1. Lógica Formal
Roberto Moriyón

2. Introducción
• El objetivo de la Lógica Formal o Lógica
Matemática es proporcionar un sistema formal
único en el que la producción de palabras a
partir de axiomas dé lugar a deducciones
válidas en contextos arbitrarios.
• Hay varios sistemas lógicos formales que son
capaces de formalizar cualquier razonamiento
válido.
• Un sistema lógico formal se puede ver como un
sistema formal deductivo universal, en el mismo
sentido que las máquinas de Turing universales.

3. Esbozo histórico
• En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los
distintos tipos de razonamiento.
• En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la
importancia de estudiar las ideas asociadas a
cada afirmación lógica (su interpretación).
• También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz
destacaron los aspectos algebraicos de la
manipulación formal de las fórmulas lógicas.

4. Esbozo histórico, II
• En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de
variables y cuantificadores para representar
fórmulas lógicas; Peano dio la primera
axiomatización de la aritmética, y Peirce
introdujo la lógica de segundo orden.
• A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un
programa para demostrar la consistencia de las
Matemáticas en base a una axiomatización de
ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto
era imposible.

5. Esbozo histórico, III
• A lo largo del siglo XX se han desarrollado
particularmente lógicas especiales
(modal, temporal, etc) y lógicas
relacionadas con la teoría de la
computación (Cálculo λ con tipos,
lenguajes de programación lógicos, etc)

6. Lógica proposicional
• Sistema formal deductivo que genera fórmulas
proposicionales basadas en afirmaciones
atómicas que pueden ser verdaderas o falsas.
• Alfabeto:
– Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, …
– Operaciones lógicas: ^, v, ⇒, ~
– Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores
especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la
gramática]
• Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P,
~Q ⇒ (Q ⇒ P)

7. Operadores lógicos
X Y X^Y XvY X⇒Y
T T T T T
T F F T F
F T F T T
F F F F T

8. Operadores lógicos:
Significado de X⇒Y
• En principio, el significado de X⇒Y es “si
X es cierto, entonces Y también es cierto”.
• Por lo tanto su tabla de verdad será como
sigue:
X Y X⇒Y
T T T
T F T
F T ?
F F ?

9. Operadores lógicos:
Significado de X⇒Y, II
• Ejemplos con cuantificador universal:
– Para todos los números x, si x es impar,
entonces x+1 es par
∀x,(impar(x) ⇒ par(x+1))
– Para todos los números x, si x es impar,
entonces x+x es par
∀x,(impar(x) ⇒ par(x+x))
– Para todos los números x, si x es impar,
entonces x+1 es impar
∀x,(impar(x) ⇒ impar(x+x))

10. Operadores lógicos:
Significado de X⇒Y, III
X i(x) p(x+1) p(x+x) i(x+x) i(x)⇒p(x+1) i(x)⇒p(x+x) i(x)⇒i(x+x)
0 F F T F ? ? ?
1 T T T F T T F
2 F F T F ? ? ?
3 T T T F T T F
4 F F T F ? ? ?
5 T T T F T T F

11. Operadores lógicos:
Significado de X⇒Y, IV
• Para que los ejemplos anteriores tengan
contestaciones razonables hay que
interpretar que la implicación X⇒Y es
cierta si “Si X es cierto, entonces Y
también. Si X no es cierto, da lo mismo
que se verifique Y o no”.
• (X ^ Y) v ~X
• Esta definición es consistente en general
con la definición de implicaciones en la
Lógica de Predicados.

12. Lógica proposicional:
Interpretaciones
• Una interpretación I de una fórmula F es una
asignación de un valor lógico PI (True o False) a
cada átomo P de F. La interpretación asigna un
valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de
los distintos operadores.
• Una fórmula es cierta en una interpretación si
le corresponde el valor True mediante ella.
• La tabla asociada a una fórmula tiene una
interpretación en cada fila.

13. Interpretaciones
en el mundo real
• Normalmente las fórmulas lógicas se
interpretan a un primer nivel haciendo
corresponder a cada símbolo proposicio-
nal una afirmación (por ejemplo, llueve o
los eliomartos rusitan). La interpretación
se completa mediante una imagen del
universo en la que cada una de las
afirmaciones asociadas a los símbolos
proposicionales es cierta o falsa.

