1. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 3
Práctica nº 1 :
ECUACIÓN DE BERNOULLI
1.1. INTRODUCCIÓN
La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de
conservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, es
decir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre del
teorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-1782),
quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar los
cambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro
“Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos,
que data de 1738.
Para la deducción de la ecuación de
Bernoulli en su versión más popular se
admitirán las siguientes hipótesis (en
realidad se puede obtener una ecuación de
Bernoulli más general si se relajan las dos
primeras hipótesis, es decir, si reconsidera
flujo incompresible y no estacionario):
• Flujo estacionario (es decir,
invariable en el tiempo).
• Flujo incompresible (densidad ρ
constante). Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli

2. 4 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 2. Portada del libro “Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo.
• Fluido no viscoso.
• Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas
másicas gravitatorias (= peso del fluido).
• No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo.
Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con una
porción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en un cierto instante, con
áreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como la
superficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vector
velocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad es
constante, el caudal Q = vA , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de ser
el mismo para cualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastante
estrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y la
presión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2
respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a una
sola línea de corriente).
Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción de fluido se habrá
desplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales
S1' y S2 . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las
'
distancias dx1 = v1dt , y dx2 = v2 dt . Este desplazamiento conlleva un cambio en la
energía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio de
la Termodinámica, deberá ser igual al trabajo de las fuerzas actuantes sobre ese

3. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 5
elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias.
Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campo
gravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial.
S1 S1'
v1 S2
p1 S2
'
v2
p2
z1 z2
dx1
dx2
Figura 2. Elemento de fluido considerado.
Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante el
tiempo dt, se puede expresar como:
dE = dEC + dEPG = dWP (1)
donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencial
gravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elemento
de fluido.
La variación de energía cinética es igual a la ganancia de energía cinética
habida en la zona de las secciones S 2 − S2 , menos la correspondiente reducción habida
'
en la zona de las secciones S1 − S1' :
v22
v2 v2 v2
dEC = dEC 2 − dEC1 = dm2 − dm1 1 = ρ A2 dx2 2 − ρ A1dx1 1 =
2 2 2 2
(2)
v 2
v 2
⎛v v ⎞
2 2
= ρ A2 v2 dt 2 − ρ A1v1dt 1 = ρ Qdt ⎜ 2 − 1 ⎟
2 2 ⎝ 2 2⎠
De modo análogo, la variación de energía potencial gravitatoria es:

4. 6 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
dEPG = dEPG 2 − dEPG1 = dm2 gz2 − dm1 gz1 = ρ A2 dx2 gz2 − ρ A1dx1 gz1 =
(3)
= ρ A2 v2 dt gz2 − ρ A1v1dt gz1 = ρ Qdt ( gz2 − gz1 )
Por su lado, el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el contorno se
puede determinar evaluando por separado los trabajos sobre las secciones S1 y S2, como
producto de las correspondientes fuerzas de presión por los desplazamientos habidos
durante el intervalo de tiempo dt:
dW1 = p1 A1dx1 = p1 A1v1dt = p1Qdt ⎫
⎬ ⇒ dW = dW1 + dW2 = ( p1 − p2 ) Qdt (4)
dW2 = − p2 A2 dx2 = p2 A2 v2 dt = − p2Qdt ⎭
Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), y dividiendo por Qdt resulta el
teorema o ecuación de Bernoulli:
ρ v12 ρ v2
2
+ p1 + ρ gz1 = + p2 + ρ gz2 (5)
2 2
que puede expresarse en la forma, más habitual en hidráulica:
v12 p v2 p
+ 1 + z1 = 2 + 2 + z2 (6)
2g ρ g 2g ρ g
donde ρ ·g = ϖ es el peso específico del elemento de fluido. En las ecuaciones (5) y (6)
cada uno de los términos representa una energía específica. En el caso de la ecuación
(5) se trata de energía por unidad de volumen de fluido en circulación, o lo que es lo
mismo, potencia por unidad de caudal o, simplemente, presión (las unidades son:
J/m3=W/(m3/s)=Pa). En el caso de la ecuación (6) las unidades son de energía por
unidad de peso de fluido, que es equivalente a una longitud (J/N=m). La interpretación
de cada término es la siguiente:
Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de
posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: E p = mgz . El
término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de
peso, y se le designa como altura de posición.
El término p / ρ g representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso
del elemento de fluido hasta la altura p / ρ g . Se le denomina altura de
presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como
altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna
observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un
líquido.

5. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 7
Finalmente, el término v 2 / 2 g representa la energía cinética por unidad de peso
del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad.
Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidad
más la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro en
la ecuación de Bernoulli:
p v2
H = z+ + (7)
ρ g 2g
La carga representa la energía mecánica del fluido que fluye en la sección por
unidad de peso del mismo. Así pues el teorema de Bernoulli establece que la carga es
constante a lo largo de una línea de corriente bajo las hipótesis iniciales consideradas.
En la práctica todos los fluidos reales son viscosos, y la aplicación de la
ecuación de Bernoulli podrá perder validez en función de la importancia relativa de las
fuerzas viscosas en cada caso. En efecto, la presencia de los esfuerzos viscosos en el
seno del fluido y, en particular, en las zonas inmediatamente adyacentes a los contornos
(zonas de capa límite), hace que el fluido deba emplear parte de su energía mecánica en
compensar el trabajo de oposición de las fuerzas viscosas; éste es un trabajo no
reversible, por lo que paulatinamente se produce una transformación de energía
mecánica en energía interna (es decir, calor).
Altura total
v1 hf
2g Línea de energía
v2
p1 2g
ρg Línea piezométrica
p2
ρg
z1 Línea de posición
z2
Figura 4. Representación gráfica de las líneas de energía,
piezométrica y de posición.

6. 8 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
Desde el punto de vista de la ecuación de Bernoulli, esta transformación se
contabiliza como una disminución progresiva de la altura de energía o pérdida de
carga hf. Si H1 es la carga del fluido en la sección S1 y H2 la carga del fluido en la
sección S2, se tendrá:
⎛ v2 p ⎞ ⎛ v2 p ⎞
h f = H1 − H 2 = ⎜ 1 + 1 + z1 ⎟ − ⎜ 2 + 2 + z2 ⎟ (8)
⎝ 2g ρ g ⎠ ⎝ 2g ρ g ⎠
La pérdida de carga hf será tanto mayor cuanto más separadas estén entre sí las
posiciones S1 y S2. Ello significa que, a lo largo de una conducción, la línea de energía,
que es la representación gráfica de la altura de energía para cada posición, será una
línea con pendiente negativa (Figura 4).
En el caso de una tubería de sección constante la altura de velocidad ha de
permanecer invariable, y en ese caso las líneas de energía y piezométrica son paralelas;
si además se trata de una tubería horizontal, la pérdida de carga se manifiesta
exclusivamente como una pérdida de presión.
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN
La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en el
laboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo. En la Figura
5 se muestran dos fotografías de dicho dispositivo experimental. Como puede
observarse en esa figura, el dispositivo consta de nueve tubos verticales, llamados tubos
piezométricos o piezómetros, soldados a un tubo horizontal. Las secciones de cada tubo
piezométrico se indican en la Tabla I.
Tabla I. Secciones de los tubos piezométricos.
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S(cm2) 6.45 5.48 3.81 2.69 2.69 3.48 4.64 5.81 6.45
El conducto horizontal, al que van soldados los tubos piezométricos, presenta
un estrechamiento de su sección, similar a un Venturi, como el que se representa en la
Figura 6.
La disminución de la sección de paso del fluido en el Venturi, provocará un
aumento de la velocidad del flujo en dichas secciones, que debe ser compensado con
una disminución de la altura piezométrica, puesto que el teorema de Bernoulli establece
la conservación de la carga o energía mecánica del fluido en cada línea de corriente.

7. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 9
Figura 5. Dispositivo experimental. Arriba: inclinado. Abajo: horizontal.
Nótese en el caso inferior la curva piezométrica definida por la altura del
agua en cada piezómetro
En los extremos del conducto de paso de la corriente de agua se encuentran
ubicados dos depósitos: uno a la izquierda, por el que el fluido penetra en la instalación
y otro a la derecha, por el que el fluido abandona la instalación.
En la parte posterior de los piezómetros, sobre un panel, se encuentra una escala
graduada en mm, sobre la que se determina la altura piezométrica alcanzada por el
fluido en cada tubo.

