1. Pr´tica 1: Medidas e Desvios
a
0.1 Introdu¸ao
c˜
O objetivo de uma ciˆncia ´ entender o mundo no qual vivemos, em rela¸˜o a algum
e e ca
aspecto bem determinado. Para isto n˜o basta a simples observa¸˜o. Poder´
a ca ıamos fazer uma
analogia entre a natureza e um jogo, ambos com regras complexas e desconhecidas. Cabe,
ent˜o, aos pesquisadores descobrirem estas regras, ou leis da natureza. Para descobrir
a
tais leis, atrav´s da pesquisa experimental, faz-se necess´ria uma combina¸˜o de observa¸˜o,
e a ca ca
racioc´ınio e experimenta¸˜o, que s˜o as etapas do M´todo Cient´
ca a e ıfico de trabalho.
O M´todo Cient´
e ıfico pode ser resumido, de forma simples, `s seguintes etapas:
a
i. o primeiro passo ´ a observa¸˜o;
e ca
ii. realiza-se um conjunto de experiˆncias com o objetivo de isolar o fenˆmeno que se quer
e o
estudar. Com isso, pode-se observ´-lo in´meras vezes, identificando (separadamente)
a u
os fatores que s˜o respons´veis ou que, de algum modo, interferem no fenˆmeno;
a a o
´
iii. nesta etapa surgem as hip´teses de trabalho. E neste momento que, com base nas
o
observa¸˜es, o pesquisador tenta inferir as leis que regem o fenˆmeno em estudo, ou as
co o
“regras do jogo”. O pesquisador precisa fazer abstra¸˜es, eliminando de sua pesquisa
co
aqueles fatores n˜o essenciais, de modo a simplificar o problema;
a
iv. finalmente, as hip´teses elaboradas s˜o testadas com novos experimentos. Uma boa
o a
teoria deve apresentar as seguintes caracter´
ısticas:
a) ser capaz de explicar um grande n´mero de fenˆmenos com o menor n´mero
u o u
poss´ de leis f´
ıvel ısicas;
b) ter o poder de previs˜o de novos fenˆmenos, os quais possam ser observados
a o
(testados).
No estudo de um fenˆmeno f´
o ısico ´, portanto, fundamental a realiza¸˜o de medidas. A
e ca
medida de grandezas f´ ısicas nos permite obter informa¸˜es acerca de como estas podem, ou
co
n˜o, estar correlacionadas, caracterizando o fenˆmeno que se quer estudar.
a o
´
E importante que, qualquer medi¸˜o que fazemos de uma grandez f´
ca ısica ser´ sujeita a
a
erros de v´rias fontes. Uma classifica¸˜o de erros poss´ os divide em trˆs tipos:
a ca ıvel e
(1) precis˜o do instrumento de medi¸˜o:
a ca
(2) erro humano:
(3) erro sistem´tico.
a
Nesta experiˆncia a preocupa¸˜o principal ´ com os erros (ou desvios) causados pela
e ca e
precis˜o finita do instrumento de medi¸˜o. Qualquer instrumento de medi¸˜o tem associ-
a ca ca
ado com ele uma precis˜o. Por exemplo, se estamos utilizando uma r´gua graduada em
a e
mil´
ımetros (ou seja, com precis˜o de mil´
a ımetros), como mostra a figura 1, para medir um
comprimento provavelmente a melhor que podemos esperar ´ saber o comprimento para o
e
mil´
ımetro mais pr´ximo.
o
0

2. Figura 1: Medida de comprimento usando uma r´gua graduada em mil´
e ımetros.
e ´
No exemplo acima, sabemos que a medida ´ entre 1,3 e 1,4 cm. E razo´vel, ent˜o, a a
escrever que, qualquer que seja o comprimento “correto”, esse comprimento ´ 1, 35 ± 0, 05
e
cm. Esse express˜o abrange um intervalo de valores entre 1,3 e 1,4 cm, com 1, 35 cm sendo
a
o que podemos chamar a melhor estimativa do comprimento.
Os bons fabricantes de instrumentos de medida tomam o cuidado de n˜o marcar mais
a
subdivis˜es do que a precis˜o do instrumento permite. Por isso, podemos considerar, em
o a
geral, que o desvio (ou erro) introduzido pelo instrumento numa leitura ´ de aproximada-
e
mente metade da menor divis˜o da escala do instrumento. A este desvio d´-se o nome
a a
de desvio avaliado ou erro absoluto. Uma unica medida deve ent˜o ser expressa como
´ a
(melhor estimativa ± desvio avaliado) unidade.
Erros e Algorismos Significativos
Um erro absoluto deve apresentar um unico algarismo significativo. O motivo ´ que,
´ e
se esse algarismo significativo j´ joga duvida sobre o d´
a ıgito correspondente na medida, o
pr´ximo algarismo do erro faz com que o pr´ximo d´
o o ıgito da medida possa assumir qualquer
valor. Esse digitos, ent˜o, n˜o contˆm informa¸˜o util e podem (devem) ser ignorados.
a a e ca ´
Assim nunca devemos escrever que uma medida ´ 13, 56±0, 24 unidades. Arredondamos
e
o erro para um algarismo significativo (no caso 0, 24 → 0, 2) e arredondamos o d´ ıgito na casa
correspondente da medida (o primeiro depois da v´ ırgula) escrevendo o resultado da medi¸˜o ca
como 13, 6 ± 0, 2 unidades.
