Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Limites parte1
1. LIMITES
Tem por finalidade estudar o comportamento de uma função quando a sua variável se aproxima
de um nº real, podendo a função estar ou não definida para este número.
Vejamos sua definição:
L+ε
L
L-ε
a–δ a a+δ
0, 0 / x X e 0 x a f ( x) L
lim f ( x)
=L
xa
Portanto, o limite de f(x) quando x tende a a é L.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
lim f ( x) lim f ( x)
= = L
x a x a
2. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Vejamos alguns exemplos:
( x 2 9)
1º EXEMPLO: Considere a função f (x) = , com x ≠ 3.
( x 3)
( x 3).( x 3) ( x 3).( x 3)
f (x) = = , portanto, f ( x) x 3 para x ≠ 3.
( x 3) ( x 3)
lim f ( x)
Cálculo do =?
x3
Geometricamente:
X f(x) = x + 3
-1 2
0 3
1 4
2 5
3 6
Limite lateral a esquerda:
Para x → 3- :
Para x → 3- => f(x) = 6
X 2,8 2,9 2,99 2,999
f(x) = x + 3 5,8 5,9 5,99 5,999 lim f ( x)
Dizemos que =6
x 3
Limite lateral a direita:
Para x → 3+ :
Para x → 3+ => f(x) = 6
X 3,2 3,1 3,01 3,001
f(x) = x + 3 6,2 6,1 6,01 6,001 lim f ( x)
Dizemos que =6
x 3
Conclusão:
lim f ( x)
Existe o limite da função para x→3, ou seja, =6
x3
3. 2º EXEMPLO
x 2 1, para x ≤ 2
Considere a função: f ( x)
x 1, para x > 2
lim f ( x)
Cálculo do =?
x2
Geometricamente:
(x≤2) ( x > 2)
x f(x) = x2 + 1 x f(x) = x - 1
2 5 2 1
1 2 3 2
0 1 4 3
-1 2 5 4
-2 5 6 5
Limite lateral a esquerda:
Para x → 2- :
Para x → 2- => f(x) = 5
X 1,8 1,9 1,99 1,999
f(x) = x2 + 1 4,24 4,61 4,960 4,996
lim f ( x)
Dizemos que =5
x 2
Limite lateral a direita:
Para x → 2+
Para x → 2+ => f(x) = 1
X 2,2 2,1 2,01 2,001
f(x) = x - 1 1,2 1,1 1,01 1,001
lim f ( x)
Dizemos que =1
x 2
Conclusão:
Não existe o limite da função para x→2, ou seja,
lim f ( x)
=
x2
4. Exercícios
1) Calcule o limite por noção intuitiva:
x 2, se x ≤ 2 lim f ( x)
a) f ( x) , =?
4, se x > 2 x 2
x, se x ≤ 3 lim f ( x)
b) f ( x) , =?
x 2, se x > 3 x3
2 x, se x < 3 lim( f ) ?
c) f ( x) ,
4, se x ≥ 3 x 3
x3 1 lim f ( x) ?
d) f ( x) ,
x 1 x 1
x 2 1, se > -2 lim f ( x)
e) f ( x) , =?
x 3, se x ≤ -2 x 2
x 7, se x ≥ 2 lim f ( x)
f) f ( x) , =?
2 x 3, se -1 < x ≤ 2 x2
2
5. TEOREMAS DOS LIMITES (PROPRIEDADES)
Vamos mostrar agora alguns teoremas que admitiremos verdadeiros sem efetuarmos suas demonstrações.
