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PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                      Prof. Dr. Admilson T. Franco




                        MODELAGEM DO ESCOAMENTO RADIAL ENTRE DISCOS

César Daniel Perea Medina
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. Av. Sete de Setembro 3165, Curitiba-Paraná, Brasil. CEP: 80230-901
E-mail: cesar.perea.medina@gmail.com

Resumo: O escoamento radial entre discos ocorre em diversas áreas da engenharia, por exemplo, na lubrificação de chumaceiras,
no funcionamento das bombas centrífugas, entre outros. No presente trabalho, é apresentada a modelagem do escoamento radial
entre discos paralelos separados por uma distancia finita. As equações governantes estão dadas pela conservação da massa e
quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas. Para a solução das equações governantes serão feitas algumas hipóteses a
fim de simplificar o problema. Na sequência, será obtida uma equação diferencial e aplicando as condições de contorno
correspondentes será resolvido o problema. Observa-se que a equação diferencial resultante da quantidade do movimento é não
linear, e somente pode ser resolvida de duas formas: simplificando o termo não linear ou calculando uma solução aproximada
através de métodos numéricos. O objetivo final deste trabalho é a obtenção de uma expressão para o perfil de velocidade e a queda
de pressão em função dos parâmetros geométricos e físicos do escoamento.

Palavras chave: Escoamento radial, discos paralelos, equações de conservação.

1. Introdução

     Para problemas de escoamentos isotérmicos, as equações de conservação de massa e quantidade do movimento são
ferramentas úteis. São poucos os casos em que o problema tem solução exata devido às não linearidades de alguns
termos na equação de quantidade de movimento. Os casos que possuem soluções exatas são aqueles cujos termos não
lineares são desprezados, mas em alguns casos pode-se obter soluções aproximadas usando-se hipóteses
simplificadoras. A principal hipótese para obter soluções exatas, é considerar a condição de efeitos inerciais
desprezíveis ou número de Reynolds baixo ( Re 0 ), conhecido como escoamento de Stokes (White, 1991).
     Quando não são desprezados os termos não lineares, podem-se obter soluções aproximadas através da aplicação de
métodos numéricos. A diferença das soluções analíticas, as soluções numéricas aplicam-se a um maior número de
problemas, mas os resultados de uma aproximação numérica não sempre refletem a realidade. Por isso, esses tipos de
soluções devem ser validados reduzindo o problema a situações com solução analítica conhecida.
     O problema a ser resolvido no presente trabalho refere-se ao escoamento laminar entre dois discos concêntricos
paralelos separados por uma distancia finita. Neste tipo de escoamento o fluido escoa radialmente desde o centro até a
saída do disco com raio R. Como a área transversal varia proporcionalmente com o raio, a velocidade também varia na
direção da coordenada r, além disso, pela condição de não deslizamento o perfil de velocidade também depende da
coordenada z. Dessa forma, o escoamento pode ser classificado como unidirecional na direção r e bidimensional nas
direções z e r.
     O escoamento radial tem muitas aplicações na engenharia, por exemplo, na lubrificação de chumaceiras, na
simulação das bombas centrifugas, no desenho de mancais, entre outras.
     O escoamento radial aplica-se na lubrificação hidrostática como mostrado na Figura (1). Neste tipo de fenômeno
são geradas altas pressões nas cavidades da chumaceira que suporta o eixo, independentemente da rotação do eixo.
Neste caso, as superfícies lubrificadas estão completamente separadas por uma camada de lubrificante, cujo movimento
é produto de uma pressão externa, fornecida geralmente por bombeio (Stachowiak, 2000). Na maioria dos casos da
lubrificação, o espaço entre discos é pequeno e o escoamento é modelado como placas paralelas. Mas, quando o espaço
não é pequeno deve usar-se a formulação em coordenadas cilíndricas.
     Outro campo de aplicação do escoamento radial acontece no funcionamento de bombas centrifugas. Nesses tipos de
bombas, o fluido ingressa pelo olho de sucção e sai pela descarga, como mostrado na Figura (2). O escoamento
apresenta movimento radial e rotativo ao mesmo tempo. Neste caso, o problema é resolvido através de uma
superposição do escoamento radial e rotativo.
     No caso de escoamento radial de um lubrificante pode-se assumir a hipótese de escoamento de Stokes devido a que
a vazão é baixa e a folga é muito pequena, o qual é chamado escoamento por escorregamento (Fox, 2001). No caso das
bombas, as velocidades e as dimensões no sistema são maiores, assim, devem considerar-se os termos inerciais.




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PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
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  Figura 1. Lubrificação hidrostática de uma chumaceira.        Figura 2. Movimento radial do fluido em uma bomba
                                                                                   centrifuga.

     O objetivo deste artigo é desenvolver expressões para o perfil de velocidade, assim como para a queda de pressão
no escoamento entre discos paralelos. Esses parâmetros são as variáveis desconhecidas no sistema de equações
diferenciais e constituem parâmetros de interesse para a engenharia.

2. Modelagem Matemática

     Considere um fluido de propriedades constantes, massa específica e viscosidade . A fim de encontrar o perfil de
velocidade é feita uma análise diferencial através das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento
em coordenadas cilíndricas. O sistema de coordenadas e os parâmetros geométricos do sistema são definidos na Figura
(3). Para simplificar as equações de conservação de massa e de quantidade de movimento, são feitas as seguintes
hipóteses:

             a)   Escoamento laminar e incompressível em regime permanente.
             b)   Escoamento completamente desenvolvido
             c)   Escoamento na direção r (v = vz = 0)
             d)   Escoamento axissimétrico em relação ao eixo (os parâmetros não variam ao longo do eixo )
             e)   Escoamento isotérmico de fluido newtoniano.
             f)   Aceleração da gravidade atuante no eixo z. (g = gr = 0)




   Figura 3. Seção transversal do sistema estudado. A origem do eixo de coordenadas está no centro dos discos. Os
   parâmetros geométricos considerados são R0 (raio de entrada), R (raio de saída) e 2h (distancia entre os discos).

    A condição de escoamento radial é dada quando o fluido ocupa a região de raios maiores a R0, devido que na região
desde r = 0 até r = R0 acontece uma mudança na direção do escoamento, de movimento axial a movimento radial como
mostrado na Figura 4.




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                                                    Figura 4. Esquema tridimensional do problema.

Pela hipótese (c), a velocidade vr não depende da coordenada , então pode ser expressa como:

                                                                                      vr          f (r , z )

    Logo, simplificando a equação de conservação da massa em coordenadas cilíndricas de acordo às hipóteses feitas,
obtem-se:
                                                                                (a)                                                         (c )
                                                                                           1                  (a)               1
                                                                                                                    rvr                 v          0
                                                                           t               r r                                  r


                                                                                               rvr              0                                                                                                    (1)
                                                                                        r

Integrando e derivando a equação (1) podem-se deduzir as seguintes expressões:

                                                                                            rvr                                                                                                                      (2)

                                                                                            vr            vr
                                                                                                                                                                                                                     (3)
                                                                                            r             r

     Segundo a equação (1), o produto do raio r vezes a velocidade radial vr não depende da coordenada r. Como vr
depende de r e z, então      da Eq.(2), será uma função dependente somente da coordenada z: = (z). Além disso,
segundo a Eq. (3) a derivada de vr em relação a r pode ser expressa em função da velocidade radial vr e do raio r,
expressão que será útil para encontrar o termo não linear na equação da quantidade de movimento.
     Simplificando-se a equação de quantidade de movimento na direção r para um fluido newtoniano em coordenadas
cilíndricas e considerando as hipóteses feitas, tem-se:

                (a)                       (d )           (d )                    (d )                                                                       ()                           (d )              (c )
           vr              vr   v    vr             v2                     vr                         p                   (e)           1                                1      2
                                                                                                                                                                                    vr          2 v                        2
                                                                                                                                                                                                                            vr
                      vr                                            vz                                               gr                     rvr
            t              r     r                  r                      z                          r                               r r r                              r2          2
                                                                                                                                                                                                r2                         z2


                                                                                                                           2
                                                                                  vr                  p                    vr
                                                                         vr                                                                                                                                          (4)
                                                                                  r                   r                    z2

    O termo à esquerda da equação (4) corresponde à aceleração convectiva, o primeiro termo da direita é a queda de
pressão ao longo do raio e o último termo refere-se às forças viscosas.

    De maneira similar, na equação da quantidade de movimento na direção                                                                           obtém-se

                                                                         (d )                                                                                             (c)                   (d )              ¨( c )
                                                                                                                                                                 2                                     2
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                                                                                                          p
                                                                                           0                                                                                                                         (5)




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PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
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    Observa-se na Eq. (5) que não existe variação da pressão ao longo do eixo , comprovando-se a hipótese de
escoamento axissimétrico.

    Finalmente na equação da quantidade de movimento na direção z, tem-se:

                                                                   (c)                                                                       (c)
                                                                                                                              2        2
                         vz        vz   v   vz            vz                       p                         1           1        vz    vz
                              vr                  vz                                        gz                   rvz
                          t        r    r                 z                        z                       r r r         r2       2
                                                                                                                                       z2


                                                                              p
                                                              0                          gz                                                         (6)
                                                                              z

A Eq. (6) mostra que o gradiente de pressão na direção z é produzido pela força gravitacional. Entanto, em um
escoamento entre discos o espaço entre eles tende a ser tão pequeno que o peso do fluido é desprezível. Com essa
hipótese, o gradiente de pressão dependerá somente de r. Dessa forma, a equação diferencial parcial de pressão torna-se
uma equação diferencial ordinária em relação a r.
    Observa-se que a Eq. (4) dá maior informação sobre o problema em estudo. Mas sua principal dificuldade é que
possui um termo não linear. Com ajuda da expressão (3) pode-se expressar a derivada de vr em função de vr. Logo,
como a velocidade vr pode ser expressa através da Eq. (2), substituem as equações (2) e (3) na Eq. (4). O resultado é
uma equação diferencial ordinária de dependente de z:

                                                               2
                                                                              dp            1 d2
                                                                                                                                                    (7)
                                                           r3                 dr            r dz 2

    Como a variável somente depende de z, pode-se integrar a Eq. (7) em relação ao raio r para obter uma expressão
em função da queda de pressão. Considera-se que a queda de pressão é constante e somente depende de duas
constantes: raio inicial (R0) e raio final (R). Então, integrando a Eq. (7) em relação ao raio r, tem-se:

                                     1      1           2                                                R d2
                                                        (z)         p0         pR                Ln                0                                (8)
                                   2 R02    R2                                                           R0 dz 2

sendo p0 a pressão na entrada (r = R0) e pR a pressão na saída (r = R). O resultado é uma equação diferencial ordinária
não linear em z, cuja não linearidade deve-se ao termo que contem 2, que corresponde ao termo de aceleração
convectiva. Pode-se mostrar que a Eq. (8) não possui solução analítica, sendo somente possível sua solução através de
métodos numéricos.

