SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 11
Downloaden Sie, um offline zu lesen
LIMITES
       Tem por finalidade estudar o comportamento de uma função quando a sua variável se aproxima
de um nº real, podendo a função estar ou não definida para este número.
       Vejamos sua definição:




                                L+ε
                                  L
                                L-ε




                                                    a–δ     a   a+δ




                          0,   0 / x  X e 0  x  a    f ( x)  L  
       lim f ( x)
                  =L
       xa



       Portanto, o limite de f(x) quando x tende a a é L.




                                 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:



                                lim f ( x)        lim f ( x)
                                             =                    = L
                                x  a             x  a
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Vejamos alguns exemplos:

                                                 ( x 2  9)
1º EXEMPLO: Considere a função f (x) =                      , com x ≠ 3.
                                                  ( x  3)

                 ( x  3).( x  3)   ( x  3).( x  3)
       f (x) =                     =                   , portanto, f ( x)  x  3 para x ≠ 3.
                      ( x  3)            ( x  3)

                         lim f ( x)
       Cálculo do                   =?
                         x3

Geometricamente:

  X      f(x) = x + 3
  -1           2
   0           3
   1           4
   2           5
   3           6




Limite lateral a esquerda:
Para x → 3- :
                                                          Para     x → 3- => f(x) = 6
      X            2,8      2,9   2,99   2,999
 f(x) = x + 3      5,8      5,9   5,99   5,999                             lim f ( x)
                                                          Dizemos que                   =6
                                                                           x  3

Limite lateral a direita:
Para x → 3+ :
                                                          Para     x → 3+ => f(x) = 6
 X                3,2      3,1    3,01   3,001
 f(x) = x + 3     6,2      6,1    6,01   6,001                              lim f ( x)
                                                          Dizemos que                    =6
                                                                            x  3

Conclusão:
                                                     lim f ( x)
Existe o limite da função para x→3, ou seja,                      =6
                                                     x3
2º EXEMPLO
                                        x 2  1, para x ≤ 2
Considere a função:           f ( x)  
                                        x  1, para x > 2
             lim f ( x)
Cálculo do              =?
             x2

Geometricamente:
                               (x≤2)                                                 ( x > 2)
                    x        f(x) = x2 + 1                                   x     f(x) = x - 1
                    2              5                                         2          1
                    1              2                                         3          2
                    0              1                                         4          3
                    -1             2                                         5          4
                    -2             5                                         6          5




Limite lateral a esquerda:
Para x → 2- :
                                                               Para        x → 2- => f(x) = 5
        X           1,8       1,9      1,99    1,999
  f(x) = x2 + 1    4,24      4,61     4,960    4,996
                                                                                  lim f ( x)
                                                               Dizemos que                     =5
                                                                                  x  2
Limite lateral a direita:
Para x → 2+
                                                               Para        x → 2+ => f(x) = 1
         X            2,2       2,1     2,01    2,001
    f(x) = x - 1      1,2       1,1     1,01    1,001
                                                                                   lim f ( x)
                                                               Dizemos que                      =1
                                                                                   x  2
Conclusão:
Não existe o limite da função para x→2, ou seja,
                                                        lim f ( x)
                                                                   =   
                                                        x2
Exercícios
     1) Calcule o limite por noção intuitiva:

             x  2, se x ≤ 2 lim f ( x)
a) f ( x)                 ,            =?
            4,      se x > 2 x  2



             x,     se x ≤ 3               lim f ( x)
b) f ( x)                            ,               =?
             x  2, se x > 3               x3



            2  x, se x < 3 lim( f )  ?
c) f ( x)                 ,
            4,     se x ≥ 3 x  3



              x3  1       lim f ( x)  ?
d)   f ( x)           ,
              x 1         x 1



             x 2  1, se > -2   lim f ( x)
e) f ( x)                    ,            =?
             x  3, se x ≤ -2 x  2



             x  7,         se x ≥ 2                 lim f ( x)
f) f ( x)                                       ,              =?
             2 x  3, se -1 < x ≤ 2                 x2
                  2
TEOREMAS DOS LIMITES (PROPRIEDADES)
 Vamos mostrar agora alguns teoremas que admitiremos verdadeiros sem efetuarmos suas demonstrações.

 1. Limite da função constante: o limite de uma constante é a própria constante, isto é,
                                                            lim c  c
                                                            x a

        EXEMPLOS:
                                  lim 2
          a)      f ( x)  2 =>         =2
                                  x 1

          b)      f ( x)  5 => lim 5  5
                                  x0

          c)      f ( x)  3 => lim  3  3
                                   x 2

 2. Limite da função identidade: se f ( x)  x , então:

                                                            lim x  a
                                                            x a

        EXEMPLOS:

          a)      lim x  2
               x 2

          b)      lim x  3
               x 3

 3. Limite da soma de funções: é igual à soma dos limites dessas funções.
                    lim  f1( x)  f 2 ( x)         f n ( x)  lim f1( x) lim f 2 ( x)         lim f n ( x)
                                                                          x a          x a             x a

        EXEMPLO:

           lim( x  3)  lim x  lim 3  2  3  5
           x 2              x 2        x 2

4.     Limite do produto de funções: é igual ao produto dos limites dessas funções.
                         lim  f1( x). f 2 ( x)     f n ( x)  lim f1( x). lim f 2 ( x)     lim f n ( x)
                                                                   x a          x a           x a

        EXEMPLO:

           lim 3.( x  1)  lim 3. lim( x  1)  3.3  9
           x 2                   x 2    x 2

     5. Limite da constante multiplicada pela função: é igual ao produto da constante pelo limite da
        função.
                                                      lim c. f ( x)  c. lim( x)
                                                     x a                   x a
EXEMPLO:

   lim 3x  3.lim x  3.2  6
     x 2                 x 2

6. Limite de uma potência enésima de uma função: é igual à potência enésima do limite dessa
   função.
                                                                                n
                                               lim  f ( x)   lim f ( x) 
                                                            n
                                               x a             x a
                                                                           
                                                                            
   EXEMPLO:

                        2 8
                                 3
       lim x3  lim x                    3
       x 2              x 2

7. Limite de uma raiz enésima de uma função: é igual à raiz enésima do limite dessa função.

                                                 lim n f ( x)  n lim f ( x)
                                                 x a               x a
   EXEMPLOS:

       a)       lim       x          lim x  100  10
              x 100                 x 100


       b) lim
                     5
                         2 x 4  5 lim 2 x 4  5 2.24  5 32  2
              x 2                   x 2


8. Limite do módulo ou valor absoluto de uma função: é igual ao módulo ou valor absoluto
   do limite.

                                                    lim f ( x)  lim f ( x)
                                                  x a             x a
      EXEMPLO:
       lim x  lim x  3  3
       x 3             x 3


9. Limite do quociente de duas funções: é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando
   o limite do denominador for igual a zero).

                                                   f ( x) x  a f ( x)
                                                            lim
                                              lim                     ,
                                              x a g ( x)   lim g ( x)
                                                             xa
                                              com lim g ( x)  0 e g ( x)  0
                                                     x a



   EXEMPLO:
            x x 8 x 8
              lim
       lim          4
       x 8 2 lim 2 2
                      x 8
CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO POLINOMIAL

                                                     n 1
        Dado o polinômio P( x)  an x  an 1x
                                           n
                                                             ...  a1x  a0 , então lim P( x)  P(a)
                                                                                   x a

   EXEMPLOS:
1) Calcule os limites:

      lim( x5  2 x3  x)
   a)                     = 15 + 2 . 13 – 1 = 1 + 2 – 1 = 2
      x 1

   b) lim( x  3)  2  3  5
        x 2


        lim( x 2  x  2) 2
   c)                       = ( 32 – 3 + 2 )2 = ( 9 – 3 + 2 )2 = ( 6 + 2 )2 = ( 8 )2 = 64
        x3

2) Calcule os limites, se existir, e faça um esboço do gráfico.

                              x 2  2, se x < 2
   lim f ( x)                
a)            , sendo f(x) =  x        se x ≥ 2
   x2                        ,
                             2

Gráfico:
                          (x<2)                                                ( x ≥ 2)
                                                                                            x
                     x     f(x) = x2 - 2                                   x      f(x) =
                                                                                            2
                     2            2                                        2          1
                                                                                   3
                     1           -1                                        3         = 1,5
                                                                                   2
                     0           -2                                        4          2
                                                                                   5
                     -1          -1                                        5         = 2,5
                                                                                   2
lim f ( x)        lim f ( x 2  2)
        
             =                       = 22 – 2 = 4 – 2 = 2
x2               x  2
                                                                           lim f ( x)
                                                                                        ≠
                                                                                            lim f ( x)      lim f ( x)
                                                                                                                         =   
                                                                             x2   
                                                                                            x2    
                                                                                                            x2
                      x
lim f ( x)     lim f     2
             =       2 =   1
x  2                     2
               x  2


     lim f ( x)                3, se x ≠ 4
b)              , sendo f(x) = 
     x4                       0, se x = 4

Gráfico:




lim f ( x)                   lim f ( x)                   lim f ( x)
             =3      e                     = 3                      =3
x4     
                             x4       
                                                          x4

(Utilizamos a função para x ≠ 4, ou seja, nas proximidades de x = 4)

