1. Relaciones y
Funciones

2. Trabajo Práctico Nº 3
Relaciones y Funciones
1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A.
2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A C y B D.
Observe que A x B C x D.
b) Suponiendo que A x B C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A C y B D ?. Explique.
3) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R A x B
mediante (x,y) R x + y 5.
i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1.

3. 4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10}
y las relaciones R A x B ; S B x C, definidas por :
(x,y) R y = x2 y (y,z) S z = y/2
Se pide : i) Determinar R y S por extensión.
ii) Definir la composición S º R A x C por extensión.
iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.
R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }
S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x N0 / x 3 }
6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida en
A /(a,b) R1 el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1
reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.

4. 7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = {(a, b) / a b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}.
¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es
relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ?
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos ,
tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ?
¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?
¿ es una relación de orden ?
9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que
pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la
transitividad : xRy xRy yRx xRx

5. 10) a) Determinar si el conjunto P = { A1; A2 } constituye una
partición de Z con A1 = {x Z : 2 x} y A2 = { x Z : 2 x }
b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;
Q = { N; Z- }
11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación “ ”.
12) Analizar si (N, ) y (N, ) son láttices.
13) Representar gráficamente las siguientes relaciones :
1
a) f : R R / f(x) = -5 x b) g : Zpares Z / g(x) = x
c) h : N N / h(x) = 2 x + 3 2

6. 14) Sean las relaciones fi : R R con i = 1,2, . . . . 6 dadas por las
fórmulas :
f1(x) = - 3 x + 4 x 1 si x 0
f2(x) = - x2 + 4 x – 3 f4(x)= 3 si x 0
f3(x) = log 2 ( 2x - 3 ) x3 1 si 2 x 0
2x si x 0
2
f6(x) = f5(x) = 1 si 0 x 1
x 3
ln x si x 1
a) Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación
resulte una función
b) Represente gráficamente cada una de las fi
c) Clasifique cada una de las fi
d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f-1

7. Conjunto de partes Se escribe P(A) se lee “partes de A”
y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden
formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío
Sea A { a, b, c } {}=
{a} •a A •a •b {a,b}
El número de
•a
elementos que
{b} •b •b •a •c {a,c} conforman
P(A) es 2n
•c donde n = A
{c} •c •b •c {b,c}
A se lee cardinal del
•a •b •c {a, b, c} conjunto A y es igual a
la cantidad de
elementos que tiene el
entonces el conjuntos de partes de A es: conjunto A
P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} }

8. Producto Cartesiano
Dado un conjunto A = { a, b } y un conjunto B = { 1, 2 }
El producto cartesiano A x B se A B
forma con todos los pares ordenados •a •1
posibles conformados por elementos
del conjunto A en el primer lugar del
par ordenado y elementos del conjunto •b •2
B en el segundo lugar del par ordenado
A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1),(b, 2) }
También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados
B En el eje de abscisas (x) el conjunto A
A x B
2 En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
(a, 2) (b, 2) y los pares ordenados en las intersecciones de
1 las perpendiculares a cada uno de los ejes, que
(a, 1) (b, 1) pasan por los elementos involucrados
a b A

9. 1) Si A = { 1, 2 } P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} }
Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con
los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A)
P(A) xA = { ( ,1); ( ,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) }
observa que en cada par ordenado, el 1er elemento P(A)
y el 2do elemento A
1 2
2) a) Si A={a} B={2} C = { a, b } D = { 1, 2 }
C D
A C x D = { (a,1); (a,2); (b,1); (b,2) }
•a •1
ubicamos ahora A C y B D
B
•b •2 A x B = { (a,2) }
en ejes cartesianos el único par ordenado de AxB; (a,2) CxD
B A x B
entonces A x B CxD
C x D
2
(a, 2) (b, 2)
1
(a, 1) (b, 1)
a b A

10. 2 b) Si A x B C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A C y B D ?. Explique.
Si a A (a, b) A x B, b B
si el elemento a pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (a, b) pertenece
al producto cartesiano A x B para todo elemento b que pertenece al conjunto B
Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con
cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del
producto cartesiano A x B
Por la consigna del ejercicio A x B C x D , entonces . . .
si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego a C, luego A C
Análogamente puede hallarse que B D
si b B (a, b) A x B, a A
por la consigna del ejercicio A x B C x D , entonces . . .
si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego b D, luego B D

11. Relaciones Dado un producto cartesiano A x B,
si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares
ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad,
existe una relación R A x B (x,y) R : x A Y B
incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y)
que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A
y que el elemento y pertenece al conjunto B
A B
•1 •2 Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 }
En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) }
•2 •3
Definimos R A x B : (x,y) R y = 2x
De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden
verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede
suceder que ningún par ordenado verifique la condición
Analizamos
en el par (1, 2) x=1 y=2 2=2 1 entonces (1, 2) R
en el par (1, 3) x=1 y=3 Y=2x
3 2 1 entonces (1, 3) R
en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2 2 2 entonces (2, 2) R
en el par (2, 3) x = 2 y = 3 3 2 2 entonces (2, 3) R
R = { (1, 2) }

12. La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:
R = { (x, y) / x A y B y = 2x }
Observe que la definición por comprensión considera:
los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y)
a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x A; y B
cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y = 2x
La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas
R A x B A R B
B B
A 2 3
(1, 3) (2, 3) A x B •2
3 •1
1 x -
(1, 2) (2, 2)
2 •2 •3
2 - -
1 2 A
Ejes cartesianos Diagramas de Venn Tabla de R

