Matemática Discreta 1

1. UEPB/CCT/DC/BC
Matemática Discreta I -
Lista de Exercícios – Funções
1. Marque com um X as relações abaixo que são funções de S®S; S={a,b,c,d}.
[ ] a. {(b,a), (b,c), (a,b), (c,d), (d,a)} [ ] c. {(a,c), (b,c), (c,b), (d,b)}
[ ] b. {(a,a),(b,a),(b,b),(c,b),(c,c), (d,d)} [ ] d. {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)}
Idem ao item acima para S={1,2,3,4}; S®S
[ ] e. {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} [ ] g. {(1,2), (2,1), (2,3), (3,4), (4,1)}
[ ] f. {(1,4), (2,4), (3,2), (4,2)} [ ] h. {(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3), (4,4)}
2. Marque com um X os diagramas abaixo que representam funções de S em T:
S T S T S T S T
[ ] [ ] [ ] [ ]
S T S T S T S T
[ ] [ ] [ ] [ ]
3. Marque com um X os gráficos abaixo que são próprios de funções:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
4. Marque com um X as relações abaixo que são funções:
[ ] a. h: N®N, h(x) = -x+1 [ ] e. g:R®R, g(x) = 2x3 + x2 -1
[ ] b. t: Z®Z, t(x) = (x-4)/2 [ ] f. f: N®Z, f(x) = |x|
[ ] c. f: Z®N, f(x) = |x| [ ] g. h: N®N, h(x) = x-1
[ ] d. g:R®R, g(x) = -2x3 - x2 + 1 [ ] h. t: Z®Z, t(x) = (x-2)/4

2. 5. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas:
? S={a,b,c,d} e T={a,b,c} (Atenção para o domínio e o contradomínio)
a f:S®S; f = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,b)}
b g:S®S; g = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)}
c h:S®T; h = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,d)}
d t:T®S; t = {(a,b), (b,c), (c,d)}
? S={1,2,3,4} e T={1,2,3} (Atenção para o domínio e o contradomínio)
e u:T®S, u = {(1,2), (2,3), (3,4)}
f v:S®T, v = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,1)}
g w:S®S, w = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}
h z:S®S, z = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
6. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas:
S T S T S T S T
[ ] [ ] [ ] [ ]
S T S T
[ ] [ ] [ ] [ ]
7. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas:
[ ] a. f: R®R, f(x) = x3 [ ] e. h: N®Z, h(x) = x2
[ ] b. g:R®R, g(x) = x2 [ ] f. t: Z®N, t(x) = x2
[ ] c. f: R+®R, f(x) = logx [ ] g. h: R®R+, g(x) = ex
[ ] d. g:R®R, g(x) = ex [ ] h. t: Z®Z, t(x) = x2
8. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas:
N®Z R®R R®R Z®N
[ ] [ ] [ ] [ ]
R®R
[ ] [ ] [ ] [ ]
Z®Z
S T S T
R®R+

3. 9. Dadas f: R®R, f(x) = x2-1; g: R®R, g(x) = 2x+1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0).
gof(-1.0) = ________
fog(3.0) = ________
10. Dadas f: R®R, f(x) = x2+1; g: R®R, g(x) = 2x-1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0).
gof(-1.0) = ________
fog(3.0) = _________
f (x) = 2x - , encontre f -1(x).
10. Dada f: R®R, 3
5
R - f -1(x) = _______.
f (x) = 5x - , encontre f -1(x).
11. Dada f: R®R, 2
3
R - f -1(x) = _______.
12. A={a,b,c,d,e}. f: A®A, f = {(a,d), (b,b), (c,c), (d,e), (e,a)}. Escreva f em arranjo
retangular e ciclo.
fæ
ö
= f = ( )
÷ ÷ø
ç çè
13. A={1,2,3,4,5}. f: A®A, f = {(1,4), (2,2), (3,3), (4,5), (5,1)}. Escreva f em arranjo
retangular e ciclo.
fæ
ö
= f = ( )
÷ ÷ø
ç çè
14. A={a,b,c,d,e}, f, g Î SA. f = (c,b,d,e), g = (a,b,c,d). Encontre gof e fog e as
escreva em forma de arranjo retangular e ciclo.

4. ÷ g÷ø
f æ
ö
 =÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
fg=
ç çè
g  f = f  g =
15. A={1,2,3,4,5}, f, g Î SA. f = (1,2,3,4), g = (3,2,4,5). Encontre gof e fog e as
escreva em forma de arranjo retangular e ciclo.
÷ g÷ø
f æ
ö
 =÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
fg=
ç çè
g  f = f  g =
16. Marque com X o grupo cujas funções são da mesma ordem de grandeza:
[ ] a. ex-logx2; e2x-logx2; e3x -logx2-1 [ ] e. x3; 100x-450x2+25x3; 100x3+20x
[ ] b. 25x2-4x+2; x2-15x-3; 0,01x3+40x2 [ ] f. xlogx3; 2xlogx2; 5xlogx
[ ] c. x3; 10x-45x2+5x3; x3+20x-10 [ ] g. 2x2-x+2; x2+5x-1; -0,01x3+40x2
[ ] d. ex-3logx2; ex-logx3; ex -5logx4-1 [ ] h. 4xlogx; 2x2logx; x3logx
17. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4).
î í ì
f x =
x
( ,0) ;
f x y R – f(3,4) = ______.
=
( , 1) ( , ) 1
( , )
f x y f x y
+ = +
18. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4).
î í ì
=
( ,0) 0;
=
f x y f x y x
( , ) R – f(3,4) = ______.
+ = +
f x
f x y
( , 1) ( , )

5. 19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47).
=
=
( 1) ( 1) ( )
î í ì
(1) 1;
( )
f x + = x + ×
f x
f
f x R – f(5) = ______.
20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3).
ì
ï ï
f y
(0, ) 1;
(1,0) 2;
f
f x y R – f(4,3) = ______.
=
í
( 1, 1) ( ( , 1), )
ï ï
î
=
=
f x x x
= + ³
( ,0) 2, 2;
+ + = +
( , )
f x y f f x y y
21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes.
22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes.
As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras:
1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem
acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do
esquema de diagonalização;
2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada
elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá
corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem
dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de
funções.
f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?

6. 19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47).
=
=
( 1) ( 1) ( )
î í ì
(1) 1;
( )
f x + = x + ×
f x
f
f x R – f(5) = ______.
20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3).
ì
ï ï
f y
(0, ) 1;
(1,0) 2;
f
f x y R – f(4,3) = ______.
=
í
( 1, 1) ( ( , 1), )
ï ï
î
=
=
f x x x
= + ³
( ,0) 2, 2;
+ + = +
( , )
f x y f f x y y
21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes.
22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes.
As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras:
1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem
acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do
esquema de diagonalização;
2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada
elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá
corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem
dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de
funções.
f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?