Guia estadistica upc-sistemas

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR, AGUACHICA
PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
MÓDULO
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
SEMESTRE V Y VI
DOCENTE
CARMELO II. PEREZ YANCE
DEPARTAMENTO DEL CESAR
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CEASR
SECCIONAL AGUACHICA
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Aguachica, 20011
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MÓDULO ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
ESTADISTICA
GENERALIDADES
INTRODUCCION
CASI TODOS LOS SERES HUMANOS, EN CUALQUIER CLASE DE ACTIVIDAD A
QUE SE DEDIQUEN EN SU DIARIO DISCURRIR, EXPERIMENTAMOS
SENSACIONES Y EN UNA U OTRA MEDIDA PONDERAMOS Y LE DAMOS
MUCHO SIGNIFICADO A NUESTRAS EXPERIENCIAS. DE AHÍ QUE ESTA
INQUIETUD SEA EL MOTOR DE DESARROLLO DE LA HUMANIDAD Y DE
NUESTRA VIDA EN PARTICULAR. TENEMOS CAPACIDAD PARA CAPTAR LOS
SUCESOS, LAS PERSONAS, LOS ACONTECIMIENTOS NOTABLES Y
TRASCENDENTALES. ADEMAS, PODEMOS DETECTAR SUS SIMILITUDES Y
SUS DIFERENCIAS; SU REGULARIDAD, SU PATROÓN DE CONDUCTA Y
DEMÁS CARACTERÍSTICAS GENERALES.
TODO ESTO, HA LLEVADO AL HOMBRE A CONTAR, MEDIR, CUALIFICAR,
ESTOS ACONTECIMIENTOS NATURALES QUE LO RODEAN, Y AL HACERLO,
SE DA EL HECHO INEVITABLE DE CUANTIFICAR, YA SEA EN FORMA BURDA,
REFINADA O INCONCIENTEMENTE. Y CON BASE EN ESTA FORMA DE
OBSERVACIONES Y DE COMPARACIONES, NOS PREGUNTAMOS, CUÁNTO?,
CON QUÉ FRECUENCIA?, QUÉ TAN RAPIDO, QUÉ TAN BIEN, QUÉ TAN
GRANDE, QUÉ TAN LEJOS, ETC., SOBRE LOS HECHOS O EXPERIENCIAS.
HISTORIA
LA PRESENCIA DEL HUESO ASTRÁGALO DE OVEJA EN LAS EXCAVACIONES
ARQUOLÓGICAS MAS ANTIGUAS, PARECE CONFIRMAR QUE LOS JUEGOS DE
AZAR TIENEN UNA ANTIGÜEDAD DE MÁS DE 40000 AÑOS, Y LA
UTILIZACIÓN DEL ASTRÁGALO EN CULTURAS MAS RECIENTES, HA SIDO
AMPLIAMENTE DOCUMENTADA. EXISTEN EN LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO
PINTURAS QUE MUESTRAN JUEGOS DE AZAR QUE DATAN DEL AÑO 3500
a.C, Y HEREDOTO SE REFIERE A LA POPULARIDAD Y DIFUSIÓN EN SU
ÉPOCA DE LOS JUEGOS DE AZAR, ESPECIALMENTE LA TIRADA DE
ASTRÁGALO Y DADOS. LOS DADOS MÁS ANTIGUOS SE REMONTAN A UNOS
3000 AÑOS A.C Y SE UTILIZARON ENE EL JUEGO COMO EN CEREMOMIAS
RELIGIOSAS. EL DESARROLLO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LOS JUEGOS
DE ZAR SE PRODUCE LENTAMENTE DURANTE LOS SIGLOS XVI Y XVII, Y
ALGUNOS AUTORES CONSIDERAN COMO ORIGEN DEL CÁLCULO DE
PROBABILIDADES LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOS PUNTOS EN LA
CORRESPONDENCIA ENTRE PASCAL Y FERMAT EN 1654. EL CALCULO DE
2

PROBABILIDADES SE CONSOLIDA COMO DISCIPLINA INDEPENDIENTE EN EL
PERIODO QUE TRANSCURRE DESDE LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XVII
HASTA COMIENZOS DEL SIGLO XVII.
COMO SISTEMA CIENTIFICO QUE ES, LA ESTADISTICA HA SUFRIDO IGUAL
PROCESO Y PARA COMPRENDER SU ESTADO ACTUAL Y SU CAMPO DE
ACTIVIDAD NECESITAMOS CONOCER ALGO DE SU HISTORIA. SE
CONSIDERA FUNDADOR DE LA ESTADISTICA A GODOFREDO ACHENWALL
(1719-1772), PROFESOR Y ECONOMISTA ALEMÁN, QUIEN, SIENDO
PROFESOR DE LA UNIVERSIDAD DE LEIPZIG, ESCRIBIO SOBRE EL
DESCUBRIMIENTO DE UNA NUEVA CIENCIA QUE LLAMÓ ESTADISTICA
(PALABRA DERIVADA DE Staat QUE SIGNIFICA GOBIERNO). ANTIGUAMENTE
LOS ESTADOS EFECTUABAN INVENTARIOS DE SUS RIQUEZAS, ESTOS
INVENTARIOS O CENSO (LATIN censere, QUE SIGNIFICA VALUAR O TASAR.
SE SABE QUE 2000 2500 AÑOS A.C, LOS CHINOS Y LOS EGIPCIOS
EFECTUARON CENSOS QUE ERAN SIMPLES INVENTARIOS. (LEA LOS
DOCUMENTOS PARA CONOCER MÁS DE LA HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA)
CONCEPTOS:
ESTADISTICA: SE DEFINE COMO UNA CIENCIA QUE UTLIZA UNA SERIE DE
TEORÍAS, MÉTODOS Y TÉCNICAS ESPECIALIZADAS DE RECOLECCIÓN ,
ORGANIZACIÓN, ORDENAMIENTO, TABULACIÓN, PRESENTACIÓN GRÁFICA,
DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS MUESTRALES CON EL OBJETO DE
EXTRAER DE ELLOS CONCLUSIONES ÚTILES Y VÁLIDAS APLICABLES A LA
POBLACIÓN DE DONDE PROCEDE LA MUESTRA, CON UN ALTO GRADO DE
CONFIABILIDAD, Y ENMARCADAS EN UN ESPACIO Y TIEMPO DETERMINADO.
RAMAS DE LA ESTADISTICA:
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: CUANDO ALGUNAS PERSONAS ESCUCHAN LA
PALABRA “ESTADISTICA” INMEDIATAMENTE PIENSAN EN PROMEDIO DE
NOTAS, ÍNDICE DE ACCIDENTES, ÍNDICE DE MORTALIDAD, TASAS DE
NACIMIENTO, Y OTROS INDICADORES COMUNES. EN REALIDAD ESA RAMA
DE LA ESTADISTICA QUE UTILIZA NÚMEROS PARA DESCRIBIR HECHOS,
RECIBE EL NOMBRE DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA.
BÁSICAMENTE, LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA COMPRENDE
PRIMORDIALMENTE DE LA RECOLECCIÓN, RECOPILACIÓN,
ORDENAMIENTO , ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN, PRESENTACIÓN,
TRATAMIENTO MATEMÁTICO Y ANÁLISIS DE DATOS CON EL OBJETO DE
DESCRIBIR SITUACIONES O HECHOS QUE HAN PROPORCIONADO LA
INFORMACIÓN RECOLECTADA, QUE A MENUDO ES MUY COMPLEJA. POR LO
GENERAL, TOMAN LA FORMA DE TABLAS, CUADROS, GRÁFICOS, ÍNDICES
3

