Semântica Formal

1

Semˆntica Formal
a
Carlos A. P. Campani

22 de julho de 2005

2

Copyright c 2005 Carlos A. P. Campani.
´
E garantida a permissõ para copiar, distribuir e/ou
a
modificar este documento sob os termos da Licen¸a de
c
Documenta¸ao Livre GNU (GNU Free Documentation
c˜
License), Versõ 1.2 ou qualquer versõ posterior
a a
publicada pela Free Software Foundation; sem Se¸oes
c˜
Invariantes, Textos de Capa Frontal, e sem Textos de
Quarta Capa. Uma c´pia da licen¸a ´ inclu´ na se¸ao
o c e ıda c˜
intitulada “GNU Free Documentation License”.
veja: http://www.ic.unicamp.br/~norton/fdl.html.

3

S´ mula
u
1. Introdu¸ao
c˜
2. Abordagens de semˆntica formal
a
3. Linguagem exemplo While
4. Sintaxe abstrata

4

5. Revisõ de Prova de Teoremas
a
(a) Prova de Implica¸ao
c˜
(b) Prova por Redu¸õ ao Absurdo
ca
(c) Prova por Indu¸õ
ca
i. Indu¸õ Sobre os Naturais
ca
ii. Indu¸ao Sobre o Tamanho de uma Seq¨ˆncia
c˜ ue
iii. Indu¸ao Estrutural
c˜

5

6. Semˆntica de express˜es
a o
(a) N´meros e Numerais
u
(b) Descrevendo Estados
(c) Express˜es aritm´ticas
o e
(d) Express˜es booleanas
o
7. Propriedades da Semˆntica
a
(a) Vari´veis Livres
a
(b) Substitui¸ao
c˜

6

8. Semˆntica Operacional
a
(a) Semˆntica Natural
a
i. Propriedades da Semˆntica
a
ii. Fun¸˜o Semˆntica
ca a
(b) Semˆntica Operacional Estruturada
a
i. Propriedades da Semˆntica
a
ii. Fun¸˜o Semˆntica
ca a
(c) Um Resultado de Equivalˆncia
e

7

9. Semˆntica Denotacional
a
(a) Composicionalidade
(b) Ponto Fixo
(c) Deﬁni¸ao da Semˆntica
c˜ a
(d) Requisitos sobre o Ponto Fixo
(e) Teoria de Pontos Fixos
(f) Existˆncia
e
(g) Um Resultado de Equivalˆncia
e

8

10. Semˆntica Axiom´tica
a a
(a) Provas Diretas de Corre¸˜o de Programas
ca
i. Semˆntica Natural
a
ii. Semˆntica Operacional Estruturada
a
iii. Semˆntica Denotacional
a
(b) Asser¸oes para Corre¸ao Parcial
c˜ c˜
(c) Corre¸ao e Completude do Sistema Formal
c˜
(d) Asser¸oes para Corre¸ao Total
c˜ c˜

9

Bibliograﬁa
• Nielson, H. & Nielson, F. Semantics with
Applications: a formal introduction. dispon´ em:
ıvel
http://www.daimi.au.dk/~bra8130/Wiley_book/
wiley.html;
• lˆminas para impress˜o: http:
a a
//www.ufpel.edu.br/~campani/semantica4.ps.gz.

1 ¸˜
INTRODUCAO 10

1 Introdu¸õ
ca
Semˆntica formal preocupa-se em especificar
a
rigorosamente o significado ou comportamento de
programas, partes de hardware, etc.
Sintaxe descreve as estruturas de uma linguagem;
Semˆntica descreve o significado destas estruturas.
a

1 ¸˜
INTRODUCAO 11

A necessidade de uma semˆntica formal (matem´tica)
a a
para linguagens de programa¸ao justifica-se pois:
c˜
• pode revelar ambigïdades na defini¸õ da linguagem
u ca
(o que uma descri¸õ nõ formal nõ permitiria
ca a a
revelar);
• ´ uma base para implementa¸ao (s´
e c˜ ıntese), an´lise e
a
verifica¸ao formal.
c˜

2 ABORDAGENS 12

2 Abordagens
Semˆntica Operacional Significado de uma constru¸õ
a ca
da linguagem ´ especificado pela computa¸ao que ela
e c˜
induz quando executada em uma m´quina hipot´tica
a e
(interessa como o efeito da computa¸ao ´ produzido);
c˜ e
Semˆntica Denotacional Significados modelados por
a
objetos matem´ticos que representam o efeito de
a
executar uma estrutura (somente o efeito interessa,
nõ como ´ produzido);
a e
Semˆntica Axiom´tica Especifica propriedades do
a a
efeito da execu¸ao das estruturas como asser¸˜es
c˜ co
(alguns aspectos da execu¸ao sõ ignorados).
c˜ a

2 ABORDAGENS 13

Tipos de Semˆntica Operacional:
a
• Semˆntica Operacional Estruturada (especiﬁca mais
a
detalhes da execu¸ao);
c˜
• Semˆntica Natural (simpliﬁca a nota¸ao e esconde
a c˜
detalhes, ao tomar um passo maior).

3 LINGUAGEM EXEMPLO WHILE 14

3 Linguagem Exemplo While

n ∈ Num
x ∈ Var
a ∈ Aexp
b ∈ Bexp
S ∈ Stm


a ::= n|x|a1 + a2 |a1 ∗ a2 |a1 − a2
b ::= true|false|a1 = a2 |a1 ≤ a2 |¬b|b1 ∧ b2
S ::= x:=a|skip|S1 ; S2 |if b then S1 else S2 |while b do S


ex1: z:=x; x:=y; y:=z
ex2: y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1)

4 SINTAXE ABSTRATA 17

4 Sintaxe Abstrata

z:=x; x:=y; y:=z

S ƒƒƒƒƒ
ÐÐ ƒƒƒƒ
ÐÐ ƒƒƒA
S bb ; S www
Ò Ð www
ÐÒÒ b0
Ò b ÐÐÐ w8
z := a S bb ; S aa
ÑÑ bb1 ÑÑ a
a0
ÐÑÑ ÐÑ
x x := a y := a

y z


S „„„„„
ÓÓ „„„„
ÑÓ „„„A
S ww ;
www S`
Ð
ÐÐÐ ww8 ÐÒÒÒ ``0
`
Sd ; S b y := a
ÐÐÐ dd1 ~
~~ b1

b

z := a x := a z

x y


Usando nota¸ao linear:
c˜
• z:=x; (x:=y; y:=z) (mais ` direita);
a
• (z:=x; x:=y); y:=z (mais ` esquerda).
a


Exerc´ıcio: Construa a ´rvore sint´tica de
a a
y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1).

5 ˜
REVISAO DE PROVA DE TEOREMAS 21

5 Revis˜o de Prova de Teoremas
a

5.1 Prova de Implica¸˜o
ca
Para provar A → B, assuma A (hip´tese) e deduza B.
o

A (hip´tese)
o
...
...
.
.
.
B
A→B

5 ˜

ex: Provar que se um n´mero inteiro ´ divis´ por 6
u e ıvel
ent˜o tamb´m o ´ por 2.
a e e
Seja n ∈ Z, tal que n ´ divis´ por 6:
e ıvel
1. n ´ divis´ por 6 (hip´tese);
e ıvel o
2. n = 6.k, onde k ∈ N;
3. n = 2.3.k;
4. n = 2.k , onde k = 3.k e k ∈ N
5. n ´ divis´ por 2;
e ıvel
6. Logo, vale o enunciado.

5 ˜

5.2 Prova por Redu¸õ ao Absurdo
ca

Para provar A, suponha ¬A e mostre que isto resulta em
uma contradi¸ao (absurdo).
c˜
ex: Provar que se um n´mero somado a si mesmo resulta
u
o n´mero original, entõ este n´mero ´ zero.
u a u e
Suponha que este n´mero ´ x e que:
u e

x+x=x∧x=0

entõ
a
2x = x ∧ x = 0
Logo, 2 = 1 (absurdo).

