Lugar das Raizes, Lugar Geometrico

1. 1
Lugar Geométrico das Raízes
• Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da
função de transferência de malha aberta G(s)H(s).
• Os pólos de malha fechada são solução da equação
1 + G(s)H(s) = 0, ou:
→ arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...
→ | G(s)H(s) | = 1
u Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a
condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K
correspondente que satisfaz a condição de módulo.
Lugar Geométrico das Raízes
• LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos
os valores do ganho K de 0 a ∞.
• Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas
achar os pontos que satisfazem a condição angular (a
aplicação da condição do módulo dirá que valor de K
corresponde a uma dada localização no LGR).
• Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do
LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha
aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ).
• A seguir: determinar que porções do eixo real
pertencem ao LGR (ponto de teste so).
Lugar Geométrico das Raízes
→ Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram-
se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros
são parte do LGR. (por que?)
• Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.
→ Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de
malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para
K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha
aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com
n ≥ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os
n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no
infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)

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Lugar Geométrico das Raízes
• Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:
→ Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no
ponto:
→ e partem ao longo dos ângulos:
mn
zerospólos
−
∑−∑
=σ
( )
...2,1,0,
12180
=
−
+
=θ k
mn
ko
Lugar Geométrico das Raízes
• Exemplo:
→ Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta
• não há zeros de malha aberta;
• pólos de malha aberta:
→ Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real
negativo (por que?)
→ Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e,
portanto, 3 assíntotas (por que?)
( ) 1)(,
22
1
)( 2
=
++
= sH
sss
sG
jss ±−== 1e0
Lugar Geométrico das Raízes
• Assíntotas:
• ponto de partida:
• ângulos:
→ Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de
malha aberta e termina em um zero finito (nenhum,
neste caso) ou em um zero no infinito.
• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real
negativo (→ − ∞);
• E os outros dois ramos?
3
2
3
)1()1(0
−=
−−++−+
=σ
jj
( )
3
12180 +
=θ
ko

3. 3
Lugar Geométrico das Raízes
• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo
conjugados e “caminham” na direção dos zeros no
infinito → Mas de que modo?
Lugar Geométrico das Raízes
• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos
conjugados): determinam a direção em que os ramos
partem dos pólos de malha aberta.
→ Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma
distância ε > 0) do pólo em s = – 1 + j.
• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça
um ângulo θ em relação ao eixo real positivo. Neste
caso, como fica a condição de ângulo?
oo
90135)()()()(
11
−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG
Lugar Geométrico das Raízes
⇒ Estes ângulos serão
constantes, independentes
de θ, somente se a
distância ε entre so e o
pólo em s = – 1 + j for
muito pequena.
oo
90135)()()()(
11
−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG

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Lugar Geométrico das Raízes
• Condição angular:
⇒ θ = − 45°
• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um
ângulo de − 45°
• Como as raízes complexas ocorrem em pares
conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em
s = – 1 – j é + 45°.
oo
90135)()()()(
11
−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG
oo
180225)()( −=−θ−=∠ oo sHsG
Lugar Geométrico das Raízes
• Uma questão permanece: como os pólos de malha
fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e
atingem as assíntotas (K → ∞) ?
• Considere a reta a − 45° a partir do pólo em s = – 1 + j.
• Se nos movermos ao longo desta linha:
→ As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0
e s = – 1 + j não irão mudar.
→ No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j
irá diminuir.
⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180°
ao longo desta linha.
Lugar Geométrico das Raízes
• Assim, como θ deve variar para que a condição de
ângulo continue sendo satisfeita?

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Lugar Geométrico das Raízes
• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de
malha aberta reais separam-se?
• Para isto, considere o sistema dado por:
• LGR?
• Pólos e zeros de malha aberta;
• Porção do eixo real pertencente ao LGR;
• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.
( )( )21
1
)()(
++
=
sss
sHsG
Lugar Geométrico das Raízes
• Nenhum zero de malha aberta;
• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2;
• Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒
•
• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a
esquerda, na direção – ∞;
• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?
( )( )21
1
)()(
++
=
sss
KsHsGK
3
)12(180 +
=θ
k
1
03
)2()1(0
−=
−
−+−+
=σ
Lugar Geométrico das Raízes
• Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro
de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos
se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se
complexos.
⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se
separam?