NUMÉRICOS, TASAS, PROPORCIONES, ETC., QUE DESCRIBEN MUY
DETALLADAMENTE LO QUE ESTÁ SUCEDIENDO A UNA ACTIVIDAD
COMERCIAL, BIÓLOGICA, INDUSTRIAL, DE SALUD, O DE CUALQUIER
ÍNDOLE, REFERIDA SIEMBRE EN UNA ENTIDAD DE TIEMPO Y DE ESPACIO.
ESTADISTICA INFERENCIAL: UNA DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LOS
DATOS RECOLECTADOS DE UNA ACTIVIDAD EN PARTICULAR, ES A VECES
EL OBJETIVO ESOS. Y EN REALIDAD, ESTO ES ASÍ, PUESTO QUE EL
OBJETIVO PRIMORDIAL Y ÚLTIMO DE LA LABOR ESTADÍSTICA ES EL DE
SACAR CONCLUSIONES ÚTILES Y VALEDERAS SOBRE LA TOTALIDAD DE
LAS OBSERVACIONBES O UNIVERSO. ESTO ES, LA ESTADÍSTICA
DESCRITIVA NO ES MÁS QUE EL TRABAJO PRELIMINAR PARA LA
INFERENCIA ESTADÍSTICA.
LA ESTADISTICA INFERENCIAL CONSISTE ENE ELANÁLISIS E
INTERPRETACIÓN DE UNA MUESTRA DE DATOS. ES UNA TECNICA
MEDIANTE LA CUAL SE OBTIENEN CONCLUSIONES O GENERALIZACIONES
ACERCA DEL PARÁMETRO O PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN
BASÁNDOSE EN EL ESTADÍGRAFO DE UNA MUESTRA DE TAL POBLACION.
CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDADES
POBLACIÓN: ES UNA COLECCIÓN COMPLETA DE INDIVIDUOS, OBJETOS,
MEDIDAS QUE POSEEN UNA CARACTERÍSTICAS EN COMÚM.
MUESTRA: ES UN SUBCONJUNTO DE LA POBLACIÓN, ES DECIR, ES UAN
COLECCIÓN DE ALGUNOS DE LOS INDIVIDUOS, OBJETOS O MEDIDAS DE LA
POBLACIÓN.
PROCESO DE METODOLOGÍA ESTADÍSTICA:
1.- DEFINIR BIEN Y CUIDADOSAMENTE EL PROBLEMA O INVESTIGACIÓN
QUE SE DESEA ADELANTAR.
2.- FORMULAR UN PLAN O PLANIFICACIÓN DE LAS TAREAS A EJECUTAR.
3.- RECOLECCIÓN, ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN DE LOS DATOS
ESTADISTICOS.
4.- ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS.
5.- SACAR CONCLUSIONES UTILES Y VALEDERAS.
FUNDAMENTAL QUE UNO SE PROPONE, SIN EMBARGO, EN LA MAYORÍA DE LOS
ANÁLISIS ESTADÍTICOS, EL INVESTIGADOR ESTÁ MÁS AL COMIENZO DE SU LABOR
QUE AL TÉRMINO DE LA MISMA CUANDO HA HECHO TODA LA DESCRIPCIÓN DE LOS
SUCESOS.
4

CONSULTAR:
PORQUE ESTUDIAR LA ESTADISTICA?
AREAS DE APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA ESTADISTICA
QUE PUEDE HACERSE CON LA ESTADISTICA?
ABUSOS DE LA ESTADISTICA.
ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADISTICOS:
EL PROCESAMIENTO ESTADÍSTICO TRANSFORMA LOS DATOS EN
INFORMACIÓN, ORGANIZÁNDOLOS Y CONDENSANDOLOS EN CUADROS Y
GRÁFICAS, O EN UNOS CUANTOS NÚMEROS INDICADORES QUE REVELAN
SU ESENCIA.
EL PROPÓSITO PRIMORDIAL DE ORGANIZAR Y CLASIFICAR LOS DATOS
ESTADÍSTICOS ES PERMITIR VISUALIZAR REPETIDAMENTE TODAS LAS
CARACTERISTICAS POSIBLES EN LOS DATOS QUE SE HAN RECOLECTADO.
SE PERSIGUE HACER DESTACAR CARACTERISTICAS TALES COMO EL
RANGO (LOS VALORES MAYOR Y MENOR), LAS TENDENCIAS APARENTES
HACIA QUÉ VALORES TIENDEN A AGRUPARSE LOS DATOS; LOS DATOS QUE
APARECEN CON MAYOR FRECUENCIA, ORCENTAJE DE DATOS EN CADA
GRUPO DE VALORES, ETC.
CLASES DE DATOS:
SON LAS AGRUPACIONES DE CUALQUIER NÚMERO DE OBSERVACIONES
RELACIONADAS Y, QUE MIDAN UNA CARACTERISTICA COMÚN DE UN
SUCESO O EVENTO. ESTOS DATOS DEBEN ESTAR RELACIONADOS EN EL
TIEMPO Y EL ESPACIO.
CLASE DE DATOS:
SI UNA CARACTERISTICA SOBRE EL CUAL SE CONCENTRA NUESTRO
ÍNTERES PUEDE TOMAR DISTINTOS VALORES O TIENE DIFERENTES
RESULTADOS, SE DENOMINA VARIABLE: CUANTITATIVA Y CUALITATIVA.
VARIABLE CUANTITATIVA: ES CUANDO LOS RESULTADOS DE UNA
VARIABLE SE EXPRESAN NUMERICAMENTE.
5

POR EJEMPLO: EL PESO DE UN ESTUDIANTE, LOS KILOMETROS
RECORRIDOS POR UN AUTOMOVIL, LA EDAD DE UNA PERSONA, EL SALARIO
DE UN EMPLEADO, LA ESTATURA DE UNA PERSONA, NÚMERO DE HIJOS..
CUANTITATIVA CONTINUA: ES CUANDO EXPRESA UNA UNIDAD ENTERA Y
SUBDIVISIONES DE LA MIMA UNIDAD: LA ESTATURA DE UNA PERSONA, EL
PESO, TEMPERATURA, OTRAS.
CUANTITATIVA DISCRETA: ES CUANDO EXPRESA UNA UNIDAD COMPLETA O
ENTERA: NÚMERO DE HIJOS, CANTIDAD DE ESTUDIANTES DE UN SALÓN.
VARIABLE CUALITATIVA: ES CUANDO EL RESULTADO ES UNA CUALIDAD O
ATRIBULO DE UN EVENTO O SUCESO, SE PUEDE EXPRESAR MEDIANTE
CLASES O CATEGORÍAS.POR EJEMPLOS SEXO, , NACIONALIDAD,
AFILIACIÓN POLITICA, COLOR DE LOS OJOS, ETC.
TAREA: CONSULTAR CLASE DE VARIABLES CUALITATIVAS.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA:
UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ES UN MÉTODO DE CLASIFICACIÓN
DELOS DATOS ESTADISTICOS EN CLASES E INTERVALOS, DE TAL MANERA
QUE SE PUEDA RESTABLECER EL NÚMERO O PORCENTAJES ( ES DECIR, LA
FRECUENCIA), DE CADA CLASE. ESTA FORMA DE ARREGLAR LOS DATOS DE
UNA VARIABLE PROPORCIONA UNA FORMA DE OBSERVAR UN CONJUNTO
DE NÚMEROS SIN QUE SE TENGA QUE CONSIDERAR CADA NÚMERO, U
PUEDE SER EXTREMADAMENTE ÚTIL AL MANIPULAR GRANDES
CANTIDADES DE DATOS. EL NÚMERO O PORCENTAJE EN CADA CLASE, SE
DENOMINA “ FRECUENCIA DE CLASE”
A CONTINUACION SE REALIZARA UN EJEMPLO DE DISTRIBUCION DE
FRECUENCIA, PARA ESTO, SE TIENE EL PUNTAJE DEL COEFICIENTE
INTELECTUAL DE 150 ESTUDIANTES DE UNA PRUEBA REALIZADA. TABLA1 :
6

88 127 113 100 114 108 91 118 100 119
119 98 120 102 109 105 121 100 112 116
93 104 96 110 91 92 113 100 128 103
99 106 108 98 113 101 121 109 111 111
106 114 104 122 112 112 115 97 105 113
102 104 116 101 89 93 107 91 98 85
108 106 114 120 99 109 126 122 113 109
109 124 118 95 124 108 113 97 101 128
114 101 115 118 103 115 89 118 108 88
108 97 121 122 105 114 104 100 116 119
91 121 125 95 104 93 96 I06 94 118
91 108 129 96 106 125 129 115 92 116
89 113 105 129 114 88 107 110 125 113
120 105 118 112 124 101 120 99 121 122
106 125 105 117 103 88 115 85 108 126
ANALISIS EJEMPLOS DE LA TABLA DE FRECUENCIA:
DATOS SIN AGRUPAR (VER FÓRMULAS EN ANEXO)
LLEVAR ESTOS DATOS A EXCEL, ORDENAR Y CALCULAR LOS
ESTADISTICOS DRECTAMENTE.
MEDIA ARITMÉTICA:
.
PARA LA MODA, QUE ES EL COEFICIENTE DE MAYOR FRECUENCIA ,
SE ENCUENTRA EN EL VALOR DE 108. Mo = 108.
CÁLCULO DE LOS CUARTILES, VEAMOS LAS POSICIONES:
DONDE:
CÁLUCLO DE LOS DECILES:
7

,
POR LO TANTO:
CÁLCULO DE LOS PERCENTILES:
,
DE DONDE:
PARA LA VARIANZA:
POR LO TANTO: S = 11,O8.
,
CON LA FÓRMULA DE LA MEDIANA As = 0,08, CON LOS CUARTILES
As = 0,015, Y EN EL SOFTWARE ES -0,13, ES DE NOTAR QUE EN
TODOS LOS CASOS HAY UNA TENDENCIA A CERO, POR LO TANTO
LA CURVA ES SIMETRICA, POR LO TANTO NO EXIXTE SESGO, LO
QUE INDICA QUE EXISTE IGUAL REPARTICIÓN DE LOS DALOS DEL
COCIENTE TANTO PARA LA DERECHA COMO PARA LA IZQUIERDA
DEL PROMEDIO.
PARA LA CURTOSIS, SE TIENE:
K = =
COEFICIENTE DE VARIACIÓN: CV = * 100%
8

CV = 11,08/108,36 =x 100%
COMO EL COEFICENTE DE VARIACIÓN ES MENOR QUE EL 30%, SE
INTERPRETA QUE LOS COEFICIENTE INTELECTUALES ESTAN MUY
CERCANOS AL PROMEDIO DE LA POBLACIÓN, ES DECIR, EXISTE
UNA HOMGENEIDAD ENTRE LOS DATOS, LO QUE INDICA QUE EN EL
MUESTREO EXISTIÓ UNA PRECISIÓN Y QUE EXISTE
CONFIABILIDAD EN LOS RESULTADOS.
DATOS SOBRE EL COEFICIENTE INTELECTUAL:
ES UNA SERIE DE EVALUACIONES UTILIZADAS PARA DETERMINAR LA
INTELIGENCIA GENERAL O EL ''COEFICIENTE INTELECTUAL'' (IQ, POR SUS
SIGLAS EN INGLÉS) DE UN INDIVIDUO EN RELACIÓN CON OTRA PERSONA
DE LA MISMA EDAD.
Información:
EN LA ACTUALIDAD, EXISTEN MUCHAS PRUEBAS PARA MEDIR EL
COEFICIENTE INTELECTUAL Y LA CUESTIÓN DE SI REALMENTE MIDEN LA
INTELIGENCIA O SIMPLEMENTE MIDEN CIERTAS APTITUDES SIGUE SIENDO
CONTROVERSIAL.
LA PRUEBA DE WECHSLER ES EL EXAMEN MÁS ESTANDARIZADO Y EL MÁS
AMPLIAMENTE UTILIZADO. LOS RESULTADOS PROMEDIO TIENEN UN
RANGO DE 90 A 110:
• UN PUNTAJE POR DEBAJO DE 70 INDICA RETARDO MENTAL.
• UNA PERSONA QUE OBTIENE UN PUNTAJE DE 130 O MAYOR ES
NORMALMENTE CONSIDERADA DOTADA, AUNQUE LOS DIFERENTES
PROGRAMAS UTILIZAN DIFERENTES ESCALAS PARA ESTA
CLASIFICACIÓN.
• UNA PERSONA QUE OBTIENE UN PUNTAJE DE 165 O MAYOR ES
NORMALMENTE CONSIDERADA GENIO.
LAS PRUEBAS DE COEFICIENTE INTELECTUAL MIDEN UNA APTITUD DE
DESEMPEÑO ESPECÍFICA Y ES POSIBLE QUE NO EVALÚEN CON EXACTITUD
EL POTENCIAL FUTURO O EL TALENTO DE UNA PERSONA. LOS
RESULTADOS DE CUALQUIER PRUEBA DE INTELIGENCIA PUEDEN TENER
UN SESGO CULTURAL.
REGLAS GENERALES PARA ORGANIZAR DATOS EN TABLAS DE
FRECUENCAS:
1) POR LO GENERAL DEBEN AGRUPARSE DE 5 A 15 INTERVALOS DE CLASE:
ESTA ELECCIÓN ES UN BUEN BALANCE ENTRE LA CANTIDAD DE RESUMEN
9

DE LOS DATOS Y LA INFORMACIÓN QUE SE PIERDE CON SU
CONDENSACIÓN. AL AUMENTAR EL GRADO DE AMPLITUD DE CADA CLAS,
SE PIERDE MÁS DETALLES. PERO CUANTA MÁS CLASE SE ESTABLESCAN,
MÁS DIFICIL SE HACE EXTRAER INFORMACIÓN ÚTIL DE LA TABLA DE
FRECUENCIA.
2) POR LO GENERAL, DEBEN TOMARSE DE UNA IGUAL AMPLITUD: LOS
INTERVALOS DE DESIGUAL AMPLITUD TIENDEN A DISTORSIONAR LAS
COMPARACIONES. AL COMPARAR LAS CLASES QUE SE ANOTAN EN LOS
HISTOGRAMAS, SE ATIENDE AL ÁREA Y SI LAS CLASES SON DE IGUAL
MAGNITUD SE NECESITA SOLO MIRAR LAS ALTURAS DE LOS
RECTÁNGULOS PARA COMPARAR LAS CLASES.
HAY UNA RELACIÓN INVERSA ENTRE EL NUMERO DE CLASES DE UNA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Y LA AMPLITUD DE CADA CLASE. SI SE
TOMAN POCAS CLASES, ENTONCES LA AMPLITUD ES GRANDE. POR EL
CONTRARIO SI SE TOMAN BASTANTES CLASES, ENTONCES LA AMPLITUD
ES PEQUEÑA.
LA SIGUIENTE ES LA RELACIÓN QUE EXISTE ENTRE ESTOS DOS
CONCEPTOS:
EN SIMBOLOS:
PARA EL NÚMERO DE CLASE SE EMPLEA LA FÓRMULA:
m = 1 + 3,33 Log n
m = 1 +3.33 Log 150
m = 8, 18
EN EL EJEMPLO DE LA TABLA 1
SE TOMARAN NUEVE INTERVALOS Y UNA AMPLITUD DEL
INTERVALO DE CINCO.
CON BASE EN ESTA INFORMACIÓN Y REQUERIMIENTOS, CONSTRUYAMOS
UNA TABLA DE FRECUENCIA. TABLA 2:
10

INTERVALO
DE CLASE
LIMITES DE
CLASE
MARCA
DE CLASE
Xi
FRECUENCIA
ABSOLUTA fi
FRECUENCIA
RELATIVA hi
(%)
FRECUENCIA
ACUMULADA
Fi Hi
85 - 89
90 - 94
95 – 99
100 – 104
105 – 109
110 – 114
115 – 119
120 - 124
125 - 129
84,5 – 89,5
89,5 – 94,5
94,5 99,5
99,5–104,5
104,5-109,5
109,5-114,5
114,5-119,5
119,5-124,5
124,5-129,5
87
92
97
102
107
112
117
122
127
9
11
14
20
27
22
19
16
12
0,06
0,07
0,09
0,13
0,18*
0,15
0,13
0,11
0,08
9
20
34
54
81
103
122
138
150
0,06
0,13**
0,22
0,35
0,53
0,68
0,81
0,92
1,00
n=150
MEDIA AGRUPADA O PROMEDIO PONDERADO:
MEDIANA AGRUPADA: Me= Li + I
PARA LA MODA, SE TIENE:
MO= Li + I = 104,5 + 5
VARIANZA:
Y LA DESVIACIÓN TÍPICAS, ES : S = 11,13.
LOS CUARTILES: Q1 =99,5 + 5 = 100,38,
Q2 = 104,5 + 5 = 108,39, Q3 =114,5 + 5 = 117.
11

DECILES:
D1 = 89,5 + 5 = 92,22, D5 = 104,5 + 5 = 108,39,
D10 = 119,5 + 5 = 123,56
PERCENTILES:
P10 = 89,5 + 5 = 92,22, P50 = 104,5 + 5 = 1082,39,
P90 = 119,5 + 5 = 123,56
SE PUEDE APRECIAR QUE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LOS
DOS MÉTODOS SON SEMEJANTES, PERO EL INVESTIGADOR, SEGÚN
LA CONDICIONES DEBE ESCOGER EL MÁS APROPIADO
ANÁLISIS DE UNA VARIABLE CUALITATIVA
TOMEMOS COMO EJEMPLOS LOS RESULTADOS OBSERVADOS DE LA
SIGUIENTE TABLA: M: MUJERES, H: HOMBRES
M M H H H H M H M M
M H H H M H M H M M
M H H H M H H H M H
H H H H M H M M H M
H H M H H M H H H H
M H H H H M H H H M
M H M H H M H H H M
M H H H H H H M M M
M H M H H H M H H H
M H H H H H M M M M
12

H M M M H M H H M M
H M H M H M H H M M
H H M M M M H H M H
H M H H M H H M H H
M M M H H H H M H H
61 40,7 40,7 40,7
89 59,3 59,3 100,0
150 100,0
MUJER
HOMBRE
Válidos
Total
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Tabla de frecuencia GENERO
AL REALIZAR LOS CALCULOS DE LAS PROPORCIONES DE MUJERES Y
HOMBRES:
ESTOS RESULTADOS INDICAN QUE EN EL ESTUDIO DE LOS
ESTUDIANTES EXISTE EL 41% DE MUJERES Y EL 59% SON
HOMBRES.
13

GENERO
HOMBREMUJER
Porcentaje
70
60
50
40
30
20
10
0
HOMBRE
MUJER
14

PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
PROBABILIDADDES
CONTENIDO:
 HISTORIA
 GENERALIDADES
 DEFINICIONES Y CONCEPTOS
 CLASES DE PROBABILIDADES
 ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL ÁRBOL. ASIGNACIONES
 ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y
COMBINACIONES.
 REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS
 PROBABILIDAD CONDICIONAL
 TEOREMA DE BAYES
15

 MISCELANEA DE EJERCICIOS.
COMPETENCIAS:
EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTARÁ EN
CAPACIDAD DE:
 COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE
PROBABILIDAD.
 CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.
 DETERMINAR EL NÚMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y
COMBINACIONES
 UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR
PROBABILIDADES QUE INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI
Y A POSTERIORI.
 ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA
INFERENCIA, PARA REALIZAR ASEVERACIONES SOBRE UN
ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.
EL ESTUDIO CIENTÍFICO DE LA PROBABILIDAD ES UN DESARROLLO
MODERNO. LOS JUEGOS DE AZAR MUESTRAN QUE HA HABIDO UN
INTERÉS EN CUANTIFICAR LAS IDEAS DE LA PROBABILIDAD
DURANTE MILENIOS, PERO LAS DESCRIPCIONES MATEMÁTICAS
EXACTAS DE UTILIDAD EN ESTOS PROBLEMAS SÓLO SURGIERON
MUCHO DESPUÉS.
SEGÚN RICHARD JEFFREY, "ANTES DE LA MITAD DEL SIGLO XVII,
EL TÉRMINO 'PROBABLE' (EN LATÍN PROBABLE) SIGNIFICABA
APROBABLE, Y SE APLICABA EN ESE SENTIDO, UNÍVOCAMENTE, A
LA OPINIÓN Y A LA ACCIÓN. UNA ACCIÓN U OPINIÓN PROBABLE
ERA UNA QUE LAS PERSONAS SENSATAS EMPRENDERÍAN O
MANTENDRÍAN, EN LAS CIRCUNSTANCIAS."1
APARTE DE ALGUNAS CONSIDERACIONES ELEMENTALES HECHAS
POR GIROLAMO CARDANO EN EL SIGLO XVI, LA DOCTRINA DE LAS
16

PROBABILIDADES DATA DE LA CORRESPONDENCIA DE PIERRE DE
FERMAT Y BLAISE PASCAL (1654). CHRISTIAAN HUYGENS (1657)
LE DIO EL TRATAMIENTO CIENTÍFICO CONOCIDO MÁS TEMPRANO
AL CONCEPTO. ARS CONJECTANDI (PÓSTUMO, 1713) DE JAKOB
BERNOULLI Y DOCTRINE OF CHANCES (1718) DE ABRAHAM DE
MOIVRE TRATARON EL TEMA COMO UNA RAMA DE LAS
MATEMÁTICAS. VÉASE EL SURGIMIENTO DE LA PROBABILIDAD
(THE EMERGENCE OF PROBABILITY) DE IAN HACKING PARA UNA
HISTORIA DE LOS INICIOS DEL DESARROLLO DEL PROPIO
CONCEPTO DE PROBABILIDAD MATEMÁTICA.
LA TEORÍA DE ERRORES PUEDE TRAZARSE ATRÁS EN EL TIEMPO
HASTA OPERA MISCELLANEA (PÓSTUMO, 1722) DE ROGER COTES,
PERO UNA MEMORIA PREPARADA POR THOMAS SIMPSON EN 1755
(IMPRESA EN 1756) APLICÓ POR PRIMERA VEZ LA TEORÍA PARA LA
DISCUSIÓN DE ERRORES DE OBSERVACIÓN. LA REIMPRESIÓN
(1757) DE ESTA MEMORIA EXPONE LOS AXIOMAS DE QUE LOS
ERRORES POSITIVOS Y NEGATIVOS SON IGUALMENTE PROBABLES,
Y QUE HAY CIERTOS LÍMITES ASIGNABLES DENTRO DE LOS
CUALES SE SUPONE QUE CAEN TODOS LOS ERRORES; SE
DISCUTEN LOS ERRORES CONTINUOS Y SE DA UNA CURVA DE LA
PROBABILIDAD.
PIERRE-SIMON LAPLACE (1774) HIZO EL PRIMER INTENTO PARA
DEDUCIR UNA REGLA PARA LA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES
A PARTIR DE LOS PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LAS
PROBABILIDADES. REPRESENTÓ LA LEY DE LA PROBABILIDAD DE
ERROR CON UNA CURVA Y = Φ(X), SIENDO X CUALQUIER ERROR E
Y SU PROBABILIDAD, Y EXPUSO TRES PROPIEDADES DE ESTA
CURVA:
1. ES SIMÉTRICA AL EJE Y;
17

2. EL EJE X ES UNA ASÍNTOTA, SIENDO LA PROBABILIDAD DEL
ERROR IGUAL A 0;
3. LA SUPERFICIE CERRADA ES 1, HACIENDO CIERTA LA
EXISTENCIA DE UN ERROR.
DEDUJO UNA FÓRMULA PARA LA MEDIA DE TRES OBSERVACIONES.
TAMBIÉN OBTUVO (1781) UNA FÓRMULA PARA LA LEY DE
FACILIDAD DE ERROR (UN TÉRMINO DEBIDO A LAGRANGE, 1774),
PERO UNA QUE LLEVABA A ECUACIONES INMANEJABLES. DANIEL
BERNOULLI (1778) INTRODUJO EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO
PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES DE UN SISTEMA DE ERRORES
CONCURRENTES.
EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS SE DEBE A ADRIEN-MARIE
LEGENDRE (1805), QUE LO INTRODUJO EN SU NOUVELLES
MÉTHODES POUR LA DÉTERMINATION DES ORBITES DES COMÈTES
(NUEVOS MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS ÓRBITAS DE
LOS COMETAS). IGNORANDO LA CONTRIBUCIÓN DE LEGENDRE, UN
ESCRITOR IRLANDÉS ESTADOUNIDENSE, ROBERT ADRAIN, EDITOR
DE "THE ANALYST" (1808), DEDUJO POR PRIMERA VEZ LA LEY DE
FACILIDAD DE ERROR,
SIENDO C Y H CONSTANTES QUE DEPENDEN DE LA PRECISIÓN DE
LA OBSERVACIÓN. EXPUSO DOS DEMOSTRACIONES, SIENDO LA
SEGUNDA ESENCIALMENTE LA MISMA DE JOHN HERSCHEL (1850).
GAUSS EXPUSO LA PRIMERA DEMOSTRACIÓN QUE PARECE QUE SE
CONOCIÓ EN EUROPA (LA TERCERA DESPUÉS DE LA DE ADRAIN)
EN 1809. DEMOSTRACIONES ADICIONALES SE EXPUSIERON POR
LAPLACE (1810, 1812), GAUSS (1823), JAMES IVORY (1825, 1826),
HAGEN (1837), FRIEDRICH BESSEL (1838), W. F. DONKIN (1844,
1856) Y MORGAN CROFTON (1870). OTROS PERSONAJES QUE
18

CONTRIBUYERON FUERON ELLIS (1844), DE MORGAN (1864),
GLAISHER (1872) Y GIOVANNI SCHIAPARELLI (1875). LA FÓRMULA
DE PETERS (1856) PARA R, EL ERROR PROBABLE DE UNA ÚNICA
OBSERVACIÓN, ES BIEN CONOCIDA.
EN EL SIGLO XIX, LOS AUTORES DE LA TEORÍA GENERAL INCLUÍAN
A LAPLACE, SYLVESTRE LACROIX (1816), LITTROW (1833),
ADOLPHE QUETELET (1853), RICHARD DEDEKIND (1860), HELMERT
(1872), HERMANN LAURENT (1873), LIAGRE, DIDION, Y KARL
PEARSON. AUGUSTUS DE MORGAN Y GEORGE BOOLE MEJORARON
LA EXPOSICIÓN DE LA TEORÍA.
EN 1930 ANDRÉI KOLMOGOROV DESARROLLÓ LA BASE
AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD UTILIZANDO TEORÍA DE LA
MEDIDA.
EN LA PARTE GEOMÉTRICA (VÉASE GEOMETRÍA INTEGRAL) LOS
COLABORADORES DE THE EDUCATIONAL TIMES FUERON
INFLUYENTES (MILLER, CROFTON, MCCOLL, WOLSTENHOLME,
WATSON Y ARTEMAS MARTIN).
CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER
INTERPRETADO COMO ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA
EXPRESAR, DE ALGÚN MODO, UN GRADO DE CREENCIA QUE UNO
TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENÓMENO;
NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA
EXPERIENCIA QUE SE TENGA.
EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA
POSIBILIDAD DE GANAR EL CAMPEONATO POR PARTE DE UN
EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA LOTERIA, LAS
APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.
HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL
SIGLO XVII, CUANDO ANTOINE GOMBAULD MÁS CONOCIDO COMO
EL CABALLERO DE MERÉ, JUGADOR PROFESIONAL EN LOS JUEGOS
DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA BUSCO AYUDA DE
BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA
19

PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN
FUNDAMENTADAS. TAMBIEN CARDANO FUE UN JUGADOR
EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.
EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA
ESTRECHA RELACIÓN CON LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN
IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA ESTADISTICA
DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA
TOMA DE DECISIONES.
POSIBILIDAD: COMPARA EL NÚMERO DE RESULTADOS
FAVORABLES CON LOS DESFAVORABLES = .
PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE
CASOS POSIBLES= .
FÓRMULA
“TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN
NUESTRA VIDA Y SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIÓN,
SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA DIFICULTAD DE
PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE?
ME GANARE EL BALOTO, SI LO COMPRO? SI LE HABLO A ESA
PERSONA ME RESPONDERA? TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS
MÁS, TENDRÍAN EN NUESTRA MENTE UNA POSIBLE RESPUESTA YA
QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA
INTUICIÓN”.
POSIBLES DEFINICIONES
METODO AXIOMÁTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD
DE OCURRENCIA DE UN SUCESO, COMO UN NÚMERO
COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE QUE VER
DIRECTAMENTE CON LA NOCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA,
DONDE 0 < hi < 1.
EJEMPLO:
FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES
20

FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100
PROBABILDAD P= 56% (ÉXITO) q = 44%
(FRACASO).
EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS
MISMAS CONDICIONES. LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA
RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO. EL CONJUNTO DE
TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO
MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MÁS PUNTOS
MUESTRALES
CLASES DE HECHOS:
CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES,
COMO POR EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA
Y GANARSELA.
VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD
Y MAYOR QUE O,5.
INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y
MENOR QUE O,5.
DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y
DESVENTAJAS EN LAS MISMAS PROPORCIONES.
IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE
SALIR CON ÉXITO, LA PROBABILIDAD ES CERO.
MÉTODO EMPÍRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO,
COMO AQUEL NÚMERO AL CUAL APRÓXIMA CADA VEZ MÁS A LA
FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA DE UN SUCESO,
CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO QUE
ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO
TIENE ALGO QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET, EN
DONDE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO TIENDE A
ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NÚMERO DE
EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MÁS GRANDE
(BUSCAR BIOGRAFÍA).
PROBABILIDAD EMPERÍCA: ,
21

SE DETERMINA MEDIANTE UNA SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL
CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UNA
OPERACIÓN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MÉDICO.
SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN
CARAS Y 2 SEAN SELLOS, PERO AQUÍ HABLAMOS DE UNA MONEDA
TEÓRICA, PERFECTAMENTE EQUILIBRADA CAÉRA EL MISMO
NÚMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5 SON CARAS Y
5 SON SELLOS. EN UN DADO TEÓRICO, SE TENDRÁ QUE LA
PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA CARA SERÁ 1/6. LA
PROBABILIDAD TEÓRICA SE APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA
PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS QUE CUANTO
MAYOR SEA EL NÚMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MÁS
NOS ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NÚMERO DE OBSERVACIONES
DEBE SER LO SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA
INFERENCIA VÁLIDA PARA ELLA.
MÉTODO CLASICO:
CLASES DE PROBABILIDADES:
A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE
ANTEMANO, SIN NECESIDAD DE REALIZAR EL EXPERIMENTO.
EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.
A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES
DEL EXPERIMENTO.
SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIÓN MUY PERSONAL
DE LA OCURRENCIA DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA
SELECCIÓN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN EL PRÓXIMO
PARTIDO?, SARARÉ MÁS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE
ESTADISTICA?
OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVÉS DEM MÉTODO
EMPÍRICO Y EL CLÁSICO, SE TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR,
DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS
RELATIVAS, ES DE CARÁCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN
UNA OBSERVACIÓN QUE NOS DETERMINA EN QUE MOMENTO
22

OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO, QUE
PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A
OCURRIR EN EL FUTURO.
EJEMPLOS DE PROBABILIDADES:
ELABORCIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL:
EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA
EN LA FACULTAD DE INGENIERÍAS:
SOLUCIÓN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES,
BALLESTEROS, BETANCOUR… VILLEGAS}
SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES,
BALLESTEROS,..ENTRE OTROS.
EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN
CON A: A = {ALCINA, ALMENDRALES…}
LANZAMIENTO DE MONEDAS:
FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NÚMERO DE SUCESOS Y n ES EL
TOTAL DE LOS CASOS POSIBLES:
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TEÓRICA.
FÓRMULA: 2^1 =2 SUCSOS.
SOLUCIÓN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE ½ A CADA UNO.
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O
LANZAMIENTO DE UNA MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA
PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4
SOLUCIÓN: U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA
PROBABILIDAD ES DE 1/8 = 0,125. FÓRMULA: 2^3 =8
SOLUCIÓN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.
EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS: 2^4 = 16
SOLUCIÓN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS,
23

CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC,
SCCS}.
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.
EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES
CARAS ES DEL 4/16. LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE
1/16 Y EL ÉXITO DE DTENER TODAS CARAS ES DEL 1/16.
LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NÚMERO DE
SUCESO Y n ES EL TOTAL DE CASOS POSIBLES.
EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6.
SOLUCIÓN: S = {1,2,3,4,5,6}
EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O
LANZAMIENTO DE DOS DADOS: 6^2 = 36.
S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6
2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6
3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6
4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6
5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}
CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36.
EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216,
CADA SUCESO TENDRÍA P(A) =1/216.
JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:
EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40
CARTAS:
SOLUCIÓN:
COPAS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
OROS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
24

ESPADAS… AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
BASTOS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY
CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES
DE 1/10, Y CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE
¼.
EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52
CARTAS:
SOLUCIÓN:
DIAMANTES … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CORAZÓN … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
TRÉBOL … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
PICAS … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA
ES DE 1/13, Y DE CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS
ES DE ¼.
DIAGRAMA DEL ÁRBOL:
UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS
EVENTOS POSIBLES, AL CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO
MUESTRALES.
EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C
SOLUCIÓN: C)
1/2 c
B) s
1/2 c
25

A) 1/2 c
c s s
1/2 1/2 c
c
1/2 s 1/2 1/2 s
s c
s
CCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCS: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSC: ½ x ½ x ½ = 1/8
CSS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSS: ½ x ½ x ½ = 1/8.
EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C.
SOLUCIÓN:
B) C)
A) 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
26

CADA PUNTO MUESTRAL TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/216,
EJEMPLOS:
1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN
SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS
DOS SEAN ROJAS.
2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZÓ UNA ENCUESTA
ACERCA DE LA SATISFACIÓN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU
ORGANIZACIÓN FAMILIAR.
FAMILIAR
TRABAJO
Progreso
familiar
Sin progreso
familiar
total
Satisfecho en
el trabajo
194 162 356
No satisfecho
en el trabajo
14 30 44
Total 208 192 400
HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:
• UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA
PROGRESADO EN SU VIDA FAMILIAR.
• UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN
SU VIDA FAMILIAR.
• UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA
PROGRESADO EN LA FAMILIA
• UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA
PROGRESADO EN LA FAMILIA.
•
3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA
Y ESTADISTICA REVELÓ LOS SIGUIENTES NÚMEROS DE ESTUDIANTES
MATRICULADOS. ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y
FISICA 93, ALGEBRA Y ESTADISTICA 217, FÍSICA Y ESTADISTICA 63, LAS
27

TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE ENTONCES DETERMINAR QUE UN
ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE MATRICULADO EN:
A) ESTADISTICA, PERO NO EN FÍSICA.
B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA.
C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.
D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.
4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE:
A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NÚMERO?
B) AMBOS CAIGAN EN NÚMERO IMPARES?
C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?
D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6?
E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.
5.- PROPUESTO: CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS
TRES HIJOS DE UNA FAMILIA?.
ESPERANZA MATEMÁTICA
CONSISTE EN EL NÚMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA
LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.
FÓRMULA : E = N x p
EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CÚAL ES LA
ESPERANZA DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?
SOLUCIÓN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N
= 900.
(1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250
COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE:
E = N x p = 900x(10/36) = 250.
250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA
SUMA DE SUS CARAS SEA MENOR A 6.
28

EJEMPLOS:
1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10
CONTIENE $1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACÍO. CÚAL ES LA
ESPERANZA AL SACAR UN SOLO SOBRE?
2.- ASEGURO MI AUTOMÓVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE
$850000. SI LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN
AÑO ES DE 0,04. CÚAL ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AÑUAL QUE
DEBO PAGAR.
PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS
MUESTRALES, QUE TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS
EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL PUEDE RESULTAR TEDIOSO,
SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES O
EL NÚMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA
APLICACIÓN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN EN
MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL
29

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE
PROBABILIDADES TIENEN SOLUCIÓN A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LA
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN
DADO. CÚAL ES EL NÚMRO DE PUNTOS MUESTRALES?
SOLUCIÓN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO
TANTO LOSEL # DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12
EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS
MUESTRALES TENDRÁ EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE
EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA
CARTA?.
B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA ÉSTA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO
SE EXTRAE OTRA SEGUNDA CARTA?
SOLUCIÓN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVIÓ
EN LA SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL
ESPACIO MUESTRAL ES 52 x 52 = 2704.
B) EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN SE TENDRÁ 52 PUNTOS, PERO EN LA
SEGUNDA NO SE DEVOLVIÓ LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE
CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS MUESTRALES.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ES LA BASE DE DOS FÓRMULAS, QUE
NOS PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE
PUNTOS MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS
COMBINACIONES.
PERMUTACIONES
ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. TAMBIÉN SE PUEDE CONSIDERAR COMO
UN CONJUNTO DE COSAS EXTRAÍDAS EN UN ORDEN ESPECÍFICO Y SIN
REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O MAYOR.
FÓRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! Ó nPn = n!, SE LEE “PERMUTACIONES DE n
ELEMENTOS DE n EN n.
30

EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NÚMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR
CIFRAS DE 4 DIGITOS.
SOLUCIÓN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24
ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132
1243 2143 3124 4123
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1432 2413 3412 4312
1423 2431 3421 4321.
EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.
EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE
COLOCADOS 10 PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . DÉ
CUÁNTAS MANERAS SE PODRÁN COLOCAR?
SOLUCIÓN:
10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
3628800 .
EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUÁNTAS PALABRAS
PUDEN FORMAR?
SOLUCIÓN:
PALO APLO LPAO OPAL
PAOL APOL LPOA OPLA
PLAO AOPL LOPA OLAP
PLOA AOLP LOAP OLPA
POLA ALOP LAPO OALP
POAL ALPO LAOP OAPL
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA
CASA TIENE LAS PERMUTACIONES :
31

CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC
CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA
FÓRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NÚMERO DE
REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.
LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE
VARIACIONES.
EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3,
r3 = 2. FÓRMULA: Pn (r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :
Pn(r:2,3,2,) = 8!/2!3!2! = 1680.
FÓRMULA GENERAL: .
EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4:
SOLUCIÓN: .
EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR
GRUPOS DE 5 . CUANTOS SE FORMARÍAN:
COMBINACIONES:
SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE
DISPONGAN.
FÓRMULA:
EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS,
CUANTAS MANERAS SE DISPONDRÍAN.
32

SOLUCIÓN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB.
EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS
EN DOS, SE TENDRÍA:
AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA,
LUEGO : 4C2 V= 6.
PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRÍA : 4C3 = 4.
EJERCICIOS (PÁGINA 251):
55.- CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 DÍGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS
DIGITOS 1, 3, 5, 7, 8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MÁS DE UNA
VEZ?
59.- DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR
UN EXAMEN DE 5 PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA
A 3 DE ELLAS?
63.- CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS
LETRAS DE LA PALABRA BARRANQUILLA?
68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUÉS DE
SENTARSE ÉL. DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN
SENTARSE LOS AMIGOS?
72.- DÉ CUÁNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5
HIJOS, SI DESEA QUE DOS SEAN NIÑAS Y TRES NIÑOS?
76.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN
FORMAR A PARTIR DE UN GRUPO DE 12 PERSONAS?
78.- CUÁNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA
BARAJA DE 40 CARTAS?
79.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE
ENTRE 7 HOMBRES Y 4 MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A)
3 HOMBRES Y 2 MUJERES
B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER
HOMBRES.
ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.
33

PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTEMAS
34

ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADES.
CLASES DE SUCESOS:
 SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA,
APARICIÓN DE CARA O SELLO.
 SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE
COMPLEMENTAN BAÁSICAMENTE.
 SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS.
 SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA
CARA SUPERIOR 8.
 SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA,
APAREZCA SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS.
 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN
DOS O UN SEIS.
 SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN
EL PRIMERO UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS.
 SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA
OCURRENCIA DEL OTRO.
REGLA DE LA ADICIÓN:
A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE
OCURRIR EN UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE
EXCLUYENTES. SE DENOMINA PROBABILIDAD ADITIVA Y SERÁ IGUAL A LA
SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA SUCESO.
FÓRMULA: P = p1 + p2 + P3 + . . . + pn
MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO
O EVENTO PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMÁS NO SE PUEDEN
PRESENTAR AL MISMO TIEMPO, LA FÓRMULA ANTERIOR SE PUEDE
EXPRESAR, ASÍ:
35

P(A o B) = P(A) + P(B),
P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),
P(A U B) = P(A) + P(B),
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO
UNA SOLA CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS
APARECE, QUEDA EXCLUIDO EL OTRO.
SOLUCIÓN:
.
P(A o B) = P(A) + P (B) = +
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN
EL LANZAMIENTO DE UN DADO.
SOLUCIÓN:
P(A o B) = P(A) + P (B) = +
EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.
36

B) SUCESOS COMPATIBLES:
DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN
SUCESO NO IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.
FÓRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B).
EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA
DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.
LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA
PROBABILIDAD QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;
LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40.
P(A o B) =
EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL
NÚMRO OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE PO 3. CUÁL ES LA
PROBABILIDAD QUE UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.
SOLUCIÓN: QUE APAREZCA UN NÚMERO PAR : A = {2,4,6},
P(A) = 3/6.
QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6,
AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:
P(AUB) = 376 + 2/6 + 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.
37

NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA
PROBABILIDAD REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y
LA PROBABILIDAD DE CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDERÁ A UN
VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A 1: 0 ≤ P(A) ≤ Y P(Ac
) = 1 – P(A).
NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE
CONSIDERA LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES
DENOMINA COLECTIVOS EXHAUSTIVOS,
POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O
CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 ES : 52/52 = 1.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
C) SUCESOS INDEPENDIENTES:
ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIÓN DE
NINGUNO DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIÓN DEL
OTRO. EN CASO CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.
EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO
AFECTA AL OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.
FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn,
P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)
EJEMPLO 1.- QUÉ PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS
Reyes SACANDO UNA CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA
SEGUNDA BARAJA?
38

SOLUCIÓN: P(A y B) = P(A) x P(B)
P =
EJEMPLO 2.- AL LANZAR DOS DADOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD
DE SACAR DOS CINCO?
p1 = 1/6 ( 5 en el primer dado), p2 = 1/6 ( 5 en segundo
dado)
P = 1/6 X 1/6 = 1/ 36.
EJEMPLO 3.- SE DISPONEN DE TRES BARAJAS DE 40 CARTAS
CADA UNA. SE DESEA EXTRAER TRES CARTAS UNA DE CADA
BARAJA. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As Y UN Rey
DE OROS Y UN SEIS DE COPAS?
SOLUCIÓN:
EN LA PRIMERA BARAJA SE TIENEN 4 ASES, SIENDO P(A) = 4/40
EN LA SEGUNDA BARAJA SE TIENE UN REY DE OROS P(B) = 1/40
Y EN LA TERCERA BARAJA HAY UN SEIS DE COPAS P© = 1/40.
SE OBSERAV QUE LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES, PUES
NINGUNO DE ELLOS SE VE AFECTADO POR LA APARICIÓN DEL
OTRO, EN ESTOS CASOS APLICAMOS LA REGLA ESPECIAL DE
MULTIPLICACIÓN:
P(A y B y C) = 4/40 x 1/40 x 1/40 = 16/16000 = 0,0000625= 0,00625.
DIFERENCIAS ENTRE LOS SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Y LOS
INDEPENDIENTES:
• EN EL PRIMERO SE TIENE UN SOLO SISTEMA (DADO, MOENA O
CARTA) Y EL SEGUNDO SE TIENE DOS O MÁS SISTEMAS.
• EN EL PRIMERO SE EXTRAE UN SOLO ELEMENTO, SE ESPERA LA
PRESENTACIÓN DE UN SUCESO, EN EL SEGUNDO SE ESPERA LA
PRESENTACIÓN DE DOS O MAS SUCESOS.
39

