Rms

UNIFEI–- IESTI Kazuo Nakashima
VALOR MÉDIO E EFICAZ
Kazuo Nakashima
Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação
RESUMO
Medição de tensão (Volt) e corrente (Am-
pere) é uma atividade de rotina para qual-
quer eletricista. Contudo a sua indispensável
ferramenta de trabalho, o MULTÍMETRO,
digital ou analógico, pode realizar medições
incorretas em sistemas onde a forma de on-
da não é senoidal. Estas medições incorre-
tas podem provocar especificações inade-
quadas de cabos, fusíveis, chaves, medido-
res, dispositivos eletrônicos, dissipadores de
calor, etc.
Qualquer multímetro mede corretamente o
valor médio da tensão ou corrente de ondas
não senoidais, porém o valor eficaz, relacio-
nado com a dissipação de potência, poucos
multímetros, geralmente digitais, medem
corretamente.
OBJETIVOS
Ao final desta unidade você estará apto a:
1. Reconhecer a diferença entre valor médio,
eficaz ou rms, eficaz real (true rms).
2. Especificar o multímetro adequado para
medição de tensão e corrente não senoi-
dal.
3. Calcular o valor médio e eficaz de tensão
e corrente, a potência dissipada, o fator
de crista e o fator de forma de ondas peri-
ódicas não senoidais.
1. VALOR MÉDIO (Av)
O Valor Médio (Average - Av) de uma on-
da periódica de TENSÃO, CORRENTE E
POTÊNCIA (e outras grandezas físicas) está
relacionado com a componente contínua
desta onda e o interesse por este valor está
relacionado com o resultado após a “filtra-
gem” do sinal.
∫=
T
av dttf
T
F 0
)(
1
T
S FAV
S FAV
t
t
Figura 1- Valor médio
Graficamente, o valor médio pode ser re-
presentado como “área sob a curva, no in-
tervalo T, dividido pelo período T”. O período
T é o intervalo de tempo de repetição da on-
da periódica. T=1/f onde f é a freqüência.
O valor médio representa uma grandeza
contínua FAv que tem a mesma área sob a
curva que a onda periódica, no mesmo inter-
valo T.

Valor Médio e Eficaz
UNIFEI - IESTI Kazuo Nakashima
2
2. VALOR EFICAZ (RMS)
Valor eficaz ou RMS (Root Mean Square)
de uma onda periódica de CORRENTE e
TENSÃO está relacionado com o calor dissi-
pado em uma resistência.
A clássica fórmula de potência permite ob-
ter o valor médio da potência dissipada na
resistência.
2
2
)( . RMS
RMS
Av IR
R
V
P ==
O valor eficaz de TENSÃO ou CORREN-
TE alternada periódica representa o valor de
uma tensão ou corrente contínua que produz
a mesma dissipação de potência que a ten-
são ou corrente periódica. Por exemplo, a
potência instantânea dissipada em uma re-
sistência é
)(.
)(
)( 2
2
tiR
R
tv
tp ==
e a potência média dissipada é
∫
∫ ∫
=
==
T
T T
dtti
T
R
dttiR
T
dttp
T
AvP
0
2
0 0
2
).(
1
.
).(.
1
).(
1
)(
Igualando as duas equações de potência
média obtemos a equação abaixo, origem do
termo RMS (Raiz Quadrada da Média do
Quadrado)
tdti
T
I
T
RMS ∫= 0
2
)( ).(
1
tdtv
T
V
T
RMS ∫= 0
2
)( ).(
1
A Figura 2 mostra diversas formas de on-
da de corrente de 1,0A(rms). Observe os
diferentes valores de pico.
-1
2
2 2
1 1
2
d=0.25d=0.5
Figura 2- Valor eficaz ou rms
3. SOMA DE CORRENTES
I 1
I 2
I 3
Is
Figura 3- Soma de correntes
Para valor médio, o resultado da soma é
simplesmente uma soma aritmética
...)(3)(2)(1)( +++= AvAvAvAvS IIII
Para o valor eficaz o resultado não é tão
simples assim; a equação abaixo além de
mais complicada é valida somente se as cor-
rentes forem funções ortogonais.