5 ˜

5.3 Prova por Indu¸õ
ca

5.3.1 Indu¸õ Sobre os Naturais
ca

P (0) P (n) → P (n + 1)
n∈N
∀nP (n)
Base P (0);
Passo P (n) → P (n + 1);
• P (n) ´ a hip´tese indutiva;
e o
• Entõ, tenta-se provar P (n + 1);
a
Conclusõ ∀nP (n).
a

5 ˜

ex: Provar que o quadrado de um n´mero natural sempre
u
´ maior ou igual ao n´mero.
e u
Base 0 ≤ 02 ;
Passo Assumir n ≤ n2 . Ent˜o:
a

n + 1 ≤ n2 + 1 ≤ n2 + 1 + 2n = (n + 1)2

Conclus˜o ∀n ∈ N n ≤ n2 .
a

5 ˜

ıcio: Prove que para todo n ∈ N, 2n n.
Exerc´
n(n+1)
Exerc´
ıcio: Prove que 1 + 2 + 3 + · · · + n = 2
.

5 ˜

5.3.2 Indu¸˜o Sobre o Tamanho de uma
ca
Seq¨ˆncia
ue

1. Prove que a propriedade vale para todas as
seq¨ˆncias de comprimento 0 (base);
ue
2. Prove que a propriedade vale para todas as outras
seq¨ˆncias: Assuma que a propriedade vale para
ue
todas as seq¨ˆncias de tamanho menor ou igual a k
ue
(hip´tese indutiva) e mostre que vale para seq¨ˆncias
o ue
de tamanho k + 1.

5 ˜

5.3.3 Indu¸˜o Estrutural
ca

Aplica-se sobre as estruturas de uma linguagem:
1. Prove que a propriedade vale para todas as
estruturas atˆmicas (ex: P (x:=a) e P (skip));
o
2. Prove que a propriedade vale para qualquer
programa: Assuma que vale para as estruturas que
formam um comando, e mostre que vale para o
comando composto (ex: P (S1 ) ∧ P (S2 ) → P (S1 ; S2 )).

6 ˆ ˜
SEMANTICA DE EXPRESSOES 29

6 Semˆntica de Express˜es
a o

6.1 N´ meros e Numerais
u

N : Num → Z

Se n ∈ Num ent˜o escrevemos N [[n]], e usamos [[ e ]] para
a
enfatizar que N ´ uma fun¸˜o semˆntica.
e ca a

6 ˆ ˜

N [[0]] = 0
N [[1]] = 1
N [[n 0]] = 2∗N [[n]]
N [[n 1]] = 2∗N [[n]]+1

Observa¸˜o: 0 ´ o numeral (0 ∈ Num) e 0 ´ o n´mero
ca e e u
(0 ∈ Z).

6 ˆ ˜

6.2 Descrevendo Estados

Estado representa uma associa¸ao entre vari´veis e seus
c˜ a
valores.

State = Var → Z

ex: [x → 5, y → 7, z → 0].

6 ˆ ˜

6.3 Express˜es aritm´ticas
o e

A : Aexp → (State → Z)

A[[n]]s = N [[n]]
A[[x]]s = s x
A[[a1 + a2 ]]s = A[[a1 ]]s+A[[a2 ]]s
A[[a1 ∗ a2 ]]s = A[[a1 ]]s∗A[[a2 ]]s
A[[a1 − a2 ]]s = A[[a1 ]]s−A[[a2 ]]s

Observa¸˜o: s ´ um estado.
ca e

6 ˆ ˜

ex: seja s x = 3:

A[[x + 1]]s = A[[x]]s+A[[1]]s
= (s x)+N [[1]]
= 3+1
= 4

Observa¸˜o: na primeira linha, + dentro do [[.]] pertence
ca
` linguagem, + ` direita ´ a opera¸ao soma. 1 ´ o
a a e c˜ e
numeral (1 ∈ Num) e 1 ´ o n´mero (1 ∈ Z).
e u

6 ˆ ˜

6.4 Express˜es booleanas
o

B : Bexp → (State → T)

T = {tt, ﬀ }

6 ˆ ˜

B[[true]]s = tt
B[[false]]s = ff

 tt se A[[a1 ]]s = A[[a2 ]]s
B[[a1 = a2 ]]s =
 ff se A[[a1 ]]s = A[[a2 ]]s

 tt se A[[a1 ]]s ≤ A[[a2 ]]s
B[[a1 ≤ a2 ]]s =
 ff se A[[a1 ]]s A[[a2 ]]s

 tt se B[[b]]s = ff
B[[¬b]]s =
 ff se B[[b]]s = tt

6 ˆ ˜


 tt se B[[b ]]s = tt e B[[b ]]s = tt
1 2
B[[b1 ∧ b2 ]]s =
 ff se B[[b1 ]]s = ff ou B[[b2 ]]s = ff

7 ˆ
PROPRIEDADES DA SEMANTICA 37

7 Propriedades da Semˆntica
a

7.1 Vari´veis Livres
a
As vari´veis livres de uma express˜o a ´ deﬁnida como o
a a e
conjunto de vari´veis que ocorrem em a.
a

FV(n) = ∅
FV(x) = {x}
FV(a1 + a2 ) = FV(a1 ) ∪ FV(a2 )
FV(a1 ∗ a2 ) = FV(a1 ) ∪ FV(a2 )
FV(a1 − a2 ) = FV(a1 ) ∪ FV(a2 )

7 ˆ

Teorema 1 Sejam s e s dois estados satisfazendo que
s x = s x para todo x em FV(a). Ent˜o, A[[a]]s = A[[a]]s .
a
Prova: (por indu¸˜o sobre as express˜es aritm´ticas)
ca o e
1. Base:
caso n Sabemos que A[[a]]s = N [[n]] e A[[a]]s = N [[n]]
e assim A[[a]]s = A[[a]]s ;
caso x n´s temos A[[x]]s = s x e A[[x]]s = s x e, pela
o
hip´tese, s x = s x, j´ que x ∈ FV(x). Logo,
o a
A[[a]]s = A[[a]]s ;

7 ˆ

2. Passo: (supomos que o enunciado vale para a1 e a2 )
caso a1 + a2 Sabemos que
A[[a1 + a2 ]]s = A[[a1 ]]s + A[[a2 ]]s e
A[[a1 + a2 ]]s = A[[a1 ]]s + A[[a2 ]]s . Al´m disto,
e
FV(a1) ⊆ FV(a1 + a2 ) e FV(a2) ⊆ FV(a1 + a2 ).
Usando a hip´tese indutiva, A[[a1 ]]s = A[[a1 ]]s e
o
A[[a2 ]]s = A[[a2 ]]s , e ´ f´cil ver que o enunciado
e a
vale para a1 + a2 ;
casos a1 ∗ a2 e a1 − a2 similares ao anterior.

7 ˆ

Exerc´
ıcio: Deﬁnir o conjunto FV(b) das vari´veis livres
a
em uma express˜o booleana b.
a
Exerc´ıcio: Provar que, dados s e s satisfazendo s x = s x
para todo x ∈ FV(b), B[[b]]s = B[[b]]s .

7 ˆ

7.2 Substitui¸õ
ca

Substitui¸õ denota a opera¸õ em que se troca cada
ca ca
ocorrˆncia de uma vari´vel y de uma expressõ a por
e a a
uma outra expressõ a0 .
a
Nota¸ao: a[y → a0 ].
c˜

7 ˆ

n[y → a0 ] = n

 a se x = y
0
x[y → a0 ] =
 x se x = y

(a1 + a2 )[y → a0 ] = (a1 [y → a0 ]) + (a2 [y → a0 ])
(a1 ∗ a2 )[y → a0 ] = (a1 [y → a0 ]) ∗ (a2 [y → a0 ])
(a1 − a2 )[y → a0 ] = (a1 [y → a0 ]) − (a2 [y → a0 ])

7 ˆ

Exerc´ıcio: Prove que
A[[a[y → a0 ]]]s = A[[a]](s[y → A[[a0 ]]s]), para todo s.
Exerc´
ıcio: Deﬁna a substitui¸ao para express˜es
c˜ o
booleanas.

8 ˆ
SEMANTICA OPERACIONAL 44

8 Semˆntica Operacional
a
• Express˜es aritm´ticas e booleanas apenas produzem
o e
um valor, mas n˜o mudam os estados;
a
• Comandos de programas While mudam o estado;
• Semˆntica operacional preocupa-se mais em como os
a
programas s˜o executados do que meramente com os
a
resultados destas computa¸oes;
c˜

8 ˆ

• Abordagens:
Semˆntica natural descreve como os resultados
a
gerais s˜o obtidos;
a
Semˆntica operacional estruturada descreve como
a
passos individuais da computa¸˜o ocorrem;
ca

8 ˆ

• Os significados dos comandos da linguagem serõa
descritos por meio de um sistema de transi¸˜es;
co
• Existem dois tipos de configura¸oes:
c˜
S, s significando que o comando S ser´ executado a
a
partir do estado s;
s representando um estado terminal (ou final).