• EN EL PRIMERO SE UTILIZA LA CONJUCION “O” (UNIÓN) Y EL
SEGUNDO SE EMPLEA LA CONJUCIÓN “Y”.
D) SUCESOS DEPENDIENTES:
SUCESOS DEPENDIENTES O EVENTOS COMPUESTOS, ES CUANDO LA
OCURRENCIA O NO OCURRENCIA DE UN EVENTO EN CUALQUIER PRUEBA
AFECTA LA PROBABILIDAD DE OTROS EVENTOS EN OTRAS PRUEBAS, ES
DECIR QUE LA PROBABILIDAD DE SEGUNDO DEPENDE DEL PRIMER SUCSO,
EL DEL TERCERO DE LO QUE HAYA SUCEDIDO EN EL PRIMERO Y SEGUNDO
Y ASÍ SUCESIVAMENTE.
FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn
EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO
SUCESIVAMENTE TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA (40 cartas),
SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN REPETICIÓN), EN EL MONTÓN O MAZO.
SOLUCIÓN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38
P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740
INTERPRETACIÓN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER
EXPERIMENTO EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL
SEGUNDO EXPERIMENTO SE TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER
EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y 38 CARTAS DEL JUEGO.
EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA
ZOTA(ALFIL), SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIÓN,
DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS.
SOLUCIÓN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 =
4/40,
EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,
TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38,
DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.
SI EXISTIERA REPOSICIÓN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NÚMERO DE
CARTAS DEL JUEGO ES CONSTANTE.
40

PROBABILIDAD CONDICIONAL
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL EA AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN
EVENTO O SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.
LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 Ó MAS
EVENTOS EN FORMA SIMULTANEA.
TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA
ESTADISTICA. NO HAY QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES
MARGINALES, CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL
DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A LA PROBABILIDAD DE UN
SOLO EVENTO
EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B
SE CALCULA MEDIANTE LA FÓRMULA:
P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),
DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FÓRMULA PARA LA PROBABILIDAD
CONDICIONAL DE UN EVENTO:
,
SIMBOLOGÍA MÁS USADA:
P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.
P(A´) = P(Ac
) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.
41

P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B Ó
PROBABILIDAD CONDICIONAL DE A DADO B.
P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A Ó
PROBABILIDAD CONDICIONAL DE B DADO A.
P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B Ó
PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE A Y B Ó PROBABILIDAD
CONJUNTA DE A Y B.
P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O
AMBOS Ó PROBABILIDAD DE LA UNIÓN A Y B.
NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS
FÓRMULAS DE LOS SUCESOS ANTES VISTOS.
EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN
VEHÍCULO PROPIO, EL 20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y
EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE
TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?
SOLUCIÓN:
A: PROPIETARIO DE VEHÍCULO
A´ : NO PROPIETARIO DE VEHÍCULO
B : PROPIETARIO DE VIVIENDA
B´: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA.
B B´ TOTAL
A 0,12 0,06 0,18
A´ 0,08 0,74 0,82
TOTAL 0,20 0,80 1,00
P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.
LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA SI TIENE
VEHÍCULOS PRESENTAN UNA PROBABILIDAD DE 66%
42

AL INTERPRETAR MÁS EL EJERCICIO, SE TIENE, HAGA
EL CÁLCULO: 275
NO TIENEN VEHICULO Y NO TIENE VIVIENDA PROPIA:
90%
TIENEN VEHÍCULO Y NO TIENEN VIVIENDA: 33%
NO TIENEN VIVIENDA Y NO TIENEN VEHICULO: 93%
EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL
70% DE LOS ALUMNOS. EL 70% SON MUJERES Y EL 18%
SON ESTUDIANTES DE ECONOMÍA. SI ELEGIMOS UN
ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CÚAL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE ESTÉ ESTUDIANDO
ECONOMÍA? (Hacer la tabla)
SOLUCIÓN
EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIÓN SE ENCONTRÓ
QIE EL 10% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI EN LA
CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS
UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE
LOS CONDUCTORES DE TAXI SON HOMBRES. CÚAL ES
LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI
AL AZAR, QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA
ADEMÁS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS? (Hacer la tabla)
43

SOLUCIÓN:
TEOREMA DE BAYES
44

EL MATEMÁTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763)
EN EL SIGLO XVVIII INTENTÓ DESARROLLAR UNA
FÓRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA
EXISTENCIA DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS
ERRENALES. MÁS TARDE FUE LAPLACE QUIEN TERMINÓ
SE DESARROLLO DENOMINANDOLO “TEOREMA DE
BAYES”
ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA
HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA PROBABILIDAD A
PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIÓN
EN ANÁLISIS RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN DE
UNA EMPRESA.
FÓRMULA GENERAL:
ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO
EVENTO, QUE DEPENDE DE LA OCURRENCIA DE LOS
EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN
CONJUNTO DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES,
LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO A
CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B)
CORRESPONDA AL PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES
INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B,
DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL
EVENTO B CON RESPECTO A CADA UNO DE LOS
EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULÑA
GENERAL QUEDARÍA, ASÍ:
45

EJEMPLO1.- 4 MÁQUINAS A, B, C, Y D, POR
ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE LA
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA MAQUINA,
DURANTE UN DETERMINADO PERÍODO ( 1 HORA) ASÍ: A,
UNA PRODUCCIÓN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE
700 UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS
PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C EL
15%, Y D EL 35%.
MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA
DETECTADO QUE EL PORCENTAJE DE UNIDADES
DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS
MÁQUINAS ES DE 4%, 3%, 6% Y 5%,
RESPECTIVAMNETE.
SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL
DEL LOTE DETERMINADO.
A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CÜAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE SALGA DEFECTUOSA.
SOLUCIÓN: E“LA PEIEZA DEFECTUOSA” Y N “LA PIEZA
NO DEFECTUOSA”: PARA CALCULARLA PROBABILIDAD
DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR
LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE
LA FÓRMULA:
P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D)
PARA APLICAR LA FÓRMULA SE TIENE:
P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D)
= 0,35
46

P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D)
= 0,05,
DE DONDE:
P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) =
0,20*0,03 = 0,006
P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) =
0,35*0,05 = O,O175
LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SERÁ:
=
=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445
LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA
DEFECTUOSA ES DE 4,45%
B) CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO
PRODUCIDA POR LA MAQUINA A, O POR LA
MÁQUINA B, O POR LA MÁQUINA C O POR LA
MÁQUINA D.
SOLUCIÓN:
LA FÓRMULA SE PARA LA MÁQUINA ES:
47

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR
LA MÁQUINA A ES DE 29,67%.
P(B/E) .
LA MÁQUINA B, ES DE 13,48%.
P(C/E) .
LA MÁQUINA C, ES DE 20,22%.
P(D/E) .
LA MÁQUINA D, ES DE 39,33%.
UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL EN DOS ETAPAS:
0.04 P= 0,30 *0,04 =
0,012
0,96
0,30 0,03
P=0,20 * 0,03 = 0,06
P(A) 0,20 0,20 0,97
48

P(B) 0,15 0,06
P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 =
0,09
P(D) 0,35 0,05
0,95
P=0,35*0,05 =0,0175
EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA
CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y 2 ROJAS; LA SEGUNDA 4
AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA
UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE
RESULTA SER AZUL. CON LO ANTERIOR INFORMACIÓN. CÚAL
ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE ESCOGIDO SEA
EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.
SOLUCIÓN:
P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3
P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = ½ P(E/C) = 6/6 = 1.
LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL
PRIMER RECIPIENTE ES:
49

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL
PRIMER RECIPIENTE ES :
EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA
FOLLETOS PROMOCIONANDO SU LIBRO DE
ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE
ENSEÑAN LA ASIGNATURA EN LAS UNIVERSIDADES
QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIÓN.
UN MES DESPUÉS SE CONSTATÓ QUE EL 46% QUE
RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL LIBRO Y UN
16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO
ADOPTARON. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN
PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO
DEL FOLLETO DE PROMOCIÓN.
0,46
P(A) = 0,72
0,54
50

0,16 =0,8809 = 88,09%
P(B) 0 0,28
0,84
LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%.
BIBLIOGRAFIA:
MARTINEZ B. Ciro. Estadística y muestreo paginas 231-280.
51

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