14. Lógica proposicional:
Interpretaciones, II
P Q ~Q Q⇒P ~Q⇒(Q⇒P)
T T F T T
T F T T T
F T F F T
F F T T T
~Q⇒(Q⇒P)

15. Lógica proposicional:
Interpretaciones, III
• Dada una asignación de valores
booleanos a átomos, la función que a
cada fórmula le hace corresponder su
interpretación se puede definir de forma
recursiva utilizando las reglas
– IntI[F^G] ≡ IntI[F]^IntI[G]
– IntI[FvG] ≡ IntI[F]vIntI[G]
– IntI[F⇒G] ≡ IntI[F]⇒IntI[G]
– IntI[~F] ≡ ~IntI[F]
(morfismo entre fórmulas y valores

16. Lógica proposicional:
Interpretaciones, IV
• Ejemplo:
Si PI ≡True y QI≡False,
IntI[P^~Q⇒Q] ≡ IntI[P^~Q]⇒QI ≡
≡ (PI^~QI)⇒QI ≡ True

17. Fórmulas satisfactibles y
tautologías
• Una fórmula es satisfactible si es cierta en
alguna interpretación.
– Ejemplos: Q⇒P, Q ⇒ (Q ⇒ P)
• Una fórmula es una tautología si es cierta en
todas las interpretaciones.
– Ejemplos: Qv~Q, ~Q ⇒ (Q ⇒ P)
• Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacer
con las expresiones aritméticas, pondremos
paréntesis cuando ello aclare o desambigüe la
lectura de las fórmulas.

18. Fórmulas satisfactibles y
tautologías en el mundo real
• Cualquier fórmula lógica satisfactible, en
cualquier universo de interpretación
asociado, tiene una interpretación en la
que es cierta. Pero puede que no sea la
interpretación natural en ese universo.
• Cualquier tautología lógica, en cualquier
universo de interpretación asociado, es
cierta en todas sus interpretaciones.

19. Interpretaciones:
Representación intuitiva
• Es la función característica de un
semianillo que contiene a todas las
tautologías y contiene uno de los radios
que lo limitan.
• No contiene a ninguna fórmula
insatisfactible.
M

20. Tautologías e insatisfactibilidad
• Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-
tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-
tación.
– Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q ⇒ (Q ⇒ P))
• En general, la negación de una tautología es una
fórmula insatisfactible y viceversa.
Tautologías
Insatisfactibes
Satisfactibles

21. Consecuencias de
familias de fórmulas
• Diremos que una fórmula F es
consecuencia de un conjunto de fórmulas
A (axiomas), y lo escribiremos A→F, si
toda interpretación que hace ciertas todas
las fórmulas de A también hace cierta F.
• Ejemplo 1: si F es una tautología,
entonces es consecuencia de cualquier
conjunto de axiomas
• Ejemplo 2: La proposición ~F⇒G es
consecuencia del axioma F.

22. Consecuencias de familias de
fórmulas, II
• Los problemas típicos de razonamiento
consisten en hallar las consecuencias de
unos axiomas dados, o en demostrar que
una fórmula concreta lo es.

23. Consecuencias:
Representación intuitiva
• Es la intersección de todos los semianillos que
contienen a A asociados a interpretaciones.
→
A

24. Consecuencias:
Representación intuitiva, II
• Otro ejemplo:
→

25. Consecuencias:
Representación intuitiva, III
• Un ejemplo más: Las consecuencias
incluyen alguna fórmula insatisfactible
→

26. Consecuencias:
Representación intuitiva, IV
• Si hay alguna fórmula insatisfactible entre
las consecuencias de un conjunto de
axiomas, entonces todas las fórmulas son
consecuencia de ellos.
• Demostración: Todas las fórmulas son
consecuencia de cualquier fórmula
insatisfactible, pues no hay ninguna
interpretación en la cual ésta sea cierta.

27. Consecuencias: Caso particular
• Las fórmulas que son ciertas en una
interpretación concreta forman un
conjunto de axiomas cuyas
consecuencias son ellas mismas.
• Estos conjuntos de fórmulas son
conjuntos satisfactibles maximales.

28. Criterio para reconocer
consecuencias
• Para ver si una fórmula F es consecuencia de un
conjunto finito A de axiomas se pueden emplear
tres procedimientos:
– Formar una tabla con los valores lógicos de los
axiomas y de F y examinar sus filas.
– Demostrar que A1^A2^…^AN⇒F es una tautología.
– Demostrar que toda interpretación que hace ciertos los
axiomas también hace cierta F.
Los emplearemos para ver que ((~PvQ)⇒R) es
consecuencia de {P, Q⇒R}.

29. P Q R Q⇒
R
(~PVQ)⇒R
T T T T T
T T F F F
T F T T T
T F F T T
F T T T T
F T F F F
F F T T T
F F F T F
Consecuencias de
familias de fórmulas, III

30. Consecuencias de
familias de fórmulas, IV
• {F1, F2} → F ≡ (F1 ^ F2) ⇒ F tautología
(P ^ (Q⇒R)) ⇒ ((~PvQ)⇒R) ≡
~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R) ≡
~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R)) ≡
(~P v (Q^~R) v P v R) ^
(~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología,
luego {P, Q⇒R} → ((~PvQ)⇒R)

31. Consecuencias de
familias de fórmulas, V
• Suponemos que en la interpretación I, PI y
QI⇒RI son ciertas
• Es cierto que entonces (~PIvQI)⇒RI?
– Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces,
((~PIvQI)⇒RI)=True, pues ~PIvQI=False.
– Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True.
Entonces, ((~PIvQI)⇒RI)=True, ya que
RI=True.

32. Consecuencias de
familias de fórmulas, VI
El conjunto de axiomas aceptados puede ser
infinito. Entonces los dos primeros procedimien-
tos no sirven.
Ejemplos:
• A=(P⇒)*Q es un conjunto infinito recursivo de
fórmulas. A→Q^(P⇒Q).
• El patrón P⇒P define otro conjunto infinito
recursivo A’ de fórmulas. Todas ellas son
tautologías. A’→F si F es cualquier tautología.

33. Consecuencias de
familias de fórmulas, VII
• Una fórmula F es una tautología si y sólo
si ∅→F.
• Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si
∅→~F.

34. Consecuencias de familias de
fórmulas: Ejercicio obligatorio
[CONSPROC] Demostrar por cada uno de
los procedimientos dados lo siguiente:
• F ≡ (Yv~X) ⇒ Y es consecuencia de
A={~Y, X}
• G ≡ (~Y^X) ⇒ Y no es consecuencia
de A={~Y, X}

35. Ejercicios opcionales
• [PROGVER] Escribir un programa que
comprueba la veracidad de fórmulas con
respecto a una interpretación.
• [PROGSAT] Escribir un programa que
determina si una fórmula es satisfactible y
si es una tautología.
• [PROGCONS] Escribir un programa que
determina si una fórmula proposicional es
consecuencia de otras.

36. Ejercicio obligatorio
• [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al
3 dos están vacías y la otra no. Además,
una de las afirmaciones “La primera caja
está vacía”, “La segunda caja está vacía”
y “La segunda caja está llena” es cierta y
las otras dos no. Demostrar cuál de las
tres cajas está llena y demostrar que las
otras dos cajas no lo están.

37. Ejercicios opcionales
• [AB] Demostrar que no se pueden colorear
tres objetos A, B y C en blanco y negro de
manera que A y B no tengan el mismo color,
B y C tampoco y A y C tampoco
• [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-
to es correcto: Si la temperatura y la presión
no cambian, no llueve. La temperatura no
cambia. Como consecuencia de lo anterior,
si llueve entonces la presión cambia.

38. Ejercicio opcional
• [FOTO] Deducir que la foto es de Juan como
consecuencia de los siguientes axiomas:
– La foto es redonda o cuadrada
– La foto es en color o en blanco y negro
– Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro
– Si la foto es redonda, entonces es digital y en color
– Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es
un retrato
– Si la foto es un retrato entonces es de Juan

39. Ejercicios opcionales
• [UNIC] Suponemos los siguientes
axiomas acerca del unicornio :
– Si es mítico, entonces es inmortal
– Si no es mítico, es un mamífero mortal
– Si es inmortal o mamífero, entonces tiene
cuernos
– Si tiene cuernos es mágico
• Como consecuencia de todo ellos es
mítico? Es mágico? Tiene cuernos?

40. Ejercicios opcionales
• [GR1] Decir quiénes dicen la verdad y
quiénes dicen la mentira sabiendo que:
– Alceo dice “los únicos que decimos la verdad
aquí somos Cátulo y yo”
– Safo dice “Cátulo miente”
– Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo
miente”

41. Ejercicios opcionales
• [GR2] Decir quiénes dicen la verdad y
quiénes dicen la mentira sabiendo que:
– Anaximandro dice “Heráclito miente”
– Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no
mienten”
– Heráclito dice “Parménides no miente”

42. Razonamiento
• El razonamiento se utiliza para obtener
nuevos hechos ciertos a partir de otros
que lo son o al menos se supone que lo
son. Por lo tanto razonar consiste en
encontrar las consecuencias de un
conjunto de fórmulas.

43. Razonamiento, II
• Se puede razonar considerando todas las
fórmulas y todas las interpretaciones y
calculando los valores booleanos corres-
pondientes para ver qué fórmulas son
consecuencia de los axiomas, pero este
algoritmo es inadecuado, especialmente
si se incrementa la capacidad expresiva
del lenguaje lógico y se permiten
razonamientos sobre objetos (Lógica de
Predicados) o si se utiliza un conjunto
infinito de axiomas.