2.1 Condições de Contorno

     As condições de contorno para a integração das equações resultantes são feitas considerando a condição de não
deslizamento. Assim, as velocidades radiais nas posições z = -h e z = h são iguais ao zero. Portanto, considerando a Eq.
(2), a função    também será zero nesses pontos. Além disso, as pressões na entrada e a saída são p0 e pR
respectivamente.

                                                 vr ( z   h)        0              ( z h)        0
                                                 vr ( z       h)         0          (z      h)       0
                                                                                                                                                    (9)
                                                 p( r     R0 )           p0
                                                 p( r     R)        pR

2.2 Adimensionalização das equações

    Com o objetivo de facilitar o analise do problema em estudo, é necessário adimensionalizar as equações
governantes. Dessa forma, podem-se obter soluções em função do número de Reynolds e dos parâmetros geométricos.
Assim, define-se o número de Reynolds (Re) pela seguinte expressão:

                                                                              vR0 h
                                                                   Re                                                                              (10)




                                                                              4
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onde v R é a velocidade característica, que no caso estudado é a velocidade média na entrada dos discos, devido a que
       0

nessa região possui seu maior valor. Isto ocorre porque enquanto aumenta o raio, diminui a velocidade média. Escolhe-
se h como comprimento característico, sendo esse termo a distancia que é mantida constante ao longo do escoamento.
     Os parâmetros adimensionais são definidos considerando as ordens de grandeza das variáveis em estudo. Como o
escoamento é laminar, então possui velocidades baixas. Com velocidades muito baixas, as forças de inércia são muito
menores que as forças viscosas, dessa forma, a pressão torna-se uma força necessária para vencer a força viscosa
(White, 1991). Nesse caso, a pressão não deve ser adimensionalizada em função da pressão dinâmica v², entanto pode
ser adimensionalizada em função da pressão viscosa V/h. Os parâmetros adimensionais desenvolvidos são
apresentados na tabela (1):

                            Tabela 1. Parâmetros adimensionais para escoamento radial.

                                                     r                                            z
                                           r*                                              z*
                                                     R                                            h
                                                     vr                                   r vr
                                       vr *                                          *

                                                    vR0                                   R vR0           RvR0
                                                p p0                                             R0
                                      p*
                                                 vR0 / h                                         R

    Assim, substituindo as variáveis adimensionais na Tabela 1 na Eq.(4) e arranjando, obtém-se:

                                                          *                         2 *
                                            *            vr           p*        R    vr
                                        Re vr                                                                                          (11)
                                                         r*           r*        h   z*2




    De maneira similar substituindo as variáveis adimensionais nas equações Eq. (2) e Eq. (3), obtêm-se as seguintes
expressões:

                                                              r *vr
                                                                  *        *
                                                                                                                                       (12)

                                                                *           *
                                                               vr          vr
                                                                                                                                       (13)
                                                               r*          r*

    De maneira similar à Eq. (7), arranjam-se as expressões (12) e (13) para substituir em (11) e obter uma equação
geral governante do escoamento radial entre discos. A seguir:

                                                    *2
                                                                p*         R 1 d2 *
                                       Re           *3
                                                                                                                                       (14)
                                                r               r*         h r * dz *2

     A Eq. (14) é uma equação diferencial ordinária com variável dependente que representa a forma adimensional da
equação da quantidade do movimento para o escoamento radial entre discos paralelos. Integrando-se a Eq. (14) em
relação ao raio r, obtém-se uma equação semelhante à Eq. (8):

                               Re      1                                   R              d2 *
                                  1        2
                                                    *2         *
                                                              pR             Ln 1                     0                                (15)
                               2                                           h              dz*2

    A Eq. (15) será a equação a resolver numericamente na secção 4, com condições de contorno que dependerão do
caso analisado.

3. Soluções Analíticas

    Do analise feito na secção anterior observa-se que a Eq. (15) é uma equação diferencial ordinária não linear para o
campo de velocidade vr(r,z), a qual possui poucas soluções exatas na forma fechada. Em nosso caso serão feitas
algumas simplificações para encontrar soluções frequentes na pratica, tais como: escoamento radial com espaço entre
discos constante e escoamento radial com folga variável em função do tempo.




                                                                    5
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3.1 Espaço entre discos constante

    Para esta solução analítica, considera-se a aceleração convectiva muito baixa, podendo-se considerar desprezível.
Com valores baixos do número de Reynolds o escoamento é considerado como escoamento de Stokes ou “Creeping
Flow”, onde o termo não linear da Eq. (15) é desprezado. Assim, resultan uma equação diferencial ordinária a ser
resolvida através de integração direta.

                                                                            *     R    d2 *
                                     Re          0            0            pR       Ln                                         (16)
                                                                                  h    dz *2

    Como a queda de pressão é constante, então, a Eq. (16) torna-se linear e tem solução analítica. Considera-se como
número de Reynolds baixo aqueles valores menores de 1, que serão conferidos com a solução numérica do problema na
seção 4.
    Neste caso, os discos permanecem fixos, separados por uma distância 2h. Procede-se a integrar duas vezes a Eq.
(16) em relação à z, para obter a função e logo o perfil de velocidade. Finalmente, consideram-se as condições de
contorno apresentadas na seção 2.1 e os parâmetros adimensionais na Tabela 1, para obter:

                                                                             *
                                        *        *        *
                                                                            pR        h
                                      vr (r , z )                                       1 z *2                                 (17)
                                                                  2r Ln 1
                                                                       *              R


    Expressando a Eq. (17) em função das variáveis originais ( , r e z), a seguir:

                                                                                                2
                                                                  p0        pR h 2          z
                                     vr (r , z )                                      1                                        (18)
                                                              2r Ln R                       h
                                                                                 R0

e considerando a vazão volumétrica, pode ser obtida a velocidade média através de integração definida, a seguir:

                                                      Q            Q              1
                                            vr                                          vr dA                                  (19)
                                                      A           4 rh           4 rh A

    Arranjando a Eq. (19) e substituindo vr da Eq. (18), obtem-se uma expressão para a pressão:

                                                                       3 Q             r
                                                     p0       p             Ln                                                 (20)
                                                                       4 h3             R

    Na Eq. (20) pode-se notar a dependência linear entre a vazão volumétrica e a queda de pressão. Para folgas muito
pequenas a queda de pressão será maior. Esta equação também pode ser expressa em termos adimensionais, em função
dos parâmetros apresentados na tabela (1), da seguinte forma:

                                                                            R    r*
                                                     p*           3           Ln                                               (21)
                                                                           h

    Conclui-se da Eq. (21) que a queda de pressão adimensional não depende do número de Reynolds, mas depende de
outros parâmetros como R0 (ou R) e h. Na Figura 6 são apresentadas as curvas da queda de pressão em função do raio,
para diferentes razões de R0/h, considerando a razão de raio inicial e raio final =0.1




                                                                            6
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Figura 6. Gráfica da queda de pressão em função do raio, para diferentes razões de R0/h. Relação de raio inicial e raio
                                                    final =0.1

     Na Figura (6) são apresentadas as curvas de pressão adimensional em função do raio. Pode-se observar que a
gradiente de pressão é não-linear, apresentando um comportamento diferente do caso do escoamento em seções
transversais constantes. A queda de pressão tem uma distribuição logarítmica e tem uma maior gradiente nos valores
próximos ao raio inicial. Conclui-se que a gradiente de pressão é proporcional à velocidade e inversa à área transversal.
Note-se que a queda de pressão é menor quando a relação R0/h é menor. Conclui-se também que para uma folga muito
pequena, a queda de pressão será grande e o atrito será maior. Então, para ter uma menor queda de pressão tem-se que
aumentar o espaço entre discos 2h ou diminuir o raio interno R0. Note-se também que para valores muito grandes de
R0/h, a queda de pressão é muito maior, pois a pressão adimensional varia linearmente com R0/h.
     A seguir, obtem-se o perfil de velocidade em função da vazão volumétrica. Para isso, tem-se a expressão para
velocidade média pela equação (19) a qual é integrada, a seguir:


                                                                                                      2
                             1               1
                                                            h
                                                                      p0      pR h 2              z
                       vr          vr dA                                                   1              d (2 rz )
                            4 rh A          4 rh            h     2r Ln R                         h
                                                                                 R0
                                                                  z h
                                                                                                                                       (22)

                               p0   pR h                    z3                   p0        pR h
                       vr                        z
                            4r Ln R                        3h 2               3r Ln R
                                       R0                         z       h
                                                                                               R0

    Desta forma com as equações (19) e (22), é possível expressar a pressão em função da vazão volumétrica:

                                                                  3Q
                                            p0        pR               Ln R                                                            (23)
                                                                  4 h3      R0

    Finalmente, substituindo a Eq. (23) no perfil de velocidade na Eq. (18), obtém-se:

                                                                                       2
                                                                3 Q              z
                                            vr ( r , z )             1                                                                 (24)
                                                                8 rh             h




                                                                      7
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     Das expressões (17) e (24) pode-se observar que o perfil de velocidade é bidimensional, pois depende de duas
variáveis z e r. Observa-se que é possível determinar o perfil de velocidade, conhecendo os parâmetros geométricos e a
vazão volumétrica. Assim, a Eq. (24) pode ser expressa adimensionalmente em função dos parâmetros geométricos
definidos na Tabela (1), de forma que o perfil de velocidade não dependa da queda pressão nem da vazão. A equação
resultante é apresentada a seguir:

                                               *   3
                                              vr        1 z *2                                              (25)
                                                   2r *




                       Figura 5. Perfil da velocidade vr* em função de z*, para diferentes raios.