13. 3) Si A = { x N/1 x 5}
por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 3, 4, 5 }
A R B
Se define R A x B mediante
(x,y) R x + y 5. •1 •3
•2
1+3=4 5 (1, 3) R 4+3=7 5 (4, 3) R •4
1+4=5=5 (1, 4) R 4+4=8 5 (4, 4) R •3
1+5=6 5 (1, 5) R 4+5=9 5 (4, 5) R •4 •5
2+3=5=5 (2, 3) R 5+3=8 5 (5, 3) R •5
2+4=6 5 (2, 4) R 5+4=9 5 (5, 4) R
2+5=7 5 (2, 4) R 5 + 5 = 10 5 (5, 5) R en Diagrama de Venn
3+3=6 5 (3, 3) R
3+4=7 5 (3, 4) R R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) }
3+5=8 5 (3, 5) R
A x B R-1 se conforma con los pares
B ordenados de R, pero cambiando
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
5 el orden de los elementos en
cada par
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
4 Si (x,y) R entonces (y,x) R-1
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) }
3 R
R-1 = { (y, x) BxA y+x 5}
1 2 3 4 5 A
En Gráfico cartesiano

14. Composición de Relaciones
A R B
Sean los conjuntos A; B y C S C
a 1 v
Y entre ellos se establecen w
relaciones b 2
R: A B y S: B C
Definimos la composición de R y
S, que se escribe S R Como una relación que va de A en C
(a, w) S R (a, 2) R y (2, w) S S R = { (a, w) }
Puede suceder: S R
A R B S C
a 1 v
Entonces:
w
b 2
S R = { (b, w); (b, v) }

15. 4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } C = {2 ;3 ;8 ;10}
y la relación R AxB; S B x C, definidas por :
A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4);
(3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) }
de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x2 surge que
(x,y) R y = x2 ; R AxB R = { (1,1); (2,4); (4,16) }
C
B
2
A B 4
1 1
1 3
6 10
2 6
3 4 8
4 16
5 16
B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10);
(6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }
analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2 surge que
(y,z) S z = y/2 ; S BxC S = { (4,2); (6,3); (16,8) }

16. El dominio de la relación R es
Si R = { (x,y) A x B / y = x2 } un conjunto formado por todos
los elementos del primer
conjunto (A), que intervienen
A R en la relación
1
B
1
La imagen de la relación R es un
2 conjunto formado por todos los
3 4
4 6
elementos del segundo conjunto
(B) que intervienen en la relación
5 16
Dm R = { 1, 2, 4 } Im R = { 1, 4, 16 }
El dominio de la relación S es un
conjunto formado por todos los S = { (y,z) B x C / z = y/2 }
elementos del primer conjunto (A),
que intervienen en la relación S C
B
1 2
La imagen de la relación R es un
conjunto formado por todos los 4 3
elementos del segundo conjunto 6 10
8
(B) que intervienen en la relación
16
Dm S = { 4, 6, 16 } Im R = { 2, 3, 8 }

17. S R es la composición de dos relaciones
Sean R: A B y S: B C S R = S[R]
A R B B S C
1 1 1 4 2
3 2 4 6 3
5 4 6 16 10
16 8
Que se lee S cerito R ó R compuesta con S Se conforma con los
elementos de A y de C
De manera que (x,z) S R (x,y) R (y,z) S
(1, 1) R pero 1 B no se relaciona con ningún elemento de C
(2,4) R y (4,2) S entonces (2,2) S R S R = { (2,2); (4,8)}
3 A no se relaciona con ningún elemento de B
Dm S R = { 2, 4 }
(4,16) R y (16,8) S entonces (4,8) S R
5 A no se relaciona con ningún elemento de B Im S R = { 2, 8 }
A R B S C
1 1 2
3 2 4 3 10
6 8
5 4
16

18. Propiedades de las Relaciones
Cuando decimos que una Relación R está definida en A2 , decimos que :
Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por
elementos x A y elementos y A
si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no)
puede suceder que : 5 6 7 8 9 11
Cada elemento del Si algún(os) elemento(s) de
conjunto A se relaciona A se relaciona(n) consigo Si ningún elemento de A se
consigo mismo mismo. relaciona consigo mismo
A A A
•a
•b •a •b •a •b
Es Reflexiva Es No reflexiva Es Arreflexiva
x :x A (x, x) R x /x A (x, x) R x: x A (x, x) R
para todo elemento x se verifica que existe(n) xtal que para todo elemento x se verifica que
si x pertenece al conjunto A x pertenece al conjunto A si x pertenece al conjunto A
entonces y el par ordenado (x, x) no entonces el par ordenado (x, x) no
el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R pertenece a la Relación R
pertenece a la
Relación R
5-6 7-8-9 11

19. Es Simética A
Si para cada par de elementos de A, (x,y)
que se relacionan, el par simétrico •a •b
también pertenece a la relación
x y A : (x, y) R (y, x) R •c
Es No simétrica A
Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que 5 6
•a •b
se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que
también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no 7 8
•c
x y A / (x, y) R (y, x) R 9 11
A
Es Asimétrica
Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se •a •b
relacionan, tiene par simétrico que también
pertenece a la relación •c
x y A : (x, y) R (y, x) R
A
Es Antisimétrica
Si en cada par de elementos de •a •b
A, (x,y) que admite
simétrico, sucede que x = y •c
x y A : (x, y) R (y, x) R x = y
5-6 7-8-9 11

20. Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y) R y
(y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R
A
Es transitiva
•a •b x,y,z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R
•c
5 6 7 8 9 11
Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y) R y
A (y,z) R pero el par ordenado (x, z) R (otros no)
•d •a •b Es No transitiva
•c x y z A / (x,y) R (y,z) R (x,z) R
Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y) R y A
(y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R
•d •a •b
Es Atransitiva
•c
x y z A : (x,y) R (y,z) R (x,z) R
5-6 7-8-9 11

21. Clasificación de las Relaciones
Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva
Es Relación de Equivalencia
Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Es Relación de Orden amplio 5 6 7 8 9 11
Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva dicho de otra
manera, hay pares
Es Relación de Orden estricto
ordenados de
elementos que no se
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . . relacionan entre sí de
a, b / (a, b) R (b, a) R ninguna forma
Es Relación de Orden parcial en caso contrario . . .
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .
a b (a, b) R (b, a) R dicho de otra manera, todos los
elementos diferentes se relacionan
Es Relación de Orden total entre sí al menos de una forma
5-6 7-8-9 11

22. 5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
A
En el diagrama de Venn y en la definición por
-3 0 extensión se aprecia que hay elementos que se
relacionan consigo mismo
-2 Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo
-1 Reflexiva
mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3) R
entonces x A / (x, x) R la relación es No Reflexiva Simétrica
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí Transitiva
en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3) R pero (-3,-1) R ; pero también hay
pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1) R y (0, 0) R. Clasificación
Escribir x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica
( -1, -1 ) R ( -1, -3 ) R ( -1, -3 ) R
Es transitiva
( -2, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( -2, 0 ) R
( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R
( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R
5 b
No es Relación de Equivalencia

23. 5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x N0 / x 3}
Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
A En el diagrama de Venn y en la definición por
3 0 extensión se aprecia que todos los elementos del
conjunto A se relacionan consigo mismo
Reflexiva
2 x: x A (x, x) R la relación es Reflexiva
1 Simétrica
En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se
Transitiva
relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2) R ;
Podemos
pero (2, 3) R pero también hay pares ordenados que tienen Clasificación
escribir
simétrico, como: (1, 1) R y (0, 0) R.
x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares
ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica
( 3, 3 ) R ( 3, 2 ) R ( 3, 2 ) R pero . . .
( 3, 2 ) R ( 2, 1 ) R ( 3, 1 ) R Es No transitiva
No es Relación de Equivalencia

24. 6) (a,b) R1 el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b.
Asumimos que A es un conjunto de libros Libro 1 $ 30 60 hojas
que en precio y cantidad de hojas es tan Libro 2 $ 15 120 hojas
amplio como sea posible Libro 3 $ 45 50 hojas
Por ejemplo . . .
Libro 4 $ 7 80 hojas
R1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1); Reflexiva
Libro 5 $ 12 70 hojas
(3,2); (3,4); (3,5); (5,4) }
Simétrica
Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo
que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva Transitiva
Clasificación
La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene
menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga
menos hojas que el libro 1. (1,2)
Si R (2, 1) R. Es Asimétrica
Por ejemplo . . . (1, 5) R (5,4) R (1,4) R y en general, si un libro a cuesta
mas y tiene menos hojas que b
( a, b ) R ( b, c ) R ( a, c ) R (a, b) R
entonces necesariamente el libro a y el libro b cuesta mas y tiene menos
cuesta mas y tiene menos hojas que hojas que el libro c (b, c) R
el libro c (a, c) R
Es transitiva
Es Relación de Orden Estricto

25. 7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = { (a, b) / a b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }.
Los elementos que conforman los pares ordenados son
sucesiones de ceros y unos, por ejemplo :
00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc. . .
Reflexiva
R es un conjunto infinito . . . porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos
Simétrica
Sabido es que cada cadena tendrá
así, afirmamos que : Transitiva
exactamente la cantidad de ceros
que ella misma tiene Clasificación
x: x A (x, x) R la relación es Reflexiva
si la cadena x tiene igual cantidad
de ceros que la cadena y (x, y) R (y, x) R la relación es Simétrica
la cadena y tendrá igual cantidad
si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que
de ceros que la cadena x
la cadena y
y la cadena y tiene igual cantidad
entonces la cadena x tiene igual de ceros que la cadena z
cantidad de ceros que la cadena z
(x, y) R (y, z) R (x, z) R la relación es Transitiva
Por tanto R es Relación de Equivalencia

26. 8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros
positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}.
La relación R está conformada por pares ordenados de números
enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea
un entero positivo impar
En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén Reflexiva
conformados por el mismo elemento , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4)
Simétrica
En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar
Transitiva
x: x A (x, x) R luego, la relación es Arreflexiva
Clasificación
Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado
positivo, solamente si x > y en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo
,
x y A : (x, y) R (y, x) R luego, la relación es Asimétrica
Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z y – z entero
positivo
Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar, si z es par
impar
x – z será entero positivo par (x,y) R (y,z) R pero (x,z) R y – z entero
Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar, si z es impar positivo
impar
x – z entero (x,y) R (y,z) R pero (x,z) R
positivo par
luego, la relación es Atransitiva

