1. 1
Geometria Prof.:Carlinhos.
Lista n°08 06/04/2013
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
GABARITO:
Resposta da questão 1:
[C]
Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1,θ temos
que 45 .θ
Portanto,
2
cos cos45 .
2
θ
Resposta da questão 2:
[A]
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
h
tan 15 h 3,8 tg15
3,8
Resposta da questão 3:
02 + 04 = 06.
[01] Falsa, pois
5 3 5 10 3
sen60 y km.
y 2 y 3
[02] Verdadeira, pois
5 1 5
sen30 x 10 km.
x 2 x
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z =
y > 5.
[08] Falsa, pois z = y > 5.
Resposta da questão 4:
[B]
No triângulo assinalado, temos:
1,2 1 1,2
sen30 x 2,4
x 2 x
Resposta da questão 5:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular
baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo,
AQ 240 QG 240 PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
PQ 3 PQ
tgQAP
3AQ 240 PQ
(3 3)PQ 240 3
240 3
PQ
3 3
240 3 3 3
PQ 120( 3 1) m.
3 3 3 3
Resposta da questão 6:
[B]
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que
2 2 2
h h (6 2) , logo h = 6.
No triângulo APR, podemos escrever:
2. 2
h 3 6
tg30
h AB 3 AB 6
18 6 3 18 3 18
AB AB
33
AB 4,2 e 4 4,2 5.
Resposta da questão 7:
[B]
Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo.
O ângulo α é tal que
12
tg 0,50.
24
Desse modo, como a função tangente é crescente e
3
tg30 0,58 0,50,
3
segue que 30 .α
Resposta da questão 8:
[E]
h = altura entre os dois andares.
h
sen30
6
h
0,5
6
h 3 m
Resposta da questão 9:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de
acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m.
Resposta da questão 10:
[D]
tg (37°) = 0,75
AC
0,75
100
AC 75m
Resposta da questão 11:
[D]
Da figura dada, temos que
1,8
tg .
5,4
φ
Temos, então, o triângulo abaixo semelhante ao primeiro.
Portanto:
2 2 2
a 1 3
a 10
1 10
sen
1010
φ
Resposta da questão 12:
[A]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular
baixada de A sobre a reta BC.
Queremos calcular AH.
Temos que CAB BAH 30 . Logo, do triângulo
AHB, vem
HB 3
tgBAH HB AH.
3AH
Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
3. 3
HB BC 3
tgCAH 3 AH AH 100
3AH
2 3
AH 100
3
150 3
AH 50 3 m.
3 3
Resposta da questão 13:
a) no triângulo ABC, temos:
2y + 30° + 40° + 50° = 180°
2y = 60°
y = 30°
No triângulo CBD x = 180 – 2.30 = 120°
Portanto, BDC 120
b)
o 5 3 5 10
cos30 BD
BD 2 BD 3
10 3
BD
3
.
c) No triângulo BCE, temos:
CE 1 CE
sen30 CE 5
10 2 10
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCE,
temos:
2 2 2
BE 5 10 BE 5 3
No triângulo BEA:
o BE 6 5 3 25 3
tg50 AE
AE 5 AE 6
Portanto,
25 3
AC AE EC 5
6
Resposta da questão 14:
Considere a figura.
Como
h H h H
tg y
y tg
β
β
e
h H
tg xtg ytg h H,
x y
α α α
segue que :
h H
xtg tg h H
tg
xtg tg htg Htg htg Htg
H(tg tg ) xtg tg h(tg tg )
xtg tg
H h.
tg tg
α α
β
α β α α β β
α β α β α β
α β
α β
Resposta da questão 15:
[B]
Num triângulo qualquer, o maior lado é sempre oposto ao
maior ângulo e o menor lado oposto ao menor ângulo.
Como ˆˆc B c b.
4. 4
ˆb cˆˆsen(B) e sen(C)
a a
ˆˆcomo b < c, temos sen(B)<sen(C).
