1. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Combinatória
NOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Observações Muito Importantes (Estratégias)
A análise combinatória serve para desenvolver → Postura : Devemos sempre nos colocar no papel de
métodos de contagem de elementos de um certo quem deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver
conjunto, formado sob certas condições. que decisões devemos tomar. No exemplo 1, nos
colocamos no papel de Eratóstenes ou da pessoa que
1. Fatorial: escolheria suas possíveis combinações de roupas. Já
no exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa
Denominamos fatorial de um número natural n (n > 1) que deveria escrever o número de três dígitos.
ao produto de todos os números desde n até a unidade.
→ Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as
Representamos o fatorial de n por : n! decisões a serem tomadas em decisões mais simples.
No exemplo 2, formar um nº de 3 dígitos foi dividido em
Logo: n! = n.(n-1) . (n-2). ... . 2 . 3 . 1 escolher cada um dos três dígitos.
Exemplos: → Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades
a) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 adiadas costumam se transformar em imensas
b) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for
mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve
Por convenção, temos: ser tomada em primeiro lugar. No exemplo 2, a escolha
do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que
1! = 1 e 0! = 1 as outras, pois o primeiro não pode ser igual a 0. Assim,
conforme acabamos de ver, postergá-la só serve para
Obs.: Para simplificar expressões contendo fatoriais, causar problemas.
devemos impor com que os maiores fatoriais se igualem
ao menor. 3 - Permutação Simples
2- Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.): Número de maneiras de “embaralhar” elementos, sem
que estes se repitam
Se um certo acontecimento pode ocorrer de m modos
distintos e um outro acontecimento de n modos Ex 3) Quantos anagramas existem da palavra SOL ?
também distintos, então, ambos ocorrerão de m.n
modos distintos. SOL ,SLO ,OSL, OLS , LOS , LSO (6 anagramas)
Ex 1) Eratóstenes tem 2 calças e 3 blusas quantas 3 x 2 x 1 . = 6 anagramas
combinações de roupas Eratóstenes ter?
4 - Permutação com Repetição
2 calças : C1 e C2 3 blusas: B1, B2 e B3
Número de maneiras de “embaralhar” elementos,
Combinações: C1B1 C1B2 C1B3 contado que alguns elementos apareçam repetidos.
C2B1 C2B2 C2B3
Ex 4) Quantos anagramas tem a palavra
6 combinações: 3 x 2 . PROGRESSAO ?
Blusas calças
Observe a letra: - R repete-se (2x)
Ex 2) Quantos são os números de 3 algarismos - O repete-se (2x)
distintos? - S repete-se (2x)
O primeiro dígito pode ser escolhido de 9
modos, pois ele não pode ser igual a zero. O segundo
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ 1
pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual P= = = 453.600
ao primeiro. O terceiro de 8 modos, pois não pode ser 2! ⋅ 2! ⋅ 2! 8
igual ao primeiro e ao segundo.
5 -Permutações Circulares
A resposta é 9 x 9 x 8 = 648
São as realizadas em torno de um círculo e contadas
sempre no mesmo sentido, a partir de um mesmo
elemento.
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Representamos as permutações circulares de n 05) (PM-05-1) Cada soldado de um quartel deve
elementos distintos é dado por: registrar uma senha para sua identificação. A senha
deve ser formada por quatro símbolos – duas letras
(Pc)n = (n - 1)! diferentes da palavra BRASIL, seguidas de dois
algarismos quaisquer (que não precisam ser diferentes).