27. 9) El razonamiento falso dice que:
si x R y xRy yRx xRx de otra manera
( x, y ) R (y,x) R (x,x) R
Si una relación es simétrica y transitiva . . . es reflexiva
( x, y ) R xRy yRx xRx
Reflexiva
el par ordenado ( x, y ) porque la relación debe ser y también transitiva
pertenece a la relación R simétrica (por hipótesis) por hipótesis Simétrica
Supongamos una relación definida en A
Transitiva
A Igualmente, ahora decimos que si
a x ( y, x ) R yRx xRy yRy
Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia
y de la simetría y de la transitividad
Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún
otro, no se establecen la simetría ni la transitividad
(por ejemplo el elemento a)
Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo
Observa que la relación definida en A es
simétrica y transitiva, pero No Reflexiva

28. PARTICION DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer
una partición de A
Conformando con los elementos de A
subconjuntos Ai ; Aj ; . . . .
A Así tenemos por ejemplo
A2
1 A1 = { 1; 4 } A2 = { 2; 3 } A3 = { 5 }
2
A1
A3 3
4 Donde: 1) A1 ; A2 ; A3
5
2) A1 A2 = A1 A3 = A2 A3 =
P = {A1; A2; A3 } es partición de A 3) A1 A2 A3 = A
Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto
vacío (tienen algún elemento) Ai
La intersección entre todos los subconjuntos
tomados de a dos, es vacía. Ai Aj =
La unión de todos los subconjuntos es igual al
conjunto particionado . . . Aj Aj . . = A

29. 10) a) A1 = {x Z:2 x} y A2 = { x Z:2 x } con P = { A1; A2 }
A1 está conformado por todos los números
A1 = { enteros pares}
enteros que son divisibles por 2
A2 está conformado por todos los números
A2 = { enteros impares}
enteros que no son divisibles por 2
1) A1 y A2 2) A1 A2 = 3) A1 A2 = A
si un entero es par, no es impar; los enteros pares con los impares; conforman
y viceversa la totalidad de los elementos del conjunto de
números enteros
P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros )
Son subconjuntos de Q
N (naturales)
b) Evaluar si Q = { N; Z- } es partición de Z -
Z (enteros negativos)
- - -
1) N y Z 2) N Z = 3) N Z Z
porque en N están todos los enteros positivos
- -
(Z +) y en (Z ) los enteros negativos pero . . . 0 N y 0 Z
Q = { N; Z- } NO es partición de Z
(no verifica la tercera condición)

30. 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3} C = {3}
escribimos por extensión la relación “ ” definida en M
todo conjunto está incluido en sí mismo
el conjunto vacío está en todos los conjuntos
A
B 2 R = { (A,A); (B,B); (C,C); ( , ); ( ,C); ( ,B); ( ,A);(C,B); (C,A); (B,A) }
1
C La Relación en M
3 4 diagrama de Venn será :
cada elemento se relaciona C
consigo mismo
Es Reflexiva
A B
si A B y B A; A B No Simétrica
Pero al ser reflexiva, cada par Antisimétrica
reflexivo, tiene simétrico, entonces . . . en la relación de inclusión
siempre está presente la
Si C B; y B A C A
transitividad . . .
Transitiva
Es una Relación de Orden Amplio

31. LATTICES
Cota Superior y única
Un conjunto ordenado es láttice si Mínima
cualesquiera dos elementos en el
Cota Inferior
conjunto tienen y única
Máxima
Sea A = { a, b, c, d, e, f, g } y se define en él la relación R
R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e);
(b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (e,g); (f,g); (g,g)}
Un conjunto es ordenado si sus
Reflexiva Antisimétrica Transitiva elementos se vinculan mediante una
relación de orden
Relación de orden
a Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con
para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo
b d unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre
c sí, por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e) R pero (b,a); (d,a);
(e,c) R
e f y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los
elementos que se vinculan a través de los segmentos
g
por ejemplo :
(a,b) R (b,e) R (a,e) R
(a,c) R (c,f) R (a,f) R
(a,f) R (f,g) R (a,g) R

32. Sea el conjunto ordenado A
en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica
y transitiva)
R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d);
(b,e); (a,e); (c,e); (d,f); (a,f); (c,f); (e,g); (a,g); (b,g); (c,g);
(f,g); (d,g)} Tomando dos elementos
cualesquiera, por ejemplo
a
para (a,b) c. s. mím. = b para (c,d) c. s. mím. = f
c. i. Máx. = a c. i. Máx. = a b d
para (b,c) c. s. mím. = e para (b,g) c. s. mím. = g c
c. i. Máx. = a c. i. Máx. = b
e f
para (e,f) c. s. mím. = g para (d,e) c. s. mím. = g
c. i. Máx. = c c. i. Máx. = a g
se aprecia que, efectivamente para dos elementos
cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas
siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso,
el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)

33. Si analizáramos la misma relación pero
en un conjunto B = { a, b, c, d }
Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) }
De manera que los pares reflexivos se representan
Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea a
(que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-)
Si analizamos la relación por extensión veremos que se b d
trata de una relación transitiva c
Pero . . . Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d)
a
tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas
Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única
(elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra)
b
Entonces en este caso NO hay Láttice
c d
Tampoco son Láttice retículas como a
c
Observa que las retículas b
están abiertas
Ello se debe a que hay pares de elementos d
que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx e f