1. Limite da função constante: o limite de uma constante é a própria constante, isto é,
lim c c
x a
EXEMPLOS:
lim 2
a) f ( x) 2 => =2
x 1
b) f ( x) 5 => lim 5 5
x0
c) f ( x) 3 => lim 3 3
x 2
2. Limite da função identidade: se f ( x) x , então:
lim x a
x a
EXEMPLOS:
a) lim x 2
x 2
b) lim x 3
x 3
3. Limite da soma de funções: é igual à soma dos limites dessas funções.
lim f1( x) f 2 ( x) f n ( x) lim f1( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)
x a x a x a
EXEMPLO:
lim( x 3) lim x lim 3 2 3 5
x 2 x 2 x 2
4. Limite do produto de funções: é igual ao produto dos limites dessas funções.
lim f1( x). f 2 ( x) f n ( x) lim f1( x). lim f 2 ( x) lim f n ( x)
x a x a x a
EXEMPLO:
lim 3.( x 1) lim 3. lim( x 1) 3.3 9
x 2 x 2 x 2
5. Limite da constante multiplicada pela função: é igual ao produto da constante pelo limite da
função.
lim c. f ( x) c. lim( x)
x a x a
6. EXEMPLO:
lim 3x 3.lim x 3.2 6
x 2 x 2
6. Limite de uma potência enésima de uma função: é igual à potência enésima do limite dessa
função.
n
lim f ( x) lim f ( x)
n
x a x a
EXEMPLO:
2 8
3
lim x3 lim x 3
x 2 x 2
7. Limite de uma raiz enésima de uma função: é igual à raiz enésima do limite dessa função.
lim n f ( x) n lim f ( x)
x a x a
EXEMPLOS:
a) lim x lim x 100 10
x 100 x 100
b) lim
5
2 x 4 5 lim 2 x 4 5 2.24 5 32 2
x 2 x 2
8. Limite do módulo ou valor absoluto de uma função: é igual ao módulo ou valor absoluto
do limite.
lim f ( x) lim f ( x)
x a x a
EXEMPLO:
lim x lim x 3 3
x 3 x 3
9. Limite do quociente de duas funções: é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando
o limite do denominador for igual a zero).
f ( x) x a f ( x)
lim
lim ,
x a g ( x) lim g ( x)
xa
com lim g ( x) 0 e g ( x) 0
x a
EXEMPLO:
x x 8 x 8
lim
lim 4
x 8 2 lim 2 2
x 8
7. CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO POLINOMIAL
n 1
Dado o polinômio P( x) an x an 1x
n
... a1x a0 , então lim P( x) P(a)
x a
EXEMPLOS:
1) Calcule os limites:
lim( x5 2 x3 x)
a) = 15 + 2 . 13 – 1 = 1 + 2 – 1 = 2
x 1
b) lim( x 3) 2 3 5
x 2
lim( x 2 x 2) 2
c) = ( 32 – 3 + 2 )2 = ( 9 – 3 + 2 )2 = ( 6 + 2 )2 = ( 8 )2 = 64
x3
2) Calcule os limites, se existir, e faça um esboço do gráfico.
x 2 2, se x < 2
lim f ( x)
a) , sendo f(x) = x se x ≥ 2
x2 ,
2
Gráfico:
(x<2) ( x ≥ 2)
x
x f(x) = x2 - 2 x f(x) =
2
2 2 2 1
3
1 -1 3 = 1,5
2
0 -2 4 2
5
-1 -1 5 = 2,5
2
8. lim f ( x) lim f ( x 2 2)
= = 22 – 2 = 4 – 2 = 2
x2 x 2
lim f ( x)
≠
lim f ( x) lim f ( x)
=
x2
x2
x2
x
lim f ( x) lim f 2
= 2 = 1
x 2 2
x 2
lim f ( x) 3, se x ≠ 4
b) , sendo f(x) =
x4 0, se x = 4
Gráfico:
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
=3 e = 3 =3
x4
x4
x4
(Utilizamos a função para x ≠ 4, ou seja, nas proximidades de x = 4)
Exercícios
1) Calcule:
x2 6
lim( x 2 5 x 4) lim( x3 1) lim( x 4 5) lim 2
x 1
a) b) c) d)
x2 x 2 x0
x4
2) Faça o gráfico das funções e calcule os limites, se existir:
x2
, se x 0 x 2 , se x 2
a) lim f ( x), para f ( x) b) lim f ( x), para f ( x)
x 0
1 x , se x 0 x 2
x 1, se x 2
2
3x 1, se x 1
c) lim f ( x), para f ( x)
x 1
0 , se x 1
Respostas:
1) a) -2 b) -7 c) 5 d)
22
2) a) b) c) 4
15
9. CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR
TENDEM A ZERO
Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limite
para determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição,
porque ela não é definida para aquele valor de x.
