Analiza matematica

Gheorghe PROCOPIUC Mihai ISPAS

PROBLEME
de
˘
ANALIZA
MATEMATICA˘

IASI 2002
¸

Prefat˘
¸a
Prezenta culegere de Probleme de analiz˘ matematic˘ se adreseaz˘ studentilor
a a a ¸
din facult˘¸ile de proﬁl tehnic. Ea contine acelea¸i capitole ca ¸i cursul de Analiz˘
at ¸ s s a
matematic˘, format electronic, situat pe acela¸i site. Inainte de abordarea oric˘rui capi-
a s a
tol din aceast˘ culegere se recomand˘ parcurgerea capitolului corespunz˘tor al cursului,
a a a
unde pot ﬁ g˘site notiunile ¸i rezultatele teoretice utilizate ˆ formularea ¸i rezolvarea
a ¸ s ın s
problemelor propuse.
Culegerea pune la dispozitia studentilor exercitii ¸i probleme rezolvate, cu indicatii
¸ ¸ ¸ s ¸
de rezolvare sau propuse spre rezolvare, constituind un material util ˆ desf˘¸urarea
ın as
seminariilor, dar ¸i pentru o mai bun˘ aprofundare a notiunilor predate la curs.
s a ¸

Autorii

Cuprins

1 Elemente de teoria spatiilor metrice
¸ 5
1.1 Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 5
1.2 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 9

2 Siruri ¸i serii
¸ s 17
2.1 Siruri de numere reale .
¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Principiul contractiei . .
¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Siruri ˆ Rp . . . . . . .
¸ ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Limite de functii
¸ 47
3.1 Limita unei functii reale de o variabil˘ real˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
¸ a a
3.2 Limita unei functii de o variabil˘ vectorial˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
¸ a a

4 Functii continue
¸ 55
4.1 Continuitatea functiilor reale de o variabil˘ real˘ . . . . . . . . . . . . . . 55
¸ a a
4.2 Continuitatea uniform˘ a functiilor de o variabil˘ . . . . . . . . . . . . . . 57
a ¸ a
4.3 Continuitatea functiilor de o variabil˘ vectorial˘ . . . . . . . . . . . . . . 59
¸ a a

5 Derivate ¸i diferentiale
s ¸ 63
5.1 Derivata ¸i diferentiala functiilor de o variabil˘ . . . . . . . . . . . . . . . 63
s ¸ ¸ a
5.2 Propriet˘¸i ale functiilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
at ¸
5.3 Derivatele ¸i diferentiala functiilor de n variabile . . . . . . . . . . . . . . 73
s ¸ ¸

6 Functii definite implicit
¸ 85
6.1 Functii definite implicit de o ecuatie . . . . . .
¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Functii definite implicit de un sistem de ecuatii
¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Transform˘ri punctuale . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Dependent˘ ¸i independent˘ functional˘ . . . .
¸a s ¸a ¸ a . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5 Schimb˘ri de variabile . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 95

3

4 GHEORGHE PROCOPIUC & MIHAI ISPAS

7 Extreme pentru functii de mai multe variabile
¸ 99
7.1 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile . . . . . . . . . . 99
¸
7.2 Extreme pentru functii definite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
¸
7.3 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
¸

8 Siruri ¸i serii de functii
¸ s ¸ 107
8.1 Siruri de functii reale
¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Serii de functii . . .
¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9 Integrala Riemann ¸i extinderi
s 119
9.1 Primitive. Integrala nedefinit˘ .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2 Integrala definit˘ . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.3 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.4 Integrale cu parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10 Integrale curbilinii 139
10.1 Lungimea unui arc de curb˘ . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2 Integrale curbilinii de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.3 Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4 Independenta de drum a integralelor curbilinii .
¸ . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11 Integrale multiple 149
11.1 Integrala dubl˘ . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.2 Aria suprafetelor . . . . . . . . . . . . .
¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.3 Integrala de suprafat˘ de primul tip . .
¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.4 Integrala de suprafat˘ de tipul al doilea
¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.5 Integrala tripl˘ . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Ecuatii diferentiale ordinare
¸ ¸ 171
12.1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆ ai . . . . . . .
¸ ¸ ıntˆ . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.2 Alte ecuatii integrabile prin metode elementare
¸ . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.3 Ecuatii diferentiale de ordin superior . . . . . .
¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.4 Ecuatii c˘rora li se poate miçora ordinul . . .
¸ a s . . . . . . . . . . . . . . . 182

13 Ecuatii ¸i sisteme diferentiale liniare
¸ s ¸ 183
13.1 Sisteme diferentiale liniare de ordinul ˆ ai . . . . .
¸ ıntˆ . . . . . . . . . . . . . 183
13.2 Sisteme diferentiale liniare cu coeficienti constanti
¸ ¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . 185
13.3 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul n . . . . . . .
¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . 190
13.4 Ecuatii de ordinul n cu coeficienti constanti . . . .
¸ ¸ ¸ . . . . . . . . . . . . . 192
13.5 Ecuatia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ . . . . . . . . . . . . . 195

Capitolul 1

Elemente de teoria spatiilor
¸
metrice

1.1 Spatii metrice
¸
1.1 Fie (G, +) un grup comutativ ¸i p : G → R+ o functie ce satisface propriet˘¸ile:
s ¸ at
1) p(x) = 0 d.d. x = 0;
2) p(−x) = p(x), ∀x ∈ G;
3) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ G.
S˘ se arate c˘ aplicatia d : G × G → R, d(x, y) = p(x − y), ∀x, y ∈ G este o metric˘
a a ¸ a
pe G.
R: Veriﬁc˘m c˘ d satisface axiomele metricii: 1o . d(x, y) = p(x − y) ≤ 0, ∀x, y ∈ G
a a
pentru c˘ x − y = x + (−y) ∈ G ¸i d(x, y) = 0 ⇔ p(x − y) = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y;
a s
2o . d(x, y) = p(x − y) = p(−x + y) = p(y − x) = d(y, x); 3o . d(x, y) = p(x − y) =
p(x − z + z − y) ≤ p(x − z) + p(z − y) = d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ G.
1.2 Fie N multimea numerelor naturale. S˘ se arate c˘ urm˘toarele aplicatii sunt
¸ a a a ¸
distante pe N:
¸
1) d : N × N → R+ , d(m, n) = |m − n|, ∀m, n ∈ N.
1 1
2) d : N∗ ×N∗ → R+ , d(m, n) = − , ∀m, n ∈ N∗ .
m n
m n
3) d : N × N → R+ , d(m, n) = − , ∀m, n ∈ N.
1+m 1+n
1.3 Fie Rn = R × R × · · · × R, produsul cartezian constˆnd din n ≥ 1 factori ¸i
a s
x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . S˘ se arate c˘ aplicatiile: d, δ, ∆ :
a a ¸
Rn × Rn → R+ , deﬁnite prin:
n n
d(x, y) = (xk − yk )2 , δ(x, y) = |xk − yk |, ∆(x, y) = max |xk − yk |
k=1,n
k=1 k=1

sunt metrici pe Rn .