Resposta da questão 16:
[C]
No triângulo BO2C, tem-se:
r 3 r
tg30 r 4
34 3 4 3
1 2CAO ~ CBOΔ Δ
4 4 3
4AB 16 3 48 3 4AB 32 3 AB 8 3
12 4 3 AB
cm.
Resposta da questão 17:
a) Da relação entre os senos dos ângulos agudos do
triângulo, obtemos
x y
senB 2senC 2 x 2y.
5 5
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2 2 2
2
x y 5 (2y) y 25
5y 25
y 5 m.
b) De (a), obtemos x 2 5 m. Por conseguinte, a
medida pedida é dada por
h 6 x 6 2 5 2 (3 5) m.
Resposta da questão 18:
[C]
O resultado pedido é dado por
y
tg60 y 100 3 m.
100
Resposta da questão 19:
[B]
ABP é isósceles (AB BP 2000) Δ
o
No PBC temos:
d
sen60
2000
3 d
2 2000
d 1000 3 m
Δ
Resposta da questão 20:
[C]
1000
cos45º
x
2 1000
2 x
2x 2000
2000
x
2
x 1,414 m
Resposta da questão 21:
[D]
h = altura.
o h
sen60
12
3 h
2 12
h 6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 22:
[C]
I. (V) - Observar o desenho.
II. (F) -
6
cos(Â) 0,6
10
;
III) (V) -
8 8 4 4 32
sen  tg Â
10 6 5 3 15
;
Resposta da questão 23:
[B]
5. 5
o 60
sen60
AB
3 60
2 AB
120
AB
3
AB 40 3m
Resposta da questão 24:
[D]
Sabendo que AC 1 e
1
sen ,
3
vem
BC 1 BC AB
sen BC .
3 3AB AB
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
2
2 2 2 2 2
2
AB
AB AC BC AB 1
3
8 AB
1
9
3 3 2
AB .
42 2
Resposta da questão 25:
Na figura, temos:
o 30 30
sen3 0,05 0,05x 30
x x
x 600 cm
Logo, o comprimento da rampa será 600 cm = 6 m.
Resposta da questão 26:
[C]
tg60
H
3
1,8
H 1,8. 3
H 3,1m
Resposta da questão 27:
[A]
12
2
1
)12(
2
1
2
1
2
1
2
2
Resposta da questão 28:
[A]
tg 30o = mxx
x
3.200
3
3
.600
600
Resposta da questão 29:
[B]
2 2 2
x x 2 sen 30o =
2
L 2. 2
L
x 2
Resposta da questão 30:
[B]
Resposta da questão 31:
[B]
34
12
30 x
x
tg o
r = 363234 , logo a área da tampa será:
A = 22
m108)36.(
6. 6
Resposta da questão 32:
[C]
Resposta da questão 33:
[A]
Resposta da questão 34:
[A]
Resposta da questão 35:
[E]
Resposta da questão 36:
[B]
Resposta da questão 37:
4 metros
Resposta da questão 38:
a) 2,4 m = 240 cm
240
18 6
= 10 degraus
b) h = 1,92 m
Resposta da questão 39:
[A]
Resposta da questão 40:
[D]
Resposta da questão 41:
[B]
Resposta da questão 42:
x ≈ 13,33 metros
Resposta da questão 43:
[A]
Resposta da questão 44:
[D]
Resposta da questão 45:
[D]
Resposta da questão 46:
20
Resposta da questão 47:
[A]
Resposta da questão 48:
[B]
Resposta da questão 49:
[C]
Resposta da questão 50:
[C]
Resposta da questão 51:
[C]
Resposta da questão 52:
[E]
Resposta da questão 53:
[E]
Resposta da questão 54:
[C]
Resposta da questão 55:
[C]
Resposta da questão 56:
[D]
Resposta da questão 57:
[B]
TResposta da questão 58:
[B]
Resposta da questão 59:
[D]
Resposta da questão 60:
[C]
Resposta da questão 61:
[A]
Resposta da questão 62:
[D]
Resposta da questão 63:
[C]
Resposta da questão 64:
[B]
Resposta da questão 65:
2,088m