                                                           Exercícios
1) Calcule:
                                                                                                               x2  6 
           lim( x 2  5 x  4)                     lim( x3  1)          lim( x 4  5)                 lim  2
                                                                                                               x 1  
                                                                                                                       
        a)                                       b)                     c)                             d)             
           x2                                      x  2                 x0
                                                                                                          x4
2) Faça o gráfico das funções e calcule os limites, se existir:

                                   x2
                                         , se x  0                                               x 2 , se x  2
     a) lim f ( x), para f ( x)                                    b) lim f ( x), para f ( x)  
        x 0
                                  1  x , se x  0                     x 2
                                                                                                   x  1, se x  2
                                        2
                                  

                                  3x  1, se x  1
     c) lim f ( x), para f ( x)  
         x 1
                                  0     , se x  1

Respostas:
1)   a) -2          b) -7       c) 5        d)
                                                  22
                                                                     2) a)                  b)              c) 4
                                                  15
CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR
TENDEM A ZERO
       Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limite
para determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição,
porque ela não é definida para aquele valor de x.

EXEMPLOS:
                       x2  9
     1) Calcular   lim
                   x 3 x  3
Fatorando e simplificando, temos:
    x2  9        ( x  3).( x  3)
lim         lim                     lim( x  3)  6
x 3 x  3   x 3      ( x  3)       x 3



                          x 1  3
     2) Calcular   lim
                   x 8    x  8
Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.

         x 1  3        ( x  1  3).( x  1  3)
lim                lim                            
x 8      x  8   x 8    x  8.( x  1  3)
           ( x  1) 2  32                   x 1 9
 lim                           lim                          
  x 8  x  8  .( x  1  3)   x 8  x  8  .( x  1  3)


 lim
                  x  8         lim
                                               1
                                                       
    x 8  x  8  .( x  1  3)   x 8 (   x  1  3)
         1          1      1
                       
    ( 8  1  3) ( 9  3) 6


                        x2  5x  6
     3) Calcular   lim
                   x 2    x2
Resolvendo a equação x 2  5x  6  0

  b 2  4ac
  25  24  1
 1
                                            5 1 6
     b    (5)  1  5  1          x1  2  2  3
                                       
x                                 
       2a        2  (1)        2      x  5  1  4  2
                                        2
                                              2    2
Obtemos duas raízes distintas: x1  3 e x2  2 .

Fatoramos o trinômio do 2º grau: x 2  5x  6  x  3  x  2


              x2  5x  6        ( x  2).( x  3)
Então,   lim               lim                     1
         x 2    x2        x 2       x2
x3  8
   4) Calcular     lim
                   x 2 x  2


Fazendo a divisão de        x3  8   por   x  2 , para simplificar, temos:
 x  0x  0x  8 x  2
    3        2


 x3  2 x 2                x2  2x  4

         2 x2  0 x  8
         2 x2  4 x
                  4x  8
                  4x  8
                            0

              x3  8
Então,   lim          lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12
         x 2 x  2    x 2


Observação:

Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos”

a3  b3  (a 2  ab  b2 ).(a  b)

Assim, teríamos:

                                                           
x3  8  x3  23  x 2  2 x  22  x  2  x 2  2 x  4  x  2

                          x 3  8 x 2  2 x  4 x  2
Depois, simplificaríamos:                                  x 2  2x  4 
                          x 2              x2

E, então, calcularíamos o limite desejado:

     x3  8
lim          lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12
x 2 x  2    x 2


                         x2  5x  6
   5) Calcular      lim
                   x 3 x 2  x  12

Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador):

 x 2  5 x  6 x 2  x  12

 x 2  x  12          1
     6 x  18              Resto!
Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do
denominador. Assim:

Resolvendo a equação (numerador):                     Resolvendo a equação (denominador):
x  5x  6  0
 2
                                                      x 2  x  12  0
   5  25  24                                          1  1  48
x                                                    x
          2                                                    2
   5  1  x '  3                                     1  7 x '  4
x                                                   x       
     2  x ''  2                                         2  x ''  3
Fatorando:                                            Fatorando:
x  5x  6  1.( x  3).( x  2)
 2
                                                      x2  x  12  1.( x  4).( x  3)

Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos:

      x2  5x  6         ( x  3) .( x  2)
 lim 2             lim                      
x 3 x  x  12    x 3 ( x  4). ( x  3)

      x  2 3  2 1 1
 lim                 
x 3 x  4   3  4 7 7

                                          2
                       x 2  4x  4 
     6) Calcular lim                
                 x 2
                       x2 

                     x 2  4x  4
     Fazendo u                   , temos que:
                         x2

     lim u  lim
                  x 2  4x  4
                                 lim
                                       x  22  lim x  2  0 , logo: lim u  0 ,
     x 2    x 2      x2         x 2  x  2  x 2                    x 2

     então limu   0 2  0
                       2
               x 2



                                                       Exercícios

1) Calcule:
             x4                               x 2                             x3  x                 x 2  16
a) lim                               b) lim                        c) lim                    d) lim
     x 4   x 2  16                    x 2   x2                       x 0     x             x 4    x4