    Na Figura (5) apresentam-se os perfis de velocidade vr* dependente de z*, para diferentes raios, considerando o raio
de entrada como 10% do raio de saída ( = 0,1). Observa-se que os perfis são simétricos em relação do eixo z = 0,
apresentando maiores valores da velocidade para raios menores. A velocidade será máxima na entrada e mínima na
saída, devido que a seção transversal de saída aumenta enquanto o raio aumenta. Desta forma, pela conservação da
massa, a velocidade tem que diminuir já que a vazão volumétrica é constante.

3.2 Escoamento entre discos com variação da folga em função do tempo

    O escoamento entre discos com variação da folga h(t) em função do tempo é chamado também “Squeezing Flow”
(Bird, 1987). Nesse tipo de escoamento apresenta-se uma velocidade na direção z, a qual é produto do movimento axial
dos discos devido a uma força de compressão. Neste caso, serão feitas novas hipóteses para simplificar as equações de
conservação:

  a) Hipóteses (c), (d) e (e) da seção 2.
  b) Despreza-se o termo de aceleração convectiva.
  c) Os termos de aceleração local (derivadas em relação ao tempo) são muito menores em comparação aos termos
     difusivos (     / t 0)
  d) Velocidade em z (vz) dependente do tempo t e da coordenada z.
  e) Como R>>h, a velocidade radial (vr) é muito maior que a velocidade em z (vz)
  f) A força de compressão para aproximar os discos é muito maior que o peso do liquido, então, os efeitos da
     gravidade são desprezíveis.
  g) A velocidade vr é função de r, z, t. vr = vr(r,z,t)




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 Substituindo as hipóteses anteriores e simplificando as equações de conservação de massa (26) e da quantidade de
movimento (27) e (28) obtém-se:

                                                                    1                                vz
                                                                                rvr                           0                                                      (26)
                                                                    r                                z

                                                                                                          2
                                                                                      p                   vr
                                                                     0                                                                                               (27)
                                                                                      r                   z2

                                                                                                 p
                                                                                0                                                                                    (28)
                                                                                                 z

     No instante inicial, a folga é máxima, dessa forma, a área será maior e a velocidade menor. Entanto transcorra
tempo, a folga diminui, tornando-se maior a velocidade dado que a vazão é constante. A situação é inversa do caso dos
discos fixos, sendo a velocidade direitamente proporcional ao raio. Então, pode-se expressar a velocidade radial como
uma função (z,t) vezes o raio (vr=r (z,t)). Alem disso, da equação da quantidade de movimento Eq.(27), pode-se
integrar em relação ao raio r para obter uma expressão da pressão p=p0+p1r2 onde p0 e p1 são constantes, considerando
que a segunda derivada de em relação a z é uma constante. Nota-se da Eq. (28) que a pressão não varia ao longo de z.
Com essas considerações, as equações (26) e (27) ficam:

                                                                                            vz
                                                                            2                             0                                                          (29)
                                                                                            z

                                                                                                 2
                                                                         2 p1                                 0                                                      (30)
                                                                                                 z2

Condições de contorno

     Pela condição de não deslizamento, as condições de contorno nos discos (z=h e z=-h), considera-se que o fluido
não tem velocidade radial e a velocidade em z é igual à velocidade vertical das placas (dh/dt). Também, assumindo um
perfil simétrico, a velocidade radial máxima é obtida em z=0, a derivada de vr em relação a z (e também de ) será zero.
Além disso, pode-se conhecer a distribuição da pressão considerando-se que a pressão na entrada (r = R0) é p0.
     Integrando-se as equações (30) e aplicando suas condições de contorno resulta:

                                                           p1
                                         ( z ,t )               z2          c1 z c2

                                                                            2 p1            0
                                                            0                       z                c1        0       c1    0
                                          z     z 0
                                                                                                                                                                     (31)
                                                                               p1       2                               p1       2
                                         (z         h,h)        0                   h           c2            c2             h

                                                       p1
                                         (z)                    z2          h2


Conhecendo a função    pode obter-se a velocidade radial:

                                                                    vr ( z )        p1
                                                                                                z2        h2                                                         (32)
                                                                        r

Logo, substituindo a última expressão da Eq. (31) na Eq. (29) e considerando as condições de contorno:

                               p1                                   vz                                                  p1
                          2         z2         h2                               0                    vz            2         z2      h2    z
                                                                    z
                                                                                                                                                                     (33)
                                      p z3                          2
                          vz        2 1                         h z
                                        3



                                                                                            9
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                                                                             p1 h3
                                               vz   z   h,h
                                                               h         2                 h3
                                                                                3

Desta forma, obtem-se uma expressão para a constante p1/ .

                                                        p2     3
                                                                 h(t )                                                     (34)
                                                               4

   Finalmente, substituindo a Eq. (34) nas equações (32) e (33) as equações governantes para escoamento entre discos
com deslocamento vertical ficam da seguinte forma:

                                                                                     2
                                                    3 h                      z
                                          vr            r 1                                                                (35)
                                                    4 h                      h

                                                                                 3
                                                        3 z        1 z
                                             vz          h                                                                 (36)
                                                        2 h        3 h


                                                        3 ( h) 2
                                         p        p0           r                     R02                                   (37)
                                                         4 h3

sendo h(t ) =dh/dt. Note-se nas equações (35), (36) e (37) que o tempo está implícito no cálculo da folga h(t) e da
velocidade axial h(t ) . O sinal negativo de h é devido ao sentido da velocidade oposto ao eixo. O comportamento desse
escoamento é contrario ao caso dos discos fixos, porque a velocidade e o gradiente de pressão diminui e aumenta
respectivamente com o raio.




   Figura 7. Variação da velocidade radial ao longo do tempo t e coordenada z no escoamento com folga variável.




           Figura 8. Variação da velocidade em z ao longo do tempo e z no escoamento com folga variável.



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    Da Figura (7) observa-se que a velocidade radial tem um perfil simétrico no qual a velocidade máxima está no
ponto z=0. No caso da velocidade em z, o perfil apresenta três diferentes comportamentos, sendo positivo para z < 0,
negativo para z > 0 e nulo em z=0. Note-se que a velocidade é negativa para z > 0 porque o disco superior está
movendo-se para baixo. Também, note-se como muda o perfil ao longo do tempo, as duas velocidades vr e vz aumentam
sua velocidade máxima, mas a velocidade média permanece constante.

4. Solução Numérica

    Nesta etapa do trabalho será apresentada a solução aproximada do problema em estudo através de métodos
numéricos. A Eq. (15) possui um termo quadrático em , pelo qual é uma equação não linear sem solução analítica.
Além disso, têm-se dados de para z=h e z=-h, da seção 2.1, então, a equação torna-se um problema não linear com
valores na fronteira. É notável nesse tipo de problemas, que eles podem ter mais de uma solução, ou não ter nenhuma. É
necessário que quando se obtenha uma resposta numérica deve-se pesquisar se ela tem significado físico (Nakamura,
1992). Esse tipo de problema requer a aplicação iterativa de um método de solução para problemas lineares.
    A formulação do problema físico, a modelagem matemática e a dedução das equações governantes foram feitas na
secção 2. Então, é necessário discretizar as equações para obter um sistema de equações algébricas de fácil solução. A
equação governante esta dada pela Eq. (15), que é uma equação diferencial ordinária da forma:

                                                                                  *2                      ''
                                                                             a             b c                         0                                                                       (38)

sendo   a função incógnita e a, b, c os coeficientes definidos por:

                                                          Re         1                                                                                              R
                                                                                                                                                                      Ln 1
                                                                                                                        *
                                             a               1       2
                                                                                                          b            pR                            c
                                                          2                                                                                                         h

4.1 Discretização

    Para dar solução à equação diferencial, é proposto o método de Newton, onde a função incógnita é substituída pela
soma de uma função mais uma variação dessa função          . Essa variação é uma correção da estimação anterior (i-1),
cujo termo de expoente igual a 2 é desprezível.

                                                                             (z)                (z)                   (z)                                                                      (39)

Substituindo a Eq. (39) na equação diferencial (38) e desprezando o termo    ², aplica-se a aproximação de diferenças
finitas para os termos com derivadas. Considera-se como diferencial finito. Desta maneira tem-se:

                      2                                     2
                                                                0
                                                                                          i 1         2       i             i 1            i 1        2             i           i 1
                a    i      2   i        i                 i         b c                                  2                                                     2
                                                                                                                                                                                          0    (40)


    Separam-se os termos que dependem de                                              e de            , para obter os coeficientes do sistema de n equações lineares,
sendo n o numero de pontos.

