1. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr.
viali@ufrgs.br
http://www.ufrgs.br/~viali/
2. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
3. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
4. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas
O número de carros vendidos no paísO número de carros vendidos no país
aumentou em 30%.aumentou em 30%.
A taxa de desemprego atinge, este mês,A taxa de desemprego atinge, este mês,
7,5%.7,5%.
As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.
Resultados do Carnaval no trânsito: 145Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.
5. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estatística:Estatística: uma definição
A ciência de coletar,
organizar, apresentar, analisar
e interpretar dados numéricos
com o objetivo de tomar
melhores decisões.
6. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estatística (divisão)Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados
para organizar, resumir e
apresentar dados numéricos.
A coleção de métodos e
técnicas utilizados para estudar
uma população baseado em
amostras probabilísticas desta
população.
7. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
POPULAÇÃOPOPULAÇÃO
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos
ou medidas de interesse.
8. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
CENSOCENSO
Um levantamento efetuado
sobre toda uma população é
denominado de levantamento
censitário ou simplesmente
censo.
9. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
AMOSTRAAMOSTRA
Uma porção ou parte de
uma população de interesse.
10. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM
O processo de escolha de
uma amostra da população é
denominado de amostragem.
11. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
(Matemática)(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
(Matemática(Matemática
Aplicada)Aplicada)
Multivariada
12. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
POPULAÇÃO
(Censo)
AMOSTRA
(Amostragem)
InferênciaErro
P
R
O
B
A
B
I
L
I
D
A
D
E
13. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
14. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade
Faces Probabilidades Faces Freqüências
1 1/6 1 15
2 1/6 2 18
3 1/6 3 23
4 1/6 4 25
5 1/6 5 22
6 1/6 6 17
Total 1 Total 120
15. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
ArredondamentoArredondamento
Todo arredondamento é
um erro.
O erro deve ser evitado ou
então minimizado.
16. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
ArredondamentoArredondamento
Regra básica:
Arrendondar sempre para
o mais próximo.
17. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
É ímpar
É par
Aumenta
Não aumenta
Exemplos:Exemplos:
1,456 1,46 1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,48
18. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
VV
AA
RR
II
ÁÁ
VV
EE
II
SS
QUALITATIVASQUALITATIVAS
QUANTITATIVASQUANTITATIVAS
ORDINALORDINAL
NOMINALNOMINAL
DISCRETADISCRETA
CONTÍNUACONTÍNUA
19. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
NOMINAL
Sexo
Religião
Estado civil
Curso
ORDINAL
Conceito
Grau de Instrução
Mês
Dia da semana
Variável QualitativaVariável Qualitativa
20. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Variável QualitativaVariável Qualitativa
Número de faltas
Número de irmãos
Número de acertos
Altura
Área
Peso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
21. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
22. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA
Organização;
Resumo;
Apresentação.
Conjunto de dados:
Amostra
ou
População
23. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Um conjunto de dados é
resumido de acordo com as seguintes
características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidade
Assimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra
ou
População
24. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As
médias
S
i
m
p
l
e
s
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
25. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Aritmética (A média Aritmética (mean))
n
x
x
n
1
n
x...xxx
i
i
n21
∑
=∑=
=
+++
=
26. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média GeométricaA média Geométrica
n
i
n
n21g
x
x....x.xm
∏=
==
27. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média HarmônicaA média Harmônica
∑
=
+++
=
=
+++
=
xxxx
xxx
m
in
n
h
n
...
n
n
...
1111
111
1
21
21
28. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média QuadráticaA média Quadrática
n
x
n
x...xx
m
2
i
2
n
2
2
2
1
q
∑
=
=
++
=
29. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Interna (A média Interna (trimmed
mean))
É a mesma média aritmética só
que aplicada sobre o conjunto onde
uma parte dos dados (extremos) é
descartada.
30. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Conjuntos mg
mh
4 6 5 4,9 4,8
1 9 5 3 1,8
x
Médias
ExemploExemplo
31. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Relação entre as médiasRelação entre as médias
Dado um conjunto de dados
qualquer, as médias aritmética,
geométrica e harmônica mantém a
seguinte relação:
mm hgx ≥≥
32. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As
médias
P
o
n
d
e
r
a
d
a
s
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
33. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Aritmética PonderadaA média Aritmética Ponderada
∑
∑=
=
+++
+++
=
w
wx
www
wxwxwx
m
i
ii
k
kk
ap
.
...
......
21
2211
34. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Geométrica PonderadaA média Geométrica Ponderada
∑=
=∑=
∏w w
w w....w.w
i i
i
i k
kgp
x
xxxm 2
2
1
1
35. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Harmônica PonderadaA média Harmônica Ponderada
∑
∑
+
=
=
+++
+
=
x
w
w
x
w
x
w
x
w
www
m
i
i
i
k
k
k
P
...
h
2
2
1
1
21
36. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média Quadrática PonderadaA média Quadrática Ponderada
∑w
∑ xw
=
w+...+w+w
xw+...+xw+xw
=m
i
2
i
k21
2
kk
2
22
2
1
qp
i1
37. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Produtos p01 p02 q
Carne 4,80 5,52 5 kg
Cana 5,20 4,94 1 l
Ceva 0,80 0,92 12 lt
Pão 1,50 2,10 2 u
Total -- -- --
ExemploExemplo
38. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
P p01 p02 α p(0,t)
1 4,80 5,52 0,58 1,15
2 5,20 4,94 0,12 0,95
3 0,80 0,92 0,23 1,15
4 1,50 2,10 0,07 1,40
Total -- -- 1,00 --
39. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
114,31%=1,1431=
=
07,0+23,0+12,0+57,0
07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1
=map
Média aritmética ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
14,31%.
40. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Média geométrica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
13,90%.
%90,113=1390,1=
=40,115,195,015,1=
=40,115,195,015,1=m
07,023,012,058,0
1 07,023,012,058,0
gp
41. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Média harmônica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de
13,48%.
%48,113=1348,1=
=
40,1
07,0
+
15,1
23,0
+
95,0
12,0
+
15,1
58,0
1
=mhP
42. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em
dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
43. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de
dados pode ser levada adiante. Se ele
for repartido em 4 partes tem-se os
QUARTIS, se em 10 os DECIS e se
em 100 os PERCENTIS.
44. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Considere o seguinte conjunto:
1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 4 3 5
Então: me = x4 = 2
ExemploExemplo
45. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se o conjunto for:
1 -1 0 4 2 5 3 -2
Tem-se: n = 8 (par)
Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
46. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
47. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Considere o conjunto
0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete
(três vezes).
ExemploExemplo
48. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
Conjunto bimodal
49. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois
todos os valores apresentam a
mesma freqüência.
50. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2
)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2
)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade
51. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
52. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A média é:
1
5
5
5
53021
==
+++−−
=x
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
53. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Calculando os desvios: xxi −
Tem-se:
d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
54. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Como pode ser visto a soma é
igual a zero. Tomando o módulo
vem:
40,2
5
12
5
|4||2||1||2||3|
n
|xx|
dma i
==
=
++++−+−+−
=
=
∑ −
=
55. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se ao invés de tomar o módulo,
elevarmos ao quadrado, tem-se:
806
5
34
5
164149
5
42123 22222
2
2
,
((
n
i
)))(
)xx(
s
==
++++
=
=
+++
=
==
+−−−
∑ −
A variância (variance)
56. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
n
i
n
n....
)xx(
)xx()xx()xx(
s
∑ −
−−−
=
=
+++
=
2
222
2 21
A variância de um conjunto de
dados será:
x
x
s n
i2 2
2
−=
∑
57. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
É a raiz quadrada da variância
x
n
x
n
)xx(
s 2
2
i
2
i
−
∑
=
∑ −
=
O Desvio Padrão (standard deviation)
58. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se extrairmos a raiz quadrada
teremos do resultado anterior
teremos o desvio padrão:
61,280,6
n
)xx(
s i
2
==
∑ −
=
59. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
g2
= s2
/ x2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
60. Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,260
1
6077,2
x
s
g ===