5


R: Pentru d se aplic˘ inegalitatea lui Minkowski:
a

n n n
(ak + bk )2 ≤ 2
ak + b2 , ∀a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ).
k
k=1 k=1 k=1

1.4 S˘ se ha¸ureze ˆ R2 sferele deschise S(0, r), r > 0, relative la metricile d, δ, ∆.
a s ın

1.5 S˘ se arate c˘ d, δ, ∆ sunt metrici echivalente pe Rn .
a a
√ √
R: Se demonstreaz˘ inegalit˘¸ile: ∆ ≤ δ ≤
a at n · d ≤ n · ∆ ≤ n · δ ≤ n n · δ.

|x − y|
1.6 S˘ se arate c˘ d : R × R → R+ , d(x, y) =
a a , ∀x, y ∈ R este o metric˘ pe
a
1 + |x − y|
R.

R: Se ¸ine seama c˘ oricare ar fi a, b, c ≥ 0 cu a ≤ b + c, avem:
t a

a b c
≤ + ,
1+a 1+b 1+c
α β
deoarece din 0 ≤ α ≤ β urmeaz˘
a ≤ .
1+α 1+β

1.7 Fie d : X×X→ R+ o metric˘ pe X. S˘ se arate c˘ aplicatia δ : X×X→ R+
a a a ¸
d(x, y)
definit˘ prin δ(x, y) =
a este de asemenea o metric˘ pe X.
a
1 + d(x, y)

1.8 S˘ se arate c˘ ˆ
a a ıntr-un spatiu metric (X, d) avem:
¸
n
1) d(x1 , xn ) ≤ d(xi , xi+1 ), ∀x1 , . . . , xn ∈ X, N ≥ 2.
i=1
2) |d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X.
3) |d(x, y) − d(x , y )| ≤ d(x, x ) + d(y, y ), ∀x, x , y, y ∈ X.

R: 3) d(x, y) ≤ d(x, x ) + d(x , y) ≤ d(x, x ) + d(x , y ) + d(y , y).

1.9 Fie X o multime nevid˘. S˘ se arate c˘ aplicatia d : X × X → R, definit˘ prin:
¸ a a a ¸ a

0, x = y
d(x, y) =
1, x = y

este o metric˘ pe X (metrica discret˘ pe X).
a a

1.10 S˘ se arate c˘ aplicatia d : R+ × R+ → R+ , definit˘ prin:
a a ¸ a

x + y, x = y,
d(x, y) =
0, x=y

este o metric˘ pe R+ .
a

˘ ˘
PROBLEME DE ANALIZA MATEMATICA 7

1.11 S˘ se arate c˘ aplicatia d : Rn × Rn → R, deﬁnit˘ prin:
a a ¸ a
n
1 |xk − yk |
d(x, y) = ·
k 1 + |x − y |
,
2 k k
k=1

∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn este o metric˘ pe Rn .
a
1.12 S˘ se arate c˘ urm˘toarele aplicatii sunt metrici pe multimile indicate:
a a a ¸ ¸
1 1
1) d(0, ∞) × (0, ∞) → R, d(x, y) = − .
x y
x y
2) d : R × R → R, d(x, y) = √ − .
1 + 1 + x2 1 + 1 + y2
3) d : R2 × R2 → R,
|x2 − y2 |, x1 = y1 ,
d(x, y) =
|x2 | + |y2 | + |x1 − y1 |, x1 = y1 ,
(metrica mersului prin jungl˘), unde: x = (x1 , y1 ), y = (y1 , y2 ).
a
4) d : R2 × R2 → R,

(x1 − x2 )2 + (x2 − y2 )2 , dac˘ exist˘ o dreapt˘ δ ⊂ R2 a.ˆ 0, x, y ∈ δ,
a a a ı.
d(x, y) = 2 + x2 + 2 + y2 ,
x1 2 y1 2 ˆ rest,
ın
(metrica c˘ii ferate franceze), unde: 0 = (0, 0), x = (x1 , y1 ), y = (y1 , y2 ).
a
1.13 S˘ se arate c˘ urm˘toarele aplicatii sunt norme pe Rn :
a a a ¸
n
1) ||x|| = xk , ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
2
k=1
n
2) ||x|| = |xk |, ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
k=1
3) ||x|| = sup |xk |, k = 1, n, ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
a + bi c + di
1.14 Fie M = {A = , cu a, b, c ∈ R, i2 = −1} ¸i f : M → R+ ,
s
−c + di a − bi
√
f (A) = det A. S˘ se arate c˘ (M, || · ||) este spatiu normat ˆ raport cu norma dat˘
a a ¸ ın a
prin ||A|| = f (A).
0
1.15 Fie C[1,e] = {f : [1, e] → R, f continu˘ pe [1, e]}. S˘ se arate c˘ aplicatia || · || :
a a a ¸
e 1/2
C[1,e] → R deﬁnit˘ prin ||f || = 1 (f 2 (x) · ln x) dx
0
a 0
este o norm˘ pe C[1,e] ¸i s˘ se
a s a
√
g˘seasc˘ norma functiei f (x) = x.
a a ¸
1
1.16 Fie C[0,1] = {f : [0, 1] → R, f derivabil˘ cu derivat˘ continu˘ pe [0, 1]}. S˘ se
a a a a
1
arate c˘ urm˘toarele aplicatii sunt norme pe C[0,1] :
a a ¸
1
1) ||f || = sup |f (x)|. 2) ||f || = 0
|f (x)| dx.
x∈[0,1]
1 1/2
3) ||f || = |f (0)|+ sup |f (x)|. 4) ||f || = 0
f 2 (x) dx .
x∈[0,1]


1.17 Fie multimea X = {1, 2, 3, 4} ¸i clasele:
¸ s

τ1 = {∅, X, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}},
τ2 = {∅, X, {1}, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}}.

1) S˘ se arate c˘ τ1 este topologie pe X dar τ2 nu este topologie pe X.
a a
2) S˘ se g˘seasc˘ sistemele de vecin˘t˘¸i ale punctelor 3 ¸i 4 din spatiul topologic
a a a a at s ¸
(X, τ1 ).

R: Se verific˘ propriet˘¸ile din definitia topologiei. Pentru τ2 se constat˘ c˘, de
a at ¸ a a
exemplu {1} ∪ {2} = {1, 2} ∈ τ2 .
/

1.18 Fie X = {α, β, γ, δ} ¸i familia de multimi:
s ¸

τ = {∅, {α}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {α, β, γ}, X}.

