Probabilités et statistiques 2ème partie

Chapitre II: Théorie élémentaire de probabilités
Otheman Nouisser
Ecole Nationale de Commerce et Gestion
Kénitra
3 octobre 2011
Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010

Plan
I. Notions générales (Vocabulaire probabiliste)
II. Notion de probabilités
III. Théorème des probabilités totales
IV. Probabilités composées et conditionnelles
V. Problèmes relatifs aux calculs des probabilités

Notions générales :(Vocabulaire probabiliste)
1- Epreuve aléatoire :
C’est une expérience qu’on peut répéter dans les mêmes conditions
et qui donne plusieurs résultas.
Exemple
Lancer un dé- le jeu de pile ou face.

Notions générales (Vocabulaire probabiliste)
2- L’univers des éventualités :
C’est l’ensemble des résultats possibles d’une épreuve et on le note
par
( On l’appelle aussi l’ensemble fondamental).
Exemple
Si on lance un dé, l’univers
est l’ensemble
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3- Evénement :
C’est la réalisation d’une ou plusieures éventualités lors de l’examen
des résultats d’une épreuve. Autrement dit, c’est un sous-ensemble
ou partie de l’univers
.
Si un évenement contient un seul élément, on l’appelle événement
élémentaire.
Exemple
Si on lance un dé, l’univers
peut être décomposé en deux
événements :
chiffre pair : E1 = {2, 4, 6}.
chiffre impair : E2 = {1, 3, 5}.

Remarque
- Un événement impossible noté ;, n’est jamais réalisé.
- L’événement
est appelé événement certain (car il est toujours
réalisé).

Relations logiques entre les événements
1- Evénement complémentaire :
Définition
Soit A une partie de
. Le complémentaire de A, également partie de

noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation de
l’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si A
n’est pas réalise.
+
A = CA

=
A.
A est appelé aussi l’événement contraire.
Exemple
Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement
hh obtenir un nombre pair ii.
A = {2, 4, 6} ) A = {1, 3, 5}.

2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles :
Définition
L’intersection de deux événements A et B d’un même univers
, noté
A B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés.
Exemple
On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements
- A : hh Obtenir un nombre pair ii, i.e., A = {2, 4, 6},
- B : Obtenir un nombre 3 , i.e., B = {4, 5, 6}.
Alors l’événement AB : Obtenir un nombre pair et 3 ={4, 6}.
Définition
Deux événements A et B d’un même univers
, sont dits
incompatibles (ou exhaustifs) si A B = ;. (c.à.d., leur réalisation
simultannée est impossible).

3- Réunion des événements :
Définition
La réunion de deux événements A et B d’un même univers, notée
A [ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés.
Exemple
Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.
- Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = {2, 4, 6}.
- Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e.,
B = {3, 6}.
Alors l’événement A [ B = {2, 3, 4, 6} : obtenir un chiffre pair ou
divisible par 3 .
Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffre
inférieure ou égal à 2 = {1, 2}. Alors l’événement
B [ C = {1, 2, 3, 6}.

Notion de probabilité
Définition
Un ensemble , non vide, d’événements de
est une algèbre
d’événements si :
8A 2 , A 2
8A 2 , 8B 2 , A [ B 2
Remarque
Dans le cas où
est fini, P(
) est une algèbre d’événements.

Définition
Soit une algèbre d’événements de
. On dit que est une tribu si :
Pour toute suite infinie dénombrable A1,A2, · · · ,An, · · · d’éléments de
1[
alors
i=1
Ai 2 .
Conséquence :
1
i=1
Ai 2
On appelle espace probabilisable un couple (
, ) constitué d’un
ensemble
et d’une tribu d’événements de parties de Omega.

Définition
Soit (
, ) un espace probabilisable. Une probabilité P est une
application P : ! [0, 1] telle que :
P(
) = 1
8A 2 , 8B 2 tels que A B = ; on a
P(A [ B) = P(A) + P(B).
Si A0,A1, · · · ,An, · · · est une suite dénombrable d’événements
incompatibles deux à deux, alors :
P

1[
i=1
Ai
!
=
1X
i=0
P(Ai ).
On appelle espace probabilisé un triplet (
, ,P).

Remarque
La probabilité de l’événement certain est égale à 1., c.à.d., P(
) = 1,
et ce qui implique que pour tout événement A on a :
0 P(A) 1.
Dans la suite on suppose que (
, ,P) est un espace probabilisé,
c.à.d, P une probabilité sur
.

Notion de probabilités
Probabilité de l’événement contraire
Soit un événement A et son contraire A. Alors
P(A) = 1 − P(A)
Preuve.
On a A et A sont deux événements incompatibles et donc
P(A [ A) = P(A) + P(A).
Or
A [ A =

+
P(A) + P(A) = 1
D’où le résultat.