Ex 5) De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem O número de senhas distintas que podem ser
sentar-se em volta de uma mesa circular. registradas é:
(PC)5 = (5 – 1)! = 4! = 24 maneiras (A) 2700 (B) 3000 (C) 3240 (D) 3600
6 - Arranjo Simples 06) (PM-04-1) Num acidente automobilístico, após ouvir
várias testemunhas, concluiu-se que o veículo suspeito
São agrupamentos que diferem entre si pela ordem ou de causar o acidente tinha placa do Rio de Janeiro,
pela natureza. começava com KN, terminava em 32 e apresentava os
demais algarismos distintos entre si. Pelas informações
Ex 6) A senha de um cartão é formada por duas letras obtidas, pode-se concluir que o número total de placas a
distintas acompanhadas por uma seqüência de três serem investigadas é igual a:
algarismos distintos. Quantas senhas podem ser
confeccionadas? (A) 2340 (B) 2480 (C) 2500 (D) 2600
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468.000 07) (PM-04-1) Durante 30 dias, será feita por dois
( Letras ) ( Algarismos ) policiais militares a segurança de uma testemunha-
chave. Considerando que a mesma dupla nunca se
n! n repetirá, o melhor número possível de policiais que
7 - Combinação Simples Cn, p = =  participarão dessa operação é:
p !(n − p )!  p 
 
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
São agrupamentos que diferem entre si apenas pela
natureza. (não importa a ordem) 08) Obter o número de anagramas da palavra
PERNAMBUCO, tais que
Ex 7) Em uma turma de 15 alunos queremos formar
grupos de 6 alunos quantos grupos poderemos formar? a) começando pelas letras PER nesta ordem.
b) terminando pelas letras BUCO em qualquer ordem.
15 ! 15 .14 .13 .12 .11.10 .9 ! c) Tendo as letras PERNA juntas nesta ordem.
C15, 6 = = = 5005 d) tendo as letras NAMBUC juntas em qualquer ordem.
9 ! (15 − 6) ! 9 ! . 6 .5 .4 . 3 . 2 .1
09) O número de anagramas da palavra MATEMATICA
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO é:
10! 10!
01) Lançando-se uma moeda cinco vezes seguidas, (A) 10! (B) 6! (C) (D)
7! 3!⋅2!⋅2!
quais os resultados possíveis ?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
02) Tenho 5 tintas de cores diferentes, obter o nº de
maneiras de pintar uma bandeira formada por 4 listras
10) (UFF-97-1ªF) Com as letras da palavra PROVA
verticais e iguais.
podem ser escritos x anagramas que começam por
vogal e y anagramas que começam e terminam por
03) Quantos anagramas da palavra ABRIL existem? consoante.
Os valores de x e y são, respectivamente:
(A) 25 (B) 120 (C) 720 (D) 3125
(A) 48 e 36
04)De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar (B) 48 e 72
numa mesa circular ? (C) 72 e 36
(D) 24 e 36
(A) 12 (B) 24 (C) 50 (D) 60 (E) 120 (E) 72 e 24
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11) (UFRJ) -As antigas placas para automóveis, com 17) Dos 10 candidatos a um emprego, apenas 3 serão
duas letras seguidas de quatro algarismos, estão sendo convocados. Quantos grupos distintos de convocados
substituidas por novas com três letras seguidas de poderão ser formados?
quatro algarismos. Nestas placas, bem como nas
antigas são utilizadas as 23 letras do alfabeto (A) 3 (B) 120 (C) 720 (D) 1000
português, mais as letras K, W e Y. Calcule quantos
carros a mais podem ser emplacados com o novo 186) O número de anagramas da palavra POLICIA
sistema. existem?
12) (PUC) - A figura a seguir mostra o mapa com 4 (A) 2520 (B) 5040 (C) 720 (D) 360
regiões disjuntas. De quantas maneiras podemos colorir
esse mapa, usando apenas as cores verde, amarelo,
azul e branco, se as regiões vizinhas não podem 19) (UFRJ-adap) Uma agência de turismo está fazendo
receber a mesma cor ? uma pesquisa entre seus clientes para montar um
pacote de viagens à Europa e pede aos interessados
(A) 36
que preencham o formulário abaixo com as seguintes
(B) 48
informações:
(C) 72
(D) 108 → a ordem de preferência entre as 3 companhias
(E) 256 aéreas com que trabalha a agência;
→ a 1° e a 2° opções dentre 4 possíveis datas de
partida apresentadas pela agência;
→ os nomes de 4 cidades diferentes a serem visitadas,
13) (UNAMA-PA) – Dispõe-se de oito tipos de frutas que devem ser escolhidas de uma lista de 10 fornecida
para fazer uma salada. Se cada salada é composta de pela agência (sem ordem de preferência).
cinco frutas diferentes, então o número de saladas
diferentes que se pode preparar é:
(A) 8 (B) 10 (C) 56 (D) 120 (E) 6.720
14) Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada
para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo
ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do
primeiro para o segundo pavimento.
