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Otimização Geométrica de Corpos Submetidos a Intenso
  Fluxo de Calor Utilizando Redes de Canais Bifurcados

                                          Claus de R. Bolzan#1, Luiz Alberto O. Rocha#2
                                  #
                                      Escola de Engenharia, Universidade Federal do Rio Grande,
                                             C.P. 474, 96201-900, Rio Grande, RS, Brasil.
                                                   1
                                                    clausbolzan@hotmail.com
                                                      2
                                                       laorocha@gmail.com



Resumo - No presente trabalho será feita a otimização                    Nas últimas décadas, o desempenho de dispositivos
geométrica de um corpo submetido a intenso fluxo de calor. O         microeletrônicos melhorou significativamente. Associado a
corpo a ser otimizado é refrigerado por um sistema de dutos cujo     estas melhorias, o gerenciamento térmico efetivo é
fluido circulante irá remover o calor a que este está submetido. O   fundamental para assegurar alto desempenho, eficiência e
método de otimização utilizado é denominado “Constructal
                                                                     confiabilidade nos dispositivos eletrônicos, tendo em vista que
Design” e é fundamentado na “Teoria Constructal”, a qual é
uma nova teoria que guia os engenheiros na descoberta de novas       esses sofrem aplicações de intenso fluxo de calor. Vários
e altamente eficientes arquiteturas para o escoamento de fluidos,    métodos inovadores de resfriamento de dispositivos
massa, energia, e “qualquer coisa que se mova”. A temperatura        microeletrônicos têm sido investigados, entre eles o
máxima do sistema é minimizada enquanto os volumes do corpo          resfriamento por micro-canais. Nesse trabalho será estudado o
e do fluido são mantidos constantes, podendo variar o ângulo, os     resfriamento de micro-chips que durante seu funcionamento
diâmetros e os comprimentos da geometria estudada. A estrutura       geram intenso fluxo de calor, o qual deve ser dissipado através
de dutos a ser estudada tem a forma bifurcada. O escoamento          de micro-canais inseridos no interior dos mesmos.
nos dutos é considerado incompressível, propriedades constantes,         Muitos pesquisadores interessados no estudo de
laminar e tridimensional. As equações de conservação da massa,
quantidade de movimento e energia são resolvidas para o fluido
                                                                     resfriamento de micro-chips através de micro-canais
enquanto a equação da energia é resolvida para o sólido. O           publicaram vários trabalhos sobre o assunto. A seguir será
método numérico utilizado emprega volumes finitos para a             descrito sumariamente algumas dessas publicações, as quais
discretização das equações de conservação. Essas equações são        serviram de fundamentação para o trabalho em questão.
resolvidas acopladamente para a determinação do campo de                 Em muitos trabalhos estudam-se os fenômenos naturais,
temperatura.                                                         bem como sistemas físicos naturais, como o sistema
                                                                     circulatório de animais, devido à comprovada eficiência destes,
Abstract - The present work studies the geometric optimization of    que servem como modelo para o desenvolvimento e
a body submitted to intense heat flux. The body to be optimized      otimização de sistemas de resfriamento de micro-chips. Chen
is refrigerated by a ducts system whose circulating fluid will
remove the heat. The optimization method is denominated
                                                                     e Cheng, 2002[1], estudam o sistema circulatório e
"Constructal Design" and it is based on "Constructal theory",        respiratório de mamíferos, a fim de avaliar novas redes de
which is a new theory that guides the engineers in the discovery     ramificações de canais, para aumentar a capacidade de
of new and highly efficient architectures for the drainage of        transferência de calor. Bejan et al., 2006[2] mostraram o
fluids, mass, energy, and "anything that moves". The maximum         fundamento básico da teoria Constructal para fenômenos
temperature of the system is minimized while the volumes of the      físicos de geração de escoamento em configurações naturais.
body and of the fluid are maintained constant. However, the              Wang et al., 2006 estudaram escoamento e transferência
angle, diameters and lengths of the studied geometry can vary.       de calor em ramificações de micro-canais e a otimização
The ducts structure to be studied is bifurcated. The flow in the     destes, avaliando os parâmetros influentes no processo e
ducts is considered incompressible, constant properties, laminar
                                                                     utilizando simulação numérica em um ambiente de três
and three-dimensional. The equations of conservation of the
mass, momentum and energy are solved for the fluid, while the        dimensões.
equation of the energy is solved for the solid. The numeric              Este trabalho é baseado na Teoria Constructal
method uses finite volumes for the discretização of the              desenvolvida por Bejan [2]. A literatura é muito vasta com
conservation equations. Those equations are solved                   relação a estudos utilizando a Teoria Constructal. Por exemplo,
simultaneously for the determination of the temperature field.       Rocha et al., 2005[3] estudaram a otimização de uma cavidade
                                                                     isotérmica, tendo geração de calor na parede sólida e
                                                                     condições adiabáticas nas outras faces.
                        I. INTRODUÇÃO                                    Em síntese, o trabalho irá consistir no estudo de um corpo
                                                                     sólido submetido a intenso fluxo de calor em uma de suas
faces e de redes de micro-canais com estrutura bifurcada                                III. MODELO FÍSICO - MATEMÁTICO
inseridos em seu interior por onde escoará um fluido                          O modelo físico-matemático que descreve o processo
refrigerante. Os resultados obtidos serão comparados com                    contempla as equações de conservação da massa, quantidade
aqueles obtidos para redes de micro-canais mais complexas                   de movimento e energia para o fluido, sendo esta última
como as estudadas por Rocha et al., 2009[4]                                 também para o sólido.
                                                                                