34. 12 a) Analizar si (N, ) es Láttice el conjunto N está conformado por
N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . } ( N, ) significa que N es un conjunto
ordenado según la relación
1
cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivo
2 La relación es antisimétrica. (1,2) R; (2,3) R; (1,3) R; . . . . .
3 y transitiva es apreciable que entre los elementos 3 y 4
(por ser relación de orden)
4 la cota superior mínima es 4
entre los elementos 2y5 la cota inferior máxima es 3
5
la cota superior mínima es 5 la cota inferior máxima es 2
. y así sucesvamente, para habrá cota superior mínima = n
cualquier par de valores (m, n) y cota inferior máxima = m
.
si tomamos un par de valores donde m = n
coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n
Se verifica entonces que ( N, ) es láttice
12 b

35. 12 b) Analizar si (N, /) es Láttice 1
Analizaremos para algunos elementos
de N y trataremos de “generalizar” 5 3 2
las situaciones que
encontremos, basándonos en 9 6 4
propiedades conocidas
cada natural es divisible pos sí
mismo, entonces es reflexiva
1 divide a cualquier natural, entonces 18 12
comenzamos con el 2 y el 3
vinculamos al 2 y 3 los naturales que son
múltiplos precisamente de 2 y 3 que son el 4; 6 y 9
e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos
(divisibles solamente por sí mismos y por la unidad)
y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el 12 y el 18 por ejemplo
y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito;
por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15
Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre
hay una cota inferior máxima única ( 1 )

36. 1
Pero lo que parece no estar claro 5
es si hay cota superior mínima
3 2
(única)
la retícula parece no cerrarse
15 9 6 4
cuando los valores crecen (parte
inferior del grafo)
Pero tenga presente que cada vez que aparezcan
en la retícula dos vértices (elementos) que 18 12
parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún Puede
número natural que resulta divisible por suceder
ambos, por ejemplo el producto de ambos que m = n
36 ó bien que
Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n } m n
Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n
Si m n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que
son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n}
Luego ( N, ) es Láttice
Es fácil advertir que 0 no divide a 0
Si analizamos (N0, ) Luego ésta no es una
relación reflexiva y por ello
no es de orden
entonces ( N0, ) NO es Láttice

37. FUNCIONES
Dados dos conjuntos
A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 }
definimos en el producto
cartesiano A x B una Relación R : (a, b) b=a+1
Una relación R A x B es función . . .
13a 13b 13c
Si verifica dos condiciones: Existencia y Unicidad
14 i 14 ii 14 iii
Existencia verifica si para cada elemento del
conjunto A existe una imagen en B 14 iv 14 v 14 vi
Simbólicamente a A: b B / (a, b) f A B
para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica 1 2
que existe un elemento b que pertenece al conjunto B
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f 2 3
Unicidad, si cada elemento del conjunto A se 3 4
relaciona con un solo elemento del conjunto B
Simbólicamente (a, b) f (a, c) f b = c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona
con uno y solo un elemento del conjunto B
13 14

38. A B
En situaciones como
1
también se verifica que 2
2
para cada elemento del conjunto A 4
existe una imagen en B (existencia) 3
Es función
cada elemento del conjunto A se relaciona con 13a 13b 13c
un solo elemento del conjunto B (unicidad) A B 14 i 14 ii
Situaciones como . . . no verifica la condición de 1 2 14 iii 14 iv
existencia
2 14 v 14 vi
el elemento 2 A pero no tiene un 4
correspondiente en B 3
NO es función
En el caso . . . no verifica la condición de
A B
unicidad
1 1
el elemento 1 A se relaciona con dos
elementos diferentes de la imagen (B ) 2
2
3
NO es función 3 4
13 14

39. Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes
del dominio tienen imágenes diferentes
x1 x2 A : x1 x2 f(x1) f(x2)
13a 13b 13c
En este caso tenemos Porque cada elemento del
conjunto A tiene imagen 14 i 14 ii
función inyectiva diferente en el conjunto B
A B 14 iii 14 iv
Una función es sobreyectiva si todos los 1 2 14 v 14 vi
elementos del conjunto B (codominio) son
Imagen de la función, es decir que todos los 2 3
elementos del conjunto B admiten al menos un
antecedente en el dominio 3 4
y B, x A / y = f(x)
En este caso tenemos Porque todos los elementos del conjunto B tienen un
función sobreyectiva antecedente con el que se relacionan en el conjunto A
Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA
13 14

40. Puede suceder que . . . A B
1 2
se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) = 2
2 3
función NO inyectiva
3 4
asimismo el elemento 3 del conjunto B no
admite antecedente en el conjunto A 13a 13b 13c
función NO sobreyectiva
14 i 14 ii
Si . . . se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) = 2
14 iii 14 iv
función NO inyectiva A B
14 v 14 vi
pero todos los elementos del 1 2
conjunto B admiten función 2
antecedente en A
sobreyectiva
3 4
A B
1 2 cada elemento del conjunto A tiene
1 imagen diferente en el conjunto B
2 3 pero no todos los función inyectiva
elementos del conjunto B
3 4
admiten antecedente en A
13 14 función NO sobreyectiva