3
...2
)(3
2
)(2
2
)(1)( +++= rmsrmsrmsrmsS IIII
duas funções são ortogonais se
0.)().(
1
0 21 =∫ dttftf
T
T
Um exemplo muito interessante é a cor-
rente no neutro de um sistema trifásico equi-
librado: a corrente no neutro é zero apesar
de existir corrente (não ortogonais) nas três
fases.
Esta propriedade será utilizada para cal-
cular o valor médio e eficaz de ondas perió-
dicas complexas. Neste processo de cálculo
dividiremos esta onda complexa em vários
intervalos de tempo e calcularemos o valor
médio e eficaz de cada intervalo.
4. FATOR DE FORMA (Kf)
Av
RMS
f
I
I
K =
Este fator está relacionado com o fator de
utilização ou de aproveitamento de um com-
ponente ou equipamento eletro-eletrônico.
Se este fator for mínimo (1 em corrente con-
tínua constante) significa que a potência útil
(trabalho realizado) do equipamento será
realizado com a menor corrente possível.
Sua aplicação está mais relacionada com
conversores ac/dc e com medidores average
sensing.
5. FATOR DE CRISTA (KP)
Av
Pico
p
I
I
K =
Este fator também pode nos informar so-
bre o fator de utilização. Uma corrente com
fator de crista muito alto significa que o com-
ponente deve ser especificado com potência
muito alta pelo trabalho realizado. Este fator
é muito importante para especificar medido-
res TRUE RMS.
T
D=0,8
KF=1.118
KP=1.118
D=0,2
KF=2,236
KP=2,236
D=0,2
KF=2,582
KP=3,873
Figura 4- Fator de forma e de crista
6. ONDA RETANGULAR
Calcular o valor médio e eficaz de uma
onda retangular é relativamente fácil pois
depende apenas do valor de pico Vp e da
relação entre a largura do pulso tp e o perío-
do T. A relação tp/T é denominado ciclo de
trabalho ou relação marca/espaço (duty cy-
cle) d, ou δ.
Ondas retangulares de correntes são co-
muns em conversores tiristorizados ac/dc e
dc/dc. Tensões retangulares são encontra-
dos em conversores dc/dc (chopper) e dc/ac
(inversores).
T
t
d
p
=
PAv IdI ⋅=)(
PRMS IdI ⋅=)(

4
S
FP
FAv
S
S1
S2
tp
T
FAv
S1 = S2
Figura 5- Onda retangular
d d
0,01 0,1000
0,05 0,2236
0,1 0,3162
0,2 0,4472
0,3 0,5477
0,4 0,6325
0,5 0,7071
0,6 0,7746
0,7 0,8367
0,8 0,8944
0,9 0,9487
0,95 0,9747
1,0 1,0000
7. ONDA SENOIDAL
Ondas parcialmente senoidais são encon-
trados em conversores ac/dc tiristorizados,
nos reguladores ac/ac tiristorizados e em
circuitos ressonantes.
O cálculo do valor médio e eficaz de uma
onda parcialmente senoidal é mais compli-
cado pois envolve cálculo de seno e coseno
e requer o cuidado de converter os ângulos
geralmente em GRAUS para RADIANOS.
Figura 6- Onda senoidal



 −
=
TI
I
P
Av βα coscos
( )
TI
I
P
RMS )2sen()2sen()(2
2
1 βααβ −+−
=
α, β e Τ em radianos [rad]
O período T é o intervalo de repetição da
onda parcialmente senoidal e pode ser mai-
or, igual ou menor que 2π. T=π ou 2π são
observados em sistemas monofásicos. T=π/3
ou π/6 são observados em sistemas trifási-
cos. T>π são observados em circuitos resso-
nantes (pulsos senoidais).
Os ângulos α e β estão relacionados com
o início (cruzamento de zero) da senoidal
plena correspondente.
Nos conversores tiristorizados monofási-
cos o ângulo α coincide com o ângulo de
disparo, também denominado α. Nos con-
versores trifásicos, por outro lado, o valor
destes dois ângulos são diferentes, motivo
de muita atenção.
IP
π
2π
β
α

