EINFÜHRUNG DER E-FUNKTION www.matheportal.wordpress.com
PROBLEMSTELLUNG
Gesucht ist eine exponentielle Funktion, deren
Ableitung sich nicht verändert!
Also: Gesucht ist die Ablei...
ERSTELLUNG DER ABLEITUNG VON 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
f´(x) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑎 𝑥+ℎ−𝑎 𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑎 𝑥∙𝑎ℎ−𝑎 𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→...
BERECHNUNG VON 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
= 1

𝑎ℎ −1
ℎ
→ 1 für h → 0
 ah−1 → h
 ah → h+1
Nun setzt man n =
1
ℎ
,...
UNTERSUCHUNG VON
1
𝑛
+ 1
𝑛
1
𝑛
+ 1
𝑛
für n →∞
Berechnung der Werte:
Man erkennt, dass sich der Grenz-
wert der Zahl 2,71…....
DIE EULER‘SCHE ZAHL
Wenn man weiter rechnet, erhält man die Zahl 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
+ 1
𝑛
= e mit:
:
Quelle: Wikipedia
ZUSAMMENFASSUNG
f(x) = 𝑒 𝑥
mit f‘(x) = 𝑒 𝑥
e ist eine unendliche Zahl mit e ≈2,7812
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Einführung der e funktion 2

  1. 1. EINFÜHRUNG DER E-FUNKTION www.matheportal.wordpress.com
  2. 2. PROBLEMSTELLUNG Gesucht ist eine exponentielle Funktion, deren Ableitung sich nicht verändert! Also: Gesucht ist die Ableitung von f(x) = ax, sodass gilt: f´(x) = ax a >0, a≠1!
  3. 3. ERSTELLUNG DER ABLEITUNG VON 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 f´(x) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥+ℎ−𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥∙𝑎ℎ−𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥∙ (𝑎ℎ−1) ℎ = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎ℎ−1) ℎ da 𝑎 𝑥 kein h enthält, kann man es vorziehen Wenn man will, dass f‘(x) = 𝑎 𝑥 ist, so muss 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎ℎ−1) ℎ = 1 sein!
  4. 4. BERECHNUNG VON 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎ℎ−1) ℎ 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎ℎ−1) ℎ = 1  𝑎ℎ −1 ℎ → 1 für h → 0  ah−1 → h  ah → h+1 Nun setzt man n = 1 ℎ , d.h. h = 1 𝑛 !  𝑎 1 𝑛 → 1 𝑛 +1 für n →∞  a → 1 𝑛 + 1 𝑛 für n →∞
  5. 5. UNTERSUCHUNG VON 1 𝑛 + 1 𝑛 1 𝑛 + 1 𝑛 für n →∞ Berechnung der Werte: Man erkennt, dass sich der Grenz- wert der Zahl 2,71…. nähert! n (1+ 1 𝑛 )n 1 2 2 2,25 3 2,3703 4 2,4414 5 2,4883 6 2,5216 7 2,5216 8 2,5657 9 2,5811 10 2,5937 15 2,6328 20 2,6532 100 2,7048 150 2,7092 200 2,7115 500 2,7156 1000 2,7169 → e
  6. 6. DIE EULER‘SCHE ZAHL Wenn man weiter rechnet, erhält man die Zahl 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 + 1 𝑛 = e mit: : Quelle: Wikipedia
  7. 7. ZUSAMMENFASSUNG f(x) = 𝑒 𝑥 mit f‘(x) = 𝑒 𝑥 e ist eine unendliche Zahl mit e ≈2,7812

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