8 ˆ

8.1 Semˆntica Natural
a

[assns ] x:=a, s → s[x → A[[a]]s]
[skipns ] skip, s → s
S1 ,s →s , S2 ,s →s
[compns ] S1 ;S2 ,s →s
S1 ,s →s
[if tt ]
ns if b then S1 else S2 ,s →s
se B[[b]]s = tt
S2 ,s →s
[if ff ]
ns if b then S1 else S2 ,s →s
se B[[b]]s = ff
S,s →s , while b do S,s →s
[whilett ]
ns while b do S,s →s
se B[[b]]s = tt
[whileff ]
ns while b do S, s → s se B[[b]]s = ff

8 ˆ

esquema de axioma ou axioma como em [assns ];
regra como em [compns ];
´rvore de deriva¸õ ´ a aplica¸ao dos axiomas e regras
a ca e c˜
para deduzir uma transi¸õ S, s → s .
ca
Observa¸õ: x ´ uma meta-vari´vel.
ca e a

8 ˆ

ex: (´rvore de deriva¸˜o)
a ca

(z:=x; x:=y); y:=z s0 = [x → 5, y → 7, z → 0]

z:=x,s0 →s1 x:=y,s1 →s2
z:=x;x:=y,s0 →s2
y:=z, s2 → s3
(z:=x; x:=y); y:=z, s0 → s3

Observa¸˜o: s1 = s0 [z → 5], s2 = s1 [x → 7] e
ca
s3 = s2 [y → 5].

8 ˆ

Como construir uma ´rvore de deriva¸˜o?
a ca
Resposta: da raiz para as folhas.

8 ˆ

ex: y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1) e
s = [x → 3, y → 0]

8 ˆ

Raiz:
y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s → s61

s61 = s[y → 6][x → 1]

8 ˆ

´rvore T :
a

y:=1, s → s13 T1
y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s → s61

s13 = s[y → 1]

´rvore T1 :
a

T2 T3
while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x − 1), s13 → s61

Pois B[[¬(x = 1)]]s13 = tt

8 ˆ

´rvore T2 :
a

y:=y∗x, s13 → s33 x:=x−1, s33 → s32
y:=y∗x; x:=x − 1, s13 → s32

s33 = s[y → 3] s32 = s[y → 3][x → 2]

8 ˆ

´rvore T3 :
a

y:=y∗x,s32 →s62 x:=x−1,s62 →s61
y:=y∗x;x:=x−1,s32 →s61
T4
while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s32 → s61

s62 = s[y → 6][x → 2]

8 ˆ

´rvore T4 (folha):
a

while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s61 → s61

Pois B[[¬(x = 1)]]s61 = ﬀ

8 ˆ

Exerc´
ıcio: Construa a ´rvore de deriva¸˜o para o seguinte
a ca
programa:

z:=0; while y ≤ x do (z:=z+1; x:=x−y)

com s = [x → 17, y → 5].

8 ˆ

A execu¸ao de um comando S no estado s:
c˜
• termina se e somente se existe um estado s tal que
S, s → s ;
• entra em loop se e somente se n˜o existe um estado s
a
tal que S, s → s .

8 ˆ

8.1.1 Propriedades da Semˆntica
a

S1 e S2 s˜o semanticamente equivalentes se
a

S1 , s → s se e somente se S2 , s → s

para todos os estados s e s .

8 ˆ

Provar que while b do S ´ semanticamente equivalente a
e
if b then (S; while b do S) else skip.
Prova: (⇒) Se while b do S, s → s ent˜o a
if b then (S; while b do S) else skip, s → s

while b do S, s → s

Poss´
ıveis ´rvores:
a

T1 T2
Onde T1 ´ a ´rvore com raiz S, s → s e T2 ´ a ´rvore
e a e a
com raiz while b do S, s → s e B[[b]]s = tt.

8 ˆ

S1 , s → s S2 , s → s
[compns ]
S1 ; S2 , s → s

Usando T1 e T2 como premissas da regra [compns ]:

T1 T2
S; while b do S, s → s

8 ˆ

S1 , s → s
[if tt ]
ns Se B[[b]]s = tt
if b then S1 else S2 , s → s

Obtemos:

T1 T2
S;while b do S,s →s

8 ˆ

Falta provar o caso B[[b]]s = ﬀ . Neste caso, T ´
e
simplesmente:

while b do S, s →s

Usando [skipns ]:
skip, s →s

8 ˆ

Usando [if ff ]:
ns

S2 , s → s
[if ff ]
ns Se B[[b]]s = ff
if b then S1 else S2 , s → s

skip, s → s
if b then (S; while b do S) else skip, s →s

8 ˆ

(⇐) Se if b then (S; while b do S) else skip, s → s
ent˜o while b do S, s → s
a
Usando [if tt ]:
ns

S; while b do S, s → s
e B[[b]]s = tt

8 ˆ

Usando [compns ]:
S,s →s while b do S,s →s
S;while b do S,s →s

Usando [whilett ]:
ns

S, s → s while b do S, s → s

8 ˆ

No caso B[[b]]s = ﬀ :
skip, s → s
es=s .
Usando [whileﬀ ]:
ns

while b do S, s →s

Isto completa a prova.

8 ˆ

Exerc´
ıcio: Prove que S1 ; (S2 ; S3 ) e (S1 ; S2 ); S3 s˜o
a
semanticamente equivalentes.
Exerc´
ıcio: Mostre que S1 ; S2 , no geral, n˜o ´
a e
semanticamente equivalente a S2 ; S1 .

8 ˆ

Uma semˆntica ´ determin´stica se, para todos S, s, s e
a e ı
s :
S, s → s e S, s → s implica s = s .

Isto signiﬁca que para todo comando S e estado inicial s
n´s podemos determinar um unico estado ﬁnal s se a
o ´
execu¸ao de S termina.
c˜

8 ˆ

Teorema 2 A semˆntica natural ´ determin´
a e ıstica.

8 ˆ

8.1.2 Fun¸õ Semˆntica
ca a

Sns : Smt → (State → State)
Observa¸õ: usa-se → para fun¸oes parciais. Ou seja:
ca c˜

Sns [[S]] ∈ State → State

dado por:

 s Se S, s → s
Sns [[S]]s =
 undef caso contr´rio
a

Observa¸õ: Sns [[while true do skip]]s = undef para
ca
todo s (fun¸õ parcial).
ca

8 ˆ

8.2 Semˆntica Operacional Estruturada
a
ˆ
• Enfase nos passos individuais da computa¸õ;
ca
• Rela¸õ de transi¸õ: S, s ⇒ γ (a transi¸ao
ca ca c˜
expressa o primeiro passo da computa¸ao), com dois
c˜
poss´
ıveis resultados:
– γ = S , s significando que a execu¸õ de S nõ
ca a
est´ completa e S , s ´ uma configura¸õ
a e ca
intermedi´ria;
a
– γ = s significando que a execu¸ao de S terminou
c˜
e o estado final ´ s ;
e
• Se diz que S, s emperrou se nõ existe γ tal que
a
S, s ⇒ γ.

8 ˆ

[assSOS ] x:=a, s ⇒ s[x → A[[a]]s]
[skipSOS ] skip, s ⇒ s
S1 ,s ⇒ S1 ,s
[comp1 ]
SOS S1 ;S2 ,s ⇒ S1 ;S2 ,s
S1 ,s ⇒s
[comp2 ]
SOS S1 ;S2 ,s ⇒ S2 ,s

[if tt ]
SOS if b then S1 else S2 , s ⇒ S1 , s
Se B[[b]]s = tt
[if ﬀ ]
SOS if b then S1 else S2 , s ⇒ S2 , s
Se B[[b]]s = ﬀ
[whileSOS ] while b do S, s ⇒
if b then (S; while b do S) else skip, s

8 ˆ

Uma seq¨ˆncia de deriva¸õ de um comando S iniciando
ue ca
no estado s ´:
e
• uma seq¨ˆncia finita
ue

γ0 , γ 1 , γ 2 , . . . , γ k

de configura¸oes satisfazendo γ0 = S, s , γi ⇒ γi+1
c˜
para 0 ≤ i k, e k ≥ 0, e ou γk ´ uma configura¸õ
e ca
terminal ou ´ uma configura¸õ emperrada; ou
e ca
• uma seq¨ˆncia infinita
ue

γ0 , γ 1 , γ 2 , . . .

de configura¸oes satisfazendo γ0 = S, s e γi ⇒ γi+1
c˜
para i ≥ 0.

8 ˆ

Nota¸ao: Usamos γ0 ⇒i γi para indicar i passos na
c˜
seq¨ˆncia. Usamos γ0 ⇒∗ γi para indicar um n´mero
ue u
ﬁnito de passos.

8 ˆ

ex: (z:=x; x:=y); y:=z e s0 = [x → 5, y → 7, z → 0].
Seq¨ˆncia de deriva¸ao:
ue c˜

(z:=x; x:=y); y:=z, s0 ⇒ x:=y; y:=z, s0 [z → 5]
⇒ y:=z, (s0 [z → 5])[x → 7]
⇒ ((s0 [z → 5])[x → 7])[y → 5]

8 ˆ

Cada passo da deriva¸˜o corresponde a uma ´rvore de
ca a
deriva¸˜o. Assim, para o primeiro passo ter´
ca ıamos:

z:=x,s0 ⇒s0 [z→5]
z:=x;x:=y,s0 ⇒ x:=y,s0 [z→5]
(z:=x; x:=y); y:=z, s0 ⇒ x:=y; y:=z, s0 [z → 5]

8 ˆ

ex: Seja s x = 3 e
y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1). O primeiro
passo ´:
e

y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s ⇒

while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s[y → 1]

8 ˆ

´
Arvore:
y:=1, s ⇒ s[y → 1]
y:=1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s ⇒

Observa¸˜o: usa-se [assSOS ] e [comp2 ].
ca SOS

8 ˆ

Reescrevendo o la¸o como um condicional:
c

if ¬(x = 1) then ((y:=y∗x; x:=x−1); while

¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1)) else skip, s[y → 1]

8 ˆ

Segundo [if tt ], o passo seguinte resultar´ em:
SOS a

(y:=y∗x; x:=x−1);


8 ˆ

Usando-se [assSOS ], [comp2 ] e [comp1 ], obtem-se a
SOS SOS
transi¸ao:
c˜

(y:=y∗x; x:=x−1);
while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s[y → 1] ⇒
x:=x−1; while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s[y → 3]

8 ˆ

´
Arvore:
y:=y∗x,s[y→1] ⇒s[y→3]
y:=y∗x;x:=x−1,s[y→1] ⇒ x:=x−1,s[y→3]

(y:=y∗x; x:=x−1);
while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s[y → 1] ⇒
x:=x−1;

8 ˆ

Usando [assSOS ] e [comp2 ] obtemos a pr´xima
SOS o
conﬁgura¸ao:
c˜

while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x−1), s[y → 3][x → 2]

Continuando, chegaremos ao estado ﬁnal s[y → 6][x → 1].

8 ˆ

Exerc´ıcio: Seja s = [x → 17, y → 5]. Construa a
seq¨ˆncia de deriva¸ao do comando:
ue c˜

z:=0; while y ≤ x do (z:=z+1; x:=x−y)

8 ˆ

Importante observar que a linguagem exemplo While nõ
a
possui configura¸˜es emperradas.
co
A execu¸ao de um comando S no estado s:
c˜
• termina se e somente se existe uma seq¨ˆncia de
ue
deriva¸ao finita come¸ando com S, s ;
c˜ c
• entra em loop se e somente se existe uma seq¨ˆncia
ue
de deriva¸õ infinita come¸ando com S, s .
ca c
Dizemos que s execu¸ao de S em s termina com sucesso
c˜
se S, s ⇒∗ s , para algum estado s . Na linguagem
exemplo While a execu¸ao termina com sucesso se e
c˜
somente se termina pois nõ existem configura¸˜es
a co
emperradas.

8 ˆ

8.2.1 Propriedades da Semˆntica
a

Lema 1 Se S1 ; S2 , s ⇒k s , entõ existe um estado s e
a
n´meros naturais k1 e k2 tal que S1 , s ⇒k1 s e
u
S2 , s ⇒k2 s , onde k = k1 + k2 .
Prova: (por indu¸õ sobre o tamanho da seq¨ˆncia de
ca ue
deriva¸õ)
ca
Base: k = 0 (por vacuidade)
Passo: Assumimos como hip´tese que o enunciado vale
o
para todo k ≤ k0 . Assumimos S1 ; S2 , s ⇒k0 +1 s ou
S1 ; S2 , s ⇒ γ ⇒k0 s para alguma configura¸õ γ.
ca

8 ˆ

O primeiro passo pode ser resultado de [comp1 ] ou
SOS
[comp2 ]:
SOS

1. [comp1 ] e γ = S1 ; S2 , s , ou seja
SOS

S1 ; S2 , s ⇒ S1 ; S2 , s

Logo, S1 , s ⇒ S1 , s e S1 ; S2 , s ⇒k0 s .
Esta segunda seq¨ˆncia satisfaz a hip´tese indutiva.
ue o
Assim, existe um estado s0 e n´meros k1 e k2 tal que
u

S1 , s ⇒k1 s0 e S2 , s0 ⇒k2 s

onde k1 + k2 = k0 . Logo, S1 , s ⇒k1 +1 s0 e
S2 , s0 ⇒k2 s , e como (k1 + 1) + k2 = k0 + 1, est´
a
provado o resultado;

8 ˆ

2. [comp2 ] e γ = s . Assim, S1 , s ⇒ s e
SOS
S2 , s ⇒k0 s . O resultado ﬁca provado fazendo-se
k1 = 1 e k2 = k0 .

8 ˆ

Exerc´ ıcio: Prove que se S1 , s ⇒k s entõ a
S1 ; S2 , s ⇒k S2 , s , isto ´, a execu¸õ de S1 nõ ´
e ca a e
influenciada pelo comando que o segue.

8 ˆ

Teorema 3 A semˆntica operacional estruturada ´
a e
determin´
ıstica.

8 ˆ

8.2.2 Fun¸˜o Semˆntica
ca a

SSOS : Smt → (State → State) ,
dado por:

 s Se S, s ⇒∗ s
SSOS [[S]]s =
a

8 ˆ

8.3 Um Resultado de Equivalˆncia
e

Teorema 4 Para todo comando S da linguagem exemplo
While n´s temos Sns [[S]] = SSOS [[S]].
o
Este teorema expressa duas propriedades:
1. Se a execu¸õ de S, come¸ando em algum estado,
ca c
termina em uma semˆntica, entõ ela tamb´m
a a e
termina na outra, e os estados resultantes sõ iguais;
a
2. Se a execu¸õ de S, para algum estado, entra em
ca
loop em uma semˆntica entõ tamb´m entra em loop
a a e
na outra.

9 ˆ
SEMANTICA DENOTACIONAL 94

9 Semˆntica Denotacional
a
Semˆntica Operacional Como ocorre a execu¸˜o do
a ca
comando;
Semˆntica Denotacional O efeito da execu¸ao do
a c˜
comando.

9 ˆ

• Na abordagem denotacional cada constru¸ao sint´tica
c˜ a
´ mapeada, por uma fun¸˜o semˆntica, para um
e ca a
objeto matem´tico (de um modo geral uma fun¸ao);
a c˜
• Exemplos de fun¸oes semˆnticas denotacionais: A
c˜ a
(mapeia express˜es aritm´ticas para fun¸oes em
o e c˜
State → Z) e B (mapeia express˜es booleanas para
o
fun¸˜es em State → T);
co

9 ˆ

• Fun¸oes Sns e SSOS sõ exemplos de fun¸˜es
c˜ a co
semˆnticas que mapeiam comandos em fun¸oes em
a c˜
State → State, no entanto, elas nõ sõ exemplos
a a
de fun¸oes denotacionais porque elas nõ sõ
c˜ a a
definidas de forma composicional ;
• Na semˆntica denotacional, estruturas de la¸o de
a c
repeti¸õ sõ interpretadas usando-se pontos fixos:
ca a
– pontos fixos sõ ra´ de uma equa¸õ funcional ;
a ızes ca
– um funcional ´ uma fun¸õ que mapeia uma fun¸ao
e ca c˜
em outra fun¸õ.
ca

9 ˆ

9.1 Composicionalidade

Signiﬁca expressar uma propriedade de uma estrutura em
fun¸ao da composi¸ao das propriedades de suas
c˜ c˜
sub-estruturas.
ex: A[[a1 + a2 ]]s = A[[a1 ]]s+A[[a2 ]]s

9 ˆ

9.2 Ponto Fixo
Um funcional mapeia uma fun¸õ em outra fun¸ao.
ca c˜
Seja F um funcional, entõ:
a
F g1 = g2
F g0 = g0 (ponto fixo)
F k g0 = g0

ex: F g = se x = 0 entõ 1 caso contr´rio x∗g(x − 1),
a a
e o ponto fixo de F ´ a fun¸õ fatorial. Ou seja,
e ca
F g0 = g0 e g0 ´ a fun¸ao fatorial.
e c˜
Observa¸õ: usamos uma linguagem de programa¸õ
ca ca
funcional hipot´tica neste exemplo.
e

9 ˆ

Seja g1 (x) = x2 . Entõ:
a

F g1 = se x = 0 entõ 1 caso contr´rio x ∗ (x − 1)2 = g2
a a

e g1 = g2 .
Seja g0 (x) = x!. Entõ:
a

F g0 = se x = 0 entõ 1 caso contr´rio x ∗ ((x − 1)!) =
a a

se x = 0 entõ 1 caso contr´rio x! = x! = g0
a a

9 ˆ

9.3 Deﬁni¸˜o
ca

Sds [[x:=a]]s = s[x → A[[a]]s]
Sds [[skip]] = id
Sds [[S1 ; S2 ]] = Sds [[S2 ]] ◦ Sds [[S1 ]]
Sds [[if b then S1 else S2 ]] = cond(B[[b]], Sds [[S1 ]], Sds [[S2 ]])
Sds [[while b do S]] = FIX F

Onde F g = cond(B[[b]], g ◦ Sds [[S]], id).

9 ˆ

Explica¸ao:
c˜

Sds [[x:=a]]s = s[x → A[[a]]s]

Observa¸õ: corresponde a [assns ] e [assSOS ].
ca

Sds [[skip]] = id

Observa¸õ: id ´ a fun¸õ identidade.
ca e ca

9 ˆ

Sds [[S1 ; S2 ]] = Sds [[S2 ]] ◦ Sds [[S1 ]]

Observa¸õ: isto significa que o efeito da execu¸ao de
ca c˜
S1 ; S2 ´ a composi¸ao funcional do efeito da execu¸ao de
e c˜ c˜
S1 com o efeito da execu¸õ de S2 .
ca

9 ˆ

Sds [[S1 ; S2 ]]s = (Sds [[S2 ]] ◦ Sds [[S1 ]])s =

 s
 se existe s tal que





 Sds [[S1 ]]s = s e Sds [[S2 ]]s = s



 undef se Sds [[S1 ]]s = undef ou
=

 se existe s tal que





 Sds [[S1 ]]s = s e



 Sds [[S2 ]]s = undef

9 ˆ

Sds [[if b then S1 else S2 ]] = cond(B[[b]], Sds [[S1 ]], Sds [[S2 ]])

Observa¸õ: a fun¸õ auxiliar cond tem funcionalidade
ca ca

cond : (State → T) × (State → State) ×
(State → State) → (State → State)

e ´ definida por:
e

 g s se p s = tt
1
cond(p, g1 , g2 )s =
 g2 s se p s = ff

9 ˆ

Sds [[if b then S1 else S2 ]]s =

= cond(B[[b]], Sds [[S1 ]], Sds [[S2 ]])s

 s
 se B[[b]]s = tt e Sds [[S1 ]]s = s ou



 se B[[b]]s = ﬀ e Sds [[S2 ]]s = s
=
 undef se B[[b]]s = tt e Sds [[S1 ]]s = undef ou





se B[[b]]s = ﬀ e Sds [[S2 ]]s = undef

9 ˆ


Observe que:

while b do S = if b then (S; while b do S) else skip

e aplicando a deﬁni¸ao de Sds ao lado direito resulta em:
c˜

Sds [[while b do S]] =

= cond(B[[b]], Sds [[while b do S]] ◦ Sds [[S]], id)

9 ˆ

• Nõ podemos usar esta ultima expressõ, pois ela
a ´ a
nõ est´ definida de forma composicional ;
a a
• No entanto, isto expressa que Sds [[while b do S]] ´ o
e
ponto fixo do funcional definido por:

F g = cond(B[[b]], g ◦ Sds [[S]], id)

ou seja,

Sds [[while b do S]] = F (Sds [[while b do S]])

• Agora, esta nova defini¸ao respeita a
c˜
composicionalidade.

9 ˆ

e a funcionalidade da fun¸˜o auxiliar FIX ´
ca e

FIX : ((State → State) → (State → State)) →

(State → State)

9 ˆ

ex: Seja o seguinte comando:

while ¬(x = 0) do skip

O funcional correspondente ´:
e

 g s se s x = 0
(F g)s =
 s se s x = 0

9 ˆ

Determina¸ao do funcional:
c˜

Sds [[while ¬(x = 0) do skip]]s = (FIX F )s

(F g)s = cond(B[[¬(x = 0)]], g ◦ Sds [[skip]], id)s

 g ◦ S [[skip]]s se B[[¬(x = 0)]]s = tt
ds
=
 id s se B[[¬(x = 0)]]s = ﬀ

 g s se s x = 0
=
 s se s x = 0

Observa¸˜o: g ◦ Sds [[skip]]s = g ◦ id s = g s, pois
ca
g ◦ id = g.

9 ˆ

A fun¸ao g1 deﬁnida como:
c˜

 undef se s x = 0
g1 s =
 s se s x = 0

´ ponto ﬁxo de F porque
e

 g s se s x=0
1
(F g1 )s =
 s se s x=0

 undef se sx=0
=
 s se sx=0
= g1 s

9 ˆ

J´, por sua vez, g2 , definida como:
a

g2 s = undef para todo s

nõ ´ ponto fixo de F porque se s x = 0 entõ
a e a
(F g2 )s = s , enquanto que g2 s = undef.

9 ˆ

• Existem funcionais com mais de um ponto fixo. Um
exemplo ´ F , j´ que qualquer fun¸õ g de
e a ca
State → State satisfazendo g s = s se s x = 0 ´
e
ponto fixo de F ;
• Existem tamb´m funcionais que nõ tem ponto fixo.
e a
Considere F1 definido como:

 g se g = g2
1
F1 g =
 g2 caso contr´rio
a

Se g1 = g2 entõ nõ existe fun¸ao g0 tal que
a a c˜
F1 g0 = g0 .

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Determine o funcional F associado ao
comando:
while ¬(x = 0) do x:=x − 1

9 ˆ

Solu¸ao:
c˜

Sds [[while ¬(x = 0) do x:=x − 1]]s = (FIX F )s

(F g)s = cond(B[[¬(x = 0)]], g ◦ Sds [[x:=x − 1]], id)s

 g ◦ S [[x:=x − 1]]s se B[[¬(x = 0)]]s = tt
ds
=
 id s se B[[¬(x = 0)]]s = ﬀ

 g s[x → s x − 1] se s x = 0
=
 s se s x = 0

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Considere as seguintes fun¸˜es parciais:
co
1. g1 s = undef para todo s
2. 
 s[x → 0] se s x ≥ 0
g2 s =
 undef se s x 0

3. 
 s[x → 0] se s x ≥ 0
g3 s =
 s se s x 0
4. g4 s = s[x → 0] para todo s
5. g5 s = s para todo s
Determine quais s˜o pontos ﬁxos de F .
a

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Considere o seguinte fragmento de programa:

while ¬(x = 1) do (y:=y∗x; x:=x − 1)

Determine o funcional F associado ao programa.
Determine tamb´m ao menos dois pontos ﬁxos de F .
e

9 ˆ

9.4 Requisitos sobre o Ponto Fixo

Perante o problema de haver mais de um ponto fixo, ou
de nõ existir nenhum, se faz necess´rio:
a a
• Definir os requisitos de um ponto fixo e mostrar que
ao menos um ponto fixo preenche estes requisitos;
• Mostrar que todos os funcionais obtidos da linguagem
While tem um ponto fixo que satisfaz estes requisitos.