                                                                             V  0                                                        (3)
                 II. GEOMETRIA BIFURCADA
   O corpo a ser otimizado é refrigerado por um sistema de                  A Eq. (3) representa a taxa de variação temporal da
dutos cujo fluido circulante irá remover o calor a que este está            massa do sistema.
submetido. A temperatura máxima do sistema é minimizada
enquanto os volumes do corpo e do fluido são mantidos                         u      u      u       p        2u  2 u  2 u 
constantes, podendo variar o ângulo da bifurcação, diâmetros                u
                                                                               x  v  y  w  z     x     x 2   y 2  z 2 
                                                                                                                                         (4)
e comprimentos da geometria estudada. A estrutura de dutos a                                                                         
ser estudada tem a forma bifurcada. A Figura 1 mostra que
somente 1/8 do domínio será estudado por questões de                          v    v    v      p       2v  2v  2v 
                                                                             
                                                                            u   v    w       x     x 2   y 2   z 2 
                                                                                                                                         (5)
simetria.                                                                     x    y    z                                    

                                                                              w     w     w      p       2 w  2w  2 w 
                                                                              x  v y  w z    x    x 2  y 2  z 2 
                                                                            u                                                          (6)
                                                                                                                               

                                                                                As Eqs. (4-6) representam as equações de Navier-Stokes
                                                                            para a quantidade de movimento em fluidos newtonianos em
                                                                            regime    permanente,      escoamento     incompressível    e
                                                                            propriedades constantes.
                                                                                O princípio da conservação da energia aplicado a
                                                                            propriedades constantes e regime permanente, pode ser escrito
                                                                            na forma vetorial como mostra a eq. (7) para o fluido.
                                                                                  
                                                                             c p u  T  k  2T                                            (7)
           Fig. 1 Esquema representando 1/8 da geometria bifurcada.                                                                         (8)
                                                                             2T  0

No cálculo para determinação da geometria bifurcada existe                      A equação da condução de calor para o estado estacionário,
uma constante principal a ser considerada, a qual é a razão                 sem geração de calor e com propriedades constantes é descrita
entre o volume dos dutos (micro-canais), Vd, e o volume total               na forma vetorial como mostrado na Eq. (8). O fluido
do sólido, VT, definida pela Eq. 1,                                         utilizado é o ar a T = 300 K, enquanto o regime de
                                                                            escoamento é dado por Be = 108, onde Be é definido como
      Vd                                                              (1)
 
