WENDEPUNKTE www.matheportal.wordpress.com
MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
maximale Steigung, wenn
f‘(x) in 𝒙 𝟎ein Maximum
hat,
denn f‘(...
MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
f‘(x) hat in 𝑥0ein Maximum,
wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0
f‘(x) hat in 𝑥0ein Minimum,
wenn
...
MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
maximale Steigung, wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0
Die Funktion...
ZUSAMMENFASSUNG DER KRITERIEN FÜR MINIMALE UND
MAXIMALE STEIGUNG (AUCH WENDEPUNKTE GENANNT)
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0 f‘‘‘(...
RECHENBEISPIEL
Berechnen Sie die Wendepunkte von f(x) = 2𝒙 𝟒+ 8x³ − 96x² + 36x + 72!
1. Schritt: Aufstellen der 1., 2. und...
2. SCHRITT
2. Schritt: Berechnung der Nullstellen von f‘‘(x):
f’’(x) = 24x² + 48x – 192 = 0
 24x² + 48x – 192 = 0
 x = −...
3. SCHRITT
3. Schritt: Einsetzen der Nullstellen in die 3. Ableitung:
f’’(x) = 0  x = −4 v x = 2
f’’’(x) = 48x + 48
f‘‘‘(...
ERGEBNIS
Die Funktion hat 2 Wendepunkte:
W1(−4/−1608) mit maximaler Steigung
W2 (2/−144) mit minimaler Steigung
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  1. 1. WENDEPUNKTE www.matheportal.wordpress.com
  2. 2. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG Die Funktion f hat in 𝑥0 eine maximale Steigung, wenn f‘(x) in 𝒙 𝟎ein Maximum hat, denn f‘(x) gibt die Steigung der Funktion f(x) an. hat. Die Funktion f hat in 𝑥0 eine minimale Steigung, wenn f‘(x) in 𝒙 𝟎ein Minimum hat, denn f‘(x) gibt die Steigung der Funktion f(x) an.
  3. 3. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG f‘(x) hat in 𝑥0ein Maximum, wenn f‘‘(𝑥0) = 0 f‘‘‘(𝑥0) < 0 f‘(x) hat in 𝑥0ein Minimum, wenn f‘‘(𝑥0) = 0 f‘‘‘(𝑥0) > 0
  4. 4. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG Die Funktion f hat in 𝑥0 eine maximale Steigung, wenn f‘‘(𝑥0) = 0 f‘‘‘(𝑥0) < 0 Die Funktion f hat in 𝑥0 eine minimale Steigung, wenn f‘‘(𝑥0) = 0 f‘‘‘(𝑥0) > 0
  5. 5. ZUSAMMENFASSUNG DER KRITERIEN FÜR MINIMALE UND MAXIMALE STEIGUNG (AUCH WENDEPUNKTE GENANNT) f‘‘(𝑥0) = 0 f‘‘‘(𝑥0) < 0 f‘‘‘(𝑥0) > 0 Wendepunkt mit Wendepunkt mit maximaler Steigung minimaler Steigung
  6. 6. RECHENBEISPIEL Berechnen Sie die Wendepunkte von f(x) = 2𝒙 𝟒+ 8x³ − 96x² + 36x + 72! 1. Schritt: Aufstellen der 1., 2. und 3. Ableitung: f’(x) = 8x³ + 24x² −192x + 36 f’’(x) = 24x² + 48x – 192 f’’’(x) = 48x + 48
  7. 7. 2. SCHRITT 2. Schritt: Berechnung der Nullstellen von f‘‘(x): f’’(x) = 24x² + 48x – 192 = 0  24x² + 48x – 192 = 0  x = −4 v x = 2 (p-q-Formel)
  8. 8. 3. SCHRITT 3. Schritt: Einsetzen der Nullstellen in die 3. Ableitung: f’’(x) = 0  x = −4 v x = 2 f’’’(x) = 48x + 48 f‘‘‘(−4) = −144 < 0 => WP mit maximaler Steigung f‘‘‘(2) = 48 > 0 => WP mit minimaler Steigung 4. Schritt: Berechnung der zugehörigen Funktionswerte: f(−4) = −1608 f(2) = −144
  9. 9. ERGEBNIS Die Funktion hat 2 Wendepunkte: W1(−4/−1608) mit maximaler Steigung W2 (2/−144) mit minimaler Steigung

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