Fisica exercicios resolvidos 007

PROVA COMENTADA E RESOLVIDA
PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO
Vestibular AFA 2010 Prova de Matemática

COMENTÁRIO GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO

A prova de Matemática da AFA em 2010 apresentou-se excessivamente algébrica. Para o equílibrio que
se espera nesta seleção, seria sensato que as geometrias plana e métrica espacial fossem mais exploradas.
Outro aspecto que merece destaque é a presença de questões com duas alternativas corretas e sem
resposta. Isso certamente prejudicou os alunos mais bem preparados.
Espera-se uma atenção maior por parte dos elaboradores nos próximos concursos.
Acreditamos no desempenho destacado dos alunos do Curso Positivo uma vez que os assuntos exigidos
na prova foram estudados exaustivamente em nossas aulas.
Equipe de Matemática do Curso Positivo

QUESTÃO 21 a) Não é possível pesar Gabriel e João juntos, pois
G + J = 42 < 60.
b) Não é possível pesar Maria sozinha, pois M = 55 < 60 .
c) A diferença entre os “pesos” de Pedro e Maria é igual
a 20 kg, igual ao “peso” de Gabriel.
d) O “peso” de Maria e João juntos é igual a 77 kg, maior
que o “peso” de Pedro.
Resposta: B

QUESTÃO 22

RESOLUÇÃO
Sendo P, M, G e J as massas, em kg, de Pedro, Maria,
Gabriel e João, temos:
P + M + G = 150 (I)
P + G + J = 117 (II)


M + G + J = 97 (III)
P + M + G + J = 172 (IV)

Substituindo (I), (II) e (III) em (IV), temos:
150 + J = 172 ∴ J = 22
117 + M = 172 ∴ M = 55
97 + P = 172 ∴ P = 75
Substituindo em (IV) os valores de J, M e P encontrados,
temos:
75 + 55 + 22 + G = 172 ∴ G = 20

1 MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO  x + 2y – z = 0

Para determinar a quantidade necessária de poltronas ⇔ y + z = 0
para a fabricação dos três modelos de aviões no ano de 0 = 0

2009, basta multiplicarmos as matrizes
 20 30 * Assim, y = –z e x + 2.(–z) – z = 0 ∴ x = 3z, ou seja, o
 20 30 60   sistema é homogêneo, indeterminado com solução
A =   e B =  y 25  , e somarmos os
 6 10 15    geral dada pelo conjunto {(3z; –z; z}, z ∈IR.
 10 8 * *
 x + 2y – z = 0  x + 2y – z = 0
elementos da primeira linha da matriz produto, ou seja:  
* Se m = –3, S =  x + 3y – 3z = 0 ⇔  y – 2z = 0 .
A.B =  x + 3y – 3z = –3  y – 2z = –3
 
 20 30 
 20 30 60    x + 2y – z = 0
=  .  y 25 =
 6 10 15    
 10 8  ⇔  y – 2z = 0 Assim, o sistema é impossível.
0 = –3

 400 + 30y + 600 600 + 750 + 480
=  = É falso que S é determinado se, e somente se, m ≠ 0,
 120 + 10y + 150 180 + 250 + 120 
pois para m = –3 o sistema é impossível.
1000 + 30y 1830
=  É falso que se S é homogêneo, x + y + z é múltiplo de 3,
 270 + 10y 550 
pois x + y + z = 3z que não múltiplo de 3 para todo real z.
Assim, 1000 + 30y + 1830 = 3280 ∴ y = 15 e a soma dos Resposta: B e C
algarismos de y é igual a 1 + 5 = 6.
*20 + 0,5.20 = 30 **10 – 0,2.10 = 8 QUESTÃO 24
Resposta: A

QUESTÃO 23

RESOLUÇÃO
Os lados do quadrado cuja área é igual a 1250 medem
RESOLUÇÃO
1250 = 25 2.
Sendo R a medida do raio da circunferência circunscrita
1 2 –1
ao quadrado, temos:
Se 1 –m –3 = –m2 – 3m ≠ 0 então, m ≠ 0 e m ≠ –3, ou
1 1
1 3 m 25 2 . 2 = 2 . R ∴ R = 25. Assim, = 25 ∴ b = ,
b 25
seja, o sistema é possível e determinado.  1 1
ou seja, b ∈  , .
 x + 2y – z = 0  x + 2y – z = 0  26 24 
 
* Se m = 0, S =  x – 3z = 0 ⇔  –2y – 2z = 0 Observação: O enunciado afirma que b ∈ IN*, o que
 x + 3y = 0 y + z = 0 não é verdade.
 