      VT                                                                           PL
                                                                            Be                                                             (9)
                                                                                   
O volume dos dutos é definido pela Eq. (2)
            2
V d  D 0 ( L 0  L1  L 2 )                                          (2)       As condições de contorno são fluxo de calor constante (1
                                                                            W/m2) na face inferior da estrutura, diferença de pressão entre
onde D0 é o diâmetro hidráulico do duto, L0 é o comprimento                 a entrada e a saída ΔP dada pela eq. (9) na entrada e pressão
do duto antes da bifurcação e L1 e L2 são os comprimentos do                atmosférica na saída. O restante das faces são consideradas
duto após ocorrer à bifurcação. O volume total do sólido, VT,               adiabáticas.
é definido por

      L2                                                            (3)                          IV. RESULTADOS
VT  
      2  A tr       t
                      
                                                                             A Fig. 2 mostra a curva de minimização da temperatura
                                                                            máxima do corpo independente de onde ela ocorra, como uma
em que L é a dimensão do lado da geometria, t a espessura da                função do comprimento adimensional L0, comprimento do
mesma e Atr a área do triângulo formado pelo vértice da                     duto antes da bifurcação. Note que o comprimento escala
geometria com os pontos 1 e 2, representados na Fig. 1.                     utilizado foi o lado do domínio L. A Figura 2 mostra que o
                                                                            valor ótimo para L0 é 0.2.
Fig. 2: Curva de otimização para L0 para φ = 0.05, q” = 1 w/m².          Fig. 4: Campo de temperatura da geometria para φ = 0.05, q” = 1 w/m2 .


   A Fig. 3 mostra o comportamento do campo de temperatura
para o comprimento L0 ótimo encontrado da geometria                                               V. CONCLUSÃO
estudada.                                                                    Na engenharia são várias as aplicações que geram intenso
                                                                          fluxo de calor, principalmente na área de micro-componentes
                                                                          eletrônicos. O objetivo desse trabalho é minimizar a máxima
                                                                          temperatura de um sólido sujeito a intenso fluxo de calor em
                                                                          uma de suas facess. O método utilizado baseia-se na Teoria
                                                                          Constructal. Para encontrar a geometria ótima φ (razão entre o
                                                                          volume do micro-canal e o volume total do sólido) é mantida
                                                                          constante e igual a 0.05.
                                                                             Os resultados mostram que existe um comprimento ótimo
                                                                          L0 = 0.2 que minimiza a temperatura máxima no corpo. Foi
                                                                          observado também que esta configuração distribui
                                                                          uniformente os pontos de temperatura, isto é, as imperfeições.
                                                                          Os resultados concordam qualitativamente com aqueles
                                                                          obtidos para redes de micro-canais mais complexas como as
                                                                          estudadas por Rocha et al., 2009[4], o que é aceitável tendo
  Fig. 3: Campo de temperatura da geometria para φ = 0.05, q” = 1 w/m2.   em vista que as geometrias estudadas apresentam diferenças
                                                                          entre si, o que demonstra o quanto variações na geometria
   A Fig. 4 mostra o comportamento do campo de temperatura                podem influenciar na otimização.
a partir de uma vista inferior da geometria onde se pode
perceber a menor máxima temperatura da mesma, obtida no
processo de otimização geométrica. Note que nas Figs 3 e 4 os                                              REFERENCES
pontos quentes, isto é, os pontos onde a temperatura é máxima
estão distribuídos uniformemente. Esta observação evidencia               [1]      Y. Chen, P. Cheng, Heat transfer and pressure drop in fractal tree-like
                                                                                   microchannel nets, Int. J. Heat Mass Transfer 45 (2002) 2643–2648.
o princípio de ótima distribuição das imperfeições que é uma              [2]      Bejan, S. Lorente, Constructal theory of generation in nature and
das maneiras que a Lei Construtal pode ser entendida. O                            engineering, Journal of Applied Physics 100, 041301 (2006).
sistema é destinado a permanecer imperfeito. Ele atuará                   [3]      L.A.O Rocha, E. Lorenzini, C. Biserni, Geometric optimization of
otimamente quando as imperfeições estiverem uniformemente                          shapes on the basis of Bejan’s Constructal theory, Int. J. Heat Mass
                                                                                   Transfer 32 (2005) 1281–1288.
distribuídas.                                                             [4]      L.A.O. Rocha, S. Lorente and A. Bejan, Tree-shaped vascularization
                                                                                   for localized intense cooling, Int. J. Heat Mass Transfer