41. Representación Gráfica de Funciones
Para representar cualquier función se debe conocer . . .
Cuál es el dominio donde está y cuál es la imagen que se corresponde
definida la función . . . con el dominio de la función
Dm Im 13a
Y = f(x) y se estudia la ley de variación de la función
definida por y = f(x) . . . 13b 13c
esto se hace asignándo valores xi en la 14 i 14 ii
x y expresión y = f(x); encontrando el 14 iii 14 iv
resultado yi que le corresponde a f(xi)
14 v 14 vi
La imagen de la función son los valores
que se corresponden con cada valor
el dominio de la función son los
del dominio de la función
valores que puede tomar xi en f(x)
recuerde siempre que: si un valor del Si dos elementos diferentes del
conjunto “de salida A” no tiene codominio (conjunto B) son
imagen, la expresión no es función imagen del mismo elemento de
(Existencia) A, la expresión no es función
(Unicidad)
13 14

42. Podemos representar gráficamente una función en un par de
N y
R ejes coordenados
5
Sea f : N N / f(x) = x + 1
4 Sea la función f que va de Naturales
en Naturales tal que “f de x” es igual a x+1
3
2
y confeccionamos una 13a
1 tabla, asignándole
valores a x para hallar x x + 1 y 13b 13c
valores de y
x si 1 1+1 2 14 i 14 ii
1 2 3 4 R
N
14 iii 14 iv
en el eje de abscisas (x) En el eje de ordenadas (y) si 2 2+1 3
el dominio N la imagen N 14 v 14 vi
si 3 3+1 4
Si la misma ley de variación (y = x + 1)
si 4 4+1 5
estuviera definida de R R
el dominio ahora será Reales La función ahora es
f : R R / f(x) = x + 1
y la imagen también Reales
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
debemos unir todos los puntos obtenidos
13 14

43. 13 a) Para representar f: R R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales
Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y
Trazamos un par de ejes coordenados
Funciones
y confeccionamos una tabla de valores
Clasificación
x - 5 x Y Rep. Gráfica
1 -5 · 1 -5
-1 -5 · (-1) 5
0 -5 · 0 0
2 -5 · 2 -10
-2 -5 · (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales,
trazamos con línea llena una recta que une los puntos
identificados
13 b 13 c

44. 1
13 b) Para representar g: Zpares Z / g(x) = x
2
reconocemos el dominio y la imagen de la relación
Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos
donde x e y sean números enteros
Funciones
Trazamos un par de ejes coordenados
Clasificación
y confeccionamos una tabla de valores 1
x x Y
2 Rep. Gráfica
Y la relación queda
2 ½·2 1
representada por
puntos porque va de -2 ½ · (-2) -1
Enteros pares en
Enteros. 4 ½·4 2
-4 ½ · (-4) -2
(no corresponde el
trazado de linea 6 ½·6 3
llena)
-6 ½ · (-6) - 3
0 ½·0 0
13 c

45. 13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N
Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio
y cual es la imagen de la relación como la imagen son el
conjunto de los números
Significa que serán pares ordenados naturales (N)
de la relación aquellos en los que x N
Funciones
y resulta de aplicar x en h(x), que
también h(x) N Clasificación
Rep. Gráfica
x 2x + 3 Y
1 2·1+3 5 Trazamos un par de
2 2·2+3 7 ejes coordenados
3 2·3+3 9 Y confeccionamos
4 2·4+3 11 una tabla de
valores para g(x)
5 2·5+3 13
Y la función queda representada por puntos porque va de
Naturales en Naturales

46. 14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]
de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes
valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales Funciones Clasificación
entonces Im = { x / x R } Im = [ - ; ]
Rep. Gráfica
Trazamos un par de ejes coordenados Cada valor del dominio (x)
y confeccionamos una tabla de valores tiene un valor diferente en
la imagen (y)
x - 3 x + 4 Y Inyectiva
1 -3·1+4 1 Todos los elementos de la
imagen (eje y) admiten un
-1 - 3 · (-1) + 4 7
antecedente en el dominio
2 -3·2+4 -2 (eje x)
Por ser una función es una función Sobreyectiva
inyectiva y sobreyectiva que va de
Reales en
Es función biyectiva Reales
14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi

47. 14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real
entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola
Funciones
Trazamos un par de ejes
coordenados y para Clasificación Rep. Gráfica
confeccionar la tabla de
valores buscamos los valores x - x2 + 4x - 3 Y
de x que hacen 0 la función
(raíces) 1 - 12 + 4 · 1 - 3 0
4 42 4( 1)( 3) 3 - 32 + 4 · 3 - 3 0
2( 1) 2 - 22 + 4 · 2 - 3 1
4 16 12
x1 1
0 - 02 + 4 · 0 - 3 -3
2 x2 3 4 - 42 + 4 · 4 - 3 -3
con estos valores empezamos -1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8
la representación gráfica
5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8
El vértice de la parábola estará en
un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda
y finalmente trazamos la curva uniendo y a la derecha de los ya
todos los puntos ( R R) hallados
14 iii 14 iv 14 v 14 vi