Remarque
la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(;) = 0.
Preuve
Soit l’événement impossible ;, et un événement quelconque A. Alors
A et ; sont deux événements incompatibles puisque A ; = ;.
Donc :
P(A [ ;) = P(A) + P(;)
Or
A [ ; = A =) P(A [ ;) = P(A) = P(A) + P(;)
D’où
P(;) = 0.

Probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement A est égale à la somme des
probabilités des événements élémentaires qui constituent cet
événement. Autrement dit : Soit A = {w1,w2, · · · ,wp} comportant p
événements élémentaires, alors
P(A) =
Xp
i=1
P(wi ).

Exemple
Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois.
Les probabilités des événements suivants ont été relevées :
événement 1 2 4 5 chiffre pair
Probabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6
Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pair
ou égal à 5 ?
Solution
Dans ce cas A = {2, 4, 5, 6} et donc
P(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6).
Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors :
P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6
ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8.

Théorème des probabilités totales
L’objectif est de calculer P(A [ B) dans le cas où les deux
événements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce cas
l’axiome des probabilités ne s’applique pas.
Théorème
Soient A et B deux événements quelconques d’un univers
. Alors
P(A [ B) = P(A) + P(B) − P(A B).

Preuve.
Soient deux événement A et B non incompatibles. Alors A [ B peut
s’écrire A [ B = A [ (A B). Or A et (A B) sont incompatibles. Donc
P(A [ B) = P(A) + P(A B), (1)
Par ailleur, B = (A B) [ (A B), puisque les deux événements
(A B) et (A B) sont incompatibles on a :
P(B) = p(A B)) + P(A B),
d’où
P(A B) = P(B) − P(A B). (2)
Ainsi, en reportant l’expression de P(A B) dans l’équation (1), on
obtient le résulat.

Exemple
Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer la
probabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieur
ou égal à 5 .
Solution
Considérons les événements suivants :
A l’événement : obtenir un chiffre pair ou 5 .
B l’événement : obtenir un chiffre pair .
D l’événement : obtenir un chiffre 5 .
D’après le théorème des probabilités totales on a :
P(A) = P(B [ D) = P(B) + P(D) − P(B D).
Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 et
P(B D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8.

Exemple
Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à
3 . Calculer la probabilité de C.
Solution
Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair
et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 .
Alors
P(B) = 0, 4,P(E) = P({1, 2, 3}) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3.
P(B E) = P({1, 3}) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.
P(C) = P(B [ E)
= P(B) + P(E) − P(B E)
= 0, 4 + 0, 3 − 0, 2 = 0, 5.

Cas particulier : équiprobabilité des événements
élémentaires
Soit
= {w1,w2, · · · ,wn} un ensemble fini. L’équiprobabilité
correspond au cas où tous les événements élémentaires de
ont la
même probabilité de se réaliser.
Les événements élémentaires sont incompatibles, donc on a :
P(
) = P(w1) + P(w2) + · · · + P(wn) = nP(wi ) = 1, 8i = 1, · · · , n.
Ainsi P(w1) = P(w2) = · · · = P(wn) =
1
n =
1
card

.
En conséquence on a le résultat suivant

Cas particulier : équiprobabilité des événements
élémentaires
Proposition
Soit
un ensemble fini et A 2 P(
), où les événements élémentaires
sont équiprobables. Alors
P(A) =
nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de

=
cardA
card

=
nombre de cas favorables à la réalisation de A
nombre de cas possibles .

Cas d’équiprobabilité
Exemple
On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.
Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre 6, le chiffre 2
ou 6.
Solution
L’univers
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} et les événements sont équiprobables.
Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement :
obtenir le chiffre 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6
. Alors on a :
P(A) =
cardA
card

=
1
6,
P(B) =
cardB
card

= 1 − P(6) =
5
6,
P(C) =
cardC
card

= P(2) + P(6) = P({2, 6}) =
2
6.

Probabilités composées et conditionnelles
Soient (
, ,P) un espace probabilisé, A 2 et B 2 tels que
P(A)6= 0 et P(B)6= 0.
1- Probabilités conditionnelles :
Définition
La probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’un
événement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de A
sachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression :
P(A/B) = PB(A) =
P(A B)
P(B)
.

Exemple
1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes.
Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’il
s’agit d’un trèfle ?
Solution
Considérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirer
un trèfle , alors
P(D/T) =
P(D T)
P(T)
=
1/52
13/52 =
1
13.