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M csul final

  • 1. Otimização Geométrica de Corpos Submetidos a Intenso Fluxo de Calor Utilizando Redes de Canais Bifurcados Claus de R. Bolzan#1, Luiz Alberto O. Rocha#2 # Escola de Engenharia, Universidade Federal do Rio Grande, C.P. 474, 96201-900, Rio Grande, RS, Brasil. 1 clausbolzan@hotmail.com 2 laorocha@gmail.com Resumo - No presente trabalho será feita a otimização Nas últimas décadas, o desempenho de dispositivos geométrica de um corpo submetido a intenso fluxo de calor. O microeletrônicos melhorou significativamente. Associado a corpo a ser otimizado é refrigerado por um sistema de dutos cujo estas melhorias, o gerenciamento térmico efetivo é fluido circulante irá remover o calor a que este está submetido. O fundamental para assegurar alto desempenho, eficiência e método de otimização utilizado é denominado “Constructal confiabilidade nos dispositivos eletrônicos, tendo em vista que Design” e é fundamentado na “Teoria Constructal”, a qual é uma nova teoria que guia os engenheiros na descoberta de novas esses sofrem aplicações de intenso fluxo de calor. Vários e altamente eficientes arquiteturas para o escoamento de fluidos, métodos inovadores de resfriamento de dispositivos massa, energia, e “qualquer coisa que se mova”. A temperatura microeletrônicos têm sido investigados, entre eles o máxima do sistema é minimizada enquanto os volumes do corpo resfriamento por micro-canais. Nesse trabalho será estudado o e do fluido são mantidos constantes, podendo variar o ângulo, os resfriamento de micro-chips que durante seu funcionamento diâmetros e os comprimentos da geometria estudada. A estrutura geram intenso fluxo de calor, o qual deve ser dissipado através de dutos a ser estudada tem a forma bifurcada. O escoamento de micro-canais inseridos no interior dos mesmos. nos dutos é considerado incompressível, propriedades constantes, Muitos pesquisadores interessados no estudo de laminar e tridimensional. As equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia são resolvidas para o fluido resfriamento de micro-chips através de micro-canais enquanto a equação da energia é resolvida para o sólido. O publicaram vários trabalhos sobre o assunto. A seguir será método numérico utilizado emprega volumes finitos para a descrito sumariamente algumas dessas publicações, as quais discretização das equações de conservação. Essas equações são serviram de fundamentação para o trabalho em questão. resolvidas acopladamente para a determinação do campo de Em muitos trabalhos estudam-se os fenômenos naturais, temperatura. bem como sistemas físicos naturais, como o sistema circulatório de animais, devido à comprovada eficiência destes, Abstract - The present work studies the geometric optimization of que servem como modelo para o desenvolvimento e a body submitted to intense heat flux. The body to be optimized otimização de sistemas de resfriamento de micro-chips. Chen is refrigerated by a ducts system whose circulating fluid will remove the heat. The optimization method is denominated e Cheng, 2002[1], estudam o sistema circulatório e "Constructal Design" and it is based on "Constructal theory", respiratório de mamíferos, a fim de avaliar novas redes de which is a new theory that guides the engineers in the discovery ramificações de canais, para aumentar a capacidade de of new and highly efficient architectures for the drainage of transferência de calor. Bejan et al., 2006[2] mostraram o fluids, mass, energy, and "anything that moves". The maximum fundamento básico da teoria Constructal para fenômenos temperature