Arredondamento
Sempre arredonda para o d´ ıgito mais pr´ximo. Leve em considera¸˜o todos os d´
o ca ıgitos
subseq¨entes. Se vocˆ tem que arredondar um 5 (seguido somente por zeros), arredonde
u e
para o d´ıgito par mais pr´ximo.
o
Exemplos de arredondamento para a primeira casa decimal.
12, 43 → 12, 4
12, 47 → 12, 5
12, 349999 → 12, 3
12, 350001 → 12, 4
12, 350000 → 12, 4
Opera¸oes com erros e desvios
c˜
Soma e Subtra¸ao com Erros:
c˜
Consideramos duas medidas, x com um erro absoluto, ∆x e y com seu erro absoluto ∆y.
Queremos considerar o intervalo de valores poss´ ıveis da soma “x + y”. N˜o ´ dificil ver que o
a e
maior valor poss´ da soma ´ x + y + ∆x + ∆y e o menor valor poss´ ´ x + y − ∆x − ∆y.
ıvel e ıvel e
Podemos dizer que o resultado da soma, levando em conta os erros, ´ e
x + y ± (∆x + ∆y),
ou seja o erro absoluto da soma ´ a soma dos erros absolutos de suas componentes.
e
1

3. Da mesma maneira, o menor valor poss´ da diferenc,a ´ x − y − ∆x − ∆y e o maior
ıvel e
x − y + ∆x + ∆y. Outra vez podemos escrever o resultado com
x − y ± (∆x + ∆y),
que abrange todos os valores da diferen¸a consistentes com os erros em x e y.
c
Devemos lembrar que, ao escrever o resultado de nosso c´lculo, o erro absoluto final s´
a o
deve conter um algarismo significativo, sendo arredondado se for necess´rio. A posi¸˜o do
a ca
ultimo algarismo significativo da resposta (antes ou depois da v´
´ ırgula) deve ser a mesma do
algarismo significativo no erro.
Exemplo
Uma balan¸a de padaria tem precis˜o de 6g (ou seja o peso real ´ o peso marcado ±6 g).
c a e
Nessa balan¸a um bolo “pesa” 306g e uma torta “pesa” 420g. Quais os pesos poss´
c ıveis dos
dois juntos?
Bem, sabemos que o peso da bola pode ser qualquer valor entre 300g e 312g. Chamando
o peso do bolo x,
x = (306 ± 6) g
Da mesma maneira, o peso da torta, y, ´
e
y = (420 ± 6) g.
Portanto os dois juntos podem pesar
(306 + 420) ± (6 + 6) = 726 g ± 12 g.
Mas nosso erro s´ deve ter um algarismo significativo. Portanto o erro que deve ser apre-
o
sentado com ±10 g. Assim o algarismo significativo do erro ´ o segundo antes da virgula.
e
Assim o ultimo algarismo significativo do resultado tamb´m deveria ser o segundo antes da
´ e
v´ırgula. Olhando a nosso c´lculo temos que arredondar 726 para 730. Finalmente o resultado
a
´ apresentado como
e
730 g ± 10 g.
Erros relativos e percentuais
`
As vezes ´ util ter uma no¸˜o de qu˜o grande ´ nosso erro em rela¸˜o ` medida. Um
e´ ca a e ca a
erro de ±1 m pode ser grande quando estamos medindo o comprimento de uma sala, mas
seria considerado um muito pequeno na distˆncia entre Rio e S˜o Paulo. Assim temos o
a a
conceito de erro relativo de uma grandeza, que ´ simplesmente o raz˜o entre o erro absoluto
e a
na medida dividido por seu valor. Destacamos que, outra vez, nos erros relativos devem
constar somente um algarismo significativo. Assim o erro relativo no peso do bolo acima ´ e
6
= 0, 0196 . . . = 0, 02.
306
O erro percentual ´ simplesmente o erro relativo vezes 100%. Assim o erro percentual no
e
peso do bolo ´ 0, 02 × 100% = ±2%.
e
Multiplica¸ao e Divis˜o com Erros
c˜ a
Muitas vezes precisaremos calcular o produto de duas (ou mais) grandezas, cada uma
com seu pr´prio erro. A regra simples de somar os erros absolutos n˜o funciona neste caso.
o a
2

4. Por´m existe uma regra parecida e simples de decorar, que rapidamente fornece o erro correto
e
na maioria dos casos.
O erro RELATIVO de um produto (ou divis˜o) ´ igual ` soma dos erros
a e a
RELATIVOS das suas componentes.