                                             2                                                                                                                              2         2    2
                c         i 1       2a                i     2c           i       c          i 1                   c       i 1     2c   i         c        i 1           b        a        i    (41)
                Ài                               Bi                              Ci                                                                  Di



                                                      B1        C1   0                0          ... 0                            1          D1
                                                      A2        B2   C2               0          ... 0                            2          D2
                                                      0         A3   B3           C3             ... 0                            3          D3                                                (42)


                                                      0         0        0        ...           An        Bn                      n          Dn

    Para satisfazer a Eq.(41), é necessário que a variação  seja zero. Para isso, assume-se primeiro um valor de e
resolve-se o sistema por meio de sistemas tridiagonais (Nakamura, 1992). Logo a seguinte aproximação de é feita
com a seguinte formula:

                                                                                  i 1           wDi                   i                                                                        (43)


                                                                                            11
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                                                                                   1°Q2009


sendo w = 0,90 o parâmetro de baixa relaxação. O processo iterativo é truncado definindo-se um valor de        muito
pequeno (       0) o qual depende do grau de exatidão requerido. Isso determina que Di tenda a zero pela Eq.(41).
Quando Di, em conseqüência também        , atinja o valor de zero o valor da função será igual ao valor de      desta
forma o problema terá sido resolvido.
    Note-se que os dados de entrada para resolver a Eq. (15) são os parâmetros geométricos (k, R, R0, h), o número de
Reynolds (Re) e a queda de pressão adimensional (p*). Porém, não pode-se assumir arbitrariamente uma queda de
pressão entanto ela depende do número de Reynolds. Uma condição adicional é considerar a vazão volumétrica
constante Q. Expressando a vazão volumétrica como a integral da velocidade, e substituindo por as variáveis
adimensionais da Tabela 1, pode obter-se uma expressão em função da integral de . Além disso, expressa-se a vazão
volumétrica como o produto da velocidade média na entrada vezes a área de entrada, a seguir:

                                                 h                                1
                                                                                      *
                                Q        vr dA           2 r dz        2 RvR0 h           dz *                              (44)
                                     A           h   r                            1



                                                     Q    4 R0 hvR0                                                         (45)

   Assim, igualando as expressões para a vazão volumétrica nas equações (44) e (45), e simplificando os termos
comuns obtém uma equação que relaciona o parâmetro geométrico com a integral da função :

                                                            1
                                                                *
                                                     2              dz *                                                    (46)
                                                            1


Com ajuda da expressão (46) o problema tem solução única. Então, o procedimento aplicado é assumir uma queda de
pressão, encontrar a função     através do método de Newton e integra-a numericamente. Depois, deve-se comparar o
resultado da integral com o parâmetro geométrico 2 e verificar sua igualdade. Assim, é necessário iterar o valor de p*
até que a integral numérica na Eq. (46) seja igual do , considerando uma determinada margem de erro.
     Finalmente, a função e a queda de pressão adimensional são encontradas através de um algoritmo desenvolvido
em Fortran (ver anexo) seguindo o procedimento explicado anteriormente. A validação dos resultados obtidos foi feita
fazendo que o valor de Re seja igual à zero. Assim, os resultados obtidos devem ser iguais que na solução analítica
apresentada na seção 3.1. Compara-se com a Eq (25) para a velocidade e com a Eq. (21) para a pressão. Dessa forma,
procede-se a multiplicar a função pelos diferentes raios adimensionais r* para obter os perfis de velocidades.

4.2 Resultados

     Os resultados da solução numérica são apresentados nas figuras 9, 10 e 11. São avaliadas a pressão e o perfil de
velocidade, desenvolvendo diferentes curvas para cada geometria e número de Reynolds. Os perfis de velocidade são
avaliados na entrada (r = R0) porque nessa região as velocidades são maiores. Mantendo constante a geometria, pode-se
desenhar os perfis de velocidade para diferentes números de Reynolds (Figura 9). Logo, também pode ser feita uma
figura mantendo o número de Reynolds fixo e variando a razão R0/h. No caso da pressão, apresenta-se a queda de
pressão em função ao número de Reynolds.




                                                           12
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
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                        Figura 9: Perfil de velocidade para diferentes números de Reynolds.

     Na figura 9, mostra-se a variação do perfil de velocidade quando o número de Reynolds aumenta. Todos os perfis
são avaliados no raio de entrada, onde a velocidade é máxima. Consideram-se os parâmetros geométricos: = 0.1 e
R0/h = 2. Na Figura 9, para Re igual ao zero, tem-se exatamente a solução analítica (ver Figura 5). Para um Re=25, a
variação em relação à solução analítica está na ordem de 7%, e para Re = 1 na ordem de 1%. Confere-se a hipótese de
que quando o numero de Reynolds é muito baixo, a aceleração convectiva é desprezível. Note-se que quando o
Reynolds aumenta, o perfil torna-se mais uniforme, tendendo a ser igual à velocidade média. Entanto, não pode
ingressar-se Re muito grandes porque não se conhece até que ponto o escoamento será laminar. Mesmo que o modelo
permita ingressar Re maiores, não pode-se afirmar que os resultados refletem a realidade.




         Figura 10: Variação do perfil de velocidades em relação à folga, mantendo Re fixo. Re=25, =0,1.



                                                   13
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                                                                   1°Q2009
    Na figura 10, observa-se a variação do perfil de velocidades com os parâmetros geométricos do sistema em estudo.
Assim, valores grandes da razão R0/h fazem que o perfil tenha uma tendência parabólica pronunciada. Isso acontece
para folgas muito pequenas ou raios de entrada muito grandes.




Figura 11. Variação da queda de pressão adimensional com o numero de Reynolds para varias geometrias. Considera-
                                         se como dado de entrada = 0,1.

     Na Figura 11 apresenta-se a variação da queda de pressão adimensional versus número de Reynolds. Os valores do
gráfico podem ser transformados em vazão volumétrica multiplicando pelos parâmetros geométricos e do fluido. Note-
se que a queda de pressão considerando o termo convectivo, deve ser maior que no escoamento de Stokes. A queda de
pressão tem uma dependência quase-linear com o número de Reynolds, semelhante ao caso de escoamento de Stokes. É
comprovado que segundo os parâmetros geométricos do sistema, a queda de pressão variará, por exemplo, uma folga
pequena ocasionará uma queda de pressão maior que uma folga grande para o mesmo raio.

5. Conclusões

     O presente artigo teve por objetivo apresentar os conceitos teóricos relacionados ao escoamento radial entre discos.
As hipóteses e os resultados obtidos foram apresentados, discutidos e analisados em 3 casos diferentes: duas soluções
analíticas e uma numérica.
     O perfil de velocidade no escoamento radial permanente entre discos tem solução analítica quando é desprezado o
termo de aceleração convectiva. Isso ocorre para regimes com baixos números de Reynolds. Em outros casos, será
necessária uma solução numérica. Os resultados para os casos analisados (alto e baixo número de Reynolds) é um perfil
simétrico ao longo do eixo z e que varia de forma inversa ao raio. Enquanto o numero de Reynolds aumenta, o perfil
toma uma forma mais uniforme e se aproxima à velocidade media.
     Em relação da pressão, é notável que o gradiente não é constante como no caso dos dutos de seção fixa. Para o caso
do escoamento de Stokes, a distribuição de pressões é logarítmica e observam-se baixas quedas de pressão. Além disso,
a queda de pressão varia de forma linear com a vazão volumétrica. No caso de aceleração convectiva não desprezível a
queda de pressão varia de forma quase-linear com o numero de Reynolds.
     A pressão e a velocidade apresentam muita dependência da geometria. Para folgas muito pequenas a queda de
pressão é maior e o perfil de velocidade tem tendência parabólica pronunciada; e para folgas grandes a queda de pressão
é menor e o perfil de velocidade é achatado. Para raios de saída muito grandes, o perfil também terá uma forma
achatada, e para raios de entrada muito pequenos, o perfil tenderá a ser parabólico pronunciado.
     Sendo o problema resolvido muito utilizado em aplicações praticas na engenharia, o estudo realizado fornece uma
base teórica interessante que permite entender fisicamente o fenômeno de escoamento radial entre discos.




                                                      14
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                                                              1°Q2009
6. Referências

Bird B., Armstrong R., Hassager O., 1987. “Dynamic of Polymeric Fluids”, Volume 1, 2da Ed., Editorial John Wiley &
    Sons, Inc, Estados Unidos, pp 3-22.
Bird B., Stewart W., Lightfoot E., 2006. “Fenómenos de Tranporte”, 2da Ed., Editorial Limusa Wiley, México, pp 85-
    124.
Fox R., McDonald A., 2001, “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 5ta Ed., Livros Técnicos e Cientificos Editora,
    Brasil, pp 215-224.
Nakamura S. “Métodos Numéricos aplicados con software”, Primeira Edição, Editorial Prentice Hall Latinoamericana,
    México, pp 351-406.
Stachowiak G., Batchelor A., 2000, “Engineering Tribology”, Segunda Edición, Ed. Butterworth Heinemann,
    University of Western Austrália, Austrália.
Viñolas J., Egaña J., Carrera X., 2002. “Elementos de Máquina – Teoria”, Tecnum, Universidade de Navarra, Espanha,
    pp 46-72.
White, F., 1991, “Viscous Fluid Flow”, 2da Ed., Editorial Mc Graw-Hill, Estados Unidos, pp 173 – 181.




                                                   15
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                                        1°Q2009
ANEXO

!***********************************************************************
! PROGRAM: eradial
! PURPOSE: Resolver uma equação não linear para encontrar o perfil de velo
!            cidade em um escoamento radial com vazão mássico constante
! Equação não linear
! cy" + b + ay² = 0
! a= 0.5 * Re * ( (R1/R0)**2 - 1 )
! b= -dp*
! c= (R1/l) * log(R1/Ro)
! Resolve-se pelo método de Newton
!************************************************************************
    program eradial
    implicit none
! Declaração de Variáveis
    double precision H,N,H2,EP,W, NT,Re,dp,l,a1,b1,c1,R0,R1
    double precision integral
    double precision, dimension (0:300)::A
    double precision, dimension (0:300)::B
    double precision, dimension (0:300)::C
    double precision, dimension (0:300)::D
    double precision, dimension (0:300)::PS
    integer i,j,k
! Abre-se um arquivo para salvar os resultados.
    open(unit=2,file="resultados.txt")
! Define-se os parâmetros do escoamento
    R0=0.1 !raio interno em m
    R1=1 !raio externo em m
    dp=13.7 !Queda de pressão adimensional estimada
555 l=0.05 !mitad do espaço entre discos
    Re=0 !numero de Reynolds

130 N=49 ! numero de pontos

! Parâmetros da equação diferencial
    H=2/(N+1)
    H2=H*H
    c1=(R1/l)*log(R1/R0)
    a1=0.5*Re*(1-(R1/R0)**2)/c1
    b1=dp/c1
    k=0