S˘ se arate c˘ τ este o topologie pe X ¸i s˘ se determine sistemele de vecin˘t˘¸i ale
a a s a a at
punctelor α, β, γ ¸i δ.
s

1.19 Dac˘ X = ∅ ¸i τ0 = {∅, X}, atunci (X, τ0 ) este spatiu topologic pe X, numit
a s ¸
spatiul topologic nondiscret (grosier) pe X.
¸

1.20 Dac˘ X = ∅ ¸i P(X) este multimea tuturor p˘rtilor multimii X, iar τ1 = P(X),
a s ¸ a¸ ¸
atunci (X, τ1 ) este spatiu topologic pe X, numit spatiul topologic discret pe X.
¸ ¸

1.21 Dac˘ X are mai mult de dou˘ elemente ¸i a ∈ X, fixat, atunci τ = {∅, {a}, X}
a a s
este o topologie pe X, diferit˘ de topologia nondiscret˘ ¸i de cea discret˘.
a as a

1.22 Fie X = {a, b, c, d, e}. S˘ se precizeze care dintre urm˘toarele familii de p˘rti ale
a a a¸
lui X este o topologie pe X:
1) τ1 = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}.
2) τ2 = {∅, X, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}}.
3) τ3 = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}.

R: τ1 ¸i τ2 nu, τ3 da.
s

1.23 Fie τ = {∅, R, (q, ∞)}, q ∈ Q. S˘ se arate c˘ τ este o topologie pe R.
a a
√ √
R: Multimea A =
¸ {(q, ∞), q > 2} = ( 2, ∞) este o reuniune de multimi din τ ,
¸
q∈Q
√
totu¸i ea nu apartine lui τ deoarece 2 ∈ Q.
s ¸ /

1.24 Pe multimea X = {a, b, c} urm˘toarele familii de p˘rti ale lui X sunt topologii:
¸ a a¸

τ1 = {∅, X, {a}, {b, c}}; τ2 = {∅, X, {a}, {a, c}};
τ3 = {∅, X, {b}, {a, c}}; τ4 = {∅, X, {c}, {b, c}}.

1.25 Fie τ = {∅, R, (−α, α)}, α > 0. S˘ se arate c˘ τ este o topologie pe R.
a a

˘ ˘

1.26 Pe multimea X = {1, 2, 3, 4, 5} se consider˘ topologia:
¸ a

τ = {∅, X, {1}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5}}.

1) S˘ se g˘seasc˘ punctele interioare ale multimii A = {1, 2, 3}.
a a a ¸
2) S˘ se g˘seasc˘ punctele exterioare ale multimii A.
a a a ¸
3) S˘ se g˘seasc˘ punctele frontier˘ ale multimii A.
a a a a ¸

R: 1) Int A = {1, 2} deoarece 1 ∈ {1, 2} ⊂ A, 2 ∈ {1, 2} ⊂ A. 3 nu este punct interior
lui A deoarece nu apartine la nici o multime deschis˘ inclus˘ ˆ A. 2) CA = {4, 5} ¸i
¸ ¸ a a ın s
Int CA = ∅, deci nu exist˘ puncte exterioare lui A. 3) Fr A = {3, 4, 5}.
a

1.27 S˘ se arate c˘ urm˘toarele familii de p˘rti sunt topologii pe R:
a a a a¸
1) τi = {∅, R, (a, ∞)}, ∀a ∈ R, (topologia inferioar˘ sau dreapt˘ a lui R).
a a
2) τs = {∅, R, (−∞, a)}, ∀a ∈ R, (topologia superioar˘ sau stˆng˘ a lui R).
a a a

1.28 S˘ se g˘seasc˘ interiorul, exteriorul ¸i frontiera intervalului I = [3, ∞) relativ la
a a a s
spatiul topologic (R, τi ), unde τi este topologia inferioar˘ pe R.
¸ a

R: Cea mai ampl˘ multime deschis˘, continut˘ ˆ I, este (3, ∞), deci Int A = (3, ∞).
a ¸ a ¸ a ın
CI = (−∞, 3) ¸i nu contine nici o alt˘ multime deschis˘ ˆ afar˘ de multimea vid˘.
s ¸ a ¸ a ın a ¸ a
Int CA = ∅, Fr A = (−∞, 3].

1.2 Multimea numerelor reale
¸
√ 1 1
1.29 S˘ se arate c˘ multimea A = {xn =
a a ¸ n
n + √ + + 1, n ∈ N, n ≥ 2} este
n
n n
m˘rginit˘.
a a
1
R: Din x + ≥ 2 pentru orice num˘r real pozitiv, rezult˘ xn > 2 + 0 + 1 = 3, adic˘
a a a
x
√ 1 1
a = 3 este un minorant pentru A. Cum pentru n ≥ 2, 1 < n n < 2 ¸i s ≤ , urmeaz˘ a
n 2
1 9 9
xn < 2 + 1 + + 1 = , adic˘ b = este un majorant pentru A.
a
2 2 2
αx + 1
1.30 S˘ se arate c˘ multimea Aα = {y ∈ R, y =
a a ¸ , x ∈ R} este m˘rginit˘
a a
x2 + x + 2
pentru orice α ∈ R ¸i s˘ se determine inf Aα ¸i sup Aα .
s a s

R: Fie y ∈ Aα . Atunci: yx2 + (y − α)x + 2y − 1 = 0, care trebuie s˘ aib˘ solutii
a a ¸
reale. √Deci (y − α)2 − 4y(2y − 1) = −7y 2 − 2(α − 2)y + α2 ≥ 0, de unde, notˆnd cu
a
β = 2 2α2 − α + 1,:
2−α−β 2−α+β
y∈ , .
7 7
A¸adar:
s
2−α−β 2−α+β
inf Aα = min Aα = , sup Aα = max Aα = .
7 7


1.31 S˘ se determine minorantii, majorantii, cel mai mic element ¸i cel mai mare
a ¸ ¸ s
element (dac˘ exist˘) ale urm˘toarelor multimi de numere reale:
a a a ¸

1
1) A = {sin 1, sin 2, sin 3}. 2) A = 1− , n ∈ N∗ .
n
2n − 1
3) A = , n ∈ N∗ . 4) A = {x ∈ R, x2 ≤ 5}.
22 + 1
5) A = {x ∈ R, x ≥ 0, x2 > 5}. 6) A = {x ∈ R, x3 − x ≤ 0}.
7) A = {x − sin x, x ∈ R}.
π
R: 1) Cum: sin 2 = sin(π − 2), sin 3 = sin(π − 3), deoarece: 0 < π − 3 < 1 < π − 2 <
2
π
¸i functia sinus este strict cresc˘toare pe 0, , rezult˘:
s ¸ a a
2
π
sin 0 < sin(π − 3) < sin 1 < sin(π − 2) < sin
2
¸i deci 0 < sin 3 < sin 1 < sin 2 < 1. A¸adar: min A1 = sin 3, max A1 = sin 2 ¸i orice
s s s
num˘r a ≤ sin 3 este un minorant, iar orice num˘r b ≥ sin 2 este un majorant.
a a
1 1
2) Deoarece ≤ 1, rezult˘ c˘ 1 −
a a ≥ 0. Deci 0 este un minorant al multimii
¸
n n
A2 ¸i orice num˘r a ∈ (−∞, 0] eare minorant. Nici un num˘r a > 0 nu poate fi mino-
s a a
rant al multimii A2 deoarece 0 ∈ A2 ¸i din definitia minorantului ar rezulta c˘ a ≤ 0
¸ s ¸ a
(contradictie). Evident inf A2 = min A2 = 0. Multimea majorantilor este [1, ∞). Intr-
¸ ¸ ¸
1
adev˘r, b ≥ 1 implic˘ b ≥ 1 − , pentru orice n ∈ N∗ . Dac˘ b < 1 rezult˘ 1 − b > 0 ¸i
a a a a s
n
1 1
atunci ∃n ∈ N∗ a.ˆ 1 − b >
ı. sau b < 1 − , adic˘ b nu ar mai fi majorant. Evident
a
n n
sup A2 = 1, ˆ timp ce max A2 nu exist˘.
ın a
3) Din inegalitatea:
1 2n − 1
≤ 2 < 1, n ∈ N∗ ,
3 2 +1
1
deducem c˘ multimea miniorantilor lui A3 este
a ¸ ¸ −∞, , multimea majorantilor este
¸ ¸
3
1
[1, ∞), inf A3 = min A3 = , sup A3 = 1, iar max A3 nu exist˘.
a
3
√ √
4) inf A4 = min A4 = − 5, sup A4 = max A4 = 5,
√
5) inf A5 = 5, sup A5 = ∞, 6) inf A6 = −∞, sup A6 = ∞,
7) inf A7 = −∞, sup A7 = ∞.