48. La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / x R }
De observar el gráfico, vemos que la relación
no tiene valores de y mayores que 1
Funciones
Im = { x / x R x 1 }
Clasificación
en el gráfico y en la tabla se nota que Rep. Gráfica
hay valores diferentes del dominio (x)
que tienen la misma imagen (y); con solo un par
de valores del
por ejemplo
No Inyectiva dominio que
f(0) = - 02 +4·0–3=-3 admita la misma
imagen, es
f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3 suficiente para
que la función
Igualmente es posible ver que, de los elementos del sea No Inyectiva
conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores
o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función
No Sobreyectiva

49. 14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :
loga b c ac b ejemplo : log2 8 3 2
3
8
Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10 ¿ en la tecla de la
calculadora falta la base ?
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base
y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe . . .
plantear la siguiente expresión : log x con la calculadora (que
loga x
log a resuelve solo logaritmos
Ejemplo : calcula log2 8 = decimales), podemos resolver
un logaritmo que no es
log 8 0,903089987 decimal
log2 8 3
log 2 0,3010299957
14 iv 14 v 14 vi

50. 14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
Vamos a confeccionar una tabla de valores recuerda que :
log( 2x 3)
x [log(2x-3)]/log2 Y log2( 2x 3)
log 2
2 0/0,301030 0
2,5 0,301030/0,301030 1
Funciones
3,5 0,602060/0,301030 2
Clasificación
5,5 0.903090/0,301030 3
Rep. Gráfica
9,5 1,204120/0,301030 4
1,75 –0,301030/0,301030 -1 siempre que
2x – 3 > 0
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
habrá algún valor
1,55 -1/0,301030 -3,32 para f(x)
si x = 1,5
investigamos qué pasa a la izquierda de trazamos entonces en x = 1,5 la
2x – 3 = 0
la asíntota, por ejemplo para x = 0 asíntota de la función
2x – 3 toma valores negativos porque no existe ningún valor al Sabemos que el
y la función no está definida se cual pueda elevar 2 y obtener log 0
en esos valores ( x < 1.5 ) como resultado un negativo
trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)

51. la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces:
Dm = { x / x R x 1,5 }
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen
antecedente en x
Im = { x / x R } Funciones
Clasificación
Cada valor del dominio (eje x) tiene un
valor diferente en la imagen (eje y) Rep. Gráfica
Función Inyectiva
Todos los elementos del codominio (eje y)
son imagen de la función -admiten un
antecedente en el dominio (eje x)-
Función Sobreyectiva
Por ser una función Recuerda que siempre es conveniente empezar a
inyectiva y sobreyectiva representar una función logarítmica localizando
Es función biyectiva la asíntota

52. x 1 si x 0 En primer lugar
reconocemos que x no
14 iv) Si f(x) = 3 si x 0
puede tomar valores
x3 1 si 2 x 0 menores que -2
En consecuencia Dm = {x/x R x –2 } Dn = [-2 ; )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
Funciones
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Clasificación
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio);
Rep. Gráfica
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x - 1
La representación gráfica se
si x = 0 la función vale 3 realiza como para cualquier
otra relación
si x 0 la función vale x3 + 1
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
14 v 14 vi

53. Si x se acerca mucho a 0, pero sin
Para x > 0 f(x) = x - 1 ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc
x y = x - 1 Y si x fuera igual a 0 entonces y sería
1 1-1 0 igual a - 1
3 3–1 2 debemos entender que si x se acerca a
0 con valores mayores que 0, y se
acerca a –1, pero sin ser y = -1 Funciones
Representamos ese punto con un círculo que Clasificación
significa que la función toma valores muy Rep. Gráfica
próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser
y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que hay “al
menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale 3

54. Si x se acerca mucho a 0, pero sin
Para x < 0 f(x) = x3 + 1 ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc
x y = x3 + 1 Y si x fuera igual a 0 entonces y sería
-1 (-1)3 + 1 0 igual a 1 (con esta ley de variación)
-2 (-2)3 + 1 -7 debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0, y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1 Funciones
Representamos ese punto con un círculo que
Clasificación
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (1) para valores muy Rep. Gráfica
próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser
y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina
curva de parábola cúbica solo para valores
comprendidos en el intervalo [-2; 0)
y tenemos así la representación gráfica de la función
x 1 si x 0
f : Dm Im / f(x) = 3 si x 0
x3 1 si 2 x 0

55. El dominio de la función ya fue
encontrado [ -2; )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que
admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de
–7a
Im = { x / x R x -7 } Im = [-7; )
Funciones
Existen valores diferentes del dominio Clasificación
que tienen la misma imagen, por ejemplo
para x= 1 ó x = - 1; y = 0 Rep. Gráfica
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm R
y resulta que la Imagen no es igual a R
sino que Im R
La función es No sobreyectiva

56. 2x si x 0
En primer lugar
14 v) Si f(x) = 1 si 0 x 1 reconocemos que x
puede tomar valores
ln x si x 1
que van de - a +
En consecuencia Dm = {x/x R } Dn = (- ; + )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida
Funciones
por partes) con “tres relaciones diferentes”
Clasificación
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio);
Rep. Gráfica
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
x
si x < 0 la ley de variación es 2
La representación gráfica se
si 0 x 1 la función vale 1 realiza como para cualquier
otra función
si x > 0 la ley de variación es lnx
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación
se correspondan con los respectivos intervalos del dominio
14 vi