Respostas:
      1                          1
1) a)                      b)                      c) - 1                        d)      8
      8                         2 2

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Função do 2 grau
Função do 2 grauFunção do 2 grau
Função do 2 grauFabio Diaz
 
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Gi Olli
 
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...MarcelloSantosChaves
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipiowab030
 
Matemática - Aula 5
Matemática - Aula 5Matemática - Aula 5
Matemática - Aula 5IBEST ESCOLA
 
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)Rodrigo Thiago Passos Silva
 
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas (63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
 
APRESENTAÇÃO LIMITE.ppt
APRESENTAÇÃO LIMITE.pptAPRESENTAÇÃO LIMITE.ppt
APRESENTAÇÃO LIMITE.pptssuser24a8bb1
 
Função do 2 grau.ppt
Função do 2 grau.pptFunção do 2 grau.ppt
Função do 2 grau.pptLeticiaFrank
 
Funçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º AnoFunçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º AnoAna Tapadinhas
 
Funções irracionais
Funções irracionaisFunções irracionais
Funções irracionaissilvia_lfr
 
Equações literais
Equações literaisEquações literais
Equações literaisaldaalves
 

Was ist angesagt? (20)

Aula 05 derivadas - conceitos iniciais
Aula 05   derivadas - conceitos iniciaisAula 05   derivadas - conceitos iniciais
Aula 05 derivadas - conceitos iniciais
 
Tópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - DerivadasTópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - Derivadas
 
Demonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de NewtonDemonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de Newton
 
Função do 2 grau
Função do 2 grauFunção do 2 grau
Função do 2 grau
 
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
 
Apostila latex
Apostila latexApostila latex
Apostila latex
 
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
 
Matemática - Aula 5
Matemática - Aula 5Matemática - Aula 5
Matemática - Aula 5
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)
Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)
 
Limites trigonométricos
Limites trigonométricosLimites trigonométricos
Limites trigonométricos
 
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas (63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
 
APRESENTAÇÃO LIMITE.ppt
APRESENTAÇÃO LIMITE.pptAPRESENTAÇÃO LIMITE.ppt
APRESENTAÇÃO LIMITE.ppt
 
Função do 2 grau.ppt
Função do 2 grau.pptFunção do 2 grau.ppt
Função do 2 grau.ppt
 
Função polinomial do 1º grau
Função polinomial do 1º grauFunção polinomial do 1º grau
Função polinomial do 1º grau
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Funçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º AnoFunçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º Ano
 
Funções irracionais
Funções irracionaisFunções irracionais
Funções irracionais
 
Equações literais
Equações literaisEquações literais
Equações literais
 

Ähnlich wie Limites parte1

Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilAna Carolline Pereira
 
Apostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_iApostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_iRonnie Ederli
 
Teorema do confronto
Teorema do confrontoTeorema do confronto
Teorema do confrontocalculogrupo
 
Introdução à limites - Teoremas e exercícios
Introdução à limites - Teoremas e exercíciosIntrodução à limites - Teoremas e exercícios
Introdução à limites - Teoremas e exercíciosThiagoFDomingosDiasF
 
apresentacao_Limites_aula.pdf
apresentacao_Limites_aula.pdfapresentacao_Limites_aula.pdf
apresentacao_Limites_aula.pdfssuser767529
 
Cálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em RCálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em Rtintintest
 
Aula funcoes 1° e 2° graus
Aula   funcoes 1° e 2° grausAula   funcoes 1° e 2° graus
Aula funcoes 1° e 2° grausDaniel Muniz
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Carlos Campani
 
Assintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesAssintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesCarlos Campani
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoCarlos Campani
 

Ähnlich wie Limites parte1 (20)

Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
 
Apost calc1 derivada_2
Apost calc1 derivada_2Apost calc1 derivada_2
Apost calc1 derivada_2
 
Apostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_iApostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_i
 
Teorema do confronto
Teorema do confrontoTeorema do confronto
Teorema do confronto
 
Prova 1a
Prova 1aProva 1a
Prova 1a
 
Ex algebra (6)
Ex algebra  (6)Ex algebra  (6)
Ex algebra (6)
 
Introdução à limites - Teoremas e exercícios
Introdução à limites - Teoremas e exercíciosIntrodução à limites - Teoremas e exercícios
Introdução à limites - Teoremas e exercícios
 
Apostila de calculo i
Apostila de calculo iApostila de calculo i
Apostila de calculo i
 
apresentacao_Limites_aula.pdf
apresentacao_Limites_aula.pdfapresentacao_Limites_aula.pdf
apresentacao_Limites_aula.pdf
 
Cálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em RCálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em R
 
Matematica2 4
Matematica2 4Matematica2 4
Matematica2 4
 
L hopital
L hopitalL hopital
L hopital
 
Ex algebra (8)
Ex algebra  (8)Ex algebra  (8)
Ex algebra (8)
 
Inequação exponencial
Inequação exponencialInequação exponencial
Inequação exponencial
 
Aula funcoes 1° e 2° graus
Aula   funcoes 1° e 2° grausAula   funcoes 1° e 2° graus
Aula funcoes 1° e 2° graus
 
Gabarito ap3 calculo 1
Gabarito ap3 calculo 1Gabarito ap3 calculo 1
Gabarito ap3 calculo 1
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exercicios
 
Assintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesAssintotas e Descontinuidades
Assintotas e Descontinuidades
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
 

Mehr von Marcos Azevedo

Transtorno Déficit de Atenção e Hiperatividade
Transtorno Déficit de Atenção e HiperatividadeTranstorno Déficit de Atenção e Hiperatividade
Transtorno Déficit de Atenção e HiperatividadeMarcos Azevedo
 
Psicomotricidade e o brincar
Psicomotricidade e o brincar   Psicomotricidade e o brincar
Psicomotricidade e o brincar Marcos Azevedo
 
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016Marcos Azevedo
 
Aula revolução industrial
Aula revolução industrialAula revolução industrial
Aula revolução industrialMarcos Azevedo
 
Resolução Prova de Geometria Analítica
Resolução Prova de Geometria AnalíticaResolução Prova de Geometria Analítica
Resolução Prova de Geometria AnalíticaMarcos Azevedo
 
Exame Geometria Analítica 1° e 2° Semestres
Exame Geometria Analítica 1° e 2° SemestresExame Geometria Analítica 1° e 2° Semestres
Exame Geometria Analítica 1° e 2° SemestresMarcos Azevedo
 
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
 
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_lineares
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_linearesPratica 4 -_sistemas_de_equacoes_lineares
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_linearesMarcos Azevedo
 
Modelo formatação artigo científico
Modelo formatação artigo científicoModelo formatação artigo científico
Modelo formatação artigo científicoMarcos Azevedo
 
Manual monografia graduação e pós fpd
Manual monografia graduação e pós fpdManual monografia graduação e pós fpd
Manual monografia graduação e pós fpdMarcos Azevedo
 
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01Marcos Azevedo
 
Proposta gênios educação infantil
Proposta gênios educação infantil Proposta gênios educação infantil
Proposta gênios educação infantil Marcos Azevedo
 
Newsletter licinia de campos 54 carambola
Newsletter licinia de campos 54   carambolaNewsletter licinia de campos 54   carambola
Newsletter licinia de campos 54 carambolaMarcos Azevedo
 
Newsletter licinia de campos 50 metodos de preservacao
Newsletter licinia de campos 50   metodos de preservacaoNewsletter licinia de campos 50   metodos de preservacao
Newsletter licinia de campos 50 metodos de preservacaoMarcos Azevedo
 

Mehr von Marcos Azevedo (20)

Transtorno Déficit de Atenção e Hiperatividade
Transtorno Déficit de Atenção e HiperatividadeTranstorno Déficit de Atenção e Hiperatividade
Transtorno Déficit de Atenção e Hiperatividade
 
Psicomotricidade e o brincar
Psicomotricidade e o brincar   Psicomotricidade e o brincar
Psicomotricidade e o brincar
 
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016
Filosofia e Sociologia - 2º bimestre 2016
 
Aula revolução industrial
Aula revolução industrialAula revolução industrial
Aula revolução industrial
 
Resolução Prova de Geometria Analítica
Resolução Prova de Geometria AnalíticaResolução Prova de Geometria Analítica
Resolução Prova de Geometria Analítica
 
Exame Geometria Analítica 1° e 2° Semestres
Exame Geometria Analítica 1° e 2° SemestresExame Geometria Analítica 1° e 2° Semestres
Exame Geometria Analítica 1° e 2° Semestres
 
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
 
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_lineares
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_linearesPratica 4 -_sistemas_de_equacoes_lineares
Pratica 4 -_sistemas_de_equacoes_lineares
 
Lista recup
Lista recupLista recup
Lista recup
 
Modelo formatação artigo científico
Modelo formatação artigo científicoModelo formatação artigo científico
Modelo formatação artigo científico
 
1º lista 2013
1º lista 20131º lista 2013
1º lista 2013
 
061 relatorio modelo
061 relatorio modelo061 relatorio modelo
061 relatorio modelo
 