44. Razonamiento, III
• Es preferible dar un algoritmo que propor-
cione directamente las fórmulas que son
consecuencia de unos axiomas dados.
• Se hará mediante un sistema formal (un
cálculo lógico) formado por reglas de
inferencia o de deducción.
• En este sistema, una fórmula P se deduce
de un conjunto A de axiomas si y sólo si es
consecuencia de ellos (es decir, AP sii
A→P).

45. Deducción
• Una deducción es una sucesión de fórmulas,
cada una de las cuales se obtiene a partir de las
anteriores mediante una regla formal de
deducción.
• En una regla de deducción XY, X e Y son
fórmulas lógicas que verifican que X → Y. Eso
hace que al generar cualquier fórmula
X1X2…XN
automáticamente se tenga que X1 → XN.

46. Deducción, II
• Si las fórmulas iniciales (hipótesis o
axiomas) de una deducción son ciertas
en una interpretación I, entonces
también lo son todas las fórmulas
deducidas (consecuencias).
• El sistema formal de deducción que
utilizaremos será completo en el sentido
de que producirá todas las fórmulas que
son consecuencia de un conjunto dado
de axiomas.

47. Ejemplo de deducción
• Axiomas:
- Si llueve está nublado.
- Si está nublado hace frío.
- Llueve.
• Demostrar que hace frío.

48. Ejemplo de deducción, II
• Los axiomas anteriores se pueden
representar mediante fórmulas como
sigue:
– L representa “llueve”
– N representa “está nublado”
– F representa “hace frío”
– Axiomas: A = { L⇒N, N⇒F, L }

49. Ejemplo de deducción, III
• Deducción:
– De L y L⇒N se deduce N
– De N y N⇒F se deduce F
• Observaciones:
– La deducción anterior aplica una única regla
formal (modus ponens):
α, α⇒β  β.
– La deducción anterior es correcta indepen-
dientemente de la interpretación de L, N y F.

50. Ejemplo de deducción, IV
• Observaciones:
– El modus ponens, α, α⇒β  β permite que
las implicaciones se utilicen como reglas que
se pueden aprender al razonar.
– Las variables con letras griegas son fórmulas

51. Agrupamiento de fórmulas
deducidas
• Agrupamiento conjuntivo:
α, β  α ^ β
• Disociación conjuntiva:
α ^ β  α α ^ β  β
• Conmutatividad conjuntiva:
α ^ β  β ^ α
(se podría haber evitado dejando las
anteriores)

52. Ejemplo de deducción, V
• Axiomas:
- Si llueve está nublado.
- Si está nublado hace frío.
• Demostrar que si llueve hace frío.

53. Ejemplo de deducción, VI
• Deducción:
– Suponemos por un momento que L es cierto.
• Entonces, según hemos visto, se deduce F.
– De lo anterior y de los axiomas se deduce que
L⇒F.
• La deducción anterior aplica una regla
formal nueva (deducción de implicación):
α, β↑γ  α↑(β⇒γ)
• Esta regla permite construir reglas nuevas,
de modo análogo a lo ya visto al estudiar
los sistemas formales en general.

54. Ejemplo de deducción, VII
• Axiomas:
- Si llueve está nublado o hay arco iris.
- Si está nublado hace frío.
- Si hay arco iris está bonito.
• Demostrar que si llueve, o bien hace frío o
está bonito.
• Símbolos nuevos de predicado: A (hay
arco iris), B (está bonito).

55. Ejemplo de deducción, VIII
• Deducción:
– Suponemos por un momento que L es cierto.
• Como L⇒(N v A), por Modus Ponens se deduce
NvA.
• Suponemos por un momento que ~F^~B es
cierto.
– Entonces ~F y ~B son ciertos.
– Además, como N⇒F, ~F⇒~N. Análogamente, ~B⇒~A.
– De ~F y ~F⇒~N se deduce ~N. De ~B y ~B⇒~A,
resulta ~A.
– De lo anterior se deduce que ~N^~A es cierto.

56. Lógica proposicional:
Cálculo frente a satisfactibilidad
• En la práctica, la determinación de teoremas en
base a un cálculo lógico como el descrito es un
problema de búsqueda en un árbol, por lo que
puede ser más ineficiente que en base al
cálculo directo de todas las interpretaciones
posibles y la interpretación correspondiente del
supuesto teorema.
• En la lógica de predicados no se pueden utilizar
tablas de verdad y habrá que recurrir a un
cálculo lógico del tipo del anterior.