1. Хугацааны цуваа
Time-Series Forecasting
Б.Батзориг НЭМС

2. Агуулга
 Цаг хугацааны цуваа түүний ангилал
 Цаг хугацааны цувааны үндсэн тодорхойлогч үзүүлэлтүүд
 Хугацааны цувааг бүрдүүлэгч хэсэг
 Үржвэр бүтэцтэй хугацааны загвар
 Шаталсан дундаж ба экспопенцинал жигдрүүлэлт
 Жигдрүүлэлтийн аргаар хэтийн төлөв тооцох
 Хандлагад суурьлан хэтийн төлөв тооцох
 Шугаман ба муруй шугаман хандлагын загвар
Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим, НЭМС, ЭМШУИС 2

3. Агуулга
 Авторегрессив загвар ба түүнийг ашиглан хэтийн
төлөв буюу прогноз хийх
 Үлдэгдэлийн шинжилгээ
 Интерполяци ба Прогноз хийх
Эпидемиологи Биостатистикийн Тэнхим, НЭМС, ЭМШУИС 3

4. Энгийн хэтийн төлвийг тооцох
арга
Энгийн хэтийн
төлвийг тооцох арга
Хэтийн төлвийг тооцох Хэтийн төлвийг тооцох
чанарын аргууд тоон аргууд
 Түүхчилсэн өгөгдлийг
ашиглах боломжгүй үед Хугацааны цуваа Шалтгааны
 Өндөр субьектив
шүүмжлэлтэй өгөгдлийг  Өнгөрсөн үеийн өгөгдлийг
ашиглахад ашиглан ирээдүйн утгыг
тооцох

5. Хугацааны цувааны өгөгдөл
 Хугацааны интервал дах тоон өгөгдөл
 Жилээр, улирлаар, сараар, 7 хоногоор,
өдрөөр, цагаар гэх мэт...
 Жишээлбэл:
Жил: 2006 2007 2008 2009 2010
Нас баралт: 75.3 74.2 78.5 79.7 80.2

6. Хугацааны цувааны зураглал
Хугацааны цувааны зураглал хоѐр
хэмжээст графикаар дүрслэнэ
 Босоо тэнхлэг дээр Нас баралтын түвшин, Зүрх
16.00 судасны өвчин
судлаж байгаа 14.00
хувьсагч 12.00
10.00
8.00
 Хөндлөн тэнхлэгт 6.00
хугацааг байрлуулна 4.00
2.00
0.00
1985
1983
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1999
2001
2003
2005
2007
2009

7. Бүрэлдэхүүн хэсгүүд
(Components)
Хугацааны цуваа
Тренд Улирлын Цикл Тогтворгүй
(шокын)
Урт хугацаанд Улирлаар эсвэл Тодорхой Гадны хүчин
тасралтгүй сараар бүртгэж хугацааны зүйлээс
өсөх, буурах авсан өгөгдөл дараа эргэн шалтгаалж огцом
хандлагатай давтагддаг өөрчлөгддөг

8. Хандлагын компонент
 Урт хугацаанд тасралтгүй өсөх, буурах
хандлагатай тоон өгөгдөл
Үзэгдэл
Хугацаа

9. Хандлагын компонент
(үргэлжлэл)
 Хандлага өснө эсвэл буурна
 Хандлага нь шугаман эсвэл шугаман биш
Эхийн эндэгдэл Эхийн эндэгдэл
Хугацаа Хугацаа
Буурах шугаман хандлага Өсөх шугаман биш хандлага

10. Улирлын компонент
 Богино хугацаанд эргэн давтагддаг шинжтэй
 Жилд 1 ажиглагддаг
 Ихэвчлэн сараар эсвэл улирлаар
Өвчлөл
Зун
Өвөл
Зун
Хавар Намар
Өвөл
Хавар Намар
Хугацаа (улирлаар)

11. Цикл компонент
 Урт хугацааны дараа эргэн давтагддаг
 Ө.х урт хугацааны дараа өмнөх түвшинтэй
ойролцоо түвшинд хүрдэг
1 цикл
Эхийн эндэгдэл
Жил

12. Тогтворгүй компонент
 Олон тооны янз бүрийн үзэгдлүүдийн
нөлөөллөөр гарч ирдэг тогтвортой бус нэг
элемент байдаг.
 Хугацааны түвшингүүдийн огцом өөрчлөлт
 Жишээлбэл : байгалын гамшиг, шинэ төрлийн
өвчлөл

13. Тренд компонентийг хэрхэн
таних вэ?
 Хугацааны цувааны график дүрслэл
 Жигдрүүлэлт хэрэглэх
 Түгээмэл хэрэглэгддэг аргууд : дундажаар
жигдрүүлэх, экспоненциал жигдрүүлэлт

14. Жигдрүүлэх аргууд
 Дундажаар жигдрүүлэх (Moving Averages)
 L урттай дундажуудыг тооцох
 Экспоненциал жигдрүүлэх (Exponential
Smoothing)
 Жинлэгдсэн дундажуудыг тооцох

15. Дундажаар жигдрүүлэх
Moving Averages
 Жигдрүүлэхэд хэрэглэдэг
 Хугацаан дах арифметик дундажуудын цувааг
байгуулах
 Тооцогдсон дундажаараа цуваа үүсгэх
 Жишээлбэл:
 5 жилээр дундажлах, L = 5
 7 жилээр дундажлах, L = 7
 гэх мэт.
Chap 16-15

16. Дундажаар жигