SEGMENT
C O N S T R U C T I A M E D I A T O A R E I
Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei
si a echerului
Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei
si a compasului
Faza 1. Se masoara lungimea segmentului si se
afla mijlocul acestuia;
Faza 2. cu
ajutorul
echerului se
construieste
perpendiculara
pe mijlocul
segmentului;
Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelor
de cerc se construieste o dreapta ce va fi
mediatoarea segmentului dat.
Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A si din B, de o parte si
de alta a segmentului se traseaza arce de cerc, fara a modifica raza
compasului;
Faza 1. Se construieste segmentul AB;
BA M
A B
.

36. PROPRIETATEA MEDIATOAREI
Teorema. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de
extremitatile segmentului dat.
A BM
P DEMONSTRATIE:





−∆
=
≡
∆≡∆
cedreptunghisuntle
comunalatPM
MBAM
PBMPAM .
][][
⇒[PA]≡[PB]
.

37. MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHI
A
B
C
O
R
Punctul de intersectie al celor
trei mediatoare se numeste
centrul cercului circumscris
triunghiului.
Daca OB = R (raza
cercului circumscris),
atunci avem:
A
abc
R
4
=
Unde: a, b, c sunt lungimile celor trei laturi iar
A este aria triunghiului.

38. BISECTOAREA UNUI UNGHI
Constructia bisectoarei cu ajutorul raportorului
1. Se construieste unghiul dat.
2.Cu ajutorul raportorului se masoara
unghiul, masura se imparte la doi si se pune
semnul in dreptul masurii injumatatite.
3. Cu ajutorul riglei se construieste
semidreapta din varful unghiului ce va trece
prin semnul masurii injumatatite.
bisectoarea
O
A
B
M
Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului
1. Se construieste unghiul dat.
2. Cu varful compasului in O se construieste un arc
de cerc ce taie laturile unghiului in A si B.
3. Cu varful compasului in A si respectiv in B se
construiesc doua arce de cerc, de raze egale, ce
se vor intersecta in punctul M.
4. Cu rigla se construieste semidreapta
ce pleaca din O si trece prim punctul M.

39. O
A
B
M
Bisectoarea unui unghi este
semidreapta cu originea in varful
unghiului, se afla in interiorul
acestuia si il imparte in doua
unghiuri adiacente congruente.
<AOM ≡ <BOM
Bisectoarea este locul
geometric al tuturor
punctelor egal departate de
laturile unghiului.
Daca: MA ⊥ OA
MB ⊥ OB atunci:
[MA] ≡ [MB]
.
PROPRIETATEA BISECTOAREI
Teorema. Orice punct de
pe bisectoarea unui unghi
este egal departat de
laturile unghiului dat.

40. BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHI
A
B C
A`
B`
C`
O
Cele trei bisectoare intr-un triunghi se
intersecteaza intr-un singur punct, O, numit
centru cercului inscris in triunghi.
Daca AA` si BB` sunt bisectoare si se
intersecteaza in punctul O, atunci si
CO este bisectoarea unghiului BCA.
Daca r este raza cercului inscris
in triunghiul ABC, atunci avem:
r p
A
r =
Unde A este aria triunghiului
iar p este semiperimetrul
triunghiului

41. UNGHIURILE CU LATURILE
RESPECTIV PERPENDICULARE
Unghiurile cu laturile respectiv
perpendiculare, sunt congruente.
Unghiurile cu laturile respectiv
perpendiculare, sunt suplementare.

42. PARALELISM

43. DREPTE PARALELE
Definitie. Doua drepte diferite continute in acelasi plan, care nu au nici un punct
comun se numesc drepte paralele.
a
b
Scriem aceasta astfel: ab.
Si intelegem ca a∩b=∅
a c
b
Daca ac si bc, atunci:
ab
.
Axioma paralelelor. Printr-
un punct dat, exterior unei
drepte date, exista o singura
paralela la dreapta data.

44. CRITERII DE PARALELISM
a
b
c
Doua drepte paralele taiate
de o secanta formeaza doua
perechi de unghiuri alterne
interne congruente.
Urmariti figura.
Doua drepte paralele taiate
de o secanta formeaza doua
perechi de unghiuri alterne
externe congruente.
Urmariti figura.
Doua drepte paralele taiate
de o secanta formeaza patru
perechi de unghiuri
corespondente congruente.
Urmariti figura(animatie
morisca).
.

45. UNGHIURILE CU LATURILE
RESPECTIV PARALELE
Unghiurile cu laturile respectiv paralele,
sunt congruente.
Unghiurile cu laturile respectiv paralele,
sunt suplementare.

46. PROPRIETĂŢILE
TRIUNGHIURILOR
.

47. SUMA MĂSURILOR
UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI
TEOREMA. Suma
masurilor unghiurilor unui
triunghi este de 1800
.
Demonstratie:
A
B C
d
•Dreapta d este paralela cu dreapta BC;
•Se formeaza unghiuri alterne interne congruente.
1
m(<B) = m(<A1)
2
m(<C) = m(<A2)
m(<A)+m(<B)+m(<C)=
=m(<A)+m(<A1)+m(<A2)=
=1800
.
.

48. UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
A
B
C D
Unghi exterior
Daca vom nota masurile unghiurilor de
pe figura cu (urmariti figura):
α
β κ
ε
Atunci avem relatiile:
ε = 1800
– κ
ε = α + β
α + β + κ = 1800
.

49. INĂLŢIMEA INTR-UN TRIUNGHI
A
B
C
A`
B`
C` H
Inaltimea unui triunghi este perpendiculara
dusa din varful triunghiului pe latura opusa.
Punctul de intersectie al inaltimilor se
numeste ortocentrul triunghiului.
Intr-un triunghi
dreptunghic,
ortocentrul se afla in
varful unghiului drept.
H
Daca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si
inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha,
atunci:
2
aha
A
⋅
=

50. INĂLŢIMEA IN DIFERITE TRIUNGHIURI
.

51. ARIA UNUI TRIUNGHI
B
C
A
D
ha
a
1. Daca se cunoaste
lungimea unei laturi
(baza) si inaltimea , h,
corespunzatoare lui b,
atunci: 2
hb
A
⋅
=
c
b
hb
hc
2. Daca intr-un triunghi ha, hb, hc
sunt cele trei inaltimi
corespunzatoare laturilor de
lungimi a, b si c, atunci avem:
a⋅ha = b⋅hb = c⋅hc
Perimetrul: P = a + b + c

52. MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI
A
C
B
A`
B`
C`
G
Segmentul de dreapta care uneste varful
unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se
numeste mediana.
Intr-un triunghi, mediana il imparte in
doua triunghiuri echivalente (de arii
egale).
Punctul de intersectie al
medianelor se numeste centrul
de greutate al triunghiului.
Intr-un triunghi, medianele se intersecteaza intr-un punct ce se afla pe
mediana la o treime fata de latura sau la doua treimi fata de varf, din
lungimea medianei.
Exemplu: Daca AA` = 12cm, atunci AG = 2/3 din 12 = 8cm.

53. SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂ
Daca avem un punct O si un
punct A, atunci simetricul lui A
fata de O este punctul A`, astfel
incat punctele A, O, A` sa fie
colineare si AO = OA`
O
A
A`
Daca avem un punct A si dreapta
d, atunci simetricul lui A fata de
dreapta d este punctul A`, astfel
incat AA`⊥d, AA`∩d = {O},
AO = OA`.
d
A
A`
O
.

54. PROPRIETĂŢILE
TRIUNGHIULUI ISOSCEL
A
B C
•Bisectoarea unghiului de la varf este si
mediana, si inaltime si mediatoare.
•Are doua laturi congruente: [AB]=[AC].
•Unghiurile de la baza sunt congruente: <B≡<C
•Bisectoarele unghiurilor de la baza, medianele
si inaltimile corespunzatoare laturilor
congruente, sunt respectiv congruente.
•De exemplu, inaltimile BB` si CC`
sunt congruente.
B`
C`
•Unghiurile de la baza sunt
intotdeauna ascutite!
.
Are o singura
axa de
simetrie

55. PROPRIETĂŢILE
TRIUNGHIULUI ECHILATERAL
A
B C
•Are toate laturile congruente.
•Are toate unghiurile congruente si egale
cu 600
.
600
600
600
•Toate cele trei bisectoare (sau
mediane, inaltimi) sunt
congruente. Orice bisectoare este
si mediana, si mediatoare, si
inaltime.
•Triunghiul echilateral are
trei axe de simetrie: cele trei
bisectoare.

56. TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
PROPRIETATI
B C
A
300
M
In orice triunghi dreptunghic,
mediana corespunzatoare
ipotenuzei este jumatate din
lungimea acesteia.
Intr-un triunghi dreptunghic cu un
unghi de 300
, lungimea catetei ce se
opune acestui unghi este jumatate
din lungimea ipotenuzei.
2
BC
AM =
2
BC
AB =
.

57. LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI
A
B C
M N
Segmentul de dreapta care uneste mijloacele
a doua laturi se numeste linia mijlocie.
TEOREMA: Linia mijlocie intr-un
triunghi este paralela cu cea de-a treia
latura si jumatate din lungimea acesteia.
MN  BC
2
BC
MN =
P
Daca M, N, P sunt
mijloacele celor trei laturi
ale ∆ABC, atunci:
Perimetrul ∆MNP este
jumatate din perimetrul ∆ABC

58. PATRULATERE
.

59. PATRULATER CONVEX
Un patrulater se numeste convex daca, oricare ar fi o latura a sa, cele doua
varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasi parte a dreptei in care
este inclusa latura respectiva.
C
B
D
A
Definitia unui elev: Patrulaterul convex
este acel patrulater in care diagonalele
(ca segmente) nu se intersecteaza.
diagonala
Exemplu de patrulater concav:
diagonalele
.

60. PARALELOGRAMUL
Definitie. Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse
paralele, doua cate doua.
A B
CD
Laturile opuse
Unghiurile opuse
Unghiurile alaturate
Diagonalele
.
SUMA MASURILOR UNGHIURILOR
UNUI PATRULATER CONVEX ESTE DE
3600
.

61. Teorema. Intr-un
paralelogram laturile
opuse sunt congruente
doua cate doua.
PARALELOGRAMUL - PROPRIETATI
A B
CD
Teorema. Intr-un
paralelogram unghiurile
opuse sunt congruente
doua cate doua.
Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile alaturate sunt
suplementare doua cate doua.
Teorema. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza
injumatatindu-se.
O
AO = OC si BO = OD
.
Orice paralelogram are un centru de simetrie: punctul
de intersectie al diagonalelor – vezi animatia.

62. DREPTUNGHIUL
Dreptunghiul este
paralelogramul cu un
unghi drept (de fapt
toate unghiurile sunt de
900)
.
A
B
CD
PROPRIETATILE PARTICULARE DREPTUNGHIULUI:
1. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si deci toate sunt de 900
.
2. Dreptunghiul are diagonalele congruente.
O
3. Dreptunghiul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).
.

63. ROMBUL
Rombul este
paralelogramul cu toate
laturile congruente.
A
B
C
D
In afara de proprietatile generale ale
unui paralelogram, rombul mai are in
plus, urmatoarele proprietati:
Teorema. Toate laturile rombului sunt congruente.
Teorema. Intr-un romb diagonalele sunt
perpendiculare intre ele si sunt bisectoarele
unghiurilor lui.
O
Rombul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).
.

64. PĂTRATUL
Patratul este
dreptunghiul cu
laturile consecutive
congruente.
A B
CD
•Intr-un patrat toate laturile sunt
congruente.
•Intr-un patrat toate unghiurile sunt
congruente (de 900
).
•Intr-un patrat diagonalele au acelasi mijloc.
O
•Intr-un patrat diagonalele sunt congruente.
•Intr-un patrat diagonalele sunt perpendiculare untre ele.
•Intr-un patrat diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.
Rombul are patru axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).
.

65. TRAPEZUL
A B
CD Trapezul este patrulaterul
convex care are numai doua
laturi (opuse) paralele.
Baza mica.
Baza mare.
Unghiurile alaturate laturii neparalele sunt suplementare (suma lor este
egala cu 1800
).
Diagonalele trapezului.
.