1.32 S˘ se determine inf A, min A, sup A ¸i max A dac˘:
a s a
a+1
1) A = {x ∈ R, x = , a ∈ R}.
a2 + a + 1
2
x − 3x + 2
2) A = {y ∈ R, y = 2 , x ∈ R}.
x +x+1 √
3x2 + 4x 3 − 1
3) A = {y ∈ R, y = , x ∈ R}.
x2 + 1

˘ ˘

1
R: 1) Din xa2 + (x − 1)a + x − 1 = 0, cu a ∈ R, rezult˘ A = − , 1 . Deci inf A =
a
3
√ √
1 9 − 2 21 9 + 2 21
min A = − , sup A = max A = 1. 2) A = , . 3) A = [−3, 5].
3 3 3

1.33 Utilizˆnd axioma lui Arhimede, s˘ se arate c˘ pentru orice x ∈ R∗ exist˘ n ∈ Z
a a a a
a.ˆ s˘ avem:
ı. a
1) x2 + n ≥ nx + 1. 2) x2 ≥ 2x + n.

R: 1) Inegalitatea se mai scrie: x2 − 1 ≥ n(x − 1). Pentru x = 1 este evident˘. Dac˘
a a
x2 − 1
x = 1, pentru num˘rul real
a = x + 1, conform axiomei lui Arhimede, exist˘ n ∈ Z
a
x−1
a.ˆ x + 1 ≥ n.
ı.

1.34 Fie [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ], n ∈ N∗ un ¸ir descendent de segmente reale. S˘ se
s a
arate c˘:
a
∞
1) [an , bn ] = ∅ (Cantor-Dedekind).
n=1
1
2) Dac˘ bn − an ≤
a , n ∈ N∗ , atunci exist˘ un num˘r x0 ∈ R, unic determinat, cu
a a
n
∞
proprietatea c˘:
a [an , bn ] = {x0 }.
n=1

R: 1) Din [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] rezult˘ c˘ an ≤ bm , ∀n, m ∈ N∗ . A¸adar multimea
a a s ¸
A = {an , n ∈ N∗ } este m˘rginit˘ superior (orice bm este un majorant), iar multimea
a a ¸
B = {bm , m ∈ N∗ } este m˘rginit˘ inferior (orice an este un minorant). Exist˘ deci sup A
a a a
∞
¸i inf B ¸i sup A ≤ inf B. In concluzie,
s s [an , bn ] ⊃ [sup A, inf B] = ∅.
n=1
∞
2) Dac˘ ar exista x ¸i y cu x < y ¸i x, y ∈
a s s [an , bn ], atunci din an ≤ x < y ≤ bn
n=1
1
rezult˘: 0 < y − x ≤ bn − an ≤ , adic˘ n(y − x) ≤ 1, n ∈ N∗ , ceea ce ar contrazice
a a
n
axioma lui Arhimede aplicat˘ numerelor y − x ¸i 1.
a s

1.35 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ ¸i a1 · a2 · · · · · an = 1, atunci a1 + a2 + · · · + an ≥ n.
a + s

R: Folosim metoda inductiei matematice. P (2) : dac˘ a1 , a2 ∈ R∗ ¸i a1 ·a2 = 1, atunci
¸ a + s
a1 +a2 ≥ 2. Fie a1 ≥ 1 ¸i a2 ≤ 1. Urmeaz˘ (a1 −1)(a2 −1) ≤ 0 sau a1 +a2 ≥ 1+a1 ·a2 ≥ 2.
s a
P (n) : dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ ¸i a1 · a2 · · · · · an = 1, atunci a1 + a2 + · · · + an ≥ n.
a + s
P (n + 1) : dac˘ a1 , a2 , . . . , an , an+1 ∈ R∗ ¸i a1 · a2 · · · · · an · an+1 = 1, atunci
a + s
a1 + a2 + · · · + an + an+1 ≥ n + 1.
Printre numerele a1 , a2 , . . . , an , an+1 exist˘ cel putin unul mai mare sau cel putin egal
a ¸ ¸
cu 1 ¸i cel putin unul mai mic sau cel mult egal cu 1. F˘r˘ a restrˆnge generalitatea,
s ¸ aa a
putem presupune c˘ acestea sunt a1 ¸i a2 . Din P (2) avem c˘ a1 + a2 ≥ 1 + a1 · a2 , de
a s a
unde deducem:

a1 + a2 + · · · + an + an+1 ≥ 1 + a1 · a2 + a3 + · · · + an + an+1 ≥ 1 + n,

deoarece a1 · a2 , . . . , an , an+1 sunt n numere al c˘ror produs este 1.
a


1.36 Inegalitatea mediilor. Fie x1 , x2 , . . . , xn ∈ R∗ ¸i A media aritmetic˘, G media
+ s a
geometric˘, H media armonic˘ a celor n numere, deﬁnite prin;
a a
x1 + x2 + · · · + xn √ n
A= , G = n x1 · x2 · · · · · xn , H = .
n 1 1 1
+ + ··· +
x1 x2 xn
S˘ se arate c˘ au loc inegalit˘¸ile: H ≤ G ≤ A.
a a at
R: Din deﬁnitia mediei geometrice avem:
¸
x1 · x2 · · · · · xn x1 x2 xn
= 1 sau · · ··· · = 1.
Gn G G G
xk x1 x2 xn
Luˆnd ˆ exercitiul precedent ak =
a ın ¸ , k = 1, n, obtinem:
¸ + + ···+ ≥ n, sau
G G G G
1
A ≥ G. Inlocuind aici pe xk prin , k = 1, n, g˘sim H ≤ G.
a
xk
1.37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy. Pentru orice numere reale a1 , a2 , . . . , an ¸i
s
b1 , b2 , . . . , bn are loc inegalitatea:
2
(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≤ a2 + a2 + · · · + an
1 2
2
b2 + b2 + · · · + b2 ,
1
2
n

sau
n n n
ak bk ≤ a2 ·
k b2 .
k
k=1 k=1 k=1

R: Fie trinomul de gradul al doilea:
f (x) = a1 + a2 + · · · + a2 x2 − 2 (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) x + b2 + b2 + · · · + bn ,
2
2 n 1 2
2

care se mai scrie:
f (x) = (a1 x − b1 )2 + (a2 x − b2 )2 + · · · + (an x − bn )2 ≥ 0
pentru orice x ∈ R, deci ∆ ≤ 0, ceea ce implic˘ inegalitatea dat˘.
a a
1.38 Inegalitatea lui Minkowski. Pentru orice numere reale ak , bk , k = 1, n are loc
inegalitatea:
n n n
2
(ak + bk ) ≤ a2 +
k b2 .
k
k=1 k=1 k=1