5



 −
=
TI
I
P
Av βα coscos ( )
TI
I
P
RMS )2sen()2sen()(2
2
1 βααβ −+−
=
α β = π
GRAU RADIANO RADIANO COS SEN Iav/Ip Irms/Ip
0o
0 0.000 1.000 0.000 0.3183 0.5000
15
30
45
π/12
π/6
π/4
0.262
0.524
0.785
0.966
0.866
0.707
0.258
0.500
0.707
0.3129
0.2970
0.2717
0.4991
0.4927
0.4767
60
75
90
π/3
5π/12
π/2
1.047
1.309
1.571
0.500
0.259
0.000
0.866
0.966
1.000
0.2387
0.2003
0.1592
0.4485
0.4071
0.3536
105
120
135
7π/12
2π/3
3π/4
1.833
2.094
2.356
-0.259
-0.500
-0.707
0.966
0.866
0.707
0.1180
0.0796
0.0466
0.2903
0.2211
0.1507
150
165
180
5π/6
11π/12
π
2.618
2.680
3.142
-0.866
-0.966
-1.000
0.500
0.259
0.000
0.0213
0.0054
0.0000
0.0849
0.0306
0.0000
)()(
180
grausrad α
π
α = )()(
180
radgraus α
π
α =
4142.12= 7321.13= 4495.26= 4641.312=
7071.02/1 = 5774.03/1 = 4082.06/1 = 2887.012/1 =
* Tabela para ser utilizada quando não temos uma calculadora científica disponível,
lembrando apenas que β=π.
IP
T = 2 π
α
β = π

6
8. PULSOS
Pulsos senoidais, triangulares, trapezoi-
dais e retangulares. são encontrados em
circuitos de comutação como fontes chavea-
das, chopper, inversores, etc.
Para pulsos senoidais podemos utilizar as
equações anteriores apresentados no item 7.
Pulsos retangulares e triangulares são ca-
sos particulares da onda trapezoidal.
PULSO TRAPEZOIDAL
T
tP
IA
IB
T
t
d
p
=
2
)( BA
Av
IId
I
+
=
3
).( 22
BBAA
RMS
IIIId
I
++
=
PULSO TRIANGULAR
T
tP
Ip
2
d
II PAv =
3
d
II PRMS =
PULSO SENOIDAL RECORTADO
tS
T
Ip
tpα
πλ ==
=
S
s
p
s
t
T
t
T
t
d
[ ]))1cos((1 πλ
π
−+=
d
I
I
P
Av



 −
+=
π
πλ
λ
)2)1sen((
2.
2
1
d
I
I
P
RMS
PULSO SENOIDAL
tp
T
Ip
T
t
d
p
=
π
d
II PAv
.2
=
2
d
II PRMS =
• A onda retangular é um caso particular da
onda trapezoidal onde IA=IB=IP
• A onda triangular é um caso particular da
onda trapezoidal para IA=0