Manual monografia graduação e pós fpd
Manual monografia graduação e pós fpdManual monografia graduação e pós fpd
Manual monografia graduação e pós fpd
 
Os elementos euclides
Os elementos euclidesOs elementos euclides
Os elementos euclides
 
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01
Colgiogniosdofuturo 120229074905-phpapp01
 
Proposta gênios educação infantil
Proposta gênios educação infantil Proposta gênios educação infantil
Proposta gênios educação infantil
 
Abnt 2011 FPD
Abnt 2011 FPDAbnt 2011 FPD
Abnt 2011 FPD
 
Newsletter licinia de campos 54 carambola
Newsletter licinia de campos 54   carambolaNewsletter licinia de campos 54   carambola
Newsletter licinia de campos 54 carambola
 
Classicismo rev
Classicismo revClassicismo rev
Classicismo rev
 
Newsletter licinia de campos 50 metodos de preservacao
Newsletter licinia de campos 50   metodos de preservacaoNewsletter licinia de campos 50   metodos de preservacao
Newsletter licinia de campos 50 metodos de preservacao
 

Kürzlich hochgeladen

Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegrafernando846621
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024gilmaraoliveira0612
 
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxQUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxAntonioVieira539017
 
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosPeixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosAgrela Elvixeo
 
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaFORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaBenigno Andrade Vieira
 
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de Gestores
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de GestoresComo fazer um Feedback Eficaz - Comitê de Gestores
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de GestoresEu Prefiro o Paraíso.
 
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXA CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXHisrelBlog
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiMary Alvarenga
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxMarceloDosSantosSoar3
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdfRitoneltonSouzaSanto
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfItaloAtsoc
 
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxApresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxtaloAugusto8
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)profesfrancleite
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING Mary Alvarenga
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...Colaborar Educacional
 

Kürzlich hochgeladen (20)

Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024
 
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptxQUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
QUIZ - GEOGRAFIA - 8º ANO - FASES DO CAPITALISMO.pptx
 
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES MonelosPeixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
Peixeiras da Coruña. O Muro da Coruña. IES Monelos
 
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaFORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
 
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de Gestores
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de GestoresComo fazer um Feedback Eficaz - Comitê de Gestores
Como fazer um Feedback Eficaz - Comitê de Gestores
 
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdfAbordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
 
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARXA CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
A CONCEPÇÃO FILO/SOCIOLÓGICA DE KARL MARX
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
 
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxApresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
 
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 2. Análise temática (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
 
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
 

Limites parte1

  • 1. LIMITES Tem por finalidade estudar o comportamento de uma função quando a sua variável se aproxima de um nº real, podendo a função estar ou não definida para este número. Vejamos sua definição: L+ε L L-ε a–δ a a+δ    0,   0 / x  X e 0  x  a    f ( x)  L   lim f ( x) =L xa Portanto, o limite de f(x) quando x tende a a é L. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: lim f ( x) lim f ( x) = = L x  a x  a
  • 2. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Vejamos alguns exemplos: ( x 2  9) 1º EXEMPLO: Considere a função f (x) = , com x ≠ 3. ( x  3) ( x  3).( x  3) ( x  3).( x  3) f (x) = = , portanto, f ( x)  x  3 para x ≠ 3. ( x  3) ( x  3) lim f ( x) Cálculo do =? x3 Geometricamente: X f(x) = x + 3 -1 2 0 3 1 4 2 5 3 6 Limite lateral a esquerda: Para x → 3- : Para x → 3- => f(x) = 6 X 2,8 2,9 2,99 2,999 f(x) = x + 3 5,8 5,9 5,99 5,999 lim f ( x) Dizemos que =6 x  3 Limite lateral a direita: Para x → 3+ : Para x → 3+ => f(x) = 6 X 3,2 3,1 3,01 3,001 f(x) = x + 3 6,2 6,1 6,01 6,001 lim f ( x) Dizemos que =6 x  3 Conclusão: lim f ( x) Existe o limite da função para x→3, ou seja, =6 x3
  • 3. 2º EXEMPLO  x 2  1, para x ≤ 2 Considere a função: f ( x)    x  1, para x > 2 lim f ( x) Cálculo do =? x2 Geometricamente: (x≤2) ( x > 2) x f(x) = x2 + 1 x f(x) = x - 1 2 5 2 1 1 2 3 2 0 1 4 3 -1 2 5 4 -2 5 6 5 Limite lateral a esquerda: Para x → 2- : Para x → 2- => f(x) = 5 X 1,8 1,9 1,99 1,999 f(x) = x2 + 1 4,24 4,61 4,960 4,996 lim f ( x) Dizemos que =5 x  2 Limite lateral a direita: Para x → 2+ Para x → 2+ => f(x) = 1 X 2,2 2,1 2,01 2,001 f(x) = x - 1 1,2 1,1 1,01 1,001 lim f ( x) Dizemos que =1 x  2 Conclusão: Não existe o limite da função para x→2, ou seja, lim f ( x) =  x2
  • 4. Exercícios 1) Calcule o limite por noção intuitiva:  x  2, se x ≤ 2 lim f ( x) a) f ( x)   , =? 4, se x > 2 x  2  x, se x ≤ 3 lim f ( x) b) f ( x)   , =?  x  2, se x > 3 x3 2  x, se x < 3 lim( f )  ? c) f ( x)   , 4, se x ≥ 3 x  3 x3  1 lim f ( x)  ? d) f ( x)  , x 1 x 1  x 2  1, se > -2 lim f ( x) e) f ( x)   , =?  x  3, se x ≤ -2 x  2  x  7, se x ≥ 2 lim f ( x) f) f ( x)   , =?  2 x  3, se -1 < x ≤ 2 x2 2
  • 5. TEOREMAS DOS LIMITES (PROPRIEDADES) Vamos mostrar agora alguns teoremas que admitiremos verdadeiros sem efetuarmos suas demonstrações. 1. Limite da função constante: o limite de uma constante é a própria constante, isto é, lim c  c x a EXEMPLOS: lim 2 a) f ( x)  2 => =2 x 1 b) f ( x)  5 => lim 5  5 x0 c) f ( x)  3 => lim  3  3 x 2 2. Limite da função identidade: se f ( x)  x , então: lim x  a x a EXEMPLOS: a) lim x  2 x 2 b) lim x  3 x 3 3. Limite da soma de funções: é igual à soma dos limites dessas funções. lim  f1( x)  f 2 ( x)   f n ( x)  lim f1( x) lim f 2 ( x)  lim f n ( x) x a x a x a EXEMPLO: lim( x  3)  lim x  lim 3  2  3  5 x 2 x 2 x 2 4. Limite do produto de funções: é igual ao produto dos limites dessas funções. lim  f1( x). f 2 ( x)   f n ( x)  lim f1( x). lim f 2 ( x)   lim f n ( x) x a x a x a EXEMPLO: lim 3.( x  1)  lim 3. lim( x  1)  3.3  9 x 2 x 2 x 2 5. Limite da constante multiplicada pela função: é igual ao produto da constante pelo limite da função. lim c. f ( x)  c. lim( x) x a x a
  • 6. EXEMPLO: lim 3x  3.lim x  3.2  6 x 2 x 2 6. Limite de uma potência enésima de uma função: é igual à potência enésima do limite dessa função. n lim  f ( x)   lim f ( x)  n x a  x a    EXEMPLO:   2 8 3 lim x3  lim x 3 x 2 x 2 7. Limite de uma raiz enésima de uma função: é igual à raiz enésima do limite dessa função. lim n f ( x)  n lim f ( x) x a x a EXEMPLOS: a) lim x lim x  100  10 x 100 x 100 b) lim 5 2 x 4  5 lim 2 x 4  5 2.24  5 32  2 x 2 x 2 8. Limite do módulo ou valor absoluto de uma função: é igual ao módulo ou valor absoluto do limite. lim f ( x)  lim f ( x) x a x a EXEMPLO: lim x  lim x  3  3 x 3 x 3 9. Limite do quociente de duas funções: é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do denominador for igual a zero). f ( x) x  a f ( x) lim lim  , x a g ( x) lim g ( x) xa com lim g ( x)  0 e g ( x)  0 x a EXEMPLO: x x 8 x 8 lim lim   4 x 8 2 lim 2 2 x 8