R: Tinˆnd seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem:
a
n n n n n n n n
2
(ak + bk ) = a2 + 2
k ak bk + 2
bk ≤ a2 + 2
k a2 ·
k b2 +
k
2
bk ,
k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

sau  2
n n n
2
(ak + bk ) ≤  2
ak + b2  ,
k
k=1 k=1 k=1

de unde, extr˘gˆnd radicalul rezult˘ inegalitatea dat˘.
a a a a

˘ ˘

1.39 Inegalitatea lui Bernoulli. Oricare ar fi a ∈ [−1, ∞) ¸i α ∈ [1, ∞) avem:
s
(1 + a)α ≥ 1 + αa.

R: Inegalitatea rezult˘ din studiul monotoniei functiei f : [−1, ∞) → R, f (x) =
a ¸
(1 + x)α − αx − 1, observˆnd c˘ aceasta are un minim egal cu 0 ˆ x = 0.
a a ın

1.40 Dac˘ a ∈ [−1, ∞) ¸i n ∈ N∗ atunci: (1 + a)n ≥ 1 + na.
a s

R: Se ia ˆ inegalitatea lui Bernoulli α = n.
ın
n+1
1 + nb
1.41 Dac˘ b > 0, b = 1, atunci:
a > bn .
n+1

R: Aplicˆnd inegalitatea lui Bernoulli, avem:
a
n+1 n+1 n+1
1 + nb 1−b 1−b 1−b
= b+ = bn+1 1 + > bn+1 1 + = bn .
n+1 n+1 b(n + 1) b

1.42 S˘ se arate c˘:
a a
n+1 n n+1 n
1 1 1 1
1) 1+ > 1+ . 2) 1− > 1− .
n+1 n n+1 n
1 1
R: Se ia ˆ inegalitatea precedent˘ b = 1 +
ın a , respectiv b = 1 + .
n n
1.43 S˘ se arate c˘ oricare ar fi numerele reale a1 , a2 , . . . , an ≥ −1, de acela¸i semn,
a a s
are loc inegalitatea (generalizare a inegalit˘¸ii lui Bernoulli):
at

(1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≥ 1 + a1 + a2 + · · · + an .

R: Se folose¸te inductia matematic˘.
s ¸ a

1.44 Inegalitatea lui Cebˆsev. Fie a1 , a2 , . . . , an ¸i b1 , b2 , . . . , bn numere reale cu
ı¸ s
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ¸i S = a1 bi1 + a2 bi2 + · · · an bin , n ≥ 2, unde
s
{i1 , i2 , . . . , in } = {1, 2, . . . , n}. S˘ se arate c˘:
a a

a1 bn + a2 bn−1 + · · · an b1 ≤ S ≤ a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn .

R: Fie j < k, ij < ik atunci (aj − ak )(bij − bik ) ≥ 0 implic˘: aj bij + ak bik ≥ aj bik +
a
ak bij . Deci orice inversiune ˆ multimea {i1 , i2 , . . . , in } miçoreaz˘ suma S, ca atare
ın ¸ s a
ea este maxim˘ pentru permutarea identic˘ {1, 2, . . . , n} ¸i minim˘ pentru permutarea
a a s a
{n, n − 1, . . . , 1}.

1.45 Fie a1 , a2 , . . . , an ¸i b1 , b2 , . . . , bn numere reale cu a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an , b1 ≥ b2 ≥
s
· · · ≥ bn . S˘ se arate c˘:
a a
n n n
n· ai bi ≥ ai · bi .
i=1 i=1 i=1


n
R: Din exercitiul precedent rezult˘ c˘ max S =
¸ a a ai bi . Avem deci inegalit˘¸ile:
at
i=1
n
ai bi = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ,
i=1
n
ai bi ≥ a1 b2 + a2 b3 + · · · + an b1 ,
i=1
.....................
n
ai bi ≥ a1 bn + a2 b1 + · · · + an bn−1 .
i=1

Prin adunare membru cu membru obtinem inegalitatea din enunt.
¸ ¸
1.46 Fie a, b, c > 0. S˘ se arate c˘:
a a
a b c 3 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a 3 b3 c 3
1) + + ≥ . 2) a+b+c ≤ + + ≤ + + .
b+c a+c a+b 2 2c 2a 2b bc ca ab
R: Se aplic˘ inegalitatea lui Cebˆsev:
a ı¸
1 1 1
1) pentru tripletele (a, b, c) ¸is , , ,
b+c a+c a+b
1 1 1 a b c
2) pentru tripletele: (a2 , b2 , c2 ) ¸i
s , , , respectiv (a3 , b3 , c3 ) ¸i
s , , .
c b a abc abc abc
1.47 Inegalitatea lui H¨lder. Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ≥ 0, b1 , b2 , . . . , bn ≥ 0, p > 1,
o a
1 1
q > 1 ¸i + = 1, atunci:
s
p q
n n 1/p n 1/q
q
ai bi ≤ ap
i bi .
i=1 i=1 i=1
n n
R: Dac˘
a ap = 0 sau
i bq = 0 inegalitatea este evident˘. Fie:
i a
i=1 i=1

ap
i
q
bi
A= n , B= n
p
ai bq
i
i=1 i=1
α
¸i functia f : [0, ∞) → R, deﬁnit˘ prin: f (x) = x − αx, α ∈ (0, 1). Deoarece f are ˆ
s ¸ a ın
A
x = 1 un maxim egal cu 1 − α, rezult˘ c˘: xα − αx ≤ 1 − α, ∀x ∈ [0, ∞). Lu˘m x =
a a a
B
1 1
1 1 A B
¸i α = , deci 1 − α = , deducem: A p · B q ≤ + . Inlocuind aici A ¸i B, sumˆnd
s s a
p q p q
apoi dup˘ i de la 1 la n, obtinem inegalitatea din enunt.
a ¸ ¸
1.48 S˘ se arate c˘ pentru orice n ∈ N∗ are loc inegalitatea:
a a
√ √ 3
√
N (n + 1)!
1· 2 · 3! · · · · · n! ≤ .
2n

˘ ˘

√
k
√
k 1 + 2 + ··· + k k+1
R: Se folose¸te majorarea:
s k! = 1 · 2 · ··· · k ≤ = .
k k
1.49 Dac˘ x1 , x2 , . . . , xn ∈ R∗ , atunci:
a +

1 1 1
(x1 + x2 + · · · + xn ) + + ··· + ≥ n2 .
x1 x2 xn
√ 1
R: Se folose¸te inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cu ai =
s xi , bi = √ , i = 1, n.
xi

1.50 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ , atunci:
a +

(a2 + a1 + 1) · · · · · (an + an + 1)
1
2
≥ 3n .
a1 · a2 · · · · · an
1
R: Se folose¸te inegalitatea: x +
s ≥ 2, pentru orice x ∈ R∗ .
+
x
1.51 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ , n ≥ 2 ¸i S = a1 + a2 + · · · + an atunci:
a + s
a1 a2 an n
+ + ··· + ≥ .
S − a1 S − a2 S − an n−1
1
R: Not˘m bi =
a , i = 1, n. Deoarece S > ai rezult˘ c˘ bi > 0. putem scrie:
a a
S − ai
1 1 1
(b1 + b2 + · · · + bn ) + + ··· + ≥ n2 ,
b1 b2 bn
sau
n n
n2 a1 a2 an
≤ ak bk ≤n + + ··· + .
n−1 S − a1 S − a2 S − an
k=1 k=1

1.52 Dac˘ a, b, c ∈ R∗ , atunci:
a +

ab bc ca a+b+c
+ + ≤ .
a+b b+c c+a 2
ab a+b
R: Se ¸ine seama c˘
t a ≤ etc.
a+b 4
1.53 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ , n ≥ 2, atunci:
a +

a1 a2 an−1 an
+ + ··· + + ≥ n.
a2 a3 an a1
R: Se folosete inegalitatea mediilor.
¸

1.54 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗ , atunci:
a +

(1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≥ 2n .


√
R: Se ˆ
ınmultesc membru cu membru inegalit˘¸ile: 1 + ai ≥ 2 ai , i = 1, n.
¸ at

1.55 Dac˘ a, b, c ∈ R∗ , atunci: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
a +
√
ınmultesc membru cu membru inegalit˘¸ile: a + b ≥ 2 ab etc.
R: Se ˆ ¸ at

1.56 Dac˘ a1 , a2 , . . . , an > 0, b1 , b2 , . . . , bn > 0, atunci:
a
n
√ n
(a1 + b1 )(a2 + b2 ) · · · (an + bn ) ≥ n
a1 a2 · · · an b1 b2 · · · bn .
ai
R: Se folose¸te inegalitatea mediilor pentru numerele:
s , i = 1, n ¸i respectiv:
s
ai + bi
bi
, i = 1, n ¸i se adun˘ inegalit˘¸ile obtinute.
s a at ¸
ai + bi
∗
1.57 Dac˘ a, b, c ∈ R+ , atunci:
a
a+b+c
aa · bb · cc ≥ (abc) 3
.

R: F˘r˘ a restrˆnge generalitatea, putem presupune a ≥ b ≥ c. Din aa−b ≥ ba−b ,
aa a
bb−c ≥ cb−c , aa−c ≥ ca−c prin ˆ
ınmultire membru cu membru se obtine inegalitatea din
¸ ¸
enunt.
¸

Capitolul 2

Siruri ¸i serii
¸ s

2.1 Siruri de numere reale
¸
2.1 Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui ¸ir, s˘ se arate c˘:
s a a

3 · 4n + (−4)n n2 + 2
1) lim = 0. 2) lim = +∞.
n→∞ 5n n→∞ n + 1

R: 1) Fie ε > 0 arbitrar. Este suﬁcient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un rang N = N (ε) a.ˆ
a aa a a ı.

3 · 4n + (−4)n
− 0 < ε, ∀n > N.
5n
ε
3 · 4n + (−4)n 4 · 4n ln
Dar ≤ < ε pentru n > 4 . A¸adar, putem lua
s
5n 5n 4
ln
5

 0,
 
  ε > 4,
 ε
ln
N (ε) =  
  4  , ε ≤ 4.
 4

 ln
5

2) Fie ε > 0 arbitrar. Este suﬁcient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un rang N = N (ε) a.ˆ
a aa a a ı.
n2 + 2 n2 + 2 3
> ε, ∀n > N . Ins˘
a = n−1+ > n − 1 > ε, pentru n > 1 + ε. Putem
n+1 n+1 n+1
lua N (ε) = [1 + ε].

2.2 Folosind teorema de caracterizare cu ε a limitei unui ¸ir, s˘ se arate c˘:
s a a

n 1 4n + 1 4 n2 1
1) lim = . 2) lim = . 3) lim = .
n→∞ 2n − 1 2 n→∞ 5n − 1 5 n→∞ 2(n2 + 1) 2

17


2.3 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ se arate c˘ ¸irurile (xn )n∈N∗ sunt convergente,
a a s
unde:
n n
1 sin(kx)
1) xn = . 2) xn = , x ∈ R.
k2 2k
k=1 k=1
n
αk
3) xn = . |αk | < 1, k ∈ N∗ , a > 1.
ak
k=1

R: 1) Ar˘t˘m c˘ ∀ε > 0, ∃ N (ε) a.ˆ |xn+p − xn | < ε, ∀n > N (ε) ¸i p ∈ N∗ . Deoarece
aa a ı. s
1 1 1 1
2 < = − ,
(n + k) (n + k) (n + k − 1) n+k−1 n+k
avem:
1 1 1 1 1
|xn+p − xn | = 2 + ··· + < − < <ε
(n + 1) (n + p)2 n n+p n
1 1
pentru n > . Putem lua N (ε) = .
ε ε
2) Ar˘t˘m c˘ ∀ε > 0, ∃ N (ε) a.ˆ |xn+p − xn | < ε, ∀n > N (ε) ¸i p ∈ N∗ . Avem:
aa a ı. s
sin(n + 1)x sin(n + p)x 1 1 1 1
|xn+p − xn | = + ··· + ≤ n+1 + · · · + n+p = n 1− ,
2n+1 2n+p 2 2 2 2p
 
1 1
1 ln ln
deci |xn+p − xn | < n < ε pentru n > ε . Putem lua N (ε) =  ε .


