Aula sobre Teorema do Limite Central

1. Aula 3 : Bioestatística
Caroline Godoy
Turma: Graduação em Educação Física

2. Última aula
• Noções de Cálculo de Probabilidade;
• Variáveis aleatórias;
• Distribuições de Probabilidade
▫ Distribuições Discretas: Bernoulli e
Binomial
▫ Distribuições Contínuas: Normal

3. Distribuição Normal
• Contínua
E( X ) = µ
Var ( X ) = σ 2
DP( X ) = σ
X ~ N (µ ,σ 2 )
Variável
aleatória

4. Distribuição Normal
• Suponha que tem-se interesse em estudar o peso corporal de
alunos de educação física das escolas de uma região
determinada. Para isso foram coletados uma amostra
aleatória de 300 alunos. A continuação apresentamos o
histograma desses dados:
0.08
0.06
Freq. relativa
0.04
0.02
0.00
60 65 70 75 80 85 90
X (peso em kg)

5. Distribuição Normal
• Suponha que tem-se interesse em estudar o peso corporal de
alunos de educação física das escolas de uma região
determinada. Para isso foram coletados uma amostra
aleatória de 300 alunos. A continuação apresentamos o
histograma desses dados:
Curva normal

6. Distribuição Normal
Distribuições normais com
médias diferentes e
variâncias iguais.
Distribuições normais com
médias iguais e variâncias
diferentes

7. Distribuição Normal – uso da tabela
Função
Distribuição
acumulada da
Normal
z
1
Φ z ) = P( z ≤ x) =
( ∫
−∞ 2π
exp(− ,5t 2 ) dt
0
Z ~ N (0,1)

8. Inferência Estatística

9. Inferência Estatística
• Distribuições de probabilidades: Qui-Quadrado, t-Student, F-Snedecor,
Normal, ...
• O pesquisador conhece muito pouco o comportamento dos dados e não
conhece os valores exatos dos parâmetros
Ex: Se pudéssemos medir a altura de todos os brasileiros não
precisaríamos da inferência pois teríamos a população;
Ex: Tempo de duração de uma Lâmpada;
• Objetivo é avaliar as características de uma população que pode ser
representada por uma variável como altura dos brasileiros por ex;
• Se conhecêssemos a distribuição da variável não seria necessário aplicar a
inferência, mas sim apenas as distribuições como já visto;
• A amostra serve para formar uma opinião sobre o comportamento da
variável;
• É imprescindível explicitar qual a população investigada!

10. Inferência Estatística
A estimativa é uma
característica da população

11. ESTIMATIVAS COMUNS:
• Média
• Variância
• Valor mínimo da amostra;
• Valor máximo da amostra;
• Amplitude amostral;

12. PARÂMETROS:
Descreve a característica da população
Ex:

13. S2 é uma estimativa pontual para σ
2
-
n
∑ ( xi − x ) 2
S2 = i =1
n

15. Z ~ N (0;1)

16. Distribuição Normal – uso da tabela 1
Probabilidade

17. Distribuição Normal – uso da tabela 1

18. Distribuição Normal – uso da tabela 2
Probabilidade

19. Distribuição Normal – uso da tabela 2

20. Distribuição Normal – uso da tabela
• EXEMPLO 1 :
Seja Z~N(0,1), determinar:
(e)P(Z<1,80)
(f)P(0,80<Z<1,40)
(g)P(Z<-0,57)
(h)O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.

21. Distribuição Normal – uso da tabela
• EXEMPLO 2:
Se X~N(90,100). Determinar:
(e)P(70< X < 100)
(f)O valor de a tal que: P(X< a)=0,995

22. Distribuição Normal – uso da tabela
• EXEMPLO 3:
O tempo gasto no exame vestibular na área de educação
física de uma universidade, tem distribuição normal com
média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(e)Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade
dele terminar o exame antes de 100 minutos?
g)Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o
95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?

23. Distribuição Normal – uso da tabela
Sejam X 1 , X n uma amostra aleatória de tamanho n retirada de
uma população Bernoulli com parâmetro p (0<p<1). Então,
n n y
Y = ∑ X i ~ Binomial (n, p ), ⇒ f ( y ) =   p (1 − p ) n − y , y = 0,1,, n.
i  y

24. Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
p=0,1 p=0,3
0.4
0.20
P(X=x)
P(X=x)
0.2
0.00
0.0
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
x x
p=0,5 p=0,8
0.20
P(X=x)
P(X=x)
0.15
0.00
0.00
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
x x

25. Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
p=0,1 p=0,3
0.15
0.20
P(X=x)
P(X=x)
0.00
0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
x x
p=0,5 p=0,8
0.15
P(X=x)
P(X=x)
0.00 0.10
0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
x x

26. Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
p=0,1 p=0,3
P(X=x)
0.15
P(X=x)
0.10
0.00
0.00
0 10 20 30 0 10 20 30
x x
p=0,5 p=0,8
0.15
0.10
P(X=x)
P(X=x)
0.00
0.00
0 10 20 30 0 10 20 30
x x

27. Teorema Central do Limite
• EXEMPLO 3: Sabe-se que 25% das atletas expostas a um
particular agente infeccioso adquirem uma certa doença.
Considere um grupo de 100 atletas com igual exposição
ao agente infeccioso. Determinar a probabilidade de no
mínimo 15 e no máximo 30 atletas adoeçam.

28. Z ~ N (0;1)