De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo
de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo
pavimento usando os acessos mencionados?
Supondo que nenhum campo seja deixado em
(A) 12 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 60 branco, determine de quantas maneiras diferentes pode
o formulário ser corretamente preenchido.
15) Um campo de futebol tem 7 entradas. O número de
modos desse campo estar aberto pode ser expresso (A) 10.205 (B) 12.520 (C) 15.120 (D) 5.210
por:
(A) 2
7
(B) 2 − 1
7
(C) 7! (D) 7! − 1 20) Num programa transmitido diariamente, uma
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas,
16) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as
países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre possíveis seqüências dessas músicas serão
os países que se classificariam nos três primeiros lugares necessários aproximadamente:
(por exemplo: 1º lugar - Brasil; 2º lugar - Nigéria; 3º lugar -
Holanda). (A) 100 dias
Se, em cada tampinha, os três países são (B) 10 anos
distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam (C) 1 século
existir? (D) 10 séculos
(E) 100 séculos
(A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) 12144 (E) 13824
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
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21) (UFRJ – 97- PNE) Um construtor dispõe de quatro 24) (PUC-2000) - A partir de outubro, os telefones do
cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco Rio de Janeiro irão gradualmente adotar oito
casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa algarismos, em vez de sete, por causa da necessidade
seja pintada com apenas uma cor e que duas casas de oferta de novas linhas. O algarismo a ser
consecutivas não possuam a mesma cor. acrescentado será o primeiro e será necessariamente 3
ou 8. Supondo-se que, no sistema em vigor, qualquer
Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura combinação de sete algarismos é um número de linha
seriam: possível, o número de possíveis novas linhas é:
10
(A) 7
7
(B) 10
7
(C) 2x10
7
(D) 3x10
8
(E) 10
25)(ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um
torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi
escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4
Determine o número de possibilidades diferentes de times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times
pintura. do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo
de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria
22) Na figura a seguir temos um esboço de parte do em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e
indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. De a quantidade total de escolhas dos times do jogo de
quantas maneiras, utilizando apenas o esboço, poderá abertura podem ser calculadas através de
uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B e retornar
ao ponto de partida passando exatamente por três (A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
pontes distintas? (B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
(C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
(D) duas combinações.
(E) dois arranjos.
26) (UERJ-2001)
(A) 8 (B) 13 (C) 17 (D) 18 (E) 20
Trechos complementares de duas cadeias de
23) (UFF) Um piano de brinquedo possui sete teclas, nucleotídeos de uma molécula de DNA. Observe que
que emitem sons distintos entre si, correspondentes às uma cadeia se dispõe em relação à outra de modo
sete notas da pauta acima. se forem pressionadas ao, invertido
mesmo tempo, no mínimo três teclas e no máximo seis (Adaptado de LOPES. Sônia. "BIO 3". São Paulo.
teclas, o total de sons diferentes que podem ser obtidos Saraiva,1993.)
é:
Considere as seguintes condições para a obtenção de
fragmentos de moléculas de DNA:
Sí - todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares
Sol Lá de bases nitrogenadas;
Fá
Dó Ré Mí - cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases
nitrogenadas.
(A) 21 (B) 28 (C) 42 (D) 63 (E) 98 O número máximo de fragmentos diferentes que podem
ser assim obtidos corresponde a:
(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 24
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27) (UFRJ-00-PNE) Em todos os 53 finais de semanas Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é
do ano 2.000, Júlia irá convidar duas de suas amigas constituído por quatro campos, separados por pontos.
para sua casa em Teresópolis, sendo que nunca o Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no
8
mesmo par de amigas se repetirá durante o ano. intervalo [0, 2 - 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do
servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema
a) Determine o maior número possível de amigas está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada
que Júlia poderá convidar. endereço é constituído por oito campos e cada campo é
16
um número inteiro no intervalo [0, 2 - 1].
b) Determine o menor número possível de amigas
que ela poder· convidar.