57. Para x > 0 f(x) = ln x
x ln x y
4 ln 4 1,39
8 ln 8 2,08
Si x fuera igual a 1 entonces Funciones
y sería igual a 0
Clasificación
debemos entender que si x se acerca a 1 con valores
mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0 Rep. Gráfica
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma
valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por
derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores de x
comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] - si x = 0 y=1
si x = 1 y=1
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1

58. Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x
Confeccionamos tabla de valores
x 2x y
-1 2-1 1/2
Funciones
-2 2-2 1/4
Clasificación
debemos entender que si x se acerca a 0 Rep. Gráfica
Si x fuera igual a 0 entonces con valores menores que 0 ; y se acerca a
y sería igual a 1 1, pero sin ser y = 1
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores
muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
x
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2 )
Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio
anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1
y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor
la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo

59. Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Dm = { x / x R} Dm = (- ; )
Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0
admiten algún antecedente en el eje x
Im = { y / y R y>0} Im = (0; )
Funciones
Existen valores diferentes del dominio que tienen la
Clasificación
misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1
Rep. Gráfica
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im R
La función es No sobreyectiva

60. 2 Trazamos un par de ejes coordenados
14 vi) Si f(x) =
x 3 en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3 no
En primer lugar reconocemos que existe un valor finito de la función
x no puede tomar el valor - 3
trazamos una asíntota en x = -3
Luego confeccionamos tabla de valores, y estudiamos qué sucede a la
para x próximos a –3 por derecha izquierda de x= –3 Funciones Clasificación
2 2 Rep. Gráfica
x y x y
x 3 x 3
-2 2/(-2+3) 2 -4 2/(-4+3) -2
-1 2/(-1+3) 1 -5 2/(-5+3) -1
0 2/(0+3) 2/3 -6 2/(-6+3) -2/3
1 2/(1+3) 1/2 -7 2/(-7+3) -1/2
2 2/(2+3) 2/5 -8 2/(-8+3) - 2/5
-2,5 2/(-2,5+3) 4 -3,5 2/(-3,5+3) - 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5 -3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la
función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un
lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado

61. Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y
Dm = { x / x R x -3} Dm = (- ; -3) (-3; )
los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x;
son todos, menos el 0
Im = { y / y R y 0} Im = (- ; 0) (0; ) Funciones
Clasificación
No Existen valores diferentes del dominio que tengan
la misma imagen Rep. Gráfica
todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes
La función es inyectiva
Como la función está definida de Dm R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}
La función es No sobreyectiva

62. 14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas
f:R R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5 R / f(x) = log2 (2x – 3)
y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa
para hallar la inversa de la función, f:R R / f(x) = –3x + 4
Funciones
transformamos el dominio en imagen
y viceversa R/ f 1 4 x Clasificación
f-1 : R (x)
en la ley de variación hacemos pasajes 3 Rep. Gráfica
de términos, para despejar x
multiplico todo por (-1) y permuto
y = –3x + 4 y - 4 = –3x los miembros (para ordenar)
3x = 4 - y 4 y
luego despejo x x y efectúo ahora un cambio
3 de variables (x por y)
4 x
y La ley de variación así obtenida, es la ley
3 de variación de la función inversa

63. 1 4 x
Representamos gráficamente f :R R / f 1( x )
3
en el mismo gráfico que
hemos representado
f:R R / f( x ) 3x 4
confeccionamos Funciones Clasificación
una tabla de Rep. Gráfica
valores
4 x
x f-1(x)
3
4 4 4 0
3
4 ( 2) 2
-2
3
4 ( 8)
-8 4
3
trazamos la recta, que también va de R R
tenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes
respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante

64. para hallar la inversa de la función, f : Dm R / f(x) = log2(2x-3)
recordemos que
Dm = { x / x R x > 1,5 } entonces
ya hemos hallado
transformamos el dominio en imagen f : R > 1,5 R / f(x) = log2(2x-3)
Funciones
y viceversa
1 2x 3
f-1 : R R / f (x) Clasificación
luego despejamos la incógnita x de > 1,5 2
la ley de variación de f= log2(2x-3) Rep. Gráfica
recuerde que: logab = c ac = b
y
y = log2(2x – 3) 2 = 2x - 3 permuto los miembros (para ordenar)
2y 3
2x 3 2
y luego despejo x 2x 2y
3 x
2
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
2x 3 La ley de variación así obtenida, es la ley
y
2 de variación de la función inversa

65. x
1 1 2 3
Representamos gráficamente f :R R 1,5 / f (x)
2
en el mismo gráfico que
f:R 1.5 R / f( x ) log2( 2x 3)
hemos representado
confeccionamos una tabla de valores Funciones Clasificación
x
2 3
X 2
f-1(x) borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo Rep. Gráfica
20 3 unimos los puntos con
0 2 2 trazo continuo porque
21 3
2,5 f-1 va de R R
1 2
22 3 también aquí f-1 es
2 2
3,5 equidistante de f
24 3 respecto de la bisectriz
4 2
9,5
del primer cuadrante
1
2 3
-1 1,75
2 recuerde
4
2 3 que f tiene
-4 2
1,53
asíntota en
2 10 3 x = 1,5
-10 1,5001
2
y finalmente podemos trazar la
asíntota de f-1 que es y = 1,5
porque aunque tomemos valores muy
pequeños de x, f-1 será siempre 1,5

66. Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para
establecer nuevas relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente
el que antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre
para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán
de perseguir de mil modos.
Llama a la puerta de todos
y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)