7
9. MEDIDORES AVERAGE SENSING ou
AVERAGE RESPONDING
Estes medidores medem corretamente o
valor médio de qualquer forma de onda (es-
cala DCV ou DCA). Porém o valor eficaz é
medido corretamente somente para onda
SENOIDAL.
O sensor ou transdutor destes multíme-
tros respondem somente ao valor médio do
sinal. Para medir o valor eficaz de um sinal
alternado senoidal, este sinal é retificado em
onda completa e amplificado por um fator de
conversão 11.122/ =π e então medido
pelo sensor “average sensing”. A relação
entre o valor eficaz e o valor médio de uma
onda senoidal retificada em onda completa é
2
2 Vav
Vp
V
V
p
av
π
π
=∴=
av
avp
rms V
VV
V .11.1
222
===
π
Este fator de conversão 1.11 é válido so-
mente para onda senoidal. Isto significa que
qualquer onda não senoidal será medido (ou
convertido) incorretamente.
Para uma onda quadrada este tipo de
multímetro apresentará uma leitura 11% a-
cima do valor correto.
10. MEDIDORES True rms
Estes multímetros “ Eficaz Verdadeiro”,
obviamente muito mais caros, medem corre-
tamente o valor EFICAZ de qualquer forma
de onda desde que o fator de crista Kp e a
freqüência seja menor que o especificado
pelo fabricante.
Menos que 10% dos medidores disponí-
veis comercialmente são True rms e custam
de 5 a 10 vezes mais em relação aos medi-
dores average sensing. Os multímetros true
rms mais populares são BECKMAN:
RMS3030; FLUKE: 8026B, 8060A, 8026A,
87. (Obs. Alguns osciloscópios digitais e
sistemas de aquisição de dados medem cor-
retamente o valor eficaz de ondas não se-
noidais).
Medidores True RMS
TÉCNICA DE
CONVERSÃO
TÉRMICO CÁLCULO
DIGITAL
CÁLCULO
ANALÓGICO
Kp ≤ 100:1 20:1 5:1
PRECISÃO 0,01% 0,1% 0,1%
TEMPO DE RESPOSTA >10 seg. 1-10 seg. <1 seg.
FREQUÊNCIA ALTA MHz BAIXA MÉDIA 40 KHz
CUSTO MUITO ALTO ALTO BAIXO
APLICAÇÃO CALIBRAÇÃO BANCADA PORTÁTIL
Observação: O multímetro RMS-3030 da Beckman mede o valor eficaz real total, isto
é, da componente contínua mais componente alternada (AC+DC). Os multímetros da
Fluke, por outro lado, medem o valor eficaz somente da componente alternada uma vez
que nas escalas ACV ou ACA a componente contínua é filtrada. Para determinar o va-
lor eficaz total ou o valor eficaz da componente alternada devemos medir VAC e VDC
e utilizar a seguinte equação:
22
)( DCacACtotalRMS VVV += −
22
)()( DCtotalRMSACrms VVV −=

8
Exemplo 1: Potência Média
A chave eletrônica opera na freqüência de
100[Hz] com ciclo de trabalho d=0,5.
Vs
R
Vz
Vs=15[V], Vz=10[V], R=10[ Ω ]
5ms
Io
10ms
PR
PZ
Po
15V
0,5A
5W
Vo
7,5W
2,5W
5ms
f = 100Hz T = 10ms
tp = 5ms d = 0,5
A potência média fornecida por uma fonte
de tensão contínua ou dissipada no diodo
zener é proporcional ao Valor Médio da cor-
rente.
)(. AvSSS IVP =
Para o resistor a potência média é pro-
porcional ao quadrado do Valor Eficaz da
corrente.
2
. RMSR IRP =
Portanto a potência (média) dissipada na
carga (R+Vz) é:
AvZRMSAv IVIRP .. 2
+=
Quando a chave está fechada circulará
uma corrente instantânea de:
( ) ( )
pico
zs
p A
R
VV
I ][5.0
10
1015
=
−
=
−
=
dissipando uma potência instantânea de:
picopicopicoR WIRP ][5,25,0.10. 22
===
P V I WZ pico z p pico= ⋅ = ⋅ =10 0 5 5, [ ]
P P P WTotal p R Z p= + = + =2 5 5 0 7 5, , , [ ]
][5,75,0.15. WIVP picoSSpicoS ===
Quando a chave estiver aberta, a potência
dissipada é zero.
Portanto, a potência média fornecida pela
fonte de tensão Vs, que é igual à potência
média dissipada na carga (R+Vz), será:
av
picoTotalavTotal
W
PdP
][75,3
5,75,0
)()(
=
⋅=
⋅=
De outra forma, utilizando os valores mé-
dio e eficaz da corrente:
25,05,0.5,0 ==AvI
3536,05,0.5,0 ==RMSI
Av
AvRMSAv
W
VP
][75,3
25,0103536,010 2
=
⋅+⋅Ω=
][75,3
25,0.15
. )()(
W
IVP AvSSAvS
=
=
=
Este é o processo para calcular a potência
dissipada no diodo e no tiristor. Os valores
da resistência (Rt) e da barreira de potencial
(Vt) são fornecidos pelos fabricantes.