Esta regra funciona com boa precis˜o quando os erros relativos das componentes s˜o
a a
“pequenos”. Podemos ver porque ao elaborar o produto de x + ∆x com y + ∆y.
(x + ∆x)(y + ∆y) = xy + y∆x + x∆y + ∆x∆y = xy + erro absoluto.
Ora o erro relativo no produto ´ a raz˜o entre o erro absoluto e o valor do produto, xy, ou
e a
seja
y∆x + x∆y + ∆x∆y ∆x ∆y ∆x ∆y
erro relativo = = + + .
xy x y x y
Podemos indentificar os trˆs termos dessa soma como
e
1) o erro relativo em x,
2) o erro relativo em y,
3) o produto dos erros relativo em x e y.
Se os erros relativos das componentes x e y s˜o pequenos, digamos 0,1 e 0,1 respecti-
a
vamente o produto desses erros ´ s´ 0,01 e desprez´
e o ıvel. E olha que erros de 10% n˜o s˜o t˜o
a a a
pequenos assim!
Exemplo Medimos o comprimento, c, e a profundidade, p, de uma mesa com um
metro btendo os valores
c = (1, 51 ± 0, 02) m, d = (0, 76 ± 0, 02) m.
Qual ´ a melhor estimativa da ´rea da mesa, e o erro nesse valor?
e a
A melhor estimativa da ´rea ´ simplesmente o produto cp ou seja 1, 1476 m2 . Este
a e
valor ainda precisa ser ajustado para levar em conta os erros de medi¸˜o. O erro relativo em
ca
c ´ 0, 02/1, 51 = 0, 013245033 e em p ´ 0, 026315789. Portanto a soma dos erros relativos ´
e e e
0, 039560823. O erro (absoluto) no produto ´, portanto,
e
0, 039560823 × 1, 1476 = 0, 0454 m2 .
Antes de apresentar nosso resultado na sua forma definitiva, arredondamos o erro para um
algarismo significativo 0, 0454 → 0, 05. J´ que o erro est´ no segunda casa ap´s a v´
a a o ırgula,
arredondamos o produto para concordar 1, 1476 → 1, 15 e apresentamos a ´rea como
a
A = 1, 15 m2 ± 0, 05 m2 .
Experiˆncia 1: Precis˜o de Instrumentos
e a
Consideremos, por enquanto, a grandeza de comprimento e a sua medi¸˜o. Medir
ca
um determinado comprimento significa compar´-lo com outro, escolhido previamente como
a
padr˜o (de medida). Este processo ´ comum a qualquer medi¸˜o. Assim, toda medida
a e ca
pressup˜e uma unidade b´sica a ser escolhida, sendo portanto arbitr´ria.
o a a
Podemos escolher qualquer cromprimento (desde que n˜o mude) como sendo uma
a
unidade padr˜o de medida para a grandeza (comprimento).
a
3

5. 1. Tome como unidade de medida a tiras de cartolina distribu´
ıda. Escolha um nome para
sua unidade de medida.
2. Me¸a o comprimento, a largura e o diagonal da superf´ superior de sua bancada
c ıcie
usando esta tira como instrumento de medida.
3. Quais s˜o sua melhores estimativas das dimens˜es da bancada em termos da sua
a o
unidade de comprimento, e quais s˜o os erros (absolutos) associados?
a
4. Calcule o perimetro e a ´rea da superf´ da bancada, em termos a unidade de com-
a ıcie
primento utilizada, bem com os erros absolutos das duas grandezas, usando as regras
acima.
5. Defina agora subm´ltiplos da sua unidade de comprimento, dividindo-a em 10 partes
u
iguais (utilize 11 pautas da folha de caderno). Cada peda¸o corresponder´ a um d´cimo
c a e
da unidade original.
6. Me¸a novamente o comprimento, largura e diagonal da sua bancada. Expresse os
c
resultados (com erros) em termos da unidade de medida e de d´cimos desta. Compare
e
a precis˜o deste resultado com a precis˜o do resultado do item (4). Calcule o perimetro
a a
e a ´rea da superf´ da bancada, com erros absolutos. Compare os erros absolutos e
a ıcie
relativos com os obtidos no item (4).
7. Calcule o valor esperado para o diagonal usando o comprimento, a largura e o teorema
de Pitagoras. O resultado ´ igual ao valor que vocˆ mediu? Sen˜o, como explicar os
e e a
valores diferentes?
8. Se vocˆ dividisse cada d´cimo da sua unidade de comprimento em mais 10 partes iguais
e e
e usasse esse novo instrumento de medida para medir o comprimento da bancada, com
quantos algarismos vocˆ expressaria a sua medida? E a ´rea da superf´ da bancada,
e a ıcie
quantos algarismos seriam necess´rios para express´-la?
a a
9. Se voce registrasse essas medidas num relat´rio que informa¸˜es deveriam ser inclu´
o co ıdas
para que, no futuro, outra pessoa pudesse conhecer as dimens˜es da superf´ de sua
o ıcie
bancada apenas lendo este relat´rio?
o
4