1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria e cálculos envolvendo formas geométricas como esferas, cilindros, cubos e suas propriedades. 2) As questões abordam tópicos como volume de esferas, interseção de planos e esferas, construção de objetos com esferas encaixadas e cálculos envolvendo medidas dessas formas. 3) São apresentadas informações numéricas sobre diversos objetos para que sejam feitos os cálculos solicitados em cada questão.

1. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 55 (Exercício 15)
Questão 05
Seja r um número real positivo e P um ponto do
Exercício 15 espaço. O conjunto formado por todos os pontos do
espaço, que estão a uma distância de P menor ou igual
a r, é:
a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como
Questão 01
ponto médio.
Um plano intercepta uma esfera perpendicularmente b) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r.
a um de seus diâmetros num ponto P distinto do centro c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r.
e interior a esse diâmetro. d) uma esfera de centro P e raio r.
a) Provar que a intersecção é um círculo. e) um círculo de centro P e raio r.
b) Determinar (em função do raio r da esfera) a distância
do ponto P ao centro, a fim de que o círculo intersecção
tenha área igual à metade da de um círculo máximo da Questão 06
esfera.
a) Um cubo maciço de metal, com 5 cm de aresta, é
Questão 02 fundido para formar uma esfera também maciça. Qual o
raio da esfera?
Considere uma circunferência C de raio r num plano b) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com
á e aponte a única alternativa falsa. tampa, para armazenar certo líquido. O volume do
a) Existem superfícies esféricas cuja intersecção com á é C. reservatório deve ser de 50 m3 e o raio da base do
b) Existe apenas uma superfície esférica de raio r cuja
intersecção com á é C. cilindro deve ser de 2 m. O material usado na construção
c) Dentre as superfícies esféricas que interceptam á custa R$ 100,00 por metro quadrado. Qual o custo do
segundo C, há uma de raio menor. material utilizado?
d) Dentre as superfícies esféricas que interceptam á
segundo C, há uma de raio maior.
Questão 07
e) Se t > r, há duas, e apenas duas, superfícies esféricas
de raio t cuja intersecção com á é C.
Um paciente internado em um hospital tem que
receber uma certa quantidade de medicamento injetável
Questão 03
(tipo soro). O frasco do medicamento tem a forma de um
cilindro circular reto de raio 2 cm e altura 8 cm. Serão
O volume V de uma bola de raio r é dado pela fórmula administradas ao paciente 30 gotas por minuto.
3
V = 4 R /3. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2 cm,
a) Calcule o volume de uma bola de raio r = 3/4 cm. Para determine:
facilitar os cálculos você deve substituir pelo número a) o volume, em cm3, do frasco e de cada gota (em
22/7. função de ).
b) Se uma bola de raio r = 3/4 cm é feita com um b) o volume administrado em cada minuto
material cuja densidade volumétrica (quociente da (considerando a quantidade de gotas por minuto) e o
massa pelo volume) é de 5,6 g/cm3, qual será a sua tempo gasto para o paciente receber toda a medicação.
massa?
Questão 04 Questão 08
Uma circunferência contida na superfície de uma Deseja-se fabricar um rolimã encaixando-se, sem
esfera diz-se circunferência máxima da esfera se seu folga, n esferas iguais de raio 1 cm entre dois anéis
raio é igual ao raio da esfera. Assim, pode-se afirmar cilíndricos, tal como na figura.
que:
a) Toda circunferência contida na superfície de uma
esfera é uma circunferência máxima da esfera.
b) Um plano e uma esfera que se cortam ou têm um
único ponto em comum ou sua interseção contém uma
circunferência máxima da esfera.
c) Os planos determinados por duas circunferências
máximas distintas de uma mesma esfera são
necessariamente secantes e sua interseção contém um
diâmetro comum às duas.
d) Dadas duas esferas concêntricas distintas, uma
circunferência máxima de uma e uma circunferência
máxima da outra são necessariamente circunferências
concêntricas coplanares. a) É possível construir tal peça com o raio externo R ´
e) Duas circunferências máximas de uma mesma esfera
estão necessariamente contidas em planos 6,5 cm e 18 esferas? Use ¸ 3,14.
perpendiculares. b) Calcule os raios r e R dos anéis em função de n.
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2. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 55 (Exercício 15)
a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor
Questão 09
diferente da base cúbica. Considerando que a região de
contato entre a haste e a parte superior do poste tenha
O trato respiratório de uma pessoa é composto de
área desprezível, qual é o valor da área do poste a ser
várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares,
pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio pintada?
por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem b) Se a haste da antena suporta um peso máximo de 50
forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de kg, determine o maior valor possível para R, deforma
um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o que o peso da esfera de raio igual a este valor não
volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 exceda o peso máximo suportado pela haste.
3
cm , o número aproximado de alvéolos dessa pessoa,
considerando = 3, é: GABARITO
a) 1 618 × 103.
b) 1 618 × 104.
c) 5 393 × 102. Questão 01
d) 4 045 × 104.
e) 4 045 × 105. r 2
b) OP= 2
Questão 10
Questão 02
Um canal de televisão pretende instalar o serviço de
TV digital em Uberlândia e, para isso, será necessário a
construção de uma nova antena de transmissão. A Letra D.
antena deve ser composta por uma base cúbica, por um
poste cilíndrico, ambos maciços e feitos de concreto, por Questão 03
uma haste de sustentação e por uma esfera maciça feita
de uma liga metálica (conforme a ilustração a seguir). 3
a) 99/56 cm
b) 9,9 g
Questão 04
Letra C.
Questão 05
Letra D.
Questão 06
3
a) 5 . 3
cm
4π
b) R$ 7.512,00
Questão 07
Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em a) V(frasco) = 32
3
cm e V(gota) = 4 /375 cm .
3
metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal da face 3
da base cúbica e do raio da esfera metálica. b) 8 /25 cm e 100 minutos.
Sabe-se que:
2 2 2
1) O valor de D excede em 16 m o valor de d . Questão 08
2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade da
aresta da base cúbica. a) Sim
3
3) O volume do poste cilíndrico é 18 m .
3 ⎛ð⎞
4) 1 m da liga metálica corresponde a 300 kg b) r = cossec ⎜ ⎟ -1
(kilogramas).
⎝n⎠
Com base nestas informações, responda as seguintes ⎛ð⎞
perguntas: R = cossec ⎜ ⎟ +1
⎝n⎠
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3. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 55 (Exercício 15)
Questão 09
Letra E.
Questão 10
2
( ) 2
a) ( a 3 ) = a 2 = 16 ⇔ a = 4cm(medida da aresta do cubo)
Seja r a medida do raio da base do cilindro.
2r = 2 Ìr = 1cm
Seja h a medida da altura do cilindro.
™.12. h = 18 Ì h = 18 cm
π
Calculando a área do cilindro que será pintada.
A= 2π . R. h + π .r 2
18
A = 2.π . + π .1 2
π
2
A = (36 +™ )cm
3
b) 1m --------------300kg
V ----------------50kg
1 3
Logo V = m
6
3
4 1 π2
π .r 3 = ⇔ r = cm
3 6 2π
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