Exemple
2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un
témoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5.
Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?
Solution
Notons A l’événement : Obtenir un chiffre impair
et B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors,
P(A) = P({1, 3, 5}) =
3
6 =
1
2
et P(B) = P({1, 2, 3, 4, 6}) =
5
6.
L’événement A B := obtenir un chiffre impair différent de 5 ,
d’où P(A B) = P({1, 3}) =
2
6
.

suite
Le fait de disposer de l’information supplémentaire relative à la
réalisation de l’événement B, réduit la possibilité aux chiffres
{1, 2, 3, 4, 6}, parmi lesquels seuls 1 et 3 sont impairs. Il y a donc
deux chances sur cinq d’avoir un chiffre impair sachant que le
résultat est différent de 5.
En utilisant la formule on peut aussi le vérifie :
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
=
P({1, 3})
P({1, 2, 3, 4, 6})
=
2/6
5/6 =
2
5.

2-Probabilités composées
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité
composée de deux événements.
Définition
La probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanément
deux événements A et B, et on la note P(A B), et on a
P(A B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).

Exemple
Un sac contient 10 boules indescernables au toucher : 4 boules sont
blanches, 6 boules sont noires. Une personne tire l’une après l’autre,
sans remise 3 boules.
Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : une blanche, une
noire, une blanche ?

Solution
A, l’événement tirer une boule blanche au premier tirage .
B, l’événement tirer une boule noire au deuxième tirage .
C, l’événement Tirer une boule blanche au troisième tirage .
Le problème c’est de calculer P(A B C).
Le fait d’effectuer des tirages sans remise réduit le nombre de
possibilités de choix et rend les tirage successifs dépendants.
1er tirage, il y a 4 blanches parmi 10, donc P(A) =
4
10
.
2ème tirage, il reste 3 blanches et 6 noires, donc P(B/A) =
6
9
.
3ème tirage, il reste 3 blanches et 5 noires, donc
P(C/(A B) =
3
8
.
Ainsi
P(ABC) = P(A)×P(B/A)×P(C/(AB)) =
4
10
6
9
3
8 = 0, 1 = 10%.

3- Indépendance de deux événements
Les probabilités conditionnelles permettent de déduire la définition
d’indépendance de deux événements.
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation
de l’un n’influe pas la réalisation de l’autre, ce qui peut se traduire par
P(A) = P(A/B), ou par P(B) = P(B/A)
D’autre part, on a :
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
; P(B/A) =
P(A B)
P(A)
,
D’où
Proposition
Deux événements A et B sont indépendants si et seuleument si
P(A B) = P(A)P(B).

Remarque
1- Il est important de ne pas confondre incompatibilité (A B = ;) de
deux événements et indépendance de deux événements, notion qui
se réfère à la probabilité des événements et qui permet de calculer la
probabilité de la réalisation simultanée de deux événements
indépendants, c.à.d., le calcul de P(A B).
2- Il est possible de généraliser la définition de l’indépendance. Les
événements E1,E2, · · · ,En sont indépendants deux à deux si
P(E1 E2 · · · En) = P(E1) × P(E2) × · · · × P(En).

Exemple
Une carte est tirée d’un jeu de 52 cartes. Calculer
- La probabilitée de tirer un roi.
- La probabilité de tirer un roi sachant que la carte tirée est un coeur.
- La probabilitée de tirer le roi de coeur. Commenter.

Solution
Soient A l’événement tirer un roi et B l’événement tirer un
coeur . Alors on a :
P(A) =
4
52 =
1
13, P(B) =
13
52, P(A B) =
1
52,
avec A B, l’événement tirer un roi de coeur .
On constate que P(A B) = P(A) × P(B) =
1
13
×
13
52 =
1
52
, ce qui
signifie que les événements A et B sont indépendants. On a aussi,
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
=
1
52
13
52
=
1
13 = P(A),
Le fait de savoir que la carte est un coeur ne réduit pas les
possibilités. Les deux événement sont indépendants mais ils ne sont
pas incompatibles puisque A B6= ;.

4- Théorème de Bayes
Soient A et B deux événements de
tels qu’on sait calculer
P(B);P(B);P(A/B);P(A/B)
Problème inverse : Calculer P(B/A) ?
Théorème
(Formule de Bayes)
P(B/A) =
P(B)P(A/B)
P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)
.

Preuve.
P(B/A) =
P(A B)
P(A)
=
P(B)P(A/B)
P(A (B [ B))
=
P(B)P(A/B)
P(A B) + P(A B)
=
P(B)P(A/B)
P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)


D’une manière général, soient A1,A2, · · · ,An des événements
incompatibles deux à deux (Ai Aj = ;8i6= j), et tel que
A1 [ A2 [ · · · [ An =
. Soit B un événement de probabilité non nulle.
Les informations connues sont :
• La probabilité de chacune des événements :
P(A1),P(A2), · · · ,P(An).
• La probabilité de réalisations de B sachant chacune des
événements Ai sont réalisés : P(B/A1),P(B/A2), · · · ,P(B/An).
Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité de
l’événement Ai sachant que l’événement B soit réalisé. : P(Ai/B).
Théorème
P(Ai/B) =
P(Ai ) × P(B/Ai )
Xn
j=1
P(Aj )P(B/Aj )
.