9
Exemplo 2: Ortogonalidade
10
5
A )
0
5
5
5
10
B )
C )
D )
E )
A forma de onda (a) pode ser decomposta
em dois modos.
No primeiro modo decompomos a forma
de onda no tempo A(t)=B(t)+C(t). Como B(t)
e C(t) são funções ortogonais, uma vez que
∫ =
T
dttCtB
T 0
0).(*)(
1
, porque 0C(t)*B(t) =
905,7
535,3
071,7
22
=+=
=
=
rmsrmsrms
rms
rms
CBA
C
B
No segundo modo a forma de onda é de-
composta na amplitude A(t)=D(t)+E(t). D(t) e
E(t) não são funções ortogonais
(??)123,6
535,3
5
22
=+
=
=
rmsrms
rms
rms
ED
E
D
6,123 não é o valor eficaz de A(t)
Portanto, toda vez que depararmos com uma
forma de onda complexa, devemos analisar
por partes, divididas ao longo do eixo do
tempo.
Para o valor médio, no entanto, encontra-
remos o valor corretamente em ambos os
casos.
5,75,25
5,75,25
=+=+=
=+=+=
avavav
avavav
EDA
CBA
Na escala ACV o multímetro True RMS
(AC+DC) indicaria 7,905[V], o multímetro
True RMS (AC) indicaria 2,5[V] e o multíme-
tro Average Sensing – AC indicaria 2,775[V].
10
5
A )
10
7 ,5
F )
-2 ,5
G )
+2 ,5
acrmsV
V totalRMS
−≅−
=+ −
][5,25,7905,7
][905,75,75,2
22
22
A onda f(t) é a componente contínua e a
onda g(t) a componente alternada. f(t) e g(t)
são funções ortogonais.
Nos multímetros Average Sensing - AC a
onda g(t) é retificada em onda completa tor-
nando-se uma onda contínua de 2,5[V] e
então multiplicada pelo fator 1,11. O valor
indicado por este tipo de multímetro na esca-
la ACV será 2,775[V].

10
Exemplo 3: Senoidal Trifásico
A tensão retificada de uma ponte tiristori-
zada trifásica ideal com ângulo de disparo de
30o
é apresentada na figura abaixo.
Este ângulo de disparo é (também) de-
nominado α (alfa) e não deve ser confundido
com o ângulo α da fórmula para o cálculo do
valor médio e valor eficaz. Existe uma dife-
rença de 60o
entre estes dois ângulos (para
ponte tiristorizada trifásica em particular).
Observe que temos 6 pulsos no intervalo
correspondente ao período de uma onda
senoidal plena. Consequentemente a fre-
qüência destes pulsos, parcialmente senoi-
dal, é 6 vezes maior que a freqüência da
rede de alimentação. Por este motivo o perí-
odo utilizado na fórmula é T=π/3.
Recomendamos a utilização das equa-
ções com uma calculadora científica e com
os ângulos em radianos.
Utilizando as equações diretamente:
α π
β π
π
= °=
= °=
= °=
90 2
150 5 6
60 3
/ [ ],
/ [ ]
/ [ ]
rad
rad
T rad
V Vav p/ .=0 8270
V Vrms p/ .=0 8407
Se, eventualmente, não dispormos de
uma calculadora científica, podemos utilizar
a tabela da página 5.
Como os valores de Iav/Ip e Irms/Ip desta
tabela são válidos para β=π, devemos calcu-
lar por partes.
V1 é a parte achureada (parte da onda
senoidal plena tracejada), V11 é a parte que
vai de α até π e V12 é a parte que vai de β
até π.
°=°=== 150,90,2, 1211 ααππβ T
1592.0/)(11 =pav VV
3536.0/)(11 =prms VV
0213.0/)(12 =pav VV
0849.0/)(12 =prms VV
)(12)(11)(1 avVavVavV −=
1379.0/)(1 =pav VV
2
)(12
2
)(11)(1 rmsrms VVrmsV −=
3433.0/)(1 =prms VV
Como são 6 pulsos iguais no intervalo 2π:
V Vav av= = =6 6 0 1379 0 82741. . , ,( )
V Vrms rms= = =6 2 4495 0 3433 0 84091( ) . . . .
As diferenças nos resultados (0.05%) se
devem ao número de casas decimais utiliza-
dos na tabela.