of the system is minimized while the volumes of the físicos de geração de escoamento em configurações naturais. body and of the fluid are maintained constant. However, the Wang et al., 2006 estudaram escoamento e transferência angle, diameters and lengths of the studied geometry can vary. de calor em ramificações de micro-canais e a otimização The ducts structure to be studied is bifurcated. The flow in the destes, avaliando os parâmetros influentes no processo e ducts is considered incompressible, constant properties, laminar utilizando simulação numérica em um ambiente de três and three-dimensional. The equations of conservation of the mass, momentum and energy are solved for the fluid, while the dimensões. equation of the energy is solved for the solid. The numeric Este trabalho é baseado na Teoria Constructal method uses finite volumes for the discretização of the desenvolvida por Bejan [2]. A literatura é muito vasta com conservation equations. Those equations are solved relação a estudos utilizando a Teoria Constructal. Por exemplo, simultaneously for the determination of the temperature field. Rocha et al., 2005[3] estudaram a otimização de uma cavidade isotérmica, tendo geração de calor na parede sólida e condições adiabáticas nas outras faces. I. INTRODUÇÃO Em síntese, o trabalho irá consistir no estudo de um corpo sólido submetido a intenso fluxo de calor em uma de suas
  • 2. faces e de redes de micro-canais com estrutura bifurcada III. MODELO FÍSICO - MATEMÁTICO inseridos em seu interior por onde escoará um fluido O modelo físico-matemático que descreve o processo refrigerante. Os resultados obtidos serão comparados com contempla as equações de conservação da massa, quantidade aqueles obtidos para redes de micro-canais mais complexas de movimento e energia para o fluido, sendo esta última como as estudadas por Rocha et al., 2009[4] também para o sólido.   V  0 (3) II. GEOMETRIA BIFURCADA O corpo a ser otimizado é refrigerado por um sistema de A Eq. (3) representa a taxa de variação temporal da dutos cujo fluido circulante irá remover o calor a que este está massa do sistema. submetido. A temperatura máxima do sistema é minimizada enquanto os volumes do corpo e do fluido são mantidos  u u u  p   2u  2 u  2 u  constantes, podendo variar o ângulo da bifurcação, diâmetros u   x  v  y  w  z     x     x 2   y 2  z 2     (4) e comprimentos da geometria estudada. A estrutura de dutos a     ser estudada tem a forma bifurcada. A Figura 1 mostra que somente 1/8 do domínio será estudado por questões de  v v v  p   2v  2v  2v   u v w    x     x 2   y 2   z 2     (5) simetria.  x y z     w w w  p   2 w  2w  2 w   x  v y  w z    x    x 2  y 2  z 2  u    (6)     As Eqs. (4-6) representam as equações de Navier-Stokes para a quantidade de movimento em fluidos newtonianos em regime permanente, escoamento incompressível e propriedades constantes. O princípio da conservação da energia aplicado a propriedades constantes e regime permanente, pode ser escrito na forma vetorial como mostra a eq. (7) para o fluido.   c p u  T  k  2T (7) Fig. 1 Esquema representando 1/8 da geometria bifurcada. (8)  2T  0 No cálculo para determinação da geometria bifurcada existe A equação da condução de calor para o estado estacionário, uma constante principal a ser considerada, a qual é a razão sem geração de calor e com propriedades constantes é descrita entre o volume dos dutos (micro-canais), Vd, e o volume total na forma vetorial como mostrado na Eq. (8). O fluido do sólido, VT, definida pela Eq. 1, utilizado é o ar a T = 300 K, enquanto o regime de escoamento é dado por Be = 108, onde Be é definido como Vd (1)   VT PL Be  (9)  O volume dos dutos é definido pela Eq. (2) 2 V d  D 0 ( L 0  L1  L 2 ) (2) As condições de contorno são fluxo de calor constante (1 W/m2) na face inferior da estrutura, diferença de pressão entre onde D0 é o diâmetro hidráulico do duto, L0 é o comprimento a entrada e a saída ΔP dada pela eq. (9) na entrada e pressão do duto antes da bifurcação e L1 e L2 são os comprimentos do atmosférica na saída. O restante das faces são consideradas duto após ocorrer à bifurcação. O volume total do sólido, VT, adiabáticas. é definido por  L2  (3) IV. RESULTADOS VT    2  A tr t    A Fig. 2 mostra a curva de minimização da temperatura máxima do corpo independente de onde ela ocorra, como uma em que L é a dimensão do lado da geometria, t a espessura da função do comprimento adimensional L0, comprimento do mesma e Atr a área do triângulo formado pelo vértice da duto antes da bifurcação. Note que o comprimento escala geometria com os pontos 1 e 2, representados na Fig. 1. utilizado foi o lado do domínio L. A Figura 2 mostra que o valor ótimo para L0 é 0.2.
  • 3. Fig. 2: Curva de otimização para L0 para φ = 0.05, q” = 1 w/m². Fig. 4: Campo de temperatura da geometria para φ = 0.05, q” = 1 w/m2 . A Fig. 3 mostra o comportamento do campo de temperatura para o comprimento L0 ótimo encontrado da geometria V. CONCLUSÃO estudada. Na engenharia são várias as aplicações que geram intenso fluxo de calor, principalmente na área de micro-componentes eletrônicos. O objetivo desse trabalho é minimizar a máxima temperatura de um sólido sujeito a intenso fluxo de calor em uma de suas facess. O método utilizado baseia-se na Teoria Constructal. Para encontrar a geometria ótima φ (razão entre o volume do micro-canal e o volume total do sólido) é mantida constante e igual a 0.05. Os resultados mostram que existe um comprimento ótimo L0 = 0.2 que minimiza a temperatura máxima no corpo. Foi observado também que esta configuração distribui uniformente os pontos de temperatura, isto é, as imperfeições. Os resultados concordam qualitativamente com aqueles obtidos para redes de micro-canais mais complexas como as estudadas por Rocha et al., 2009[4], o que é aceitável tendo Fig. 3: Campo de temperatura da geometria para φ = 0.05, q” = 1 w/m2. em vista que as geometrias estudadas apresentam diferenças entre si, o que demonstra o quanto variações na geometria A Fig. 4 mostra o comportamento do campo de temperatura podem influenciar na otimização. a partir de uma vista inferior da geometria onde se pode perceber a menor máxima temperatura da mesma, obtida no processo de otimização geométrica. Note que nas Figs 3 e 4 os REFERENCES pontos quentes, isto é, os pontos onde a temperatura é máxima estão distribuídos uniformemente. Esta observação evidencia [1] Y. Chen, P. Cheng, Heat transfer and pressure drop in fractal tree-like microchannel nets, Int. J. Heat Mass Transfer 45 (2002) 2643–2648. o princípio de ótima distribuição das imperfeições que é uma [2] Bejan, S. Lorente, Constructal theory of generation in nature and das maneiras que a Lei Construtal pode ser entendida. O engineering, Journal of Applied Physics 100, 041301 (2006). sistema é destinado a permanecer imperfeito. Ele atuará [3] L.A.O Rocha, E. Lorenzini, C. Biserni, Geometric optimization of otimamente quando as imperfeições estiverem uniformemente shapes on the basis of Bejan’s Constructal theory, Int. J. Heat Mass Transfer 32 (2005) 1281–1288. distribuídas. [4] L.A.O. Rocha, S. Lorente and A. Bejan, Tree-shaped vascularization for localized intense cooling, Int. J. Heat Mass Transfer