! Parâmetro do método numérico
    EP=0.0001 !erro permissível
    W=0.90 ! parâmetro de baixa relaxação

!Corpo do programa
    do i=1,N
     PS(i)=0
    end do

150   k=k+1
      do i=1,N
            A(i)= 1
            B(i)=-2+2*a1*H2*PS(i)
            C(i)=1
            D(i)=-PS(i-1)+2*PS(i)-PS(i+1)-b1*H2-a1*H2*PS(i)**2

      end do
      call TRDG(A,B,C,D,N)

190   NT=0


                                   16
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                                       1°Q2009
       do i=1,N
            if (abs(D(i)).GT.EP) then
            NT=NT+1
            end if
       end do

200   print*,'IT.NO=',k
      print 215, NT

215   format('Numero de pontos que não satisfazem o critério=', i2)
      if (NT==0) goto 270
240   print*,'   i     PSI(i)      DEL PSI(i)'


       do i=1,N
            PS(i)=D(i)*W+PS(i)
            print 257,i ,PS(i)      ,D(i)
       end do

       write(*,3000) (PS(i),i=1,N)

3000 format(1x,5f8.4)
257 format(3x,i2,3x,1p2e13.4)
     goto 150
270 print 275
275 format(/' --- Resultado Final ---'/'--- Ponto da reticula Solucao')

! Verificação da queda de pressão. Integra se numericamente fi dividindo
! a região de integração em retângulos

      integral=0
      do i=1,N+1,1
      integral=integral+(PS(i)+PS(i-1))*0.5*H
      end do
      print*, 'integral=',integral
      print*, 'dp=',dp

      if (abs(integral-2*(R0/R1)).GT.1e-4) then
      dp=dp+0.01
      goto 555
      endif

280   PS(0)=0

290  do i=0,N
     write (2,296) PS(i)
    end do
296 format(f12.7)

! Salva-se os resultados no arquivo resultados.txt
    write (2,*) dp

      end program

! Subrutina para resolver o sistema de equações
    subroutine TRDG(A,B,C,D,N)

      double   precision,   dimension   (0:300)::A
      double   precision,   dimension   (0:300)::B
      double   precision,   dimension   (0:300)::C
      double   precision,   dimension   (0:300)::D
      real*8   N



                                          17
PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
                                                                       1°Q2009
do i=2,N
ER=A(i)/B(i-1)
B(i)=B(i)-ER*C(i-1)
D(i)=D(i)-ER*D(i-1)
end do
D(N)=D(N)/B(N)
do i=N-1, 1 , -1
      D(i)=(D(i)-C(i)*D(i+1))/B(i)
end do
return
end subroutine TRDG




                              18

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Modelamiento de Flujo Radial entre Discos