Resposta: B

2 MATEMÁTICA

QUESTÃO 25 QUESTÃO 26

RESOLUÇÃO
Vamos determinar o ponto de intersecção das retas (s) e (t).
 2x + y – 2 = 0 8 2
 →x= ey=–
 x – 3y – 2 = 0 7 7
A equação da reta r é dada por:
RESOLUÇÃO
 2  8
1 y –  –  = mr .  x –  , onde mr é o coeficiente angular
Sabe-se que P(0) = 0, P(2) = 0 e P(1) = . Além disso,  7  7
2 da reta r.
sendo q(x) o quociente da divisão de P(x) por
8 2
P(x) (x – 2).(x – 1). x mr . x – y – . mr – = 0
(x – 2).(x – 1).x, temos: 7 7
q(x)
⇔ P(x) = (x – 2).(x – 1).x.q(x)+R(x) Qualquer ponto da reta t é equidistante das retas r e (s).
Tomando por exemplo o ponto (2; 0), pertencente à reta
Sendo R(x) = a.x2 + b.x +c, a, b, c ∈ IR, temos: (t), temos:
P(0) = c = 0 8 2
m r .2 – 1.0 – .m r –
2.2 + 0 – 2 7 7
P(2) = 4a + 2b + c = 0 = →
2 2 + 12 2
mr + 1
1
P(1) = a + b + c = 6 2
2 .m r –
2 7 7
 4a + 2b = 0 → = →
 5 2
mr + 1
 1 1
a + b = 2 → a = – 2 e b = 1
 36 2 24 4
.m – .m r +
4 49 r 49 49 →
1 → =
Assim, R(x) = – .x2 + x e as raízes de R(x) são tais que: 5 2
mr + 1
2
45 2 30 5
R(x) = 0 mr2 + 1 = .mr – .mr + →
49 49 49
1 2 → 4.mr2 + 30.mr + 44 = 0 →
– . x + x = 0 → x = 0 ou x = 2
2 11
2.mr2 + 15.mr + 22 = 0 ∴ m = –2 ou m = –
Resposta: D 2
m = – 2 → r: 2x + y – 2= 0 (não convém)
11
m = – → r: 11x + 2y – 12 = 0
2

3 MATEMÁTICA

a) O ponto de intersecção das retas r e (t) também é o RESOLUÇÃO
8 2 10 47
,
ponto  ; –  e, portanto – < y < 0. a) Como ≅ 1,4242, o percentual de aumento do ano
7 7 3 33
,
12 – 2y de 1995 para o ano 2000 foi superior a 42%.
b) Se x > 0, então x = > 0 ∴. Assim, existe
11 0,5
10 b) Como ≅ 0,11, a queda de crescimento do ano de
P(x; y) ∈r tal que x > 0 e y < – . 45
,
3 2005 para o percentual estimado no ano de 2009 é
8 12 – 2y 8 2 aproximadamente igual a 88,9%, portanto, inferior a
c) Se x > , então x = > ∴y<– .
7 11 7 7 90%.
12 – 2y 47 29
, ,
d) Se x < 0, então x = < 0 ∴ y > 6. Assim, existe c) Como ≠ , a taxa de crescimento do ano de
11 37 1 9
, ,,
P(x; y) ∈ r tal que x < 0 e y > 0. 2000 em relação ao ano de 1985 é diferente da taxa
Resposta: C e D de crescimento do ano de 1990 em relação ao ano de
1980.
QUESTÃO 27
d) O aumento absoluto do índice de crescimento de
1985 em relação ao de 1980 foi de 3,7 – 1,9 = 1,8
pontos percentuais. Em termos relativos e
considerando-se o índice em 1980, tal aumento
corresponde a
18
,
≅ 0,947 ≅ 0,95 = 95%.
19
,

Observação:
A afirmação da alternativa (d) deveria ter utilizado
denominações apropriadas para distinguir aumentos
absolutos e relativos.
Resposta: C

QUESTÃO 28

4 MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO 500 π . 1,41
VA 3 235 470 2
= = = = 52 +
Vesfera 3 9 9 9
4  3
.π.  2
3  2
Assim, o espaço vago dentro desse objeto é igual a
9π
235π – 52 . = π cm3.
2
Se não considerarmos as esferas fundidas e sim rígidas,
independentemente da disposição das esferas no
interior do objeto A, é possível mostrar que o volume não
ocupado pelas esferas é superior a 2π.