EXEMPLOS:
x2 9
1) Calcular lim
x 3 x 3
Fatorando e simplificando, temos:
x2 9 ( x 3).( x 3)
lim lim lim( x 3) 6
x 3 x 3 x 3 ( x 3) x 3
x 1 3
2) Calcular lim
x 8 x 8
Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.
x 1 3 ( x 1 3).( x 1 3)
lim lim
x 8 x 8 x 8 x 8.( x 1 3)
( x 1) 2 32 x 1 9
lim lim
x 8 x 8 .( x 1 3) x 8 x 8 .( x 1 3)
lim
x 8 lim
1
x 8 x 8 .( x 1 3) x 8 ( x 1 3)
1 1 1
( 8 1 3) ( 9 3) 6
x2 5x 6
3) Calcular lim
x 2 x2
Resolvendo a equação x 2 5x 6 0
b 2 4ac
25 24 1
1
5 1 6
b (5) 1 5 1 x1 2 2 3
x
2a 2 (1) 2 x 5 1 4 2
2
2 2
Obtemos duas raízes distintas: x1 3 e x2 2 .
Fatoramos o trinômio do 2º grau: x 2 5x 6 x 3 x 2
x2 5x 6 ( x 2).( x 3)
Então, lim lim 1
x 2 x2 x 2 x2
10. x3 8
4) Calcular lim
x 2 x 2
Fazendo a divisão de x3 8 por x 2 , para simplificar, temos:
x 0x 0x 8 x 2
3 2
x3 2 x 2 x2 2x 4
2 x2 0 x 8
2 x2 4 x
4x 8
4x 8
0
x3 8
Então, lim lim( x 2 2 x 4) 22 2.(2) 4 4 4 4 12
x 2 x 2 x 2
Observação:
Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos”
a3 b3 (a 2 ab b2 ).(a b)
Assim, teríamos:
x3 8 x3 23 x 2 2 x 22 x 2 x 2 2 x 4 x 2
x 3 8 x 2 2 x 4 x 2
Depois, simplificaríamos: x 2 2x 4
x 2 x2
E, então, calcularíamos o limite desejado:
x3 8
lim lim( x 2 2 x 4) 22 2.(2) 4 4 4 4 12
x 2 x 2 x 2
x2 5x 6
5) Calcular lim
x 3 x 2 x 12
Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador):
x 2 5 x 6 x 2 x 12
x 2 x 12 1
6 x 18 Resto!
11. Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do
denominador. Assim:
Resolvendo a equação (numerador): Resolvendo a equação (denominador):
x 5x 6 0
2
x 2 x 12 0
5 25 24 1 1 48
x x
2 2
5 1 x ' 3 1 7 x ' 4
x x
2 x '' 2 2 x '' 3
Fatorando: Fatorando:
x 5x 6 1.( x 3).( x 2)
2
x2 x 12 1.( x 4).( x 3)
Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos:
x2 5x 6 ( x 3) .( x 2)
lim 2 lim
x 3 x x 12 x 3 ( x 4). ( x 3)
x 2 3 2 1 1
lim
x 3 x 4 3 4 7 7
2
x 2 4x 4
6) Calcular lim
x 2
x2
x 2 4x 4
Fazendo u , temos que:
x2
lim u lim
x 2 4x 4
lim
x 22 lim x 2 0 , logo: lim u 0 ,
x 2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2
então limu 0 2 0
2
x 2
Exercícios
1) Calcule:
x4 x 2 x3 x x 2 16
a) lim b) lim c) lim d) lim
x 4 x 2 16 x 2 x2 x 0 x x 4 x4
Respostas:
1 1
1) a) b) c) - 1 d) 8
8 2 2