28) (UFRJ-99-PE) Um campeonato de futebol foi
disputado por 10 equipes em um único turno, de modo
que cada time enfrentou cada um dos outros apenas
uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e
o perdedor não ganha ponto algum; em caso de
empate, cada equipe ganha 1 ponto.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:
(A) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é
o quádruplo do número de endereços diferentes do
sistema IPv4.
8
(B) existem exatamente 4.(2 - 1) endereços diferentes
no sistema IPv4.
32
(C) existem exatamente 2 endereços diferentes no
sistema IPv4.
(D) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é
o dobro do número de endereços diferentes do
sistema IPv4.
8 4
Determine quantos jogos desse campeonato (E) existem exatamente (2 - 1) endereços diferentes
terminaram empatados. no sistema IPv4.
29) (UFRJ – 2001 – PE) - A mala do Dr. Z tem um
cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco 31) (UERJ-07-01ºEX.QUAL) Sete diferentes figuras
algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o
Ele esqueceu a combinação que escolhera como Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007.
segredo, mas sabe que atende às condições: Um desses grupos está apresentado a seguir.
a) se o primeiro algarismo é ímpar, então o último
algarismo também é ímpar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último
algarismo é igual ao primeiro;
c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia
Quantas combinações diferentes atendem às ser formado é distinto de outro somente quando pelo
condições estabelecidas pelo Dr. Z ? menos uma de suas figuras for diferente.
30) (UFF-2011-1ªF) Muitos consideram a Internet como Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si
um novo continente que transpassa fronteiras que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é
geográficas e conecta computadores dos diversos igual a:
países do globo. Atualmente, para que as informações
migrem de um computador para outro, um sistema de (A) 24 (B) 35 (C) 70 (D) 140
endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol
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32) (UERJ-2010-1ºEX) 35) (UFRJ-2010) Considere trajetórias estabelecidas no
espaço por segmentos de reta consecutivos de modo
que todos os segmentos tenham comprimento 1 e
sejam paralelos a um dos seguintes vetores: (0,0,1),
(0,1,0) ou (1,0,0). Assim, as duas sequências de pontos
a seguir definem trajetórias diferentes que partem do
ponto (0,0,0) e chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem
comprimento 5, e a segunda, comprimento 7.
Trajetória 1:
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 (0,0,0) →(1,0,0) →(1,1,0) →(2,1,0) →(2,1,1) →(2,1,2)
meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir
desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, Trajetória 2:
que apresentam um número igual de meninos e de (0,0,0) →(0,1,0) →(0,1,1) →(0,1,2) →(0,1,3) →(0,1,2)
meninas. →(1,1,2) →(2,1,2)
O maior valor de n é equivalente a: Determine quantas trajetórias assim definidas
partem do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e
(A) 45 (B) 56 (C) 69 (D) 81 têm o menor comprimento possível.
33) (UERJ-2010-2ºEX) Ao refazer seu calendário 36) (UFRJ-07-PNE) Nove pessoas serão distribuídas
escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu em três equipes de três para concorrer a uma gincana.
repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados
disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, O número de maneiras diferentes de formar as três
com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados equipes é menor do que 300?
consecutivos. Para atender às condições de reposição
das aulas, o número total de conjuntos distintos que 37) (UFF-2011-2ªF) O diretor de uma escola quer
podem ser formados contendo 4 sábados é de: montar uma equipe de quatro monitores voluntários,
sendo que cada um deles atuará em apenas uma das
(A) 80 (B) 96 (C) 120 (D) 126 quatro disciplinas: Matemática, Física, Química e
Português. Sete alunos se candidatam para serem
34) (UERJ-2010-2ªF) Um cofre eletrônico possui um monitores: Abel, Bia, Cauê, Davi, Enzo, Fábio e Lia.
painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por Sabe-se que, entre os candidatos apenas Fábio e Lia
meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas apresentaram algumas restrições para participar da
distintas dentre seis habilitadas previamente pelo equipe de monitores: Lia não aceita ser monitora de
fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos Matemática ou Física e Fábio só aceita participar se ele
distintos de três teclas que abrem o cofre. for monitor de Matemática. Sabe-se também que, caso
Na figura em destaque, as teclas azuis representam as sejam escolhidos para compor uma equipe de
habilitadas previamente. monitores, as restrições de Fábio e Lia serão atendidas.
Determine:
a) quantas equipes diferentes de monitores o diretor
poderá formar, excluindo Lia e Fábio ao mesmo tempo;
b) quantas equipes diferentes de monitores o diretor
poderá formar, incluindo Lia e Fábio ao mesmo tempo;
c) quantas equipes diferentes de monitores o diretor
poderá formar ao todo.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas
habilitadas, haveria entre elas um total de
m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o
cofre.
Calcule o valor de n - m.
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DESAFIOS: GABARITO :
38) (UFRJ – 2000 – PE) Uma estante de biblioteca tem 01) 32 02) 320 03) B 04) E
16 livros: 11 exemplares do livro “Combinatória é fácil” e
5 exemplares de “Combinatória não é difícil”. 05) B 06) A 07) B
Considere que os livros com mesmo título sejam 08) a) 7! b) 6! . 4! c) 6! d) 5! . 6!
indistinguíveis.
09) D 12) C 13) C 14) E
Determine de quantas maneiras diferentes podemos
dispor os 16 livros na estante de modo que dois 15) B 16) D 17) B 18) A
exemplares de Combinatória não é difícil nunca
estejam juntos. 19) C 20) E 21) 324 22) C
23) E 24) B 25) A 26) D
39) Uma equipe esportiva composta por 6 jogadores
está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo 27) a) 106 b) 11 28) 17
do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até
3 substituições e, para isto, o técnico dispões de 4 29) 1800 30) C 31) B 32) C
jogadoras no banco. Quantas formações distintas
podem iniciar o segundo tempo? 33) C 34) 10 35) 1260 36) Sim
40) (ITA-2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se 37) a) 120 b) 40 c) 340 38) 792 39) 195
formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1
moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal 40) 125 41) D
comissão poderá ser formada?
Resolução de algumas questões:
41) (IME-2011- Objetiva) Um trem conduzindo 4
homens e 6 mulheres passa por seis estações. Sabe-se 6⋅5⋅4 5⋅ 4⋅3
que cada um destes passageiros irá desembarcar em 34) n= = 20 e m= = 10
qualquer uma das seis estações e que não existe
3 ⋅ 2 ⋅1 3 ⋅ 2 ⋅1
distinção dentre os passageiros de mesmo sexo. O
Logo: n – m = 20 – 10 = 10
número de possibilidades distintas de desembarque
destes passageiros é:
35) Nas condições apresentadas, uma trajetória ligando
(A) 1 287 (B) 14 112 (C) 44 200 (0,0,0) a (4,3,2) é mínima se, e somente se, seu
(D) 58 212 (E) 62 822 comprimento é 9 e é determinada por uma sequência,
em qualquer ordem, de 4 segmentos paralelos ao vetor
(1,0,0), 3 segmentos paralelos ao vetor (0,1,0) e 2
segmentos paralelos ao vetor (0,0,1). Seja N a
quantidade dessas trajetórias.
9! 9⋅8⋅7 ⋅6 ⋅5
Tem-se N= = = 1260
4!⋅ 3!⋅ 2! 6⋅2
Resp: 2060
36)
Sim, pois o número de formas diferentes de organizar
as nove pessoas em três equipes de três é 280:
 9   6  3 
  ⋅   
 3   3  3 
C9 , 3 ⋅ C6 , 3 ⋅ C3 , 3
=      =
9!
= 280
3! 3! (3!)4
R: Sim, porque 280 é menor do que 300.
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37) a) Excluindo-se Lia e Fábio, sobram 5 alunos que 39) Nenhuma substituição: 1 formação.
podem ser alocados, sem restrições, para atuarem nas
4 disciplinas. Portanto, utilizando-se o Princípio 1 substituição: Há 4 maneiras de escolher a substituta e
Fundamental da Contagem, tem-se 5 x 4 x 3 x 2 = 120 6 maneiras de escolher quem
equipes distintas que podem ser formadas. será substituída dando 4 . 6 = 24 formações diferentes.
