1. Teoría de Colas oTeoría de Colas o
Fenómenos de EsperaFenómenos de Espera
Rodrigo R. Rodulfo.Rodrigo R. Rodulfo.
Republica Bolivariana de VenezuelaRepublica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario PolitécnicoInstituto Universitario Politécnico
¨Santiago Mariño¨¨Santiago Mariño¨
Maturín - Edo. MonagasMaturín - Edo. Monagas
2. Colas o líneas de Espera
Una colacola es una línea de
espera y la teoría de colasteoría de colas
es una colección de modelos
matemáticos que describen
sistemas de línea de espera
particulares o sistemas de
colas.
ObjetivoObjetivo
Los modelos sirven para
encontrar un buen
compromiso entre costes
del sistema y los tiempos
promedio de la línea de
espera para un sistema
dado.
La teoría de colas se presenta, cuando los “clientes” llegan a
un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual
tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar,
entonces se forma la línea de espera.
3. Colas
Un ejemplo de una cola es: cuando se va a comprar un boleto para
viajar, si existen pocas personas para ser atendidas, será una cola
pequeña; sin embargo, si hay un gran número de personas
esperando ser atendidas será una cola muy grande.
Ahora bien, el número de servidores dependerá de cuantas personas
están atendiendo y el cliente será la persona que quiere comprar el
boleto, el número de servidores podrá ser de 1 hasta infinito.
A continuación se muestra el ejemplo de una cola con un único
servidor.
4. Ejemplo de Modelo de Cola con 1Ejemplo de Modelo de Cola con 1
ServidorServidor
Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas
directas para resolver el problema con distribución normal de
patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribucionesCuando las distribuciones
no son normales se resuelve con simulacionesno son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo:
lavadero automático de autos, muelle de descarga de un solo
lugar, etc.).
5. Ejemplo de Modelo de Colas con DosEjemplo de Modelo de Colas con Dos
ServidoresServidores
Para modificar
una estructura de manera
que se asegure el
servicio por orden de
llegada, es necesario
formar una sola cola, de
la cual, al quedar
disponible un servidor se
le asigna el siguiente
cliente.
El principal problema con esta
estructura es que requiere unrequiere un
estricto control de la colaestricto control de la cola
para mantener el ordenpara mantener el orden y
dirigir a los clientes hacia los
servidores disponibles.
(Ejemplo:
una panadería en donde
los clientes toman un
numero al entrar y se les
sirve cuando llega el
turno).
6. Ejemplo: Varias colas y varios
servidores
El problema con
este formato es que las
diferencias en el tiempodiferencias en el tiempo
de serviciode servicio para cada
cliente ocasionan un flujo o
velocidad desigual en las
colas.
Como resultado de esto, algunos clientes son atendidos
antes que otros que llegaron primero y además producen
cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de los
bancos y las cajas de pago de los supermercados).
7. Múltiples servidores (Fases múltiples)
En este caso se sigue una secuencia de pasos específicossigue una secuencia de pasos específicos,
como en el caso de admisión de pacientes en un hospital (contacto
inicial en el mostrador de admisión, llenar formularios, elaborar tarjetas
de identificación, obtener la asignación de una habitación, llevar al
paciente a la habitación, etc.).
Es posible procesar más de un paciente a la vez, ya que
generalmente existen varios servidores disponibles para este
procedimiento.
8. Características de los sistemas de
Colas
Un sistema de colas se especifica por seis características principales :
1.El tipo de distribución de entradas o llegadas
(tiempo entre llegadas).
2.El tipo de distribución de salidas o retiros
(tiempo de servicio).
3.Los canales de servicio.
Determinan los modelos
por los cuales los clientes
entran y salen y también
hace referencia al tiempo.
Proceso o sistema que
efectúa el servicio.
9. Características de los sistemas de
Colas
4. Disciplina del Servicio
La disciplina es una regla para seleccionar clientes de la línea de espera al i
nicio del servidor. Una de las disciplinas mas usadas es la ¨First In – First Out
FIFO¨(Primeros que llegan, serán los primeros en salir).
La otra es ¨¨Last In – First Out (los últimos en llegar son los primeros en
salir).Existen otras disciplinas denominadas el azar y de prioridad.
En general la disciplina de los modelos de cola es: primero en
entrar, primero en salir. Las reglas de prioridades más comunes para
determinar el orden de servicio a los clientes que esperan en la cola son:
PEPS: Primero Entrado, Primero Salido. (FIFO)
UEPS. Ultimo Entrado, Primero Salido. (LIFO)
SEOA: Servicio en Orden Aleatorio.
GD: Disciplina General de Servicio
(representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA).
10. Características de los sistemas de
Colas
5.El numero máximo de clientes permitidos en el sistema.
6.La fuente o población.
Es el cupo de clientes permitidos en una cola dependiendo de las
características que presenta el sistema, de acuerdo a estas se podrá
tener colas finitas o infinitas. Si son infinitas no hay problema con el
numero de clientes que lleguen, si son finitas una vez que este llena la
cola los clientes serán rechazados.
Factor importante, el modelo de llegada depende de la fuente de los
clientes. La fuente que genera las llamadas puede ser finita o infinita.
11. Características de los sistemas de
Colas
7. Proceso de Salida
Es la forma en que los clientes abandonan un sistema de colas. Para describir
el proceso de salida de un sistema de cola, se especifica una distribución de
probabilidad. En la mayor parte de los casos suponemos que la distribución de
tiempo de servicio es independiente del número de clientes presentes, es decir
que el servidor no trabaja más rápido cuando hay más clientes.
Elementos principales de un sistema de Colas.
12. Modelos de Teorías de Colas
El modelo 5 y 6, suelen llamarse de servicio cerrado.
El servidor atiende a unun número constante de máquinas o unidades.
Cuando una máquina se rompe, no puede generarse nuevos
llamados mientras permanezca en servicio.
En el caso del modelo 6 el sistema tiene un total de K
máquinas que son atendidas por R operarios.
13. Clasificación de los Modelos de Colas
Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según
sus características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de
servicio único prestado por una o varias estaciones.
Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:
Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F)Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F)
Las letras o campos se usan según la siguiente convención:
A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas
B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio
C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo
D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se
supone que es FIFO.
E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto se supone que es limitada)
F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)
14. Cuadro de Clasificación de Kendall
Notación Significado
A Modelo de llegadas
M: exponenciales
D: deterministas
G: generales
B Modelo de Servicio (puede
tomar los valores de A).
X Numero de Servidores
Y Capacidad del sistema (se
puede omitir si es infinita).
Z Disciplina (se puede omitir si
es FIFO).
V Numero de estados del
servicio (omitir si es 1).
F Fuente
15. Clasificación de los Modelos de Colas
Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se
servicio se usa la siguiente convención:
•M =M = Distribución exponencial
•G =G = Distribución general
•Ek =Ek = Distribución de Erlang
••D =D = Distribución constante
A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se
especifica con palabras alguna otra propiedad del sistema.
Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)
Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)
Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)
Ejemplo: M/G/1Ejemplo: M/G/1
16. Parámetros y Variables
Los principales parámetros usados en los modelos de colas son los siguientes
•S =S = Número de servidores o estaciones de servicio, en paralelo
••λ=λ= Tasa media de llegada de clientes al sistema
••μ=μ= Tasa media de servicio por estación
••m =m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al
sistema)
••N =N = Capacidad del sistema (número máximo
de clientes que pueden haber en el sistema
en cualquier instante).
Variables de estado
Las principales variables de estados usadas son:
•X(t) = n =X(t) = n = Número de clientes que hay en el sistema en cualquier instante
17. Variables y Medidas de Congestión
••vv = Número de clientes que hay en la cola en cualquier instante. Se supone
que existe una cola que alimenta todas las estaciones de servicio
••aa = Número de clientes que están recibiendo
servicio en cualquier instante. También es equivalente al número de servidores
ocupados
••rr = Número de servidores inactivos
•Pn(t)Pn(t) = Probabilidad de que haya nn personas en el sistema en el tiempo t
Medidas de congestiónMedidas de congestión
Se denominan medidas de congestión aquellas medias o indicadores que
reflejan el comportamiento general del sistema a largo plazo, o en régimen
permanente.
18. Medidas de Congestión
••Pn=Pn= Probabilidad, a largo plazo, de que haya n personas en el sistema
••L =L = Número esperado de clientes en el sistema
•Lq =Lq = Número esperado de clientes en la cola
••W =W = Tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema
••Wq=Wq= Tiempo medio de espera de un cliente antes de ser atendido (tiempo de
permanencia en la cola)
••Wq/Wq>0 =Wq/Wq>0 = Tiempo medio de espera de un cliente en la cola, cuando tiene
que esperar.
••a =a = Número medio de clientes que reciben servicio
••r =r = Número de servidores inactivos
••P(Wq>0) =P(Wq>0) = Probabilidad de que un cliente tenga que esperar
19. Relaciones Básicas
• La variable de estado más importante es el número de clientes que hay en
el sistema (n), ya que a partir de ésta se pueden derivar todas las demás,
como se muestra a continuación.
Número de clientes en la cola (V)
Número de clientes que está recibiendo el servicio (a)
20. Relaciones Básicas
• Numero de estaciones o servidores inactivos (r).
Además dado que el numero de clientes en el sistema debe estar recibiendo el
servicio o esperando a ser atendidos se debe cumplir que:
n = v + an = v + a
Se tienen las siguientes expresiones:
21. Costos
Como ya se mencionó, el objetivo que se persigue al estudiar un
sistema de colas puede ser muy variado. Generalmente se pretende definir
cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice elcual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el
costo de operación del sistemacosto de operación del sistema, cual puede ser el costo de operación para
una configuración dada.
Por lo tanto, al realizar el análisis de los fenómenos de espera, es necesario
considerarlos diferentes costos involucrados en estos sistema, los cuales se
resumen en:
→Costos de Prestación o Servicio
Costo ocasionado por cada servidor por unidad de tiempo (Co) o al costo
marginal de incrementar la tasa de servicio por unidad de tiempo (Cu). En el
primer caso para encontrar costo total el Co se multiplica por el numero de
servidores (s). En el segundo caso se multiplica por la tasa de servicio μ.μ.
22. Costos
Co= Costo por servido r/tiempo
Cu=Costo de incrementar la tasa de servicio .
→Costo de Espera o Inactividad por cliente.Costo de Espera o Inactividad por cliente.
Este costo se refiere a lo que le cuesta a un cliente esperar mientras
se lo atiende. En algunos casos este costo lo sufre directamente el sistema
(tiempo de inactividad delas máquinas, tiempo ocioso de los empleados
esperando las herramientas de trabajo), y en otros casos el sistema no asume
directamente este costo, sino que lo sufre directamente el cliente, pero a la
larga, su efecto se notará sobre el sistema, ya que si el sistema no reduce
estos costos de inactividad de los clientes, estos preferirán otros sitios.
Ci= Costo de inactividad por cliente / por unidad de tiempo.
23. Costos
→ Costo total por unidad de tiempo
Corresponde a la suma de los costos de operación de operación e inactividad.
Se podría formular como:
CT(s) = sCo + Ci LCT(s) = sCo + Ci L
CT(μ) = uCu +Ci LCT(μ) = uCu +Ci L