8. 10 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
Detrás del dispositivo experimental, se encuentra situada una llave de paso que
permite, mediante una menor o mayor apertura, la regulación del caudal que fluye por
la instalación. Dicho caudal se determina mediante un método volumétrico, es decir, se
dispone de un recipiente tipo probeta para calibrar el volumen de fluido, y se mide
mediante un cronómetro el tiempo necesario para alcanzar un volumen determinado de
fluido en la probeta. De esta forma se establece el caudal de fluido circulante, y
conocida la sección de cada tubo, puede calcularse la altura de velocidad
correspondiente a cada uno de ellos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 6. Posiciones de toma de presión en el conducto.
Finalmente, el dispositivo puede situarse en una posición horizontal o con un
cierto ángulo de inclinación α. En el caso de situar el dispositivo en posición
completamente horizontal, la altura de posición para todos los tubos piezométricos es la
misma, y se toma cono nivel de referencia con cota cero. Sin embargo, si el dispositivo
se inclina un cierto ángulo α, la altura de posición de los tubos piezométricos difiere de
unos a otros y debe tenerse en cuenta en la ecuación de Bernoulli.
1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL
El objetivo fundamental de la práctica es comprobar el teorema de Bernoulli
experimentalmente. Para ello, será necesario determinar la altura piezométrica, la altura
de velocidad y la altura de posición, cuando corresponda, en cada uno de los tubos
piezométricos.

9. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 11
1.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal.
Con el dispositivo experimental situado en posición completamente horizontal,
de modo que la línea de posición para todos los tubos piezométricos sea la misma (que
tomaremos como nivel de referencia cero), se procede a la apertura de la llave de
regulación y se espera hasta que el caudal de fluido circulante se haya estabilizado para
asegurar que se dispone de un flujo en régimen permanente o estacionario.
Una vez estabilizado el flujo, es necesario en primer lugar establecer el caudal
que fluye por la instalación. Como se ha comentado anteriormente, se dispone para ello
de una probeta calibrada en volumen y de un cronómetro. De este modo, determinado
el tiempo que el fluido circulante tarda en alcanzar un determinado volumen de la
probeta, podemos establecer el flujo volumétrico mediante la simple relación:
Q = Volumen (9)
Tiempo
Es obvio que debe satisfacerse la ecuación de continuidad de la masa, por lo que
el caudal se mantiene constante a lo largo de todo el tubo horizontal. De este modo, se
puede determinar la velocidad del fluido, y por tanto la altura de velocidad, en cada
tubo piezométrico mediante la relación:
Q
vi = i = 1, 2,...,9 (10)
Ai
donde Ai es el área de cada tubo piezométrico indicada en la Tabla I.
Falta tan solo determinar la altura piezométrica, que se obtiene mediante lectura
directa de la altura alcanzada por la columna de fluido en cada tubo sobre la escala
milimétrica situada detrás de ellos.
Una vez realizadas todas las medidas, deben exponerse en una tabla, que se
incluirá en el informe posterior, y en la que debe indicarse cuál es la pérdida de carga
que tiene lugar en cada piezómetro, respecto del primer tubo piezométrico. Se
procederá a continuación a realizar una representación gráfica de estos resultados,
similar a la que aparece en la Figura 7, comentando las peculiaridades que se observen
en la misma. Téngase en cuenta que si no se produjesen pérdidas por rozamiento, la
línea de altura total que se obtendría sería una línea horizontal.
El procedimiento descrito debe repetirse, como mínimo, para otro valor del
caudal de fluido circulante por la instalación.

10. 12 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado
Se trata ahora de realizar una comprobación más general del teorema de
Bernoulli: cuando la altura de posición de los tubos piezométricos es diferente entre
unos y otros. Para ello, se inclina el dispositivo experimental un cierto ángulo α que el
alumno debe determinar. Teniendo en cuenta el ángulo de inclinación, se puede
determinar la altura de posición de cada tubo piezométrico mediante la aplicación de
reglas trigonométricas sencillas.
Repitiendo el procedimiento del apartado anterior, se calibra el caudal que
circula por la instalación y se determina la altura de velocidad de cada piezómetro. Los
tubos piezométricos están ahora inclinados, por lo que la lectura directa de la altura de
columna de fluido alcanzada en cada uno de ellos no es vertical. La altura piezométrica
se obtiene entonces mediante relaciones trigonométricas sencillas.
Comprobación del teorema de Bernoulli
33
30
Altura de velocidad
27 Altura piezométrica
24 Altura total
21
Altura (cm)
18
15
12
9
6
3
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de piezómetro
Figura 7. Ejemplo de evolución de las alturas piezométrica, de velocidad y de
energía (o total), a partir de los datos medidos.
Se dispone ya de todos los datos experimentales que deben incluirse en forma
de tabla en el informe, indicando de nuevo, como en el apartado previo, cuál es la

11. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 13
pérdida de carga o energía que corresponde a cada posición de medida respecto a la del
primer tubo piezométrico.
A continuación debe realizarse una nueva representación gráfica de los datos tal
como la que se encuentra en la Figura 7, pero añadiendo la línea de posición. El
procedimiento descrito debe repetirse como mínimo para dos valores distintos del
caudal de agua que circula por la conducción.