2. Polinômios Não são polinômios: Expressões com expoente fracionário e expoente negativo. Polinômio identicamente nulo: Se todos os coeficientes forem iguais a zero Grau de um polinômio: O grau de um polinômio não nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não-nulos.
3. Polinômios Valor numérico Sejam um polinômio p(x) e um número complexo α. Substituindo x pelo número α, teremos o valor numérico do polinômio para x = α. Raiz de um polinômio Se, ao substituirmos x por α, o valor numérico de um polinômio for p(α) = 0, dizemos que α é a raiz do polinômio p(x)
4. Igualdade de polinômios Dados os polinômios p(x) e q(x) na variável dizemos que eles são indenticos se, e somente se, todos os coeficientes de p(x) são, segundo suas potências, ordenadamente iguais aos de q(x).
6. Divisão – Método da chave Sendo: Verificar se A(x) e B(x) estão escritos segundo as potências decrescentes de x e se o A(x) possui termos com coeficientes iguais a 0. Dividir o 1º termo de A(x) pelo 1º termo de B(x), obtendo o 1º termo de Q(x). Multiplicar o quociente obtido por todos os termo de B(x) e colocar os resultados encontrados, com o sinal trocado, abaixo dos termos semelhantes de A(x) e efetuar a adição. Repetir o passo anterior até que o grau de R(x) seja menor que o grau de B(x).
7.
8. (Ou Teorema do resto): O resto da divisão de um polinômio por um binômio, é igual ao valor numérico da raiz do binômio no polinômio. r(x) = p(a) Resto Divisão por polinômios do tipo x -a
9. Divisão por polinômios do tipo x - a ⇒ x – b = 0 ⇒ x = b Logo, b é a raiz do binômio (divisor). Pelo teorema fundamental da divisão, temos: P(x) = (x – b). Q(x) + R(x) Substituindo b (raiz do binômio)em P(x), temos: P(b) = (b – b). Q(b) + R P(b) = (x – b). Q(b) + R P(b) = R ⇒ R= P(b) Assim:
10. Um polinômio p(x) é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de p(x), isto é, p(a)= 0. Teorema de D’Alembert
11. Trabalha somente com os coeficientes de um polinômio p(x) e as raízes do divisor, um binômio do tipo x-a. Quociente Dispositivo de Briot-Ruffini
12. Dispositivo de Briot-Ruffini Para lembrar: O dispositivo de Briot-Ruffini nos ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a divisão de um polinômio por x – a. Os binômios são do seguinte tipo, por exemplo: x – 2 onde a = 2 x + 3 = x – (– 3)onde a = – 3 x – 1/3onde a = 1/3 Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinômio p(x), na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar. Na terceira linha, após o traço, aparecem os coeficientes de q(x). O último número da terceira linha, situado dentro do retângulo, é o resto da divisão (R).
13. Propriedades do dispositivo O primeiro coeficiente do quociente é igual ao primeiro do dividendo. O segundo coeficiente do quociente é igual ao primeiro do quociente multiplicado por a, mais o segundo do dividendo. O resto é igual ao último coeficiente do quociente multiplicado por a, mais o último do dividendo. O grau do quociente é sempre uma unidade inferior ao grau do dividendo.
14. Dispositivo de Briot-Ruffini Uma vez calculados os coeficientes do quociente, podemos escrevê-los diretamente (o grau do quociente é uma unidade inferior ao do dividendo): 6x2 + 7x – 3 O resto é o último número obtido: – 7 Na divisão, quando multiplicamos um termo do quociente pelo divisor, o multiplicamos por x e por– a, mas depois mudamos seu sinal para subtraí-lo do dividendo. Por este motivo, dizemos que se multiplica por a, no Dispositivo de Briot-Ruffini. Resultado: Para lembrar: