tesi di laurea

1. CREDIT DERIVATIVES
Un’analisi applicata di sensitività
per i
“First-to-Default Basket Products”
A cura di:
Carmela D’Emilio
(carmelademilio@libero.it)
Tesi di laurea
Università Degli Studi Di Foggia – Facoltà di Economia
Relatore: S. Musti

2. Il Rischio di Credito
“la possibilità che una variazione inattesa del merito creditizio di una
controparte nei confronti della quale esiste un’esposizione generi
una corrispondente variazione inattesa del valore di mercato della
posizione creditoria”.
rischio di insolvenza o rischio di default
rischio di downgrading o rischio di spread
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 2

3. Le componenti del rischio di
credito
• Default Probability - PD
• Loss Given Default - LGD
• Exposure at Default - EAD
Expected Loss, EL (la perdita che ci
si aspetta mediamente di EL = PD × LGD × EAD
conseguire a fronte di un credito):
Expected Loss Rate, ELR (indicativo
EL% = PD × LGD = ELR
della frazione di credito che verrà
persa):
EL = EAD × ELR
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 3

4. Le componenti del rischio di
credito
Unexpected Loss, UL (misura il grado di variabilità del tasso di perdita
intorno al proprio valore atteso):
UL = EAD × ULR
Unexpected Loss Rate, ULR, dipende da:
- grado di dispersione dei tassi di perdita possibili intorno alla media
- probabilità che si verifichino tassi di perdita superiori a quello atteso
S.q.m.
ULR = ( EL − 0) 2 (1 − PD ) + ( EL − EAD ⋅ LGD ) 2 PD
EL = EAD ⋅ LGD ⋅ PD ULR = LGD PD(1 − PD)
EAD=1
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 4

5. La diversificazione di
portafoglio
n n
EL P = PD i × LGD i × EAD i = EL i
i =1 i =1
n
PD i × LGD i × EAD i n EAD
EL w = i
ELR P = n
= i =1
n
= wi × PD i × LGD i i n
EAD i EAD i i =1 EAD i
i=1
i =1 i =1
come per la singola esposizione, diventa necessario misurare la perdita
inattesa di portafoglio ( UL ). P
a livello di portafoglio, però, subentra un ulteriore elemento di incertezza:
la default correlation
corr ( A, B) ∈ [− 1;1]
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 5

6. La diversificazione di
portafoglio
la perdita inattesa della singola esposizione UL i per i = A,B
UL i = UL2 + UL2 + 2 ⋅ UL A ⋅ UL B ⋅ corr ( A, B )
A B
mentre il tasso di perdita inatteso riferito all’intero portafoglio diventa:
UL P = w A ⋅ UL2 + wB ⋅ UL2 + 2 ⋅ w A ⋅ wB ⋅ UL A ⋅ UL B ⋅ corr ( A, B )
2
A
2
B
Per un portafoglio caratterizzato da n titoli:
n n
ULP = wi w jULiUL j ρ i , j
i =1 j =1
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 6

7. Misurare la default correlation
cov( A, B ) PD A, B − PD A PD B
Corr ( A, B ) = ρ = = =
σ Aσ B 1
[PD A (1 − PD A )] [PDB (1 − PDB )]
2
1
2
PD A, B − PD A PD B
( PD A − PD A )( PD B − PDB )
2 2
( )(
PD A, B = corr ( A, B) PD A − PDB PDB − PDB + PD A PDB
2 2
)
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 7

8. La valutazione della PD
approccio dicotomico o binomiale (cd. “default-mode paradigm”);
1 default
D~Ber
0 non default
approccio multistato o multinomiale ( “mark-to-market paradigm”)
Variabile continua time until default T F(T)
Survival function S(t) = 1- F(T) t=0 S(0)=1
Funzione d’azzardo h(x)
t
− h ( s ) ds
S (t ) = e 0
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 8

9. La LGD
perdite valore recuperato
LGD = = 1− = 1 − RR
esposizione esposizione
0<RR<1= Recovery Rate
( ER − AC )
EAD
LGD = 1 −
(1 + TIT ) t
ER = expected recovery ER, TIT e t
AC = administrative costs
EAD = exposure at default rischio di
TIT = tasso interno di trasferimento recupero
t = tempo stimato
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 9

10. L’EAD
natura: - monetaria (esposizioni per cassa) - non monetaria (crediti di firma)
a importo: - certo (es. mutuo) usuali tecniche di valutazione(valore nominale/ attuale)
Creditrisk: “default mode”
VN dell’esposizione,
corretto per una % di recupero (RR) conseguente al default
Creditmetrics: “multistato”
valore attuale,
scontando i flussi di cassa futuri dell’esposizione ad un tasso di sconto corretto per il rischio di
insolvenza. In caso di default, si corregge il valore nominale dell’esposizione in base al RR.
Portfolio Manager o KMV: “default mode”
Option Pricing Teory (OPT),
in un contesto risk-neutral, il valore dell’esposizione si determina
come somma del valore attuale della componente default-free e di quella rischiosa
a importo: - incerto (es. apertura di credito in c/c) stima del valore futuro
dell’esposizione
EAD = DP + UP*UGD
dove: DP = drawn portion = quota utilizzata
UP = undrawn portion = quota inutilizzata
UGD = usage given default = % della quota inutilizzata che si ritiene venga utilizzata in caso di default
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 10

11. L’approccio multinomiale o
mark-to-market
sistema di rating
- rating di controparte
- rating di emissione
Si assegna alle obbligazioni con un determinato rating
un rispettivo tasso d’insolvenza atteso
Rating esterno
Rating interno
Moody’s: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B e Caa
investment grade speculative grade
• monitorare permanentemente il rating in modo da rispecchiare l’eventuale upgrade o
downgrade del merito creditizio
• per i titoli obbligazionari con rating inferiori sono da attendersi modifiche più frequenti
che non per i titoli con rating superiori
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 11

12. La stima della PD in base ai
rating
{AAA, AA,….., C} [0,1]
PD real world < PD risk neutral
per una data categoria di rating, perché gli investitori non basano
i loro prezzi dei titoli solo sulla PD attuariale, ma incassano un
ritorno addizionale per compensare i rischi
PD real world agenzie di rating
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 12

13. La stima della PD in base ai
rating
Rating Scadenza (anni)
1 2 3 4 5 7 10 15
AAA 0,00 0,00 0,04 0,07 0,12 0,32 0,67 0,67
AA 0,01 0,04 0,10 0,18 0,29 0,62 0,96 1,39
A 0,04 0,12 0,21 0,36 0,57 1,01 1,86 2,59
BBB 0,24 0,55 0,89 1,55 2,23 3,60 5,20 6,85
BB 1,08 3,48 6,65 9,71 12,57 18,09 23,86 27,09
B 5,94 13,49 20,12 25,36 29,58 36,34 43,41 48,81
CCC 25,26 34,79 42,16 48,18 54,65 58,64 62,58 66,12
Tabella 13: Probabilità d’insolvenza, valori medi cumulati (%).
Fonte: Standard & Poor’s , gennaio 2001 (J. C. Hull, 2003, tabella 26.7).
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 13

14. Le matrici di transizione
Una variazione di rating è detta “migrazione” (ratings migration)
Formalizzazione attraverso la matrice di transizione o di migrazione (transition matrix) dei rating,
definibile come una matrice Q(t) il cui generico elemento p ij (t ) esprime, con riferimento ad un
orizzonte temporale t, la probabilità di una società o di una singola esposizione di migrare dallo
stato i allo stato j.
AAA AA … C D
AAA …
p1, k −1 p1, k
p11 p12
AA …
p 21 p 22 p 2,k −1 p 2,k
… … … … … …
C …
p k −1,1 p k −1, 2 p k −1, k −1 p k −1,k
D 0 … 0 1
0
Tabella 14: Una matrice di transizione K x K
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 14

15. Le matrici di transizione
Se definiamo RT il processo di rating, con t = 0,...,T , la probabilità
condizionata che, dato il rating iniziale di ordine i rispetto ai K possibili, dopo
t periodi questo sia uguale a j, sarà:
pij (t ) := P[Rt = j R0 = i ] con i,j = 1,…,K
R0 = rating iniziale Rt = rating finale
Rating a fine anno
Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR
Aaa 89,76 6,87 0,71 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 2,63
Aa 1,14 88,34 7,42 0,25 0,07 0,01 0,00 0,02 2,76
Ra
tin A 0,05 2,31 88,95 4,91 0,48 0,13 0,01 0,02 3,15
g
Baa 0,05 0,23 4,97 84,49 4,66 0,76 0,15 0,17 4,51
ini
zia Ba 0,01 0,05 0,46 5,06 79,03 6,54 0,51 1,18 7,17
le
B 0,01 0,03 0,12 0,40 6,08 77,58 2,83 6,19 6,77
Caa-C 0,00 0,00 0,00 0,53 1,60 3,85 62,63 23,49 7,88
Tabella 15: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 1 anno (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 15

16. La matrice di transizione
“multiperiodale”.
Le probabilità di transizione relative a due periodi sono fornite dal prodotto
matriciale Π ∗ Π . La matrice di transizione a due periodi viene dunque costruita
moltiplicando la matrice di transizione a un anno per sé stessa.
In generale, la matrice di transizione a t anni è data dalla “matrice potenza” Π .
t
Rating finale
Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR
Aaa 80,34 12,71 1,65 0,03 0,14 0,00 0,00 0,00 5,13
Aa 2,25 77,80 13,17 0,96 0,24 0,05 0,01 0,03 5,51
Ra
tin A 0,09 4,45 79,21 8,43 1,18 0,31 0,05 0,08 6,21
g
Baa 0,10 0,50 9,16 71,68 7,21 1,60 0,34 0,49 8,92
ini
zia Ba 0,03 0,06 0,89 8,80 62,49 9,91 0,87 2,93 14,03
le
B 0,01 0,05 0,20 0,90 9,69 61,38 3,45 11,11 13,20
Caa-C 0,00 0,00 0,03 1,31 2,44 5,91 43,76 32,05 14,50
Tabella 16: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 2 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 16

17. La dinamica della migrazione
Rating finale
Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR
Aaa 57,78 23,78 5,10 0,44 0,39 0,04 0,08 0,11 12,27
Aa 4,35 53,88 23,03 3,55 0,90 0,29 0,02 0,25 13,73
Rat A 0,24 8,10 58,10 14,14 2,93 0,82 0,15 0,43 15,09
ing
Baa 0,23 1,52 15,71 47,13 9,61 2,60 0,45 1,69 21,06
iniz
iale Ba 0,08 0,26 2,97 12,46 32,38 11,03 0,96 8,20 31,67
B 0,05 0,08 0,53 2,87 12,72 29,87 2,09 20,29 31,51
Caa-C 0,00 0,00 0,00 3,13 5,78 7,14 15,35 42,43 26,16
Tabella 17: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 5 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 17

18. La dinamica della migrazione
Le variazioni nel tempo per una società con rating A sono:
RATING A 1 anno 2 anni 5 anni
Probabilità di “stabilità” 88,95% 79,21% 58,10%
Probabilità di default 0,02% 0,08% 0,43%
Probabilità di downgrading (a Baa) 4,91% 8,43% 14,14%
Tabella 18:Variazioni di una società con rating A.
Fonte: Nostra elaborazione.
Per una società con un basso rating, ad es. B:
RATING B 1 anno 2 anni 5 anni
Probabilità di “stabilità” 77,58% 61,38% 29,87%
Probabilità di default 6,19% 11,11% 20,29%
Probabilità di downgrading (a Caa-C) 2,83% 3,45% 2,09%
Tabella 19:Variazioni di una società con rating B.
Fonte: Nostra elaborazione.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 18

19. Credit Derivatives
Strumenti OTC
Permettono di isolare e trasferire il rischio ( commodity)
relativo al reference entity
Protection buyer
Protection seller (credit wiews)
Finalità di trading / assicurativa
Rischio
Acquirente Venditore
(protection (protection
buyer) seller)
Protezione
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 19

20. Lo sviluppo dei credit
derivatives
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
1996 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2008
rilevaz. 1996/1998 180 350 740
rilevaz. 1999/2000 586 893 1581
rilevaz. 2001/2002 1189 1952 4799
rilevaz.2003/2004 3548 5021 8206
rilevaz. 2006 20207 33120
Figura 5. Fonte: Nostra elaborazione basata su Chaplin G. e sui dati aggiornati della British Bankers Association.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 20

21. Credit Event
In un credit derivatives:
Sottostante: rischio di credito relativo al reference entity
rischio di default
rischio di downgrading
Credit event = mancato adempimento dell’obbligazione di
pagamento del reference entity default payment
Reference
entity
Credit event
Pagamento
Protection Protection
buyer seller
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 21

22. Modalità di settlement dei
credit derivatives
1) Binary settlement (o binary payout):
Reference
entity
Credit event
commission i - premi
Protection Protection
buyer seller
rimborso
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 22

23. Modalità di settlement dei
credit derivatives
2) Cash settlement:
.
Reference
entity
Credit event
commission i - premi
Delta Value = Initial Value – Final Value
Protection Protection
buyer seller
Delta Value
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 23

24. Modalità di settlement dei
credit derivatives
3) Phisical settlement:
Reference
entity
Credit event
reference obligation
Protection Protection
buyer seller
valore predetermi nato nel contratto
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 24

25. Le tipologie di credit
derivatives
credit default option
credit default swap
credit spread option
credit spread swap
total rate of return swap
credit–linked note
basket product
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 25

26. Credit Default Option (CDO)
opzione esercitabile solo nel caso di credit event
Credit Default Put:
Il buyer:
acquista protezione dal rischio di default versando un premio;
in caso di credit event avrà la facoltà ( S<E ) di vendere un credito a una controparte;
obiettivo lucrare in seguito a verifica del credit event
Il seller:
in caso di credit event, è tenuto a:
bynary payout /cash settlement versare il default payment stabilito
phisical settlement acquistare il titolo del reference entity al valore stabilito
sarà obbligato ad acquistare
al valore stabilito
un titolo il cui valore corrente è inferiore.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 26

27. Credit Default Put
A = buyer; B = seller;
Payoffs:
Periodicamente (o a scadenza):
A paga a B:
Un premio P;
In caso di default:
B paga ad A:
bynary payout , un rimborso R ;
Delta Value DV = IV − FV = VN − RV =
cash settlement, il
= [RO(T0 ) − RO(Ti )]
+
essendo, al tempo i di verifica del default:
RO(Ti ) < RO(T0 )
phisical settlement, al verificarsi del default A paga a B:
Consegna fisica della RO (con valore RO (Ti ) )
(T
B paga ad A:
Valore stabilito all’inizio del contratto: RO(T0 ) .
[ ]
+
A guadagnerà: RO(T0 ) − RO (Ti )
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 27

28. Credit Default Call
Credit Default Call:
in caso di credit event il buyer avrà la facoltà di acquistare da una
controparte determinati titoli di emittenti primari (ad es. rating AAA)
ad un prezzo scontato.
obiettivo compensare la perdita relativa alla RO
con lo sconto relativo ai titoli privi di rischio
Lo sconto sarà pari a:
S = VN – VC
guadagno S − [ RO (T0 ) − RO (Ti ) ]+
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 28

29. Credit default swap (CDS)
CDO : credit event “automaticamente”
all’obbligazione di pagamento del seller
materiality clause: min di prezzo o di spread
Payoff (in caso di default in t):
VN − RR ⋅ VN [1 + I (t )] = VN [1 − RR + I (t )]
VN = valore nominale della RO
RR = recovery rate
I(t) = l’interesse della RO maturato al tempo t
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 29

30. Credit Spread Option
Contratto di opzione “differenziale” o “asimmetrico”
Sottostante: credit spread ( tra il rendimento di un’obbligazione
societaria e un titolo di stato di uguale scadenza)
obiettivo Speculare sui futuri credit spread (RO):
- downgrading RE
- upgrading RE
C.S. Put:
Buyer: posizione short downgrading spread widening
Seller: posizione long upgrading spread tightening
C.S. Call:
aspettative inverse
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 30

31. Credit Spread Option
Il seller, in caso di
Phisical settlement: spread widening,
premio dovrà acquistare il
C.S. Put titolo pagando lo
strike spread
Protection Protection
buyer seller
titolo
Strike Spread
(in caso di spread widening )
C.S. Call
premio
Il buyer, in caso
di spread
tightening, potrà
Protection Protection
esercitare la
buyer seller
facoltà di
acquisto del titolo titolo
allo strike
spread, < al
Strike Spread
valore di mercato
(in caso di spread tightening )
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 31

32. Credit Spread Option
premio
Cash settlement:
C.S.Put:
Protection Protection
buyer seller
titolo
Market Spread − Strike Spread
(in caso di spread widening )
I Payoffs di una CSO con scadenza t<T :
C.S. Put: D × max( S tT − K ,0)
C.S. Call: D × max( K − S tT ,0)
dove:
K = strike spread
S tT = market spread
D = duration (usata per tradur re lo spread in prezzo )
una C.S. put verrà esercitata solo se: S tT > K
una C.S. call solo se: S tT < K
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 32

33. Credit Spread Swap
Strumenti “differenziali”, come le CSO
spread widening RO
Strike Spread (K)
spread tightening RO
Es:
• A detiene un titolo obbligazionario con rendimento di 200 p. b. > a quello di un
titolo di stato risk-free..
• Per coprirsi da un eventuale spread widening credit spread swap
K = market spread - 200 p.b.
• Nel caso in cui la PD del RE aumenta (es. lo spread aumenta a 250 p. b.),
A riceve una somma da B
•Nel caso in cui la PD diminuisce (es. lo spread si riduce a 150 p. b.),
B a riceve una somma da A
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 33

34. Total rate of return swap
cash flow RO +
(eventuale) apprezzamento RO
Total Return Payer Total Return Receiver
(protection buyer) (protection seller)
Libor ± Spread + Settlement dates
(eventuale)deprezzamento RO
cash flows RO
rischio economico RO
Reference Obligation
(RO)
Payoffs Trors:
Il TRP paga al TRR, ad intervalli regolari:
• La cedola c relativa alla RO;
• L’eventuale apprezzamento RO: [RO(Ti +1 ) − RO(Ti )]+
• Il rimborso del capitale a scadenza della RO;
• Il Recovery Value della RO (in caso di default). In caso di default, tutti i
Il TRR paga: cash flows cessano e il
• Un regolare importo pari a: LIBOR ± spread TRP riceve la perdita
derivante dal
• L’eventuale deprezzamento della RO: [RO(Ti ) − RO(Ti +1 )]+ deprezzamento della
RO
• Il VN del titolo (in caso di default). (VN – RV)
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 34

35. Credit linked note
Obbligazione (note) + credit derivatives
No default rimborso coupon e capitale a scadenza
Default estinzione CLN investitori ricevono il RV = RO (Ti ) < RO (T0 )
SPV (rischio di default
poco significativo) coupon i + D n NO DEFAULT
o un intermediario
finanziario
con un elevato rating
Emittente Investitore
(banca A) (B)
[RO (T 0 ) − RO (T i ) ]+ DEFAULT
premio
Buyer Seller
default payement
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 35

36. Credit linked note
Payoffs:
A = emittente CLN; B = investitore;
B paga ad A:
D = capitale investito nel titolo obbligazionario
A paga a B: n
In caso di non default: couponi + Dn
i =1
dove:
couponi = cedola al tempo i-esimo
Dn = rimborso del capitale a scadenza
In caso di default: RV = RO (Ti )
dove:
RV = recovery value
E, dunque, in questo caso la perdita per B sarà: [RO(T0 ) − RO(Ti ) ]+
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 36

37. Basket product
premio
A B
buyer seller
default payement
RE1 RE2 RE3 RE4
• first-to-default effetto leva
• second- to default
• third-to-default
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 37

38. Il pricing dei credit derivatives
Modelli “strutturali” (Merton, 1974)
attività (asset) dell’impresa (approccio
endogeno)
Modelli “in forma ridotta”
valutazioni di mercato (RR e PD
esogene all’impresa)
Modelli “ibridi”
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 38

39. Il modello di Merton (1974)
HIP:
Il valore degli assets, V, segua un moto Browniano geometrico:
dV = µVdt + σ V Vdz
dove:
µ = tasso istantaneo di rendimento atteso di V,
σ V = volatilità istantanea
dz = processo di Wiener
VT
VT
t densità di VT
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 39

40. Il modello di Merton (1974)
2 fonti di finanziamento:
Et = capitale di rischio
B d (t , T ) = capitale di debito (ZCB), con maturity T>t e rimborso B
[0, T ] Vt = E t + B d (t , T )
Al tempo T:
ET = max(0, VT − B)
B d (T , T ) = min( B, VT )
Formula per il pricing di uno ZCB con scadenza T:
1
v d (0, T ) = e − rt N ( h1 ) + N (h2 )
dove: d
N(.) = funzione di distribuzione di una normale standardizzata
r = tasso di interesse risk-free
1 2 1 2
ln(d ) − σ V T ln( d ) + σVT
2 2 ln( d )
h1 = h2 = = h1 − 2
σV T σV T σV T
e − rT B
d=
V0
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 40

41. Il modello di Merton (1974)
PD = Pr[VT < B ]
= Pr [ln VT < ln B ]
1 2 1 2
ln VT − ln V0 + r − σ V T ln B − ln V0 + r − σ V T
2 2
= Pr <
σV T σV T
1 2
ln B − (ln V0 + r − σ V T
2
σV T 1
1 − z 2 dz
= e 2
−∞ 2π
= N ( − h 2 ) = 1 − N ( h2 ) densità di VT
PD
0 B
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 41

42. Il modello di Merton (1974)
RR = valore atteso degli assets condizionato al default:
VT
RR = E VT < B
B
1 2
ln B − ln V0 + r + σ V T
2
σV T 1
V0 1 1 − y2
= − rT e 2
dy
e B N (− h2 ) −∞ 2π
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 42

43. Il modello di Jarrow e Turnbull
(1995)
Spread tra attività rischiosa/risk free PD
v(0,1) = prezzo del titolo rischioso
v d (0,1) < v(0,1)
v d (0,1) = prezzo del titolo privo di rischio
r = tasso risk-free v(0,1) = (1 + r ) −1
s = spread v d (0,1) = (1 + r + s ) −1
Payoffs:
1 (1-PD)
v(0,1) 1 v d (0,1)
RR<1 (PD)
1 s
v d (0,1) = v(0,1)[(1 − PD ) + PD * RR] PD = *
1 − RR 1 + r + s
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 43

44. Il modello di Jarrow e Turnbull
(1995)
Uno ZCB rischioso con scadenza in t:
[ ]
v d (0, t ) = v(0, t ){Pr τ > t + RR ⋅ Pr τ ≤ t [ ]}
[
= e − rt e − λt + RR (1 − e )] − λt
Dove: r = tasso risk-free e v(0, t ) = e − rt è il prezzo dello ZCB non rischioso
Un portafoglio di ZCB a diverse scadenze, che paga alle scadenze t
cedole di importo c su un VN unitario:
[ ( )] [ ( )]
N
− λt N
v ( c, t ) = c
d
e − rti e −λti + RR 1 − e −λti + e − rt N e .λt N + RR ⋅ 1 − e
i =1
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 44

45. La valutazione di un Trors
Determinazione dello spread da addizionare/sottrarre al Libor:
sp VAN t =0 = 0
flussi di cassa attesi della swap leg (libor spread):
n
SLCF = ( f 0,i −1,i + sp ) ⋅ ∆swap leg ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − p idefault )
i
i =1
dove:
n = numero totale di scambio dei flussi di cassa delle due gambe;
f 0 ,i −1,i = tasso forward stimato all’epoca 0 per partenza al tempo (i-1) e scadenza all’epoca i;
∆swap leg = convenzione temporale della swap leg (30/360, Act/360, Act/Act);
i
i zci = tasso zero coupon spot con scadenza all’epoca i.
La credit leg = somma dei cash flows derivanti dalla RO (cedole) e cash flows
derivanti da apprezzamenti/deprezzamenti della RO
n
1° compon.: ROCF = couponi ⋅ ∆reference ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − pidefault )
i
i =1
dove:
couponi = flusso cedolare del titolo al tempo i;
∆reference = convenzione temporale di liquidazione degli interessi cedolari del titolo.
i
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 45

46. La valutazione di un Trors
2°compon.: liquidazione periodica a strike variabile:
n
~ ~
(Vi − Vi −1 ) ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − pidefault )
i =1
Equaz. del valore di un Trors:
swap leg = credit leg
swap leg = coupon component + price component
n
n n ~ ~
( f 0,i −1,i + sp ) ⋅ ∆swap leg ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ pino default = couponi ⋅ ∆reference ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ p ino default + (Vi − Vi −1 ) ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ pino default
i i
i =1 i =1
i =1
Lo spread di equilibrio del Trors:
n n n
~ ~
couponi ⋅ ∆ reference
i ⋅ df i ⋅ p no default
i + (Vi − Vi −1 ) ⋅ df i ⋅ p ino default − f 0,1−1,i ⋅ ∆swap leg ⋅ df i ⋅ p ino default
i
i =1 i =1 i =1
sp = n
∆swap leg ⋅ df i ⋅ p ino default
i
i =1
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 46

47. La valutazione di un CDS
pagamento “automatico” in caso di default
• Se definiamo:
X = pagamento effettuato in caso di default da B ad A X = (1 − RR )C
C = rimborso del capitale della RO
RR = recovery rate
Un CDS = “garanzia” sulla solvibilità del reference entity
G = EL − EL g
G = valore corrente di una garanzia
EL= valore corrente della perdita attesa sul titolo privo di garanzia
EL g = valore corrente dell’EL sul titolo garantito
N
EL = (1 − RR )C Dt coupont Qt + D N Q N
t =1
dove:
N = numero dei periodi alla scadenza;
t = le date di pagamento;
coupon t = cedola pagata dalla RO alla data t;
Qt = probabilità cumulata di default del reference entity al tempo t;
D t = valore corrente di uno zero coupon bond con scadenza t;
D N = valore a scadenza dello zero coupon bond;
Q N = probabilità cumulata di default del reference entity alla scadenza.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 47

48. La valutazione di un CDS
N
ELg = (1 − RR)C Dt coupont Q gt + D N Q gN
t =1
Q gt = probabilità congiunta che il reference entity e il seller siano contemporaneamente
insolventi al tempo t.
Il valore di un CDS:
N
G = (1 − RR)C Dt coupont (Qt − Q gt ) + D N (Q N − Q gN )
t =1
NB: Nella pratica, però, per il calcolo del valore di un CDS, PD e RR vengono forniti
dal mercato degli asset swap (titolo obbligazionario + IRS).
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 48

49. La valutazione di una CLN
No default cedola + rimborso a scadenza
Default perdita RO
Scadenza T = tn Date di pagamento [ t = t1 , t 2 ,..., t n ]
[(1 − p ]
n
PV T
no default
= default
i ) ⋅ ∆CLN ⋅ couponi ⋅ (1 + izci ) −i + Dn (1 − pn
i
default
) ⋅ (1 + izcn ) − n
i =1
n
PV T
default
= RV ⋅ ( pidefault − pidefault ) ⋅ (1 + i zci ) −i
−1
i =1
valore attuale CLN :
CLN T = PVTno default + PVTdefault
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 49

50. La valutazione dei basket
products
First-to-default P(X)
2 reference entities (X e Y) P(X,Y)=
P(Y) prob. congiunta di default
La probabilità di default di X o Y:
Probabilità di
default di Y
P( X Y ) = P ( X ) + P (Y ) − P ( X , Y ) condizionata al
default di X
corr ( X , Y ) > 0 P( X , Y ) = P( X ) ⋅ P(Y X )
P( X Y ) = P( X ) + P(Y ) − P( X ) ⋅ P(Y X )
P < P1 + P2 corr ( X , Y ) = 1 P = P1 = P2
corr ( X , Y ) = 0 P ( X , Y ) = P ( X ) ⋅ P (Y )
P( X Y ) = P ( X ) + P (Y ) − P ( X ) ⋅ P (Y )
P dipende dalla grandezza di P1 e P2
corr ( X , Y ) < 0 P ( X , Y ) < P ( X ) ⋅ P (Y ) P = P1 + P2
Carmela D'
Emilio
17/07/2007 50

51. La valutazione dei basket
products
La diversificazione riduce il rischio
Non per un first-to-default
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 51

52. La valutazione dei basket
products
Funzione di
densità di
corr = 0 ciascuna
variabile Tud
n = RE f (t ) = h ⋅ e − ht con t > 0; h > 0.
h = cost n
f (t ) = H ⋅ e − H ⋅t
con H = H i =n ⋅ h
i =1
Funzione di
densità
congiunta
T
Default payment = 1 P= e − rt ⋅ H ⋅ e − H ⋅t dt =
0
H
= (1 − e −T ( r + H )
r+H
Cash settlement T
P = L(1 − RR) ⋅ e − rt ⋅ H ⋅ e − H ⋅t dt =
0
H
= L(1 − RR ) ⋅ (1 − e −T ( r + H ) )
r+H
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 52

53. Un’analisi di sensitività per i “first-
to-default basket products”
output / input
analisi per scenari futuri / what if
Comportamento del first-to-default:
al variare dei valori
in relazione a 2 variabili
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 53

54. Ipotesi
Reference Entity
(AA) Esposizione
A € 4.000,00
B € 4.000,00
C € 4.000,00
D € 4.000,00
E € 4.000,00
Valore complessivo € 20.000,00
Tasso
d'interesse
T risk-free
1 2,24%
2 2,26%
3 2,54%
4 2,80%
5 3,01%
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 54

55. H
P = L(1 − RR ) (1 − e −T ( r + H ) )
r+H
L € 4.000,00
RR 55%
n 5
h 0,1
H=n*h 0,5
T 2
r 2,26%
P € 1.116,61
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 55

56. La sensitività rispetto agli hazard rates
Incrementi Incrementi
h H P di h di P
0,01 0,05 € 167,54 100,00% 90,56%
0,02 0,1 € 319,26 100,00% 82,01%
0,04 0,2 € 581,08 25,00% 19,39%
0,05 0,25 € 693,78 20,00% 14,71%
0,06 0,3 € 795,84 33,33% 22,14%
0,08 0,4 € 972,03 25,00% 14,87%
0,1 0,5 € 1.116,61 20,00% 10,63%
0,12 0,6 € 1.235,28 8,33% 4,14%
0,13 0,65 € 1.286,40 15,38% 6,86%
0,15 0,75 € 1.374,69
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 56

57. sensitività del valore di un first-to-default rispetto
ai tassi d'azzardo
€ 1.600,00
€ 1.400,00
€ 1.200,00
€ 1.000,00
P € 800,00 P
€ 600,00
€ 400,00
€ 200,00
€-
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
h
Si può notare come il valore di P aumenta meno che proporzionalmente rispetto
all’aumentare del tasso d’azzardo.
L’incremento è dovuto al fatto che l’hazard rate è espressivo della probabilità istantanea di
default, ed è chiaro che di fronte ad una maggiore possibilità reale di default, il premio che
dovrà pagare il buyer per proteggersi sarà maggiore.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 57

58. La sensitività rispetto al valore
nominale per diversi tassi d’azzardo
Diretta proporzionalità tra P e L (un aumento del VN della RO
comporta un aumento del delta value L*(1 - RR) pagato dal seller
in caso di default, e, a sua volta, un aumento di P, ovvero il delta
value attualizzato)
Aumento meno che proporzionale di P rispetto ad h
h =0,1, h = 0,05, h = 0,15
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 58

59. P P P
L per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15
€ 100,00 € 17,34 € 27,92 € 34,37
€ 200,00 € 34,69 € 55,83 € 68,73
€ 500,00 € 86,72 € 139,58 € 171,84
€ 1.000,00 € 173,44 € 279,15 € 343,67
€ 2.000,00 € 346,89 € 558,31 € 687,35
€ 3.000,00 € 520,33 € 837,46 € 1.031,02
€ 4.000,00 € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69
€ 5.000,00 € 867,22 € 1.395,76 € 1.718,36
€ 7.000,00 € 1.214,11 € 1.954,07 € 2.405,71
€ 10.000,00 € 1.734,44 € 2.791,53 € 3.436,73
€ 15.000,00 € 2.601,66 € 4.187,29 € 5.155,09
€ 25.000,00 € 4.336,10 € 6.978,82 € 8.591,82
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 59

60. Incrementi di P,
Incrementi di L uguali per tutti gli h
100,00% 100,00%
150,00% 150,00%
100,00% 100,00%
100,00% 100,00%
50,00% 50,00%
33,33% 33,33%
25,00% 25,00%
40,00% 40,00%
42,86% 42,86%
50,00% 50,00%
66,67% 66,67%
Incremento totale di L 249
Incremento totale di P per h = 0,05 249
Incremento totale di P per h = 0,1 249
Incremento totale di P per h = 0,15 249
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 60

61. sensitività del valore di un first-to-default al variare del
nominale per diversi tassi d'
azzardo
€ 30.000,00
€ 25.000,00
€ 20.000,00
L
P per h=0,05
€ 15.000,00
P per h=0,1
P per h=0,15
€ 10.000,00
€ 5.000,00
€-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulla diretta proporzionalità di P
rispetto ad L; l’effetto dell’aumento di h, però, è sempre quello di contribuire ad
un’ulteriore incremento di P.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 61

62. La sensitività rispetto al tasso d’interesse
r P
1,20% € 1.126,48
1,50% € 1.123,68
1,63% € 1.122,46
1,70% € 1.121,81
1,82% € 1.120,69
1,90% € 1.119,95
2% € 1.119,02
2,17% € 1.117,44
2,26% € 1.116,61
2,32% € 1.116,06
2,55% € 1.113,93
2,63% € 1.113,19
2,75% € 1.112,09
2,90% € 1.110,71
3,20% € 1.107,96
4% € 1.100,67
5% € 1.091,67
6% € 1.082,76
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 62

63. sensitività del valore di un first-to default al variare del
tasso d' interesse
€ 1.130,00
€ 1.120,00
€ 1.110,00
P P
€ 1.100,00
€ 1.090,00
€ 1.080,00
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00%
r
In corrispondenza di maggiori tassi d’interesse risk-free, il valore del first-to-default si
riduce.
Il decremento è dovuto al fatto che P non è altro che il valore del payoff a scadenza
attualizzato. E’ chiaro che se aumenta il tasso di attualizzazione il valore di P è minore.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 63

64. La sensitività rispetto al tasso d’interesse
per diversi valori dell’hazard rate
P P P
r per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15
1,20% € 700,51 € 1.126,48 € 1.385,72
1,50% € 698,60 € 1.123,68 € 1.382,58
1,63% € 697,77 € 1.122,46 € 1.381,23
1,70% € 697,32 € 1.121,81 € 1.380,50
1,82% € 696,56 € 1.120,69 € 1.379,25
1,90% € 696,05 € 1.119,95 € 1.378,42
2% € 695,42 € 1.119,02 € 1.377,38
2,17% € 694,34 € 1.117,44 € 1.375,62
2,26% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69
2,32% € 693,40 € 1.116,06 € 1.374,07
2,55% € 691,95 € 1.113,93 € 1.371,70
2,63% € 691,45 € 1.113,19 € 1.370,87
2,75% € 690,69 € 1.112,09 € 1.369,64
2,90% € 689,75 € 1.110,71 € 1.368,10
3,20% € 687,88 € 1.107,96 € 1.365,02
4% € 682,92 € 1.100,67 € 1.356,88
5% € 676,78 € 1.091,67 € 1.346,80
6% € 670,73 € 1.082,76 € 1.336,84
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 64

65. Riduzione Riduzione Riduzione
Incremento di P di P di P
di r per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15
25,00% -0,27% -0,25% -0,23%
8,67% -0,12% -0,11% -0,10%
4,29% -0,06% -0,06% -0,05%
7,06% -0,11% -0,10% -0,09%
4,40% -0,07% -0,07% -0,06%
5,26% -0,09% -0,08% -0,08%
8,50% -0,15% -0,14% -0,13%
4,15% -0,08% -0,07% -0,07%
2,65% -0,05% -0,05% -0,05%
9,91% -0,21% -0,19% -0,17%
3,14% -0,07% -0,07% -0,06%
4,56% -0,11% -0,10% -0,09%
5,45% -0,14% -0,12% -0,11%
10,34% -0,27% -0,25% -0,22%
25,00% -0,72% -0,66% -0,60%
25,00% -0,90% -0,82% -0,74%
20,00% -0,89% -0,82% -0,74%
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 65

66. sensitività del valore di un first-to-default al variare
del tasso d'
interesse, per diversi valori dell'
hazard rate
€ 1.600,00
€ 1.400,00
€ 1.200,00
€ 1.000,00
P per h=0,05
P € 800,00 P per h=0,1
P per h=0,15
€ 600,00
€ 400,00
€ 200,00
€-
0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00%
r
La riduzione di P all’aumentare di r è via via minore quanto maggiore è il tasso
d’azzardo; dunque, il tasso d’azzardo influisce in via compensativa sulle variazioni
di P rispetto ad r, in quanto valori maggiori di h riducono l’ampiezza dei decrementi
di P dovuti all’aumento di r
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 66

67. La sensitività rispetto al recovery rate
per diversi tassi d’azzardo
Inversa proporzionalità di P rispetto a RR
P P P
RR per h=0,05 per h=1 per h=0,15
5% € 1.464,64 € 2.357,29 € 2.902,13
15% € 1.310,47 € 2.109,15 € 2.596,64
25% € 1.156,29 € 1.861,02 € 2.291,15
35% € 1.002,12 € 1.612,88 € 1.985,67
45% € 847,95 € 1.364,75 € 1.680,18
55% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69
65% € 539,60 € 868,47 € 1.069,20
75% € 385,43 € 620,34 € 763,72
85% € 231,26 € 372,20 € 458,23
95% € 77,09 € 124,07 € 152,74
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 67

68. Riduz. Di P,
Incr. di RR uguali per tutti gli h
200,00% -10,53%
66,67% -11,76%
40,00% -13,33%
28,57% -15,38%
22,22% -18,18%
18,18% -22,22%
15,38% -28,57%
13,33% -40,00%
11,76% -66,67%
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 68

69. sensitività del valore di un first-to-default al variare del
recovery rate, per diversi valori dell'
hazard rate
€ 3.500,00
€ 3.000,00
€ 2.500,00
P per h=0,05
€ 2.000,00
P P per h=1
€ 1.500,00
P per h=0,15
€ 1.000,00
€ 500,00
€-
0% 20% 40% 60% 80% 100%
RR
D'
(RR) per h=0,05 -1.541,72
H
D ' ( RR ) = − L (1 − e −T ( r + H ) ) D'
(RR) per h=0,1 -2.481,36
r+H
D'
(RR) per h=0,15 -3.054,87
L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulle riduzioni di P rispetto a RR;
l’aumento di h ha comunque l’effetto di incrementare il valore di P.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 69

70. La sensitività rispetto al numero dei reference entities
n H P
1 0,1 € 319,26
2 0,2 € 581,08
3 0,3 € 795,84
4 0,4 € 972,03
5 0,5 € 1.116,61
6 0,6 € 1.235,28
7 0,7 € 1.332,71
8 0,8 € 1.412,74
9 0,9 € 1.478,48
10 1 € 1.532,53
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 70

71. sensitività del valore di un first-to-default al variare del
numero dei reference entities
€ 1.800,00
€ 1.600,00
€ 1.400,00
€ 1.200,00
€ 1.000,00
P P
€ 800,00
€ 600,00
€ 400,00
€ 200,00
€-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Il valore del premio aumenta meno che proporzionalmente all’aumentare del
numero dei reference entities. L’incremento è dovuto al fatto che all’aumentare di n
aumenta la probabilità che una qualsiasi delle società possa subire un default.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 71

72. La sensitività rispetto al numero dei reference entities
per diversi tassi d’interesse
P P P P
n H per r=2,26% per r= 3,20% per r=7% per r=15%
1 0,1 € 319,26 € 316,40 € 305,18 € 283,30
2 0,2 € 581,08 € 576,06 € 556,34 € 517,80
3 0,3 € 795,84 € 789,20 € 763,13 € 712,12
4 0,4 € 972,03 € 964,21 € 933,51 € 873,33
5 0,5 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26
6 0,6 € 1.235,28 € 1.226,07 € 1.189,86 € 1.118,69
7 0,7 € 1.332,71 € 1.323,16 € 1.285,56 € 1.211,55
8 0,8 € 1.412,74 € 1.403,00 € 1.364,66 € 1.289,07
9 0,9 € 1.478,48 € 1.468,69 € 1.430,10 € 1.353,92
10 1 € 1.532,53 € 1.522,77 € 1.484,32 € 1.408,29
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 72

73. Incremento Incremento Incremento Incremento
Incremento di P di P di P di P
di n per r = 2,26% Per r = 3,20% per r = 7% per r = 15%
100,00% 82,01% 82,07% 82,29% 82,78%
50,00% 36,96% 37,00% 37,17% 37,53%
33,33% 22,14% 22,18% 22,33% 22,64%
25,00% 14,87% 14,91% 15,05% 15,34%
20,00% 10,63% 10,66% 10,79% 11,06%
16,67% 7,89% 7,92% 8,04% 8,30%
14,29% 6,00% 6,03% 6,15% 6,40%
12,50% 4,65% 4,68% 4,80% 5,03%
11,11% 3,66% 3,68% 3,79% 4,02%
Variaz. tot. Incr. n -88,89%
Variaz. tot. Incr. P per r = 2,26% -95,54%
Variaz. tot. Incr. P per r = 3,20% -95,51%
Variaz. tot. Incr. P per r = 7% -95,39%
Variaz. tot. Incr. P per r = 15% -95,15%
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 73

74. sensitività del valore di un first-to-default all'aumentare dei
reference entities, per diversi tassi d' interesse
€ 1.800,00
€ 1.600,00
€ 1.400,00
€ 1.200,00
P per r=2,26%
€ 1.000,00
P per r= 3,20%
P
P per r=7%
€ 800,00
P per r=15%
€ 600,00
€ 400,00
€ 200,00
€-
0 2 4 6 8 10 12
n
Nonostante P diminuisca all’aumentare di r, in questo caso all’aumentare di r il valore
del first-to-default subisce incrementi via via maggiori. E, però, la variazione totale
degli incrementi si riduce per valori crescenti di r.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 74

75. La sensitività rispetto alla scadenza
T P
1 € 700,96 sensitività del valore di un first-to-default alla
2 € 1.116,61 scadenza
3 € 1.363,08
4 € 1.509,23 € 2.000,00
€ 1.800,00
5 € 1.595,90
€ 1.600,00
6 € 1.647,29
€ 1.400,00
7 € 1.677,76 € 1.200,00
8 € 1.695,83 € 1.000,00 P
P
9 € 1.706,55 € 800,00
10 € 1.712,90 € 600,00
€ 400,00
20 € 1.722,11
€ 200,00
30 € 1.722,16
€-
50 € 1.722,16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50
T
Il valore del first-to-default aumenta con l’aumentare di T, ma gli incrementi, inizialmente notevoli, sono via
via decrescenti, fino a che il valore diventa costante. Questo comportamento può essere spiegato
considerando che se nessuna società, all’interno del basket, è soggetta a default entro un tempo più o meno
ampio, è difficile che possa esserlo successivamente.
Il valore del first-to-default sarà massimo in corrispondenza di un hazard rate massimo, e costante in
corrispondenza di un hazard rate costante
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 75

76. La sensitività rispetto alla scadenza
per diversi tassi d’interesse
P P P P
T per r=2,26% per r=3,20% per r=7% per r=15%
1 € 700,96 € 697,96 € 686,01 € 661,78
2 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26
3 € 1.363,08 € 1.348,81 € 1.293,37 € 1.187,62
4 € 1.509,23 € 1.490,29 € 1.417,45 € 1.281,78
5 € 1.595,90 € 1.573,40 € 1.487,61 € 1.330,93
6 € 1.647,29 € 1.622,22 € 1.527,30 € 1.356,59
7 € 1.677,76 € 1.650,90 € 1.549,74 € 1.369,98
8 € 1.695,83 € 1.667,74 € 1.562,43 € 1.376,98
9 € 1.706,55 € 1.677,64 € 1.569,61 € 1.380,63
10 € 1.712,90 € 1.683,45 € 1.573,66 € 1.382,53
20 € 1.722,11 € 1.691,69 € 1.578,93 € 1.384,61
30 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62
50 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 76

77. Incremento Incremento Incremento Incremento
Incremento di P di P di P di P
di T per r=2,26% per r=3,20% per r=7% per r=15%
100,00% 59,30% 58,74% 56,55% 52,20%
50,00% 22,07% 21,74% 20,43% 17,91%
33,33% 10,72% 10,49% 9,59% 7,93%
25,00% 5,74% 5,58% 4,95% 3,83%
20,00% 3,22% 3,10% 2,67% 1,93%
16,67% 1,85% 1,77% 1,47% 0,99%
14,29% 1,08% 1,02% 0,82% 0,51%
12,50% 0,63% 0,59% 0,46% 0,27%
11,11% 0,37% 0,35% 0,26% 0,14%
100,00% 0,54% 0,49% 0,33% 0,15%
50,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
66,67% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 77

78. sensitività del valore di un first-to-default alla scadenza
per diversi tassi d'
interesse
€ 2.000,00
€ 1.800,00
€ 1.600,00
€ 1.400,00
P per r=2,26%
€ 1.200,00
P per r=3,20%
€ 1.000,00
P per r=7%
€ 800,00 P per r=15%
€ 600,00
€ 400,00
€ 200,00
€-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
All’aumentare di r il valore del first-to-default subisce incrementi via via minori
rispetto a T, fino a divenire costante rispetto alla scadenza.
17/07/2007 Carmela D'
Emilio 78