2 substituições: Há 6 maneiras de escolher as
b) Se Fábio participa da equipe, a escolha do aluno que
substitutas e 15 maneiras de escolher as
atuará em Matemática é única. Como Lia não aceita ser
que serão substituídas, dando 6 .15 = 90 formações
monitora de Física, a escolha para a monitoria dessa
diferentes.
disciplina pode ser feita de 5 maneiras distintas,
utilizando-se os candidatos restantes. Prosseguindo, se 3 substituições: Há 4 maneiras de escolher as
Lia atuar em Português, restam 4 possibilidades para o substitutas e 20 maneiras de escolher as
preenchimento da vaga de Química e se ela atuar em que serão substituídas, dando 4 . 20 = 80 formações
Química, restam 4 possibilidades para a escolha do diferentes.
aluno que atuará em Português. Portanto, tem-se:
Total:
(1 x 5 x 1 x 4) + (1 x 5 x 1 x 4) = 40 equipes diferentes
de monitores com as participações simultâneas de Lia e 1 + 24 + 90 + 80 = 195 formações diferentes.
Fábio.
40) As opções possíveis para o par (m, r) representando
c) Examinemos o que acontece se Lia participar das
número de moças e rapazes são:
possíveis equipes e Fábio na. Como Lia não aceita
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)
trabalhar em Matemática e nem em Física, feita a
Totalizando:
escolha para a atuação em Matemática (5 modos
distintos) existirão 4 possibilidades para o C4,1 ⋅ C5, 4 + C4, 2 ⋅ C5,3 + C4,3 ⋅ C5, 2 + C4, 4 ⋅ C5,1 = 125
preenchimento da vaga em Física. Feitas essas Resp: 125 formas distintas
escolhas, se Lia atuar em Português restarão 3
maneiras distintas de se preencher a vaga de Química e 41) Lembremos que numa equação linear com
se ela atuar em Química, restarão 3 maneiras distintas coeficientes inteiros da forma x1 + x2 + x3 +...+ xk = n, o
de preencher a vaga em Português. Portanto, tem-se: nº de soluções inteiras não-negativas é dado por:
(5 x 4 x 1 x 3) + (5 x 4 x 3 x 1) = 120 equipes diferentes
 n + k − 1
que podem ser formadas. 
 k −1  
Examinemos o que acontece se Fábio participar  
das possíveis equipes e Lia não. Como Fábio só aceita Chamando de hi e mi a quantidade de homens e de
atuar em Matemática, sobram 5 alunos que podem ser mulheres, respectivamente, que vão descer na estação
alocados, sem restrições, nas 3 disciplinas restantes. i, se não há distinção entre os passageiros do mesmo
Tem-se então 1 x 5 x 4 x 3 = 60 equipes diferentes de sexo, então só é importante quantos passageiros de
monitores com a participação de Fábio e a exclusão de cada sexo descerão em cada estação (e não quais).
Lia. Assim, temos que:
O número total de equipes de monitores é igual (i) Sendo um total de 4 homens, a quantidade de
ao número de equipes sem Fábio e sem Lia (120), mais maneiras distintas de os homens desembarcarem é
o número de equipes com Fábio e com Lia (40), mais o dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas da
número de equipes sem Fábio e com Lia (120), mais o equação: h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = 4, que é igual a:
número de equipes com Fábio e sem Lia (60):
 4 + 6 − 1  9 
 6 − 1  =  5  = 126
120 + 40 + 120 + 60 = 340    
   
38) Coloquemos os 11 exemplares de Combinatória é (ii) Sendo um total de 6 mulheres, a quantidade de
fácil na estante, deixando espaço entre cada um dos maneiras distintas de as mulheres desembarcarem é
exemplares (como indica a figura). Dispomos, então, de dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas da
12 posições (10 interiores e 2 extremidades) para equação: m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6 = 6, que é igual
colocar os 5 exemplares de Combinatória não é difícil . a:
O número total de escolhas de 5 posições dentre as 12
 6 + 6 − 1 11
 6 − 1  =  5  = 462
é:    
   
(iii) Pelo princípio fundamental da contagem, o total de
possibilidades distintas de desembarque é:
12!
C12,5 = = 792 Resp.: 792 maneiras 126 x 462 = 58 212 maneiras
5!⋅ 7!
2011
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