A geratriz de cada um dos cones que formam o objeto A
mede 15 cm. Sendo R a medida do raio comum às bases
dos cones, temos:
2π 2.π.15
2π
2.π.R
3
R = 5 cm Considere uma esfera alocada na posição mais interna
possível em relação a um dos cones que compõem o
Sendo H a medida da altura do cone, temos:
objeto A. Sendo h e x, respectivamente, as medidas da
152 = 52 + H2 ∴ H = 10 2 cm. altura e do raio do cone cuja base tangencia essa esfera
3
1 e, como r = cm, por meio de duas semelhanças de
O volume do objeto A é igual a 2 . . π . 52.10 2 = 2
3 triângulos, temos:
r r+h x h 3
500 π 2 = → h = 3 cm e = ∴x= cm
= cm3. 5 15 5 10 2 2 2
3
Assim, o volume dos dois cones que ficarão vazios é
Sendo r a medida do raio de cada esfera, temos: igual a:
3 2
4π . r2 = 9π ∴ r = cm. 1  3  9π
2 2. .π.  .3= = 2,25π cm3.
3  2 2 4
Considerando esferas fundidas, o número máximo de
esferas é igual a 52, pois Sem Resposta

5 MATEMÁTICA

QUESTÃO 29 QUESTÃO 30

RESOLUÇÃO
1
 1 2. + 1
f   = 2.g(b) → 2 2 = 2.3b+1 → 4 = 2.3b+1 →
 2
2
→ 2 = 3 b . 3 ∴ 3b =
3
p = log3b → 3p = b
p 2
Assim, 3 3 = → –1 < 3p < 0 ∴ p não está definido.
3
RESOLUÇÃO Resposta: C
a) h(0) = g(0) + 2 = 2 + 2 = 4
h(h(0)) = h(4) = g(4) + 2 = –2 + 2 = 0 QUESTÃO 31
 
 4, se néímpar
Assim,  h o ho ho 444h (0) = 
ho...o
 144 24 3
0, se néímpar
 nvezes 

   1  
b) y = h h h    = h(h(A)), onde 2 < A < 3
   2  
y = h(B), onde 1 < B < 2
y = C, onde 2 < C < 3
c) (h o h o h) (3) = (h o h) (1) = h(3) = 1
(h o h o h o h) (2) = (h o h o h) (2) = (h o h) (2) = h(2) = 2
   3  
d) x = h h h    = h(h(A)), onde 2 < A < 3
   2   RESOLUÇÃO
x = h(B), onde 1 < B < 2 π 
f(x) = cos(4x) – sen  – 6x
x = C, onde 2 < C < 3 2 
Resposta: B f(x) = cos(4x) – cos(6x)
f(x) = –2.sen(5x).sen(x)
As raízes da função f são tais que:
sen(5x) = 0 ou sen(x) = 0
k. π
Assim, 5x = k.π ∴ x = , k ∈ Z ou x = k.π,k ∈ Z
5

6 MATEMÁTICA

A representação geométrica das raízes da função f é: b) Observando o gráfico da função f, temos que a
imagem da função é o conjunto [–1; 2].
1
c) Se f(x) = 0, então –1+ 3.sen(2x) = 0 → sen(2x) = ± .
3
Assim, no intervalo [0; 2π] temos 4 soluções para a
1
equação sen(2x) = e 4 soluções para a equação
3
1
sen(2x) = – , totalizando 8 soluções.
3
π
d) O período da função f é . Observe agora o gráfico da
2
função g(x) = 2.f(x) = –2 + 2.3.sen(2x)

Resposta: D

QUESTÃO 32

π
O período da função g também é igual a .
2
Resposta: A

RESOLUÇÃO
QUESTÃO 33
f(x) = –1 + 3.sen(2x)
Observe o gráfico da função f:

π π 
a) A função f é decrescente para todo x ∈  ;  e
 4 2
 π 3π 
crescente para todo x ∈  ; . Assim, é falso
2 4 
 π 3π 
afirmar que f é decrescente para todo x ∈  ; .
4 4 