9 ˆ

Seja o comando while b do S. Quanto a termina¸ao,
c˜
existem trˆs possibilidades:
e
1. Ele termina;
2. Ele entra em loop localmente, ou seja, S entra em
loop;
3. Ele entra em loop globalmente, ou seja, a estrutura
while entra em loop.

9 ˆ

1. Caso em que o la¸o termina: Assim, existe uma
c
seq¨ˆncia de estados s0 , s1 , . . . , sn tal que
ue

 tt se i n
B[[b]]si =
 ﬀ se i = n

e
Sds [[S]]si = si+1 para i n

9 ˆ

Seja g0 um ponto ﬁxo de F . Logo, no caso i n
temos:
g0 si = (F g0 )si
= cond(B[[b]], g0 ◦ Sds [[S]], id)si
= g0 (Sds [[S]]si )
= g0 si+1

No caso i = n, temos:
g0 sn = (F g0 )sn
= cond(B[[b]], g0 ◦ Sds [[S]], id)sn
= id sn
= sn

9 ˆ

Conclui-se que todos os pontos ﬁxos satisfazem
g0 s0 = sn , n˜o sendo poss´ tirar daqui nenhum
a ıvel
requisito.

9 ˆ

2. Caso em que o la¸o entra em loop localmente, ou
c
seja, S entra em loop: Existe uma seq¨ˆncia de
ue
estados s0 , s1 , . . . , sn tal que

B[[b]]si = tt para i ≤ n

e 
 s para i n
i+1
Sds [[S]]si =
 undef para i = n

9 ˆ

Seja g0 um ponto ﬁxo do funcional F . No caso i n
obtemos:
g0 si = g0 si+1
e no caso i = n obtemos:

g0 sn = (F g0 )sn
= cond(B[[b]], g0 ◦ Sds [[S]], id)sn
= (g0 ◦ Sds [[S]])sn
= undef

E novamente n˜o se obtem nenhum requisito.
a

9 ˆ

3. Caso em que o la¸o entra em loop globalmente, ou
c
seja, a estrutura while entra em loop: Existe um
seq¨ˆncia infinita de estados s0 , s1 , s2 , . . . tal que
ue

B[[b]]si = tt para todo i

e
Sds [[S]]si = si+1 para todo i

Seja g0 um ponto fixo de F , entõ
a

g0 si = g0 si+1

para todo i ≥ 0. E temos g0 s0 = g0 si para todo i.
Esta ´ a situa¸ao em que podemos ter v´rios pontos
e c˜ a
fixos diferentes.

9 ˆ

ex:
S = while ¬(x = 0) do skip
cujo funcional ´
e

 g s se s x = 0
(F g)s =
 s se s x = 0

Sabemos que qualquer fun¸ao g de State → State
c˜
satisfazendo g s = s se s x = 0 ´ ponto ﬁxo de F . No
e
entanto, nossa experiˆncia computacional nos diz que
e

0
Sds [[S]]s0 =
 s0 se s0 x = 0

de forma a representar o comportamento do loop.

9 ˆ

Assim, nosso ponto fixo preferencial ´
e

g0 s =
 s se s x = 0

A propriedade distintiva deste ponto fixo ´ que para
e
qualquer outro ponto fixo g de F , se g0 s = s entõ
a
g s = s , mas nõ o contr´rio.
a a

9 ˆ

Generalizando para qualquer funcional F : O ponto
fixo desejado deve ser alguma fun¸ao parcial
c˜
g0 : State → State tal que:
• g0 ´ um ponto fixo de F ;
e
• se g ´ outro ponto fixo de F , entõ g0 s = s
e a
implica g s = s , para todos os s e s .

9 ˆ

9.5 Teoria de Pontos Fixos
• Desenvolver uma teoria que permita tratar com
funcionais e pontos ﬁxos;
• Garantir a existˆncia do ponto ﬁxo preferencial.
e

9 ˆ

Seja a ordem sobre as fun¸oes parciais State → State:
c˜

g1 g2

quando a fun¸õ parcial g1 compartilha seus resultados
ca
com a fun¸õ parcial g2 , ou seja, se g1 s = s entõ
ca a
g2 s = s , para todo s e s .
g1 g2 significa que em todos os pontos em que g1 ´ e
definido, g2 tamb´m o ´, e os seus valores sõ iguais, mas
e e a
o inverso nõ ´ exigido. g1 g2 pode ser lido como g1 ´
a e e
menos ou igualmente definido que g2 ou g1 aproxima g2 .

9 ˆ

g
1
1 a

2 b

3 c

g
2
1 a

2 b

3 c

9 ˆ

ex:
g1 s = s para todo s

 s se s x ≥ 0
g2 s =
a

 s se s x = 0
g3 s =
a

 s se s x ≤ 0
g4 s =
a

9 ˆ

g1 g1
g2 g1 g2 g2
g3 g1 g3 g2 g3 g3 g3 g4
g4 g1 g4 g4
g2 g4 g4 g2

9 ˆ

Diagrama de Hasse:

g1 e
} ee
}} ee
}}} ee
}} e
g2 e g4
ee }
ee }}}
ee }}
e }}
g3

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Sejam g1 , g2 e g3 , como a seguir definidos:

 s se s x ´ par
e
g1 s =
 undef caso contr´rio a

 s se s x ´ um primo
e
g2 s =
a
g3 s = s
1. Determine a ordem entre estas fun¸˜es;
co
2. Determine uma fun¸õ parcial g4 tal que g4
ca g1 ,
g4 g2 e g4 g3 ;
3. Determine uma fun¸õ parcial g5 tal que g1 g5 ,
ca
g2 g5 e g5 g3 , e g5 nõ ´ igual a g1 , g2 nem a g3 .
a e

9 ˆ

Uma caracteriza¸ao alternativa da ordem
c˜ em
State → State ´e

g1 g2 se e somente se graph(g1 ) ⊆ graph(g2 )

onde graph(f ) = { x, y ∈ X × Y |f (x) = y} e
f :X →Y.

9 ˆ

O conjunto State → State munido da ordem ´ um e
exemplo de um conjunto parcialmente ordenado.
Seja D um conjunto e d, d1 , d2 , d3 ∈ D. Um conjunto
parcialmente ordenado ´ um par (D, D ), onde D ´
e e
uma rela¸ao em D satisfazendo:
c˜
1. d D d (reﬂexividade);
2. d1 D d2 e d2 D d3 implica d1 D d3
(transitividade);
3. d1 D d2 e d2 D d1 implica d1 = d2 (anti-simetria).

9 ˆ

Um elemento d ∈ D satisfazendo d d para todo d ∈ D
´ chamado de elemento mńimo de D. Podemos dizer que
e ı
ele nõ cont´m informa¸õ.
a e ca

9 ˆ

Teorema 5 Se um conjunto parcialmente ordenado
(D, D ) tem um elemento mńimo d, entõ d ´ unico.
ı a e´
Prova: Assuma que D tem dois elementos mńimos d1 e
ı
d2 . Desde que d1 ´ elemento mńimo, d1 d2 . Como d2
e ı
tamb´m ´ elemento mńimo, d2 d1 . Pela propriedade
e e ı
da anti-simetria de obtemos d1 = d2 .

9 ˆ

1 aa
ÑÑ aa
ÑÑ aa
ÑÑÑ a
2 aa 3 aa
aa ÑÑÑ aa
aa ÑÑ aa
a ÑÑ a
4 5

9 ˆ

ex: Seja S um conjunto nõ vazio e defina:
a

P(S) = {K|K ⊆ S}

chamado conjunto das partes.
Entõ (P(S), ⊆) ´ um conjunto parcialmente ordenado
a e
porque
• ⊆ ´ reflexiva: K ⊆ K;
e
• ⊆ ´ transitiva: se K1 ⊆ K2 e K2 ⊆ K3 entõ
e a
K1 ⊆ K3 ;
• ⊆ ´ anti-sim´trica: se K1 ⊆ K2 e K2 ⊆ K1 entõ
e e a
K1 = K2 .

9 ˆ

No caso em que S = {a, b, c},
P(S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}, e
temos:
{a, b, c}
t tt
tt tt
t tt
ttt tt
tt t
{a, b} {a, c} {b, c}
tt tt
tt ttt tt ttt
tt
tt
ttt t
tt t tt t
t
tt ttt
tt ttt t
{a} t {b} {c}
tt t
tt ttt
tt
tt ttt
tt tt
tt
∅
(P(S), ⊆) tem um elemento m´
ınimo, ∅.