2 ln 2 ln 2

3) Avem
αn+1 αn+p |αn+1 | |αn+p | 1 1
|xn+p − xn | = n+1
+ · · · + n+p ≤ n+1 + · · · + n+p < n+1 + · · · + n+p ,
a a a a a a
1
p ln
1 1 1 ε (a − 1)
deci |xn+p − xn | < n · 1− < n < ε pentru n > .
a (a − 1)  a a (a − 1) ln a
1
 ln ε (a − 1) 
Putem lua N (ε) = 

.
ln a

2.4 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ se arate c˘ ¸irul (xn )n∈N∗ este divergent, unde
a as
1 1 1
xn = 1 + + + ··· + .
2 3 n
R: Este suﬁcient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un ε0 > 0 ¸i un p ∈ N∗ a.ˆ |xn+p − xn | ≥ ε0 .
a aa a a s ı.
Se constat˘ ˆ a imediat c˘ pentru p = n avem:
a ıns˘ a
1 1 1
|x2n − xn | = + ··· + ≥ = ε0 .
n+1 2n 2

˘ ˘

2.5 S˘ se cerceteze natura urm˘toarelor ¸iruri (xn )n∈N cu termenii generali:
a a s
10 11 n + 10
1) xn = + + ··· . 2) xn = sin n.
1 3 2n + 1
R: 1) Sirul este divergent. Se observ˘ c˘:
¸ a a
n + 11 2n + 10 2n + 10 1
|x2n − xn | = + ··· + > > .
2n + 3 4n + 1 4n + 1 2
2) Presupunem c˘ exist˘ lim xn = x. Atunci avem ¸i lim xn+1 = x, lim xn−1 = x,
a a s
n→∞ n→∞ n→∞
ceea ce implic˘:
a
lim [sin(n + 1) − sin(n − 1)] = 0,
n→∞

adic˘ lim 2 sin 1 cos n = 0 sau lim cos n = 0. Din sin 2n = 2 sin n cos n ar rezulta c˘
a a
n→∞ n→∞
lim sin 2n = 0. Dar ¸irul (sin 2n)n∈N∗ este un sub¸ir al ¸irului (sin n)n∈N∗ , de unde se
s s s
n→∞
deduce c˘ lim sin n = 0. A¸adar am avea: lim
a s sin2 n + cos2 n = 0. Contradictie.
¸
n→∞ n→∞
Deci ¸irul (xn ) este divergent.
s

2.6 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘ se studieze natura ¸irurilor cu termenii generali:
a s
n n n
cos k! cos kx sin kx
1) xn = . 2) xn = , a > 1. 3) xn = .
k (k + 1) ak 3k
k=1 k=1 k=1

2.7 S˘ se calculeze limita ¸irului cu termenul general:
a s

α0 nk + α1 nk−1 + · · · + αk
xn = , α0 , β0 = 0, k, h ∈ N.
β0 nh + β1 nh−1 + · · · + βh
2.8 S˘ se calculeze limitele ¸irurilor:
a s
k
1 + 2 + ··· + n Cn n
1) xn = . 2) xn = k . 3) xn = n .
n2 n 2
2.9 S˘ se arate c˘ dac˘ |a| < 1, atunci lim nan = 0.
a a a
n→∞

1
R: Deoarece |a| < 1, exist˘ b > 0 a.ˆ |a| =
a ı. ¸i se dezvolt˘ dup˘ binomul lui
s a a
1+b
Newton.

2.10 Fie x1 , x2 , . . . , xp numere reale pozitive. S˘ se arate c˘:
a a

lim n
1
n
xn + x2 + · · · xn = max{x1 , x2 , . . . , xp }.
p
n→∞

R: Fie x = max{x1 , x2 , . . . , xp }. Rezult˘: xn ≤ xn + x2 + · · · xp ≤ pxn , adic˘;
a 1
n n
a

n n √
x≤ n
x1 + x2 + · · · xn ≤ x n p.
p

√
Dar lim n p = 1.
n→∞


2.11 Fie ¸irul cu termenul general:
s
n
k4 + k2 + 1
xn = a + n + 1 − .
k4 + k
k=1

1) S˘ se arate c˘ (xn ) este convergent.
a a
2) S˘ se g˘seasc˘ rangul de la care |xn − a| ≤ 0, 01.
a a a

2.12 S˘ se calculeze limitele ¸irurilor (xn ) date prin termenii generali:
a s
√ n
5n2 − 3n + 2 3n + 2 2an + bn
1) xn = . 2) xn = . 3) xn = n .
4n + 1 3n + 5 3a + 4bn

22 + 42 + · · · + (2n)2 √ √ √
4) xn = . 5) xn = n + 1 − 2 n + 2 + n + 3.
12+3 2 + · · · + (2n − 1)2

√ √ 3
6) xn = n+2 n+1− n + 4 n + 1. 7) xn = n2 + n + 1 − an.
3
−6n 1
√ n 1+ −1
2n2 + 5n + 4 3n + 1 n+ n+1 n
8) xn = . 9) xn = √ . 10) xn = 2 .
3n2 + 2 n+ 3n+2 1
3+ −9
n
n (13 + 23 + · · · + n3 )
11) xn = . 12) xn = n4 + n 2 + 1 − n4 − n2 + 1.
(n + 2)5
1
k n+2
13) xn = n − 1 . 14) xn = n 3 3
(n + 1)2 − 3
(n − 1)2 .
n+5

r r r
2.13 Se consider˘ curba format˘ din semicercuri de raze r, , , , . . . cu centrele cer-
a a
3 9 27
curilor coliniare. S˘ se calculeze lungimea Ln a liniei formate din primele n semicercuri,
a
precum ¸i L = lim Ln . care sunt valorile lui n pentru care diferenta L − Ln reprezint˘
s ¸ a
n→∞
cel mult 5% din L?

R: Avem:
r r r 3πr 1
Ln = π r + + + · · · + n−1 = · 1− n
3 32 3 2 3

3πr 3πr 1 5 3πr
¸i L =
s . L − Ln = · n ≤ · , de unde 3n ≥ 20, adic˘ n ≥ 3.
a
2 2 3 100 2
2.14 S˘ se discute dup˘ valorile parametrului real p:
a a

n+1 n+2
= lim np − 3
.
n→∞ n+2 n+3

˘ ˘

R: Not˘m
a

n+1 3 n+2 n+1 3 n+2
an = − = −1 + 1− .
n+2 n+3 n+2 n+3

1
Avem an → 0, iar nan → − . Deci:
6

 0,
 p ∈ (−∞, 1),
1 1
= − · lim np−1 = − , p = 1,
6 n→∞  6

−∞, p ∈ (1, ∞).

2.15 S˘ se calculeze limita ¸irului (xn ) cu termenul general:
a s

sin 1 + a sin 2 + · · · + an−1 sin n
xn = , a > 1.
an[1 + 2a + 3a2 + · · · + (n + 1)an ]
R: Din |sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R, deducem:
(1 − a)(1 − an )
0 < |xn | ≤ = αn
an [1 − (n + 2)an+1 + (n + 1)an+2 ]
¸i cum pentru a > 1, αn → 0, rezult˘ c˘ xn → 0.
s a a
1 1 1
2.16 S˘ se arate c˘ ¸irul cu termenul general xn = 1+ + +· · ·+ este convergent.
a as
1! 2! n!
Limita sa este num˘rul e.
a

R: Folosim criteriul lui Cauchy:
1 1 1
xn+p − xn = + + ··· + =
(n + 1)! (n + 2)! (n + p)!
1 1 1 1
= + + ··· +
(n + 1)! n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) · · · (n + p)
de unde:
1 1 1 1 1 1 1
xn+p − xn < + + ··· + < · ≤ < ε,
n! n + 1 (n + 1)2 (n + 1)p n! n n

1
pentru n > N (ε) = .
ε
a1 + a2 + · · · + an
2.17 S˘ se arate c˘ dac˘ an → a, atunci sn =
a a a → a.
n
R: Se aplic˘ teorema lui Stolz-Cesaro.
a

2.18 S˘ se arate c˘ dac˘ ¸irul de numere pozitive bn → b, atunci
a a as
n
pn = b1 · b2 · · · · · bn → b.


2.19 Fie (a)n un ¸ir de numere pozitive. S˘ se arate c˘ dac˘
s a a a
an+1 √
lim = α ⇒ lim n an = α.
n→∞ an n→∞

√ a1 a2 an
R: Se ¸ine seama de egalitatea
t N an = n · · ··· · .
1 a1 an−1

2.20 S˘ se calculeze:
a
√
n
√
n n (n + 1)(n + 2) · · · (2n) n!
1) lim n. 2) lim n
. 3) lim .
n→∞ n→∞ n n→∞ n

4 1
R: Se aplic˘ exercitiul precedent. Se obtine: 1) 1, 2)
a ¸ ¸ , 3) .
e e
a a
1p + 2p + · · · np 1
lim p+1
= , ∀p ∈ N.
n→∞ n p+1

R: Se aplic˘ teorema lui Stolz-Cesaro:
a
p
1
p 1+
an+1 − an (n + 1) n
= p+1 = p p.
bn+1 − bn (n + 1) − np+1 1 1
n 1+ −1 + 1+
n n
p
1
Dar lim n 1+ − 1 = p.
n→∞ n

2.22 S˘ se determine limita ¸irului cu termenul general:
a s
p
1p + 3p + · · · + (2n − 1)
xn = , p ∈ N∗ .
np+1
a
√ √ √
1+ 2! + 3 3! + · · · + n n!
lim , a > 1.
n→∞ n 2 · an
a
n+1 n+1
an+1 − an (n + 1)! 1 (n + 1)! n + 1
lim = lim n = lim · 2 n = 0.
n→∞ bn+1 − bn n→∞ a [(n + 1)2 a − n2 ] a − 1 n→∞ n+1 n ·a

a
√ √ √
1 + (2!)2 · 2 + (3!)2 · 3 3 + · · · + (n!)2 · n n
lim √ .
n→∞ n! · (n + 1)! · n

˘ ˘

a
√
an+1 − an (n + 1) · n+1 n + 1
lim = lim √ √ = 0.
n→∞ bn+1 − bn n→∞ (n + 1)(n + 2) n + 1 − n

2.25 Se d˘ ¸irul (xn )n∈N cu termenul general:
as
n
1
xn = .
(k + 1)(k + 4)
k=0

1) S˘ se arate c˘ ¸irul este m˘rginit ¸i s˘ se calculeze sup xn .
a as a s a
n∈N
n
18
2) S˘ se calculeze lim
a · xn .
n→∞ 11

R: 1) Din identitatea

1 1 1 1
= − , k ∈ N,
(k + 1)(k + 4) 3 k+1 k+4

deducem:
1 11 1 1 1 11
lim xn = lim − − − = .
n→∞ n→∞ 3 6 k+2 k+3 k+4 18
1 11
Din xn+1 − xn = > 0 rezult˘ c˘ ¸irul este cresc˘tor ¸i deci sup xn =
a as a s .
(n + 2)(n + 5) n∈N 18
n
18
2) lim · xn = e−1 .
n→∞ 11

2.26 S˘ se determine limita urm˘toarelor ¸iruri:
a a s

3 5 2n + 1 αn + β n
1) xn = + 3 + ··· + 3 . 2) xn = n+1 , α, β > 0.
13 1 + 23 1 + 23 + · · · + n3 α + β n+1
n
a n + b n + 3n 1
3) xn = n + 5n + n
, a, b ≥ 0. 4) xn = n · k 2 + 3k + 9 .
2 7 · n!
k=1

√
3
R: La 4) se ¸ine seama de inegalitatea k 2 + 3k + 9 ≥ 3 27k 3 = 9k.
t

a
n n
n (n!)2 k2 + k − 1 2k−1 (k − 1)
1) lim . 2) lim . 3) lim .
n→∞ (2n)! · 8n n→∞ (k + 1)! n→∞ (k + 1)!
k=1 k=1
3n 3 n n
n 3 · (n!) 1 3 k2
4) lim . 5) lim √ . 6) lim 1+ −1 .
n→∞ (3n)! n→∞ n 2+k n→∞ n3
k=1 k=1


an+1 n+1 1 k2 + k − 1 1 1
R: 1) lim = lim = . 2) Din = −
n→∞ an n→∞ 16(2n + 1) 32 (k + 1)! (k − 1)! (k + 1)!
deducem c˘
a
n
k2 + k − 1 1 1
lim = lim 2 − − = 2.
n→∞ (k + 1)! n→∞ n! (n + 1)!
k=1
k−1
2 (k − 1) 2k−1 2k
3) Din = − deducem c˘
a
(k + 1)! k! (k + 1)!
n
2k−1 (k − 1) 2n
lim = lim 1 − = 1.
n→∞ (k + 1)! n→∞ (n + 1)!
k=1

2.28 S˘ se calculeze limitele ¸irurilor cu termenii generali
a s
n n
(2n + 1)!! k2 + k k2 + k − 1
1) xn = . 2) xn = . 3) xn = .
(2n + 2)!! n3 + k (k + 1)!
k=1 k=1
n n n
1 1 1 3 · 2 + (−1) 2k + 1
4) xn = 1+ + + ··· + n · . 5) xn = .
2 22 2 2n k 2 (k + 1)2
k=1
n
1 2 2 2 1 2
6) xn = · Cn + Cn+1 + · · · + C2n . 7) xn = · (2k − 1) .
n2 n3
k=1

2.29 S˘ se calculeze limitele ¸irurilor cu termenii generali:
a s
√ √
2 α 6 n−3
π n 3
n+1
1) xn = cos . 2) xn = 1 + √ , α ∈ R.
n 2 n−3
n n
1 k (k + 1) (k + 2)
3) xn = . 4) xn = .
(k − 1)! + k! n4
k=1 k=1

2.30 S˘ se calculeze limita ¸irului cu termenul general
a s
xn = ac + (a + ab)c2 + (a + ab + ab2 )c3 + · · · + (a + ab + · · · + abn )cn+1 ,
a, b, c ∈ R, |c| < 1, b = 1, |bc| < 1.
R: S˘ observ˘m c˘ se mai scrie
a a a
ac
xn = [(1 + c + · · · + cn ) − b (1 + bc + · · · + bn cn )] .
1−b
Deci
1 − cn+1 1 − (bc)n+1 ac
lim xn = lim xn −b· = .
n→∞ n→∞ 1−c 1 − bc (1 − c)(1 − bc)
a a
1
0 < ln [ln (k + 1)] − ln (ln k) < , ∀k ≥ 2
k ln k
n 1
¸i apoi s˘ se calculeze lim
s a .
n→∞ k=2 k ln k

Analiza matematica

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Empfohlen

Empfohlen (20)

Analiza matematica