11
Exemplo 4: Pulso 20[V]pp d=0.2
A onda retangular abaixo apresenta sime-
tria na amplitude (+10; -10) mas não no tem-
po (d=0.2).
O valor médio desta onda é -6[V]. A área
positiva é 0,2x(+10)=+2 enquanto que a área
negativa é 0.8x(-10)=-8.
O valor eficaz desta onda de tensão é
10[V]. Uma tensão de –10[V] produz a mes-
ma potência que uma tensão de +10[V].
a) +10V
-10V
- 6V
10[V]RMS
-6 [V]AV
+16V
8,0[V]RMS
0,0[V]AV
+4V
6,4[V]AV
0,2 0,8
b)
c)
- 4V
+16V
8,0[V]RMS
Como a maioria dos multímetros utiliza
acoplamento AC, ou seja, a componente
contínua é bloqueada, a onda realmente
medida é aquela apresentada na Figura b).
Esta onda, obviamente com valor médio
igual a zero, apresenta outro valor eficaz.
Basta lembrar a equação
22
)()( DCtotalrmsACrms VVV −=
8
2
6
2
10)( =−=ACrmsV
Este será o valor indicado pelo multímetro
True RMS – AC.
No multímetro Average Sensing com aco-
plamento AC, esta componente AC é retifi-
cada em onda completa, como mostra a Fi-
gura c), e o valor médio é multiplicado pelo
fator 1.11, resultando 7,104[V].
Para calcular o valor médio e o valor efi-
caz desta onda é necessário analisar a onda
por partes. No intervalo entre 0 e dT
v(t)=+10[V] e no intervalo entre dT e T v(t)=-
10[V].
Uma outra forma para calcular estes valo-
res é dividir esta onda em duas partes como
mostram as Figuras (a1) e (a2) onde
(a1) ⇒ Vp=+10[V] e d=0,2
(a2) ⇒ Vp=-10[V] e d=0,8
a) +10V
-10V
- 6V
10[V]RMS
-6[V]AV
+10V
4,472[V]RMS
+2,000[V]AV
-10V
8,944[V]RMS
-8,000[V]AV
0,2 0,8
a1)
a2)
av av av
2 2
RMS RMS RMS
2 2
(a) = (a1) +(a2)
+2 + (-8) = -6
(a) = (a1) +(a2)
= 4,472 8,944 10
=
+ =

12
(b1) ⇒ Vp=+16[V] e d=0,2
(b2) ⇒ Vp= -4[V] e d=0,8
b)
+16V
-4V
8,0[V]RMS
0,0[V]AV
7,155[V]RMS
+3,200[V]AV
3,577[V]RMS
0,2 0,8
b1)
b2)
+16V
-3,200[V]AV
-4V
av av av
2 2
RMS RMS RMS
2 2
(b) = (b1) +(b2)
+3,2 + (-3,2) = 0
(b) = (b1) +(b2)
= 7,1552 3,5776 8
=
+ =
Itajubá, MG
Abril de 1999
junho de 2000
Abril de 2005
Abril de 2007

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