El documento describe las dificultades que tienen el 70% de los estudiantes con la resolución de problemas matemáticos, como imitar modelos sin entenderlos, hacer todos los pasos aunque no sean necesarios o aceptar resultados sin revisarlos. También analiza las creencias de los estudiantes sobre los problemas y sus características, y propone un modelo de enseñanza basado en 5 metamodelos (estructuración, enlaces, transformación, composición e interconexión) para ayudar a los estudiantes a mejorar en la resolución de problemas
2. Situación
✤ EL 70 % del alumnado tiene dificultades con la resolución de problemas:
✤ imitar modelos realizados anteriormente
✤ articulando preguntas que dejan translucir la falta de seguridad y conceptos básicos
✤ usan todos los datos del problema aunque no sea necesario
✤ aceptan el resultado sin revisar y aunque sea totalmente imposible
3. Concepto
✤ Las creencias de los estudiantes al respecto, influenciarán en la forma en que
ellos se enfrenten a tales problemas.
✤ Determinar las creencias acerca de los problemas matemáticos y su papel en
el proceso de enseñanza aprendizaje permitirá una mejor aproximación a la
enseñanza de esta disciplina a través de la resolución de problemas
4. Características
✤ Es no-algorítmico, en el sentido de que el camino para la resolución no está completamente
especificado con anterioridad
✤ Es complejo en cuanto que el camino no es “visible” desde un único punto de vista
✤ Con frecuencia da lugar a soluciones múltiples o variadas formas de acceder a la resolución
✤ Hay incertidumbre ya que en un principio no se conoce todo lo que se requiere para
desarrollar la tarea
✤ Se requiere gran cantidad de de trabajo mental con el propósito de desarrollar las
estrategias y los criterios involucradas
6. Qué entienden los niños por problema
✤ Acomodación operativa con necesidad de resolución (alumnos que identifican problema con una
determinada forma de presentación, en la que incluyen un conjunto de operaciones "disfrazadas")
✤ Reflexión operativa
✤ Consciente (aquellos niños que reflexionan, razonando la estrategia que utilizan. Suelen ser ágiles de
pensamiento y creativos. Generalmente, terminan correctamente el problema y son capaces de
explicar el proceso seguido)
✤ Inconsciente (aquellos sujetos que saben que hay que pensar pero que no lo han asimilado en su
forma de actuar; suelen proceder de manera similar a la expresada en la clase 1 - Acomodación
operativa...-)
✤ Sustitución de contenido (confunden el instrumento con su función. Entienden por problema un
conjunto de operaciones difíciles. Una operación es un problema siempre que ésta sea difícil.
Generalmente, no llegan a la solución. Dejan la resolución del problema a medias. Lo dan por terminado
cuando aun no es así; es el "hacer por hacer".)
✤ Imitación de iniciativas (aquellos alumnos que hacen bien, únicamente, lo que saben hacer. No son
creativos y se sienten felices con la reiteración de ejercicios. Protestan cuando no se han hecho problemas
similares,)
✤ Negación consciente (los sujetos que se han rendido ante la resolución de problemas. Creen que es algo
inaccesible para ellos. Suelen dejar el problema en blanco, ni lo intentan.)
11. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Problemas
1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
12. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Problemas
1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
13. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Problemas
1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
14. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Problemas
1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
15. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas
enseñanza 1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
16. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
17. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. No se encuentra relación entre
partes del problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
18. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. Modelo de enlaces 2. No se encuentra relación entre 2. Representación del
partes del problema problema
3. No se sabe qué pasos dar para
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
19. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. Modelo de enlaces 2. No se encuentra relación entre 2. Representación del
partes del problema problema
3. No se sabe qué pasos dar para 3. Trazamos un plan
3. Modelo de Transformación
resolver el problema
4. El problema en su globalidad
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
20. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. Modelo de enlaces 2. No se encuentra relación entre 2. Representación del
partes del problema problema
3. No se sabe qué pasos dar para 3. Trazamos un plan
3. Modelo de Transformación
resolver el problema 4. Ejecutamos el plan
4. El problema en su globalidad
4. Modelos de Composición abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por
temor a equivocarse
21. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. Modelo de enlaces 2. No se encuentra relación entre 2. Representación del
partes del problema problema
3. No se sabe qué pasos dar para 3. Trazamos un plan
3. Modelo de Transformación
resolver el problema 4. Ejecutamos el plan
4. El problema en su globalidad
4. Modelos de Composición abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por 6. Reconstrucción del
5.Modelos de Interconexión temor a equivocarse problema en otro escenario
22. Enseñanza/aprendizaje de resolución de problemas
Metamodelo de Problemas Pasos Alumno
enseñanza 1. No se identifican partes del 1. Comprensión del problema
1. Modelo de Estructuración
problema
2. Modelo de enlaces 2. No se encuentra relación entre 2. Representación del
partes del problema problema
3. No se sabe qué pasos dar para 3. Trazamos un plan
3. Modelo de Transformación
resolver el problema 4. Ejecutamos el plan
4. El problema en su globalidad
4. Modelos de Composición 5.Comprobamos la solución
abruma al niño
5.El niño no se atreve a resolver por 6. Reconstrucción del
5.Modelos de Interconexión temor a equivocarse problema en otro escenario
30. Metamodelos de enseñanza
Generativos
Ana tiene monedas de un
euro y Pedro de 20
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
31. Metamodelos de enseñanza
Generativos
Ana tiene monedas de un
euro y Pedro de 20
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
32. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Ana tiene monedas de un
euro y Pedro de 20
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
33. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
El niño no distingue la
Ana tiene monedas de un
pregunta del enunciado, no
euro y Pedro de 20
sabe por dónde empezar
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
34. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Ana tiene monedas de un
euro y Pedro de 20
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
35. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Al implicar al niño en la
Ana tiene monedas de un
elaboración del problema
euro y Pedro de 20
se el ayuda a que se haga
céntimos:¿Quién de los dos
una representación mental
se puede comprar más
del problema
cosas?
36. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Ana tiene monedas de un
euro y Pedro de 20
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
37. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
38. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
39. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
40. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya No se conecta la pregunta
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas con el enunciado
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
41. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
42. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Aprende a generar
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya conexiones entre los datos
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas y las preguntas y las
céntimos:¿Quién de los dos operacioens necesarias
se puede comprar más
cosas?
43. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas
céntimos:¿Quién de los dos
se puede comprar más
cosas?
44. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
45. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
46. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
47. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
48. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
Los estudiantes usan todos
los datos del problema y
aplican la primera
operación que pillan
49. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
50. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
Se le pide al niño que
determine el dato que el
falso, o se mezclan
preguntas de dos
problemas
51. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
52. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
centimos y 12 de 20. Cuanto
dinero hay en la hucha?.
SOL: 18 euros
53. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
centimos y 12 de 20. Cuanto
dinero hay en la hucha?.
SOL: 18 euros
54. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50 Los estudiantes dan una
centimos y 12 de 20. Cuanto solución sin revisar si es
dinero hay en la hucha?. posible.
SOL: 18 euros
55. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
centimos y 12 de 20. Cuanto
dinero hay en la hucha?.
SOL: 18 euros
56. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50 Se le pide al niño que
centimos y 12 de 20. Cuanto complete datos, crear
dinero hay en la hucha?. problema a partir de
SOL: 18 euros soluciones..
57. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
centimos y 12 de 20. Cuanto
dinero hay en la hucha?.
SOL: 18 euros
58. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
59. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
60. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición Los estudiantes no saben
En una hucha hay 12 resolver problemas que no
monedas deeuro, 12 de 50 has resuelto antes
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
61. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
62. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición Resolver problemas muy
En una hucha hay 12 diferentes : poemas, textos
monedas deeuro, 12 de 50 con datos, inventar
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto problemas con un
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?. vocabulario específico
solución sea correcta
SOL: 18 euros
63. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición
En una hucha hay 12
monedas deeuro, 12 de 50
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
64. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Crea un problema para esta
Ana tiene monedas de un Inventa un problema cuya pregunta:¿Cuántas
euro y Pedro de 20 solución sea 16 páginas preguntas le quedan a
céntimos:¿Quién de los dos Susana por leer?. SOL: 32
se puede comprar más
cosas?
De interconexión
De transformación
De composición
En una hucha hay 12 Usando los datos de esta
monedas deeuro, 12 de 50 tabla contesta a esta
Completa los que falta en
centimos y 12 de 20. Cuanto pregunta
este enunciado para que la
dinero hay en la hucha?.
solución sea correcta
SOL: 18 euros
65. Metamodelos de enseñanza
Generativos De estructuración De enlaces
Los alumnos se sienten El niño no distingue la No se conecta la pregunta
inseguros, están seguros de pregunta del enunciado, no con el enunciado
que no van a saber sabe por dónde empezar
De interconexión
De transformación
De composición
Los estudiantes usan todos Los estudiantes no saben
los datos del problema y Los estudiantes dan una resolver problemas que no
aplican la primera solución sin revisar si es has resuelto antes
operación que pillan posible.
85. La Tarea
✤ Pasar la pregunta (¿qué es un ✤ Reservar una sesión semanal
problema matemático para tí?) para trabajar en formato taller
y organizar los resultados diferentes tipos de problemas
(metamodelos).
✤ Leer los artículos
recomendados y si es posible el ✤ Revisar la documentación
libro: Técnicas Creativas para la referida y seleccionar
Resolución de Problemas problemas y comenzar a
Matemáticos o la Resolución de trabajar con éstos.
Problemas Matemáticos (2010)
J.A. Fernández Bravo
86. Metodología General
Metodología de trabajo
✤ En parejas se trabaja el problema
✤ En grupos de 4 se amplía la comprensión
✤ En gran grupo se comunican las conclusiones y el profesor pregunta y
contrapregunta
✤ Al final del cada problema verbalizamos las fases por las que hemos ido
pasando (estrategia de resolución)