7 MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO
Na locadora α o valor pago é dado por y = 50,
independentemente do número de quilômetros rodados
por dia.
Na locadora β o valor pago é dado por y = 20 + 0,5.x,
onde x é o número de quilômetros rodados por dia.
Na locadora γ o valor pago é dado por y = 30 + 0,4.x,
onde x é o número de quilômetros rodados por dia.
Para que a locadora α seja a mais vantajosa, devemos
ter:
20 + 0,5.x > 50 → x > 60
e
30 + 0,4.x > 50 → x > 50
Assim, o menor valor possível para m é 60.
Resposta: C

QUESTÃO 34
Resposta: A

QUESTÃO 35

RESOLUÇÃO
Se considerarmos D o maior subconjunto real possível para
que a função esteja bem definida, ou seja, D = IR*.
a) Verdadeira. A função f é par, pois
f(–x) = 1 + log2[(–x)2] = 1 + log2(x2) = f(x).
b) Verdadeira. A função f é sobrejetora ∀ x ∈ D, pois se
RESOLUÇÃO y ∈ IR e y = 1 + log2(x2), então y – 1 = log2(x2) →
Observando o gráfico, temos que h(x) > g(x) para todo x → x2 = 2y–1 ∴ x = ± 2 y–1 . Assim, para todo y real,
real. Assim, basta determinar os valores de x em que existem dois valores de x para os quais f(x) = y.
g(x) > f(x). O gráfico da função g, definida por c) Falsa. A função f não é injetora ∀ x ∈ D, pois como
g(x) = a.x + b passa pelos pontos (1; 0) e (0; 1). f(–x) = f(x) ∀ x ∈ D, existem dois valores distintos de x
com a mesma imagem.
d) Verdadeira. Se 1 ≤ x1 < x2, então 1 ≤ x12 < x22 e assim
log2(x1)2 < log2(x2)2 → 1 + log2(x1)2 < 1 + log2(x2)2 ∴

8 MATEMÁTICA

∴ f(x1) < f(x2). Portanto, a função f é crescente se QUESTÃO 37
x ∈ [1, + ∞[.
No entanto, se o conjunto D não for IR*, podemos ter várias
possibilidades com relação à veracidade ou não das
alternativas. Como uma função é composta pelo domínio,
contradomínio e a lei que a define, entendemos que a falta da
determinação do domínio impede que possamos responder à
questão.
Resposta: C

QUESTÃO 36

RESOLUÇÃO

Para determinar os pontos de intersecção dessa
circunferência com os eixos coordenados, basta
substituir x e y por zero.

RESOLUÇÃO
Sendo 1650 a média salarial após todos os salários Assim, os pontos A, B e A’ são, respectivamente,
terem aumentado 10%, temos: ( )( )
0; 3 , 0; – 3 e (–1; 0).

Assim, o novo salário do gerente é igual a
5000.1,10 = 5500 reais.
Resposta: D

2 31
.
A área do triângulo A´AB é igual a = 3 unidades
2
de área.
Resposta: B

9 MATEMÁTICA

QUESTÃO 38

Sendo F1, F2 e F3 as alunas (sexo feminino), M1, M2 e M3
os alunos (sexo masculino), temos PC3 = (3 – 1)! = 2! = 2
maneiras distintas de posicionar os alunos do sexo
feminino. Para cada um desses posicionamentos, temos
P3 = 3! = 6 maneiras distintas de posicionar os alunos do
sexo masculino.
RESOLUÇÃO Assim, o número total de maneiras distintas de fazer as
escolhas e as disposições é igual a 200.2.6 = 2400.
Resposta: C

QUESTÃO 40

RESOLUÇÃO
Resposta: A
Se apenas A, B e C participam da competição, sendo
p(A), p(B) e p(C), respectivamente, as probabilidades de
A, B e c vencerem a prova, temos que:
QUESTÃO 39

a) Verdadeira. A probabilidade de A ou B vencer é igual
a 0,4 + 0,4 = 0,8.
b) Verdadeira.
RESOLUÇÃO
c) Verdadeira. A probabilidade de B ou C vencer é igual
O número de maneiras de escolher 3 alunos e 3 alunas é
a 0,4 + 0,2 = 0,6.
igual a C 3. C6 = 10.20 = 200. Em seguida, dispomos os
5
3

alunos em um círculo sem que alunos do mesmo sexo d) Falsa. A probabilidade de C vencer é igual a 0,2.
se posicionem lado a lado. Resposta: D

10 MATEMÁTICA

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