9 ˆ

Exerc´ıcio: Mostre que (P(S), ⊇) ´ um conjunto
e
parcialmente ordenado e determine o elemento m´ınimo.
Desenhe o diagrama de Hasse no caso em que
S = {a, b, c}.

9 ˆ

Lema 2 (State → State, ) ´ um conjunto
e
parcialmente ordenado. A fun¸õ parcial
ca
⊥ : State → State definida como

⊥ s = undef para todo s

´ o elemento mńimo de State → State.
e ı

9 ˆ

Prova: Primeiro provamos que ´ ordem parcial:
e
Reflexiva Trivialmente g g, porque g s = s implica
g s=s;
Transitiva Assumimos g1 g2 e g2 g3 . Assumimos
g1 s = s e de g1 g2 concluimos g2 s = s , e entõ
a
g2 g3 fornece g3 s = s ;
Anti-sim´trica Assumimos g1 g2 e g2 g1 .
e
Assumimos que g1 s = s . Entõ, g2 s = s segue de
a
g1 g2 , e neste caso ambas as fun¸˜es dõ valores
co a
iguais. No caso em que g1 s = undef, ´ necess´rio
e a
que g2 s = undef, j´ que caso contr´rio, g2 s = s e
a a
de g2 g1 obteriamos g1 s = s , que ´ uma
e
contradi¸õ.
ca

9 ˆ

Finalmente, temos que provar que ⊥ ´ o elemento
e
ı ´ a
m´nimo de State → State. E f´cil ver que ⊥ ´ um
e
elemento de State → State e trivialmente ⊥ g vale
para todos g, dado que ⊥ s = s implica g s = s por
vacuidade.

9 ˆ

Formalizando os requisitos de FIX F :
• FIX F ´ ponto fixo de F , isto ´, F (FIX F ) = FIX F ;
e e
• FIX F ´ o menor ponto fixo de F , isto ´, se F g = g
e e
entõ FIX F g.
a

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Mostre que se F tem um menor ponto fixo g0
entõ g0 ´ unico.
a e´
Exerc´ıcio: Determine o menor ponto fixo dos funcionais
associados aos programas:
1. while ¬(x = 0) do x:=x − 1
2. while ¬(x = 1) do (y:=y ∗ x; x:=x − 1)

9 ˆ

• Seja (D, ), e assumimos um subconjunto Y ⊆ D;
• Existe um elemento de D que resume toda a
informa¸˜o de Y ;
ca
• Um elemento d ´ chamado de limite superior de Y se:
e

∀d ∈ Y d d

• Um limite superior d de Y ´ um menor limite
e
superior (ou supremo) se e somente se

d ´ limite superior de Y implica que d
e d

• O supremo de Y tem pouca informa¸ao a mais que a
c˜
presente nos elementos de Y .

9 ˆ

Exerc´ıcio: Mostre que se Y tem um supremo, ent˜o ele ´
a e
unico.
´

9 ˆ

Nota¸ao: o (´nico) supremo de Y ´ denotado por
c˜ u e Y.

9 ˆ

Um subconjunto Y ´ chamado de cadeia se ele ´
e e
consistente no sentido que quaisquer dois elementos de Y
compartilham informa¸ao um com o outro, ou seja,
c˜

∀d1 , d2 ∈ Y d1 d2 ∨ d2 d1

9 ˆ

ex: Considere o conjunto parcialmente ordenado
(P({a, b, c}), ⊆). Entõ, o subconjunto
a

Y0 = {∅, {a}, {a, c}}

´ uma cadeia. Neste caso, {a, b, c} e {a, c} sõ limites
e a
superiores de Y0 e {a, c} ´ o supremo.
e
contra-ex: O subconjunto {∅, {a}, {c}, {a, c}} nõ ´ uma
a e
cadeia. Por que?

9 ˆ

ex: Seja gn : State → State deﬁnido como:

 undef
 se s x n

gn s = s[x → −1] se 0 ≤ s x e s x ≤ n



s se s x 0

e gn gm se n ≤ m.
Seja Y0 = {gn |n ≥ 0}. Y0 ´ uma cadeia porque gn
e gm se
n ≤ m. A fun¸ao parcial
c˜

 s[x → −1] se 0 ≤ s x
gs=
 s se s x 0

´ o supremo de Y0 .
e

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Seja gn a fun¸ao parcial deﬁnida por:
c˜

 s[y → (s x)!][x → 1] se 0 s x e s x ≤ n
gn s =
 undef se s x ≤ 0 ou s x n

Deﬁnimos Y0 = {gn |n ≥ 0}. Mostre que Y0 ´ uma cadeia.
e
Caracterize os limites superiores de Y0 e determine o
supremo.

9 ˆ

Um conjunto parcialmente ordenado (D, ) ´ chamado
e
de cadeia completa parcialmente ordenada (ccpo) se Y
existe para todas as cadeias Y de D. Ele ´ um reticulado
e
completo se Y existe para todos os subconjuntos Y de
D.

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Mostre que (P(S), ⊆) ´ um reticulado
e
completo e um ccpo para todos os conjuntos n˜o vazios S.
a

9 ˆ

Contra-exemplo de ccpo: Seja
Pfin (S) = {K ⊆ S|K ´ finito}. Considere (Pfin (N), ⊆).
e
Entõ
a

Y = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , {0, 1, 2, . . . , n}, . . .}

´ cadeia. A uniõ cont´vel dos elementos Ai da cadeia ´
e a a e
∞
Ai = N ,
i=1

por´m ele nõ pode ser o supremo da cadeia pois nõ
e a a
pertence a ela.

9 ˆ

Teorema 6 Se (D, ) ´ um ccpo entõ existe um
e a
elemento mńimo ⊥ dado por ⊥ = ∅.
ı
Prova:
1. ∅ ´ uma cadeia pois ∀d1 , d2 ∈ ∅ d1
e d2 ∨ d2 d1
(por vacuidade);
2. Como (D, ) ´ uma ccpo entõ existe
e a ∅ pois ∅ ⊆ D
´ cadeia de D;
e
3. ∅ d, d ∈ D, entõ
a ∅ ´ elemento m´
e ınimo de D.

9 ˆ

Lema 3 (State → State, ) ´ um ccpo. O supremo
e
Y da cadeia Y de State → State ´ dado por:
e

graph( Y)= {graph(g)|g ∈ Y }

isto ´, ( Y ) s = s se e somente se g s = s para algum
e
g ∈Y.
Observa¸˜es:
co
• graph(f ) = { x, y ∈ X × Y |f (x) = y} e
f :X →Y;
• State → State n˜o ´ um reticulado, mas ´ um ccpo
a e e
e suas cadeias possuem supremo.

9 ˆ

Sejam (D, ) e (D , ) duas ccpo’s e considere a fun¸ao
c˜
(total) f : D → D . f ´ monotˆnica se e somente se
e o

d1 d2 implica f (d1 ) f (d2 )

para todos os d1 e d2 .

9 ˆ

Exerc´ıcio: Considere o ccpo (P(N), ⊆). Determine quais
das seguintes fun¸˜es em P(N) → P(N) s˜o
co a
monotˆnicas:
o
• f1 (X) = NX
• f2 (X) = X {27}
• f3 (X) = X {7, 9, 13}
• f4 (X) = {n ∈ X|n ´ primo}
e
• f5 (X) = {2∗n|n ∈ X}

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Determine quais dos seguintes funcionais em
(State → State) → (State → State) s˜o monotˆnicos:
a o
• F0 g = g

 g se g = g2
1
• F1 g = onde g1 = g2
 g2 caso contr´rio
a

 g s se s x = 0
• (F g) s =
 s se s x = 0

9 ˆ

Teorema 7 Sejam (D, ), (D , ) e (D , ) trˆs e
ccpo’s e sejam f : D → D e f : D → D duas fun¸˜es
co
monotˆnicas. Entõ, f ◦ f : D → D ´ uma fun¸õ
o a e ca
monotˆnica.
o
Prova: Assumimos que d1 d2 . A monotonicidade de f
resulta em f (d1 ) f (d2 ). A monotonicidade de f
resulta em f (f (d1 )) f (f (d2 )), como queriamos
provar.
Observa¸õ: Isto significa que a opera¸õ de composi¸ao
ca ca c˜
de fun¸oes preserva a monotonicidade.
c˜

9 ˆ

Lema 4 Sejam (D, ) e (D , ) duas ccpo’s e seja
f : D → D uma fun¸õ monotˆnica. Se Y ´ cadeia de D
ca o e
entõ {f (d)|d ∈ Y } ´ uma cadeia de D . Al´m disto,
a e e

{f (d)|d ∈ Y } f( Y )

Observa¸õ: Isto significa que:
ca
• a imagem de uma cadeia sob uma fun¸ao monotˆnica
c˜ o
tamb´m ´ uma cadeia;
e e
• o supremo desta segunda cadeia aproxima a imagem
do supremo da primeira.