  • 1. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco MODELAGEM DO ESCOAMENTO RADIAL ENTRE DISCOS César Daniel Perea Medina Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. Av. Sete de Setembro 3165, Curitiba-Paraná, Brasil. CEP: 80230-901 E-mail: cesar.perea.medina@gmail.com Resumo: O escoamento radial entre discos ocorre em diversas áreas da engenharia, por exemplo, na lubrificação de chumaceiras, no funcionamento das bombas centrífugas, entre outros. No presente trabalho, é apresentada a modelagem do escoamento radial entre discos paralelos separados por uma distancia finita. As equações governantes estão dadas pela conservação da massa e quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas. Para a solução das equações governantes serão feitas algumas hipóteses a fim de simplificar o problema. Na sequência, será obtida uma equação diferencial e aplicando as condições de contorno correspondentes será resolvido o problema. Observa-se que a equação diferencial resultante da quantidade do movimento é não linear, e somente pode ser resolvida de duas formas: simplificando o termo não linear ou calculando uma solução aproximada através de métodos numéricos. O objetivo final deste trabalho é a obtenção de uma expressão para o perfil de velocidade e a queda de pressão em função dos parâmetros geométricos e físicos do escoamento. Palavras chave: Escoamento radial, discos paralelos, equações de conservação. 1. Introdução Para problemas de escoamentos isotérmicos, as equações de conservação de massa e quantidade do movimento são ferramentas úteis. São poucos os casos em que o problema tem solução exata devido às não linearidades de alguns termos na equação de quantidade de movimento. Os casos que possuem soluções exatas são aqueles cujos termos não lineares são desprezados, mas em alguns casos pode-se obter soluções aproximadas usando-se hipóteses simplificadoras. A principal hipótese para obter soluções exatas, é considerar a condição de efeitos inerciais desprezíveis ou número de Reynolds baixo ( Re 0 ), conhecido como escoamento de Stokes (White, 1991). Quando não são desprezados os termos não lineares, podem-se obter soluções aproximadas através da aplicação de métodos numéricos. A diferença das soluções analíticas, as soluções numéricas aplicam-se a um maior número de problemas, mas os resultados de uma aproximação numérica não sempre refletem a realidade. Por isso, esses tipos de soluções devem ser validados reduzindo o problema a situações com solução analítica conhecida. O problema a ser resolvido no presente trabalho refere-se ao escoamento laminar entre dois discos concêntricos paralelos separados por uma distancia finita. Neste tipo de escoamento o fluido escoa radialmente desde o centro até a saída do disco com raio R. Como a área transversal varia proporcionalmente com o raio, a velocidade também varia na direção da coordenada r, além disso, pela condição de não deslizamento o perfil de velocidade também depende da coordenada z. Dessa forma, o escoamento pode ser classificado como unidirecional na direção r e bidimensional nas direções z e r. O escoamento radial tem muitas aplicações na engenharia, por exemplo, na lubrificação de chumaceiras, na simulação das bombas centrifugas, no desenho de mancais, entre outras. O escoamento radial aplica-se na lubrificação hidrostática como mostrado na Figura (1). Neste tipo de fenômeno são geradas altas pressões nas cavidades da chumaceira que suporta o eixo, independentemente da rotação do eixo. Neste caso, as superfícies lubrificadas estão completamente separadas por uma camada de lubrificante, cujo movimento é produto de uma pressão externa, fornecida geralmente por bombeio (Stachowiak, 2000). Na maioria dos casos da lubrificação, o espaço entre discos é pequeno e o escoamento é modelado como placas paralelas. Mas, quando o espaço não é pequeno deve usar-se a formulação em coordenadas cilíndricas. Outro campo de aplicação do escoamento radial acontece no funcionamento de bombas centrifugas. Nesses tipos de bombas, o fluido ingressa pelo olho de sucção e sai pela descarga, como mostrado na Figura (2). O escoamento apresenta movimento radial e rotativo ao mesmo tempo. Neste caso, o problema é resolvido através de uma superposição do escoamento radial e rotativo. No caso de escoamento radial de um lubrificante pode-se assumir a hipótese de escoamento de Stokes devido a que a vazão é baixa e a folga é muito pequena, o qual é chamado escoamento por escorregamento (Fox, 2001). No caso das bombas, as velocidades e as dimensões no sistema são maiores, assim, devem considerar-se os termos inerciais. 1
  • 2. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Figura 1. Lubrificação hidrostática de uma chumaceira. Figura 2. Movimento radial do fluido em uma bomba centrifuga. O objetivo deste artigo é desenvolver expressões para o perfil de velocidade, assim como para a queda de pressão no escoamento entre discos paralelos. Esses parâmetros são as variáveis desconhecidas no sistema de equações diferenciais e constituem parâmetros de interesse para a engenharia. 2. Modelagem Matemática Considere um fluido de propriedades constantes, massa específica e viscosidade . A fim de encontrar o perfil de velocidade é feita uma análise diferencial através das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas. O sistema de coordenadas e os parâmetros geométricos do sistema são definidos na Figura (3). Para simplificar as equações de conservação de massa e de quantidade de movimento, são feitas as seguintes hipóteses: a) Escoamento laminar e incompressível em regime permanente. b) Escoamento completamente desenvolvido c) Escoamento na direção r (v = vz = 0) d) Escoamento axissimétrico em relação ao eixo (os parâmetros não variam ao longo do eixo ) e) Escoamento isotérmico de fluido newtoniano. f) Aceleração da gravidade atuante no eixo z. (g = gr = 0) Figura 3. Seção transversal do sistema estudado. A origem do eixo de coordenadas está no centro dos discos. Os parâmetros geométricos considerados são R0 (raio de entrada), R (raio de saída) e 2h (distancia entre os discos). A condição de escoamento radial é dada quando o fluido ocupa a região de raios maiores a R0, devido que na região desde r = 0 até r = R0 acontece uma mudança na direção do escoamento, de movimento axial a movimento radial como mostrado na Figura 4. 2
  • 3. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Figura 4. Esquema tridimensional do problema. Pela hipótese (c), a velocidade vr não depende da coordenada , então pode ser expressa como: vr f (r , z ) Logo, simplificando a equação de conservação da massa em coordenadas cilíndricas de acordo às hipóteses feitas, obtem-se: (a) (c ) 1 (a) 1 rvr v 0 t r r r rvr 0 (1) r Integrando e derivando a equação (1) podem-se deduzir as seguintes expressões: rvr (2) vr vr (3) r r Segundo a equação (1), o produto do raio r vezes a velocidade radial vr não depende da coordenada r. Como vr depende de r e z, então da Eq.(2), será uma função dependente somente da coordenada z: = (z). Além disso, segundo a Eq. (3) a derivada de vr em relação a r pode ser expressa em função da velocidade radial vr e do raio r, expressão que será útil para encontrar o termo não linear na equação da quantidade de movimento. Simplificando-se a equação de quantidade de movimento na direção r para um fluido newtoniano em coordenadas cilíndricas e considerando as hipóteses feitas, tem-se: (a) (d ) (d ) (d ) () (d ) (c ) vr vr v vr v2 vr p (e) 1 1 2 vr 2 v 2 vr vr vz gr rvr t r r r z r r r r r2 2 r2 z2 2 vr p vr vr (4) r r z2 O termo à esquerda da equação (4) corresponde à aceleração convectiva, o primeiro termo da direita é a queda de pressão ao longo do raio e o último termo refere-se às forças viscosas. De maneira similar, na equação da quantidade de movimento na direção obtém-se (d ) (c) (d ) ¨( c ) 2 2 v v v v v rv v 1 p (e) 1 1 v 2 vr v vr vz g rv t r r r z r r r r r2 2 r2 z2 p 0 (5) 3
  • 4. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Observa-se na Eq. (5) que não existe variação da pressão ao longo do eixo , comprovando-se a hipótese de escoamento axissimétrico. Finalmente na equação da quantidade de movimento na direção z, tem-se: (c) (c) 2 2 vz vz v vz vz p 1 1 vz vz vr vz gz rvz t r r z z r r r r2 2 z2 p 0 gz (6) z A Eq. (6) mostra que o gradiente de pressão na direção z é produzido pela força gravitacional. Entanto, em um escoamento entre discos o espaço entre eles tende a ser tão pequeno que o peso do fluido é desprezível. Com essa hipótese, o gradiente de pressão dependerá somente de r. Dessa forma, a equação diferencial parcial de pressão torna-se uma equação diferencial ordinária em relação a r. Observa-se que a Eq. (4) dá maior informação sobre o problema em estudo. Mas sua principal dificuldade é que possui um termo não linear. Com ajuda da expressão (3) pode-se expressar a derivada de vr em função de vr. Logo, como a velocidade vr pode ser expressa através da Eq. (2), substituem as equações (2) e (3) na Eq. (4). O resultado é uma equação diferencial ordinária de dependente de z: 2 dp 1 d2 (7) r3 dr r dz 2 Como a variável somente depende de z, pode-se integrar a Eq. (7) em relação ao raio r para obter uma expressão em função da queda de pressão. Considera-se que a queda de pressão é constante e somente depende de duas constantes: raio inicial (R0) e raio final (R). Então, integrando a Eq. (7) em relação ao raio r, tem-se: 1 1 2 R d2 (z) p0 pR Ln 0 (8) 2 R02 R2 R0 dz 2 sendo p0 a pressão na entrada (r = R0) e pR a pressão na saída (r = R). O resultado é uma equação diferencial ordinária não linear em z, cuja não linearidade deve-se ao termo que contem 2, que corresponde ao termo de aceleração convectiva. Pode-se mostrar que a Eq. (8) não possui solução analítica, sendo somente possível sua solução através de métodos numéricos. 2.1 Condições de Contorno As condições de contorno para a integração das equações resultantes são feitas considerando a condição de não deslizamento. Assim, as velocidades radiais nas posições z = -h e z = h são iguais ao zero. Portanto, considerando a Eq. (2), a função também será zero nesses pontos. Além disso, as pressões na entrada e a saída são p0 e pR respectivamente. vr ( z h) 0 ( z h) 0 vr ( z h) 0 (z h) 0 (9) p( r R0 ) p0 p( r R) pR 2.2 Adimensionalização das equações Com o objetivo de facilitar o analise do problema em estudo, é necessário adimensionalizar as equações governantes. Dessa forma, podem-se obter soluções em função do número de Reynolds e dos parâmetros geométricos. Assim, define-se o número de Reynolds (Re) pela seguinte expressão: vR0 h Re (10) 4
  • 5. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 onde v R é a velocidade característica, que no caso estudado é a velocidade média na entrada dos discos, devido a que 0 nessa região possui seu maior valor. Isto ocorre porque enquanto aumenta o raio, diminui a velocidade média. Escolhe- se h como comprimento característico, sendo esse termo a distancia que é mantida constante ao longo do escoamento. Os parâmetros adimensionais são definidos considerando as ordens de grandeza das variáveis em estudo. Como o escoamento é laminar, então possui velocidades baixas. Com velocidades muito baixas, as forças de inércia são muito menores que as forças viscosas, dessa forma, a pressão torna-se uma força necessária para vencer a força viscosa (White, 1991). Nesse caso, a pressão não deve ser adimensionalizada em função da pressão dinâmica v², entanto pode ser adimensionalizada em função da pressão viscosa V/h. Os parâmetros adimensionais desenvolvidos são apresentados na tabela (1): Tabela 1. Parâmetros adimensionais para escoamento radial. r z r* z* R h vr r vr vr * * vR0 R vR0 RvR0 p p0 R0 p* vR0 / h R Assim, substituindo as variáveis adimensionais na Tabela 1 na Eq.(4) e arranjando, obtém-se: * 2 * * vr p* R vr Re vr (11) r* r* h z*2 De maneira similar substituindo as variáveis adimensionais nas equações Eq. (2) e Eq. (3), obtêm-se as seguintes expressões: r *vr * * (12) * * vr vr (13) r* r* De maneira similar à Eq. (7), arranjam-se as expressões (12) e (13) para substituir em (11) e obter uma equação geral governante do escoamento radial entre discos. A seguir: *2 p* R 1 d2 * Re *3 (14) r r* h r * dz *2 A Eq. (14) é uma equação diferencial ordinária com variável dependente que representa a forma adimensional da equação da quantidade do movimento para o escoamento radial entre discos paralelos. Integrando-se a Eq. (14) em relação ao raio r, obtém-se uma equação semelhante à Eq. (8): Re 1 R d2 * 1 2 *2 * pR Ln 1 0 (15) 2 h dz*2 A Eq. (15) será a equação a resolver numericamente na secção 4, com condições de contorno que dependerão do caso analisado. 3. Soluções Analíticas Do analise feito na secção anterior observa-se que a Eq. (15) é uma equação diferencial ordinária não linear para o campo de velocidade vr(r,z), a qual possui poucas soluções exatas na forma fechada. Em nosso caso serão feitas algumas simplificações para encontrar soluções frequentes na pratica, tais como: escoamento radial com espaço entre discos constante e escoamento radial com folga variável em função do tempo. 5