  • 7. CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO POLINOMIAL n 1 Dado o polinômio P( x)  an x  an 1x n  ...  a1x  a0 , então lim P( x)  P(a) x a EXEMPLOS: 1) Calcule os limites: lim( x5  2 x3  x) a) = 15 + 2 . 13 – 1 = 1 + 2 – 1 = 2 x 1 b) lim( x  3)  2  3  5 x 2 lim( x 2  x  2) 2 c) = ( 32 – 3 + 2 )2 = ( 9 – 3 + 2 )2 = ( 6 + 2 )2 = ( 8 )2 = 64 x3 2) Calcule os limites, se existir, e faça um esboço do gráfico.  x 2  2, se x < 2 lim f ( x)  a) , sendo f(x) =  x se x ≥ 2 x2  , 2 Gráfico: (x<2) ( x ≥ 2) x x f(x) = x2 - 2 x f(x) = 2 2 2 2 1 3 1 -1 3 = 1,5 2 0 -2 4 2 5 -1 -1 5 = 2,5 2
  • 8. lim f ( x) lim f ( x 2  2)  = = 22 – 2 = 4 – 2 = 2 x2 x  2 lim f ( x) ≠ lim f ( x) lim f ( x) =  x2  x2  x2  x lim f ( x) lim f   2 = 2 = 1 x  2 2 x  2 lim f ( x) 3, se x ≠ 4 b) , sendo f(x) =  x4 0, se x = 4 Gráfico: lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) =3 e = 3  =3 x4  x4  x4 (Utilizamos a função para x ≠ 4, ou seja, nas proximidades de x = 4) Exercícios 1) Calcule:  x2  6  lim( x 2  5 x  4)  lim( x3  1)  lim( x 4  5)  lim  2  x 1    a) b) c) d)   x2 x  2 x0 x4 2) Faça o gráfico das funções e calcule os limites, se existir:  x2  , se x  0  x 2 , se x  2 a) lim f ( x), para f ( x)   b) lim f ( x), para f ( x)   x 0 1  x , se x  0 x 2  x  1, se x  2 2  3x  1, se x  1 c) lim f ( x), para f ( x)   x 1 0 , se x  1 Respostas: 1) a) -2 b) -7 c) 5 d) 22 2) a)  b)  c) 4 15
  • 9. CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limite para determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aquele valor de x. EXEMPLOS: x2  9 1) Calcular lim x 3 x  3 Fatorando e simplificando, temos: x2  9 ( x  3).( x  3) lim  lim  lim( x  3)  6 x 3 x  3 x 3 ( x  3) x 3 x 1  3 2) Calcular lim x 8  x  8 Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. x 1  3 ( x  1  3).( x  1  3) lim  lim  x 8  x  8 x 8  x  8.( x  1  3) ( x  1) 2  32 x 1 9  lim  lim  x 8  x  8  .( x  1  3) x 8  x  8  .( x  1  3)  lim  x  8  lim 1  x 8  x  8  .( x  1  3) x 8 ( x  1  3) 1 1 1    ( 8  1  3) ( 9  3) 6 x2  5x  6 3) Calcular lim x 2 x2 Resolvendo a equação x 2  5x  6  0   b 2  4ac   25  24  1  1  5 1 6  b    (5)  1  5  1  x1  2  2  3  x    2a 2  (1) 2 x  5  1  4  2  2  2 2 Obtemos duas raízes distintas: x1  3 e x2  2 . Fatoramos o trinômio do 2º grau: x 2  5x  6  x  3  x  2 x2  5x  6 ( x  2).( x  3) Então, lim  lim  1 x 2 x2 x 2 x2
  • 10. x3  8 4) Calcular lim x 2 x  2 Fazendo a divisão de x3  8 por x  2 , para simplificar, temos:  x  0x  0x  8 x  2 3 2  x3  2 x 2 x2  2x  4  2 x2  0 x  8  2 x2  4 x  4x  8  4x  8 0 x3  8 Então, lim  lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12 x 2 x  2 x 2 Observação: Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos” a3  b3  (a 2  ab  b2 ).(a  b) Assim, teríamos:     x3  8  x3  23  x 2  2 x  22  x  2  x 2  2 x  4  x  2 x 3  8 x 2  2 x  4 x  2 Depois, simplificaríamos:   x 2  2x  4  x 2 x2 E, então, calcularíamos o limite desejado: x3  8 lim  lim( x 2  2 x  4)  22  2.(2)  4  4  4  4  12 x 2 x  2 x 2 x2  5x  6 5) Calcular lim x 3 x 2  x  12 Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador):  x 2  5 x  6 x 2  x  12  x 2  x  12 1  6 x  18 Resto!
  • 11. Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do denominador. Assim: Resolvendo a equação (numerador): Resolvendo a equação (denominador): x  5x  6  0 2 x 2  x  12  0 5  25  24 1  1  48 x x 2 2 5  1  x '  3 1  7 x '  4 x  x  2  x ''  2 2  x ''  3 Fatorando: Fatorando: x  5x  6  1.( x  3).( x  2) 2 x2  x  12  1.( x  4).( x  3) Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos: x2  5x  6 ( x  3) .( x  2) lim 2  lim  x 3 x  x  12 x 3 ( x  4). ( x  3) x  2 3  2 1 1 lim    x 3 x  4 3  4 7 7 2  x 2  4x  4  6) Calcular lim   x 2  x2  x 2  4x  4 Fazendo u  , temos que: x2 lim u  lim x 2  4x  4  lim x  22  lim x  2  0 , logo: lim u  0 , x 2 x 2 x2 x 2  x  2  x 2 x 2 então limu   0 2  0 2 x 2 Exercícios 1) Calcule: x4 x 2 x3  x x 2  16 a) lim b) lim c) lim d) lim x 4 x 2  16 x 2 x2 x 0 x x 4 x4 Respostas: 1 1 1) a) b) c) - 1 d) 8 8 2 2