6. 6
Lugar Geométrico das Raízes
• Determinação do ponto de quebra:
• Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou
seja, os pólos de malha fechada) variam?
• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K
varia?
→ Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não
há LR à direita de s = 0) ⇒ o valor de K aumenta.
→ Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita,
também sabemo que o valor de K aumenta.
→ Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de
acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos
do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.
Lugar Geométrico das Raízes
• Determinação do ponto de quebra (continuação):
• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo
para K.
• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos
pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto
de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode
ser encontrado por:
• Como K somente é definido ao longo do LGR, para
pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a
partir da condição de magnitude.
?)(Mas.0
)(
==
∂
∂
sK
s
sK
Lugar Geométrico das Raízes
• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de
separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.
• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha
aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos
um ponto de separação de partida entre os dois pólos.
• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois
zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ∞)
sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um
ponto de separação de chegada entre os dois zeros.
• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero
(finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então
não podem existir pontos de separação de partida ou
chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de
partida como de chegada.

7. 7
Lugar Geométrico das Raízes
• Voltando ao exemplo:
• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-
se ter:
• Pode-se definir K(s) como:
( )( )21
1
)()(
++
=
sss
KsHsGK
( )( )
1
21
−=
++ sss
K → equação característica
do sistema
( )( )21)( ++−= ssssK
( ) 0)263(
)(
23)( 223
=++−=
∂
∂
⇒++−= ss
s
sK
ssssK
3
3
1
6
23466
0263
2
2
±−=
⋅⋅−±
−=⇒=++ sss
Lugar Geométrico das Raízes
• Como podemos saber qual é o valor de s correspon-
dente ao ponto de quebra?
⇒ Somente s1 pertence ao LGR!!!
• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o
respectivo valor de K:
1.57740.4226;
3
3
1 21 −=−=⇒±−= sss
Lugar Geométrico das Raízes
• Portanto, o LGR para o sistema é da forma:
• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?

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Lugar Geométrico das Raízes
• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada
degrau unitário?
• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.
• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido,
criticamente amortecido ou subamortecido?
• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema
para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas
do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são
portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes
reais, o sistema é sobreamortecido.
• Como determinar o valor de K para o qual o sistema
irá cruzar o eixo imaginário?
Lugar Geométrico das Raízes
• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo
imaginário:
⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.
Ksss
K
sHsG
sG
sR
sC
+++
=
+
=
23)()(1
)(
)(
)(
23
0>⇒ K
6<⇒ K
60 <<⇒ K para o sistema ser estável ⇒ K = 6 : as raízes
da equação característica (pólos de malha
fechada) são imaginárias.
Lugar Geométrico das Raízes
• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem
amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação?
→ Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada
para este valor de K:
→ O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é
imaginária. Assim, s = jω e:
→ Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser
iguais a zero:
0623 23
=+++ sss
0623 23
=+ω+ω−ω− jj
0=6+ω−0=ω+ω− 2
3e23

9. 9
Lugar Geométrico das Raízes
• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de
√2 rd/s.
• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo
imaginário em ω = √2 .
• Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema
com realimentação unitária, com:
( )
2±=ω⇒2=ω⇒0=6+ω−
2±=ω0;=ω⇒0=2−ωω−⇒0=ω+ω−
22
2
3
23
)1(
2
)(
+
+
=
ss
s
sG
Lugar Geométrico das Raízes
1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano
complexo s. → zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.
2) Eixo real ∈ LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0.
3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero ⇒ 1 zero no infinito e,
portanto, 1 assíntota. θ = 180(2k+1)/1 = 180.
4) Pontos de quebra:
)1(
2
)(
+
+
=
ss
s
sG
2)(
1
)(
2
+
+
−=−=
s
ss
sG
sK
Lugar Geométrico das Raízes
4) Pontos de quebra (continuação):
→ Observe que estes dois pontos estão no lugar das
raízes ⇒ Um é o ponto de separação de partida e o
outro de chegada em relação ao eixo real.
( )( ) ( )( )
( )
0
2
1212)(
2
2
=
+
+−++
−=
∂
∂
s
ssss
s
sK
( ) 0240252 222
=++⇒=+−++ ssssss
22
2
2444 2
±−=
⋅−±−
=s

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