  • 6. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 3.1 Espaço entre discos constante Para esta solução analítica, considera-se a aceleração convectiva muito baixa, podendo-se considerar desprezível. Com valores baixos do número de Reynolds o escoamento é considerado como escoamento de Stokes ou “Creeping Flow”, onde o termo não linear da Eq. (15) é desprezado. Assim, resultan uma equação diferencial ordinária a ser resolvida através de integração direta. * R d2 * Re 0 0 pR Ln (16) h dz *2 Como a queda de pressão é constante, então, a Eq. (16) torna-se linear e tem solução analítica. Considera-se como número de Reynolds baixo aqueles valores menores de 1, que serão conferidos com a solução numérica do problema na seção 4. Neste caso, os discos permanecem fixos, separados por uma distância 2h. Procede-se a integrar duas vezes a Eq. (16) em relação à z, para obter a função e logo o perfil de velocidade. Finalmente, consideram-se as condições de contorno apresentadas na seção 2.1 e os parâmetros adimensionais na Tabela 1, para obter: * * * * pR h vr (r , z ) 1 z *2 (17) 2r Ln 1 * R Expressando a Eq. (17) em função das variáveis originais ( , r e z), a seguir: 2 p0 pR h 2 z vr (r , z ) 1 (18) 2r Ln R h R0 e considerando a vazão volumétrica, pode ser obtida a velocidade média através de integração definida, a seguir: Q Q 1 vr vr dA (19) A 4 rh 4 rh A Arranjando a Eq. (19) e substituindo vr da Eq. (18), obtem-se uma expressão para a pressão: 3 Q r p0 p Ln (20) 4 h3 R Na Eq. (20) pode-se notar a dependência linear entre a vazão volumétrica e a queda de pressão. Para folgas muito pequenas a queda de pressão será maior. Esta equação também pode ser expressa em termos adimensionais, em função dos parâmetros apresentados na tabela (1), da seguinte forma: R r* p* 3 Ln (21) h Conclui-se da Eq. (21) que a queda de pressão adimensional não depende do número de Reynolds, mas depende de outros parâmetros como R0 (ou R) e h. Na Figura 6 são apresentadas as curvas da queda de pressão em função do raio, para diferentes razões de R0/h, considerando a razão de raio inicial e raio final =0.1 6
  • 7. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Figura 6. Gráfica da queda de pressão em função do raio, para diferentes razões de R0/h. Relação de raio inicial e raio final =0.1 Na Figura (6) são apresentadas as curvas de pressão adimensional em função do raio. Pode-se observar que a gradiente de pressão é não-linear, apresentando um comportamento diferente do caso do escoamento em seções transversais constantes. A queda de pressão tem uma distribuição logarítmica e tem uma maior gradiente nos valores próximos ao raio inicial. Conclui-se que a gradiente de pressão é proporcional à velocidade e inversa à área transversal. Note-se que a queda de pressão é menor quando a relação R0/h é menor. Conclui-se também que para uma folga muito pequena, a queda de pressão será grande e o atrito será maior. Então, para ter uma menor queda de pressão tem-se que aumentar o espaço entre discos 2h ou diminuir o raio interno R0. Note-se também que para valores muito grandes de R0/h, a queda de pressão é muito maior, pois a pressão adimensional varia linearmente com R0/h. A seguir, obtem-se o perfil de velocidade em função da vazão volumétrica. Para isso, tem-se a expressão para velocidade média pela equação (19) a qual é integrada, a seguir: 2 1 1 h p0 pR h 2 z vr vr dA 1 d (2 rz ) 4 rh A 4 rh h 2r Ln R h R0 z h (22) p0 pR h z3 p0 pR h vr z 4r Ln R 3h 2 3r Ln R R0 z h R0 Desta forma com as equações (19) e (22), é possível expressar a pressão em função da vazão volumétrica: 3Q p0 pR Ln R (23) 4 h3 R0 Finalmente, substituindo a Eq. (23) no perfil de velocidade na Eq. (18), obtém-se: 2 3 Q z vr ( r , z ) 1 (24) 8 rh h 7
  • 8. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Das expressões (17) e (24) pode-se observar que o perfil de velocidade é bidimensional, pois depende de duas variáveis z e r. Observa-se que é possível determinar o perfil de velocidade, conhecendo os parâmetros geométricos e a vazão volumétrica. Assim, a Eq. (24) pode ser expressa adimensionalmente em função dos parâmetros geométricos definidos na Tabela (1), de forma que o perfil de velocidade não dependa da queda pressão nem da vazão. A equação resultante é apresentada a seguir: * 3 vr 1 z *2 (25) 2r * Figura 5. Perfil da velocidade vr* em função de z*, para diferentes raios. Na Figura (5) apresentam-se os perfis de velocidade vr* dependente de z*, para diferentes raios, considerando o raio de entrada como 10% do raio de saída ( = 0,1). Observa-se que os perfis são simétricos em relação do eixo z = 0, apresentando maiores valores da velocidade para raios menores. A velocidade será máxima na entrada e mínima na saída, devido que a seção transversal de saída aumenta enquanto o raio aumenta. Desta forma, pela conservação da massa, a velocidade tem que diminuir já que a vazão volumétrica é constante. 3.2 Escoamento entre discos com variação da folga em função do tempo O escoamento entre discos com variação da folga h(t) em função do tempo é chamado também “Squeezing Flow” (Bird, 1987). Nesse tipo de escoamento apresenta-se uma velocidade na direção z, a qual é produto do movimento axial dos discos devido a uma força de compressão. Neste caso, serão feitas novas hipóteses para simplificar as equações de conservação: a) Hipóteses (c), (d) e (e) da seção 2. b) Despreza-se o termo de aceleração convectiva. c) Os termos de aceleração local (derivadas em relação ao tempo) são muito menores em comparação aos termos difusivos ( / t 0) d) Velocidade em z (vz) dependente do tempo t e da coordenada z. e) Como R>>h, a velocidade radial (vr) é muito maior que a velocidade em z (vz) f) A força de compressão para aproximar os discos é muito maior que o peso do liquido, então, os efeitos da gravidade são desprezíveis. g) A velocidade vr é função de r, z, t. vr = vr(r,z,t) 8
  • 9. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Substituindo as hipóteses anteriores e simplificando as equações de conservação de massa (26) e da quantidade de movimento (27) e (28) obtém-se: 1 vz rvr 0 (26) r z 2 p vr 0 (27) r z2 p 0 (28) z No instante inicial, a folga é máxima, dessa forma, a área será maior e a velocidade menor. Entanto transcorra tempo, a folga diminui, tornando-se maior a velocidade dado que a vazão é constante. A situação é inversa do caso dos discos fixos, sendo a velocidade direitamente proporcional ao raio. Então, pode-se expressar a velocidade radial como uma função (z,t) vezes o raio (vr=r (z,t)). Alem disso, da equação da quantidade de movimento Eq.(27), pode-se integrar em relação ao raio r para obter uma expressão da pressão p=p0+p1r2 onde p0 e p1 são constantes, considerando que a segunda derivada de em relação a z é uma constante. Nota-se da Eq. (28) que a pressão não varia ao longo de z. Com essas considerações, as equações (26) e (27) ficam: vz 2 0 (29) z 2 2 p1 0 (30) z2 Condições de contorno Pela condição de não deslizamento, as condições de contorno nos discos (z=h e z=-h), considera-se que o fluido não tem velocidade radial e a velocidade em z é igual à velocidade vertical das placas (dh/dt). Também, assumindo um perfil simétrico, a velocidade radial máxima é obtida em z=0, a derivada de vr em relação a z (e também de ) será zero. Além disso, pode-se conhecer a distribuição da pressão considerando-se que a pressão na entrada (r = R0) é p0. Integrando-se as equações (30) e aplicando suas condições de contorno resulta: p1 ( z ,t ) z2 c1 z c2 2 p1 0 0 z c1 0 c1 0 z z 0 (31) p1 2 p1 2 (z h,h) 0 h c2 c2 h p1 (z) z2 h2 Conhecendo a função pode obter-se a velocidade radial: vr ( z ) p1 z2 h2 (32) r Logo, substituindo a última expressão da Eq. (31) na Eq. (29) e considerando as condições de contorno: p1 vz p1 2 z2 h2 0 vz 2 z2 h2 z z (33) p z3 2 vz 2 1 h z 3 9
  • 10. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 p1 h3 vz z h,h h 2 h3 3 Desta forma, obtem-se uma expressão para a constante p1/ . p2 3 h(t ) (34) 4 Finalmente, substituindo a Eq. (34) nas equações (32) e (33) as equações governantes para escoamento entre discos com deslocamento vertical ficam da seguinte forma: 2 3 h z vr r 1 (35) 4 h h 3 3 z 1 z vz h (36) 2 h 3 h 3 ( h) 2 p p0 r R02 (37) 4 h3 sendo h(t ) =dh/dt. Note-se nas equações (35), (36) e (37) que o tempo está implícito no cálculo da folga h(t) e da velocidade axial h(t ) . O sinal negativo de h é devido ao sentido da velocidade oposto ao eixo. O comportamento desse escoamento é contrario ao caso dos discos fixos, porque a velocidade e o gradiente de pressão diminui e aumenta respectivamente com o raio. Figura 7. Variação da velocidade radial ao longo do tempo t e coordenada z no escoamento com folga variável. Figura 8. Variação da velocidade em z ao longo do tempo e z no escoamento com folga variável. 10
  • 11. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Da Figura (7) observa-se que a velocidade radial tem um perfil simétrico no qual a velocidade máxima está no ponto z=0. No caso da velocidade em z, o perfil apresenta três diferentes comportamentos, sendo positivo para z < 0, negativo para z > 0 e nulo em z=0. Note-se que a velocidade é negativa para z > 0 porque o disco superior está movendo-se para baixo. Também, note-se como muda o perfil ao longo do tempo, as duas velocidades vr e vz aumentam sua velocidade máxima, mas a velocidade média permanece constante. 4. Solução Numérica Nesta etapa do trabalho será apresentada a solução aproximada do problema em estudo através de métodos numéricos. A Eq. (15) possui um termo quadrático em , pelo qual é uma equação não linear sem solução analítica. Além disso, têm-se dados de para z=h e z=-h, da seção 2.1, então, a equação torna-se um problema não linear com valores na fronteira. É notável nesse tipo de problemas, que eles podem ter mais de uma solução, ou não ter nenhuma. É necessário que quando se obtenha uma resposta numérica deve-se pesquisar se ela tem significado físico (Nakamura, 1992). Esse tipo de problema requer a aplicação iterativa de um método de solução para problemas lineares. A formulação do problema físico, a modelagem matemática e a dedução das equações governantes foram feitas na secção 2. Então, é necessário discretizar as equações para obter um sistema de equações algébricas de fácil solução. A equação governante esta dada pela Eq. (15), que é uma equação diferencial ordinária da forma: *2 '' a b c 0 (38) sendo a função incógnita e a, b, c os coeficientes definidos por: Re 1 R Ln 1 * a 1 2 b pR c 2 h 4.1 Discretização Para dar solução à equação diferencial, é proposto o método de Newton, onde a função incógnita é substituída pela soma de uma função mais uma variação dessa função . Essa variação é uma correção da estimação anterior (i-1), cujo termo de expoente igual a 2 é desprezível. (z) (z) (z) (39) Substituindo a Eq. (39) na equação diferencial (38) e desprezando o termo ², aplica-se a aproximação de diferenças finitas para os termos com derivadas. Considera-se como diferencial finito. Desta maneira tem-se: 2 2 0 i 1 2 i i 1 i 1 2 i i 1 a i 2 i i i b c 2 2 0 (40) Separam-se os termos que dependem de e de , para obter os coeficientes do sistema de n equações lineares, sendo n o numero de pontos. 2 2 2 2 c i 1 2a i 2c i c i 1 c i 1 2c i c i 1 b a i (41) Ài Bi Ci Di B1 C1 0 0 ... 0 1 D1 A2 B2 C2 0 ... 0 2 D2 0 A3 B3 C3 ... 0 3 D3 (42) 0 0 0 ... An Bn n Dn Para satisfazer a Eq.(41), é necessário que a variação seja zero. Para isso, assume-se primeiro um valor de e resolve-se o sistema por meio de sistemas tridiagonais (Nakamura, 1992). Logo a seguinte aproximação de é feita com a seguinte formula: i 1 wDi i (43) 11
  • 12. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 sendo w = 0,90 o parâmetro de baixa relaxação. O processo iterativo é truncado definindo-se um valor de muito pequeno ( 0) o qual depende do grau de exatidão requerido. Isso determina que Di tenda a zero pela Eq.(41). Quando Di, em conseqüência também , atinja o valor de zero o valor da função será igual ao valor de desta forma o problema terá sido resolvido. Note-se que os dados de entrada para resolver a Eq. (15) são os parâmetros geométricos (k, R, R0, h), o número de Reynolds (Re) e a queda de pressão adimensional (p*). Porém, não pode-se assumir arbitrariamente uma queda de pressão entanto ela depende do número de Reynolds. Uma condição adicional é considerar a vazão volumétrica constante Q. Expressando a vazão volumétrica como a integral da velocidade, e substituindo por as variáveis adimensionais da Tabela 1, pode obter-se uma expressão em função da integral de . Além disso, expressa-se a vazão volumétrica como o produto da velocidade média na entrada vezes a área de entrada, a seguir: h 1 * Q vr dA 2 r dz 2 RvR0 h dz * (44) A h r 1 Q 4 R0 hvR0 (45) Assim, igualando as expressões para a vazão volumétrica nas equações (44) e (45), e simplificando os termos comuns obtém uma equação que relaciona o parâmetro geométrico com a integral da função : 1 * 2 dz * (46) 1 Com ajuda da expressão (46) o problema tem solução única. Então, o procedimento aplicado é assumir uma queda de pressão, encontrar a função através do método de Newton e integra-a numericamente. Depois, deve-se comparar o resultado da integral com o parâmetro geométrico 2 e verificar sua igualdade. Assim, é necessário iterar o valor de p* até que a integral numérica na Eq. (46) seja igual do , considerando uma determinada margem de erro. Finalmente, a função e a queda de pressão adimensional são encontradas através de um algoritmo desenvolvido em Fortran (ver anexo) seguindo o procedimento explicado anteriormente. A validação dos resultados obtidos foi feita fazendo que o valor de Re seja igual à zero. Assim, os resultados obtidos devem ser iguais que na solução analítica apresentada na seção 3.1. Compara-se com a Eq (25) para a velocidade e com a Eq. (21) para a pressão. Dessa forma, procede-se a multiplicar a função pelos diferentes raios adimensionais r* para obter os perfis de velocidades. 4.2 Resultados Os resultados da solução numérica são apresentados nas figuras 9, 10 e 11. São avaliadas a pressão e o perfil de velocidade, desenvolvendo diferentes curvas para cada geometria e número de Reynolds. Os perfis de velocidade são avaliados na entrada (r = R0) porque nessa região as velocidades são maiores. Mantendo constante a geometria, pode-se desenhar os perfis de velocidade para diferentes números de Reynolds (Figura 9). Logo, também pode ser feita uma figura mantendo o número de Reynolds fixo e variando a razão R0/h. No caso da pressão, apresenta-se a queda de pressão em função ao número de Reynolds. 12
  • 13. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Figura 9: Perfil de velocidade para diferentes números de Reynolds. Na figura 9, mostra-se a variação do perfil de velocidade quando o número de Reynolds aumenta. Todos os perfis são avaliados no raio de entrada, onde a velocidade é máxima. Consideram-se os parâmetros geométricos: = 0.1 e R0/h = 2. Na Figura 9, para Re igual ao zero, tem-se exatamente a solução analítica (ver Figura 5). Para um Re=25, a variação em relação à solução analítica está na ordem de 7%, e para Re = 1 na ordem de 1%. Confere-se a hipótese de que quando o numero de Reynolds é muito baixo, a aceleração convectiva é desprezível. Note-se que quando o Reynolds aumenta, o perfil torna-se mais uniforme, tendendo a ser igual à velocidade média. Entanto, não pode ingressar-se Re muito grandes porque não se conhece até que ponto o escoamento será laminar. Mesmo que o modelo permita ingressar Re maiores, não pode-se afirmar que os resultados refletem a realidade. Figura 10: Variação do perfil de velocidades em relação à folga, mantendo Re fixo. Re=25, =0,1. 13
  • 14. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 Na figura 10, observa-se a variação do perfil de velocidades com os parâmetros geométricos do sistema em estudo. Assim, valores grandes da razão R0/h fazem que o perfil tenha uma tendência parabólica pronunciada. Isso acontece para folgas muito pequenas ou raios de entrada muito grandes. Figura 11. Variação da queda de pressão adimensional com o numero de Reynolds para varias geometrias. Considera- se como dado de entrada = 0,1. Na Figura 11 apresenta-se a variação da queda de pressão adimensional versus número de Reynolds. Os valores do gráfico podem ser transformados em vazão volumétrica multiplicando pelos parâmetros geométricos e do fluido. Note- se que a queda de pressão considerando o termo convectivo, deve ser maior que no escoamento de Stokes. A queda de pressão tem uma dependência quase-linear com o número de Reynolds, semelhante ao caso de escoamento de Stokes. É comprovado que segundo os parâmetros geométricos do sistema, a queda de pressão variará, por exemplo, uma folga pequena ocasionará uma queda de pressão maior que uma folga grande para o mesmo raio. 5. Conclusões O presente artigo teve por objetivo apresentar os conceitos teóricos relacionados ao escoamento radial entre discos. As hipóteses e os resultados obtidos foram apresentados, discutidos e analisados em 3 casos diferentes: duas soluções analíticas e uma numérica. O perfil de velocidade no escoamento radial permanente entre discos tem solução analítica quando é desprezado o termo de aceleração convectiva. Isso ocorre para regimes com baixos números de Reynolds. Em outros casos, será necessária uma solução numérica. Os resultados para os casos analisados (alto e baixo número de Reynolds) é um perfil simétrico ao longo do eixo z e que varia de forma inversa ao raio. Enquanto o numero de Reynolds aumenta, o perfil toma uma forma mais uniforme e se aproxima à velocidade media. Em relação da pressão, é notável que o gradiente não é constante como no caso dos dutos de seção fixa. Para o caso do escoamento de Stokes, a distribuição de pressões é logarítmica e observam-se baixas quedas de pressão. Além disso, a queda de pressão varia de forma linear com a vazão volumétrica. No caso de aceleração convectiva não desprezível a queda de pressão varia de forma quase-linear com o numero de Reynolds. A pressão e a velocidade apresentam muita dependência da geometria. Para folgas muito pequenas a queda de pressão é maior e o perfil de velocidade tem tendência parabólica pronunciada; e para folgas grandes a queda de pressão é menor e o perfil de velocidade é achatado. Para raios de saída muito grandes, o perfil também terá uma forma achatada, e para raios de entrada muito pequenos, o perfil tenderá a ser parabólico pronunciado. Sendo o problema resolvido muito utilizado em aplicações praticas na engenharia, o estudo realizado fornece uma base teórica interessante que permite entender fisicamente o fenômeno de escoamento radial entre discos. 14
  • 15. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 6. Referências Bird B., Armstrong R., Hassager O., 1987. “Dynamic of Polymeric Fluids”, Volume 1, 2da Ed., Editorial John Wiley & Sons, Inc, Estados Unidos, pp 3-22. Bird B., Stewart W., Lightfoot E., 2006. “Fenómenos de Tranporte”, 2da Ed., Editorial Limusa Wiley, México, pp 85- 124. Fox R., McDonald A., 2001, “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 5ta Ed., Livros Técnicos e Cientificos Editora, Brasil, pp 215-224. Nakamura S. “Métodos Numéricos aplicados con software”, Primeira Edição, Editorial Prentice Hall Latinoamericana, México, pp 351-406. Stachowiak G., Batchelor A., 2000, “Engineering Tribology”, Segunda Edición, Ed. Butterworth Heinemann, University of Western Austrália, Austrália. Viñolas J., Egaña J., Carrera X., 2002. “Elementos de Máquina – Teoria”, Tecnum, Universidade de Navarra, Espanha, pp 46-72. White, F., 1991, “Viscous Fluid Flow”, 2da Ed., Editorial Mc Graw-Hill, Estados Unidos, pp 173 – 181. 15
  • 16. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 ANEXO !*********************************************************************** ! PROGRAM: eradial ! PURPOSE: Resolver uma equação não linear para encontrar o perfil de velo ! cidade em um escoamento radial com vazão mássico constante ! Equação não linear ! cy" + b + ay² = 0 ! a= 0.5 * Re * ( (R1/R0)**2 - 1 ) ! b= -dp* ! c= (R1/l) * log(R1/Ro) ! Resolve-se pelo método de Newton !************************************************************************ program eradial implicit none ! Declaração de Variáveis double precision H,N,H2,EP,W, NT,Re,dp,l,a1,b1,c1,R0,R1 double precision integral double precision, dimension (0:300)::A double precision, dimension (0:300)::B double precision, dimension (0:300)::C double precision, dimension (0:300)::D double precision, dimension (0:300)::PS integer i,j,k ! Abre-se um arquivo para salvar os resultados. open(unit=2,file="resultados.txt") ! Define-se os parâmetros do escoamento R0=0.1 !raio interno em m R1=1 !raio externo em m dp=13.7 !Queda de pressão adimensional estimada 555 l=0.05 !mitad do espaço entre discos Re=0 !numero de Reynolds 130 N=49 ! numero de pontos ! Parâmetros da equação diferencial H=2/(N+1) H2=H*H c1=(R1/l)*log(R1/R0) a1=0.5*Re*(1-(R1/R0)**2)/c1 b1=dp/c1 k=0 ! Parâmetro do método numérico EP=0.0001 !erro permissível W=0.90 ! parâmetro de baixa relaxação !Corpo do programa do i=1,N PS(i)=0 end do 150 k=k+1 do i=1,N A(i)= 1 B(i)=-2+2*a1*H2*PS(i) C(i)=1 D(i)=-PS(i-1)+2*PS(i)-PS(i+1)-b1*H2-a1*H2*PS(i)**2 end do call TRDG(A,B,C,D,N) 190 NT=0 16
  • 17. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 do i=1,N if (abs(D(i)).GT.EP) then NT=NT+1 end if end do 200 print*,'IT.NO=',k print 215, NT 215 format('Numero de pontos que não satisfazem o critério=', i2) if (NT==0) goto 270 240 print*,' i PSI(i) DEL PSI(i)' do i=1,N PS(i)=D(i)*W+PS(i) print 257,i ,PS(i) ,D(i) end do write(*,3000) (PS(i),i=1,N) 3000 format(1x,5f8.4) 257 format(3x,i2,3x,1p2e13.4) goto 150 270 print 275 275 format(/' --- Resultado Final ---'/'--- Ponto da reticula Solucao') ! Verificação da queda de pressão. Integra se numericamente fi dividindo ! a região de integração em retângulos integral=0 do i=1,N+1,1 integral=integral+(PS(i)+PS(i-1))*0.5*H end do print*, 'integral=',integral print*, 'dp=',dp if (abs(integral-2*(R0/R1)).GT.1e-4) then dp=dp+0.01 goto 555 endif 280 PS(0)=0 290 do i=0,N write (2,296) PS(i) end do 296 format(f12.7) ! Salva-se os resultados no arquivo resultados.txt write (2,*) dp end program ! Subrutina para resolver o sistema de equações subroutine TRDG(A,B,C,D,N) double precision, dimension (0:300)::A double precision, dimension (0:300)::B double precision, dimension (0:300)::C double precision, dimension (0:300)::D real*8 N 17
  • 18. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1°Q2009 do i=2,N ER=A(i)/B(i-1) B(i)=B(i)-ER*C(i-1) D(i)=D(i)-ER*D(i-1) end do D(N)=D(N)/B(N) do i=N-1, 1 , -1 D(i)=(D(i)-C(i)*D(i+1))/B(i) end do return end subroutine TRDG 18