9 ˆ

Prova: Se Y = ∅ o enunciado ´ trivialmente v´lido porque
e a

{f (d)|d ∈ ∅} f (⊥)
∅ f (⊥)
⊥ f (⊥)

9 ˆ

Assumimos Y = ∅. Seja A = {f (d)|d ∈ Y } e sejam
d1 , d2 ∈ A. Ent˜o, existe d1 , d2 ∈ Y tal que d1 = f (d1 ) e
a
d2 = f (d2 ). Desde que Y ´ cadeia ent˜o d1 d2 ou
e a
d2 d1 .
Pela monotonicidade de f vale o mesmo entre d1 e d2 .
Ou seja, A ´ cadeia de D .
e

9 ˆ

Para a segunda parte da prova, assumimos d ∈ Y . Ent˜o, a
d Y , e pela monotonicidade de f , f (d) f ( Y ).
Desde que isto vale para todos os d ∈ Y , ent˜o f ( Y ) ´
a e
limite superior de A.

9 ˆ

Estamos interessados em fun¸oes f que preservem os
c˜
limites superiores de cadeias, ou seja, que satisfazem:

{f (d)|d ∈ Y } = f ( Y ) (1)

Uma fun¸ao f : D → D definida sobre duas ccpo’s
c˜
(D, ) e (D , ) ´ contńua se ela ´ monotˆnica e (1)
e ı e o
vale para todas as cadeias nõ vazias Y .
a
Observa¸õ: Isto significa que obtemos a mesma
ca
informa¸ao independente de determinarmos o supremo
c˜
antes ou depois de aplicar f .

9 ˆ

Se vale tamb´m ⊥ = f (⊥) ent˜o dizemos que f ´ estrita.
e a e

9 ˆ

Lema 5 Sejam (D, ),(D , ) e (D , )trˆs ccpo’s e
e
sejam f : D → D e f : D → D duas fun¸˜es cont´
co ınuas.
Ent˜o, f ◦ f : D → D ´ uma fun¸˜o cont´
a e ca ınua.
Prova: Do Teorema 7 sabemos que f ◦ f ´ monotˆnica.
e o
Da continuidade de f obtemos:

{f (d)|d ∈ Y } = f ( Y )

9 ˆ

Desde que {f (d)|d ∈ Y } ´ uma cadeia n˜o vazia de D e
e a
usando a continuidade de f obtemos:

{f (d )|d ∈ {f (d)|d ∈ Y }} = f ( {f (d)|d ∈ Y })

que ´ equivalente a
e

{f (f (d))|d ∈ Y } = f (f ( Y ))

provando o resultado.

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Prove que se f e f s˜o estritas, f ◦ f tamb´m
a e
o ´.
e

9 ˆ

Exerc´
ıcio: Mostre que o funcional associado ao programa

while ¬(x = 0) do x:=x − 1

´ cont´
e ınuo.

9 ˆ

Contra-exemplo de fun¸õ cont´
ca ınua: Seja
(P(N ∪ {a}), ⊆) um ccpo. Considere a fun¸õ
ca
f : P(N ∪ {a}) → P(N ∪ {a}) definida como:

 X se X ´ finito
e
f X=
 X ∪ {a} se X ´ infinito
e

f ´ monotˆnica, j´ que X1 ⊆ X2 implica f X1 ⊆ f X2 .
e o a
No entanto, nõ ´ cont´
a e ınua. Considere
Y = {{0, 1, . . . , n}|n ≥ 0} que ´ uma cadeia, com
e
Y = N. Aplicando f obtemos:
{f X|X ∈ Y } = Y = N e f ( Y ) = f N = N ∪ {a}.

9 ˆ

Teorema 8 Seja f : D → D uma fun¸õ contńua sobre
ca ı
um ccpo (D, ) com elemento mńimo ⊥. Entõ,
ı a

FIX f = {f n (⊥)|n ≥ 0}

define um elemento de D e este elemento ´ o menor
e
ponto fixo de f .
Observa¸˜es:
co
• f 0 = id e f n+1 = f ◦ f n para n ≥ 0;
• Esta ´ a defini¸ao de ponto fixo desejado.
e c˜

9 ˆ

Prova:
1. f 0 (⊥) = ⊥, e ⊥ d para todo d ∈ D. Por indu¸˜o
ca
podemos mostrar que f n (⊥) f n (d), j´ que f ´
a e
monotˆnica. Segue que f n (⊥) f m (⊥) para n ≤ m.
o
Assim, {f n (⊥)|n ≥ 0} ´ uma cadeia de D e FIX f
e
existe porque D ´ um ccpo;
e

9 ˆ

2. Precisamos mostrar que FIX f ´ um ponto ﬁxo, isto
e
´, f (FIX f ) = FIX f :
e

f (FIX f ) = f ( {f n (⊥)|n ≥ 0})
= {f (f n (⊥))|n ≥ 0}
= {f n (⊥)|n ≥ 1}
= ({f n (⊥)|n ≥ 1} ∪ {⊥})
= {f n (⊥)|n ≥ 0}
= FIX f

9 ˆ

3. Para mostrar que FIX f ´ o menor ponto fixo basta
e
assumir que d ´ algum outro ponto fixo. Assim,
e
⊥ d e pela monotonicidade de f obtemos
f n (⊥) f n (d), para n ≥ 0. Como d ´ ponto fixo,
e
f n (⊥) d, e sabendo que FIX f ´ supremo da cadeia
e
{f n (⊥)|n ≥ 0}, FIX f d, o que prova o resultado.

9 ˆ

ex: Considere o funcional:

 g s se s x = 0
(F g) s =
 s se s x = 0

Tomamos ⊥ s = undef para todo s, que ´ o menor
e
elemento de State → State, para determinar os
elementos de {F n (⊥)|n ≥ 0}.

9 ˆ

0
(F ⊥) s = (id ⊥) s
= undef
1
(F ⊥) s = (F ⊥) s

 ⊥ s se s x = 0
=
 s se s x = 0

=
 s se s x = 0

9 ˆ

2
(F ⊥) s = F (F 1 ⊥) s

 (F 1 ⊥) s se s x = 0
=
 s se s x = 0

 undef se sx=0
=
 s se sx=0

9 ˆ

n n+1
No caso geral, nos temos F ⊥=F ⊥ para n 0.
Al´m disto,
e
n 0 1 1
{F ⊥|n ≥ 0} = {F ⊥, F ⊥} = F ⊥
0
porque F ⊥ = ⊥. Assim, o menor ponto ﬁxo de F ´ a
e
fun¸ao
c˜ 
g1 s =
 s se s x = 0

9 ˆ

Exerc´ıcio: Determine o ponto ﬁxo dos funcionais
associados aos seguintes comandos:
1. while ¬(x = 0) do x:=x − 1
2. while ¬(x = 1) do (y:=y ∗ x; x:=x − 1)

9 ˆ

9.6 Existˆncia
e

Teorema 9 As equa¸˜es da semˆntica denotacional
co a
deﬁnem uma fun¸˜o total Sds em
ca
Stm → (State → State).

9 ˆ

9.7 Um Resultado de Equivalˆncia
e

Teorema 10 Para todo comando S da linguagem
exemplo While, n´s temos SSOS [[S]] = Sds [[S]].
o

10 ˆ ´
SEMANTICA AXIOMATICA 187

10 Semˆntica Axiom´tica
a a
• Corre¸õ parcial: estabelece certa rela¸ao entre os
ca c˜
valores iniciais e finais das vari´veis (se o programa
a
terminar);
• Corre¸õ parcial+termina¸ao=corre¸õ total
ca c˜ ca

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