Exemple
Le personnel d’une entreprise est composée de 80% de femmes. On
sait que 8% de ces femmes ont une formation supérieure et que 24%
des hommes ont une formation supérieure.
Quelle est la proportion de personnel ayant une formation
supérieure ?
Sachant qu’il a une formation supérieure, quelle est la probabilité
qu’un employé soit une femme?

Solution
Considérons les évévenements suivants : A : Etre un employé
femme .
B : Etre un employé de formation supérieure .
Alors, on a :
P(A) = 0, 8;P(B/A) = 0, 08;P(A) = 0, 2;P(B/A) = 0, 24, et on a
aussi
P(B) = P(B (A [ A)) = P(B A) + P(B A),
= P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A),
= 0, 8.0, 08 + 0, 2.0, 24 = 0, 112.
Ainsi on aura
P(A/B) =
P(A)P(B/A)
P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A)
.

Exemple
Trois machines M1,M2,M3 produisent respectivement 50%, 30% et
20% de la production d’un produit. 2% des produits fabriqués par M1,
3% des produits fabriqués par M2 et 5% des produits fabriqués par
M3 sont défectueux. Un produit est prélevé au hasard. Quelle est la
probabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M2, sachant qu’il est
défectueux ?

Solution
M1 : Produit fabriqué par M1 , M2 : Produit fabriqué par M2 ,
M3 : Produit fabriqué par M3 , D : Produit fabriqué est
défectueux .
Alors on a :
P(M1) = 0, 5;P(M2) = 0, 3;P(M3) = 0, 2,
P(D/M1) = 0, 02;P(D/M2) = 0, 03;P(D/M3) = 0, 05.
D’après le théorème de Bayes, on obtient :
P(M2/D) =
P(M2)P(D/M2)
P(M2)P(D/M2) + P(M2)P

D/M2
.

suite
Or, P(M2) = 1 − P(M2) = 0, 7 et
P(M2)P(D/M2) = P(D M2) = P(D (M1 [ M3))
= P(D M1) + P(D M3)
= P(M1)P(D/M1) + P(M3)P(D/M3)
= 0, 5 × 0, 02 + 0, 2 × 0, 05 = 0, 02.
Ainsi,
P(M2/D) = 0, 3103.
Quelle est la probabilité qu’un produit séléctionné au hasard ait été
fabriqué par la machine M3, sachant qu’il n’est pas défectueux ?
Ceci revient à calculer P(M3/D).

Problèmes relatifs aux calculs des probabilités
1- Cas des épreuves exhaustives (sans remise).
Une urne contient N boules, dont a noires et b blanches. Quelle est
la probabilité de tirer au hasard et simultanément n boules dont k
noires et (n − k) blanches (k n) ?
nN
- Cas possibles : choisir n boules parmi N boules, donc il y a
C= Cn
a+b possibilités.
- Cas favorables : k boules noires et (n − k) boules blanches, alors il
y a Ck
a × Cn−k
b possibilités favorables.
Ainsi, la probabilité est donnée par
P =
cas favorables
cas possibles =
Ck
a × Cn−k
b
Cn
a+b

Problème relatifs aux calculs des probabilités
2- Cas des épreuves non-exhaustives (avec remise)
Une urne contient N boules, dont a noires er b blanches. Quelle est
la probabilité qu’après une série de n tirages non-exhaustifs et au
hasard, on obtient k boules noires et (n − k) blanches.
ici on travail dans le cas équiprobable, alors :
- La probabilité de tirer une boule noire est : p =
a
N
.
- La probabilité de tirer une boule blanche est : q = 1 − p =
b
N
.
i- Probabilité de tirer dans l’ordre k boules noires et (n − k) boules
blanches
Dans ce cas on a la possibilité suivante :
N N N · · · N B B · · · B
et donc on a la probabilité P = pk (1 − p)n−k .

ii- Probabilité de tirer dans un ordre quelconque ces même boules
Il y a Ck
n manière de placer k boules noires dans n cases différentes.
Les (n − k) cases qui restent sont évidement occupées par des
blanches. Chaque manière à pour probabilité pk (1 − p)n−k . Ainsi :
P(k) = Ck
n pk (1 − p)n−k c’est la formule de Bernoulli.

Exemple
On jette une pièce de monnaie 10 fois. Quelle est la probabilité
d’avoir 6 faces et 4 piles ?
P(pile) = 1/2,P(4) = C4
10(1/2)6(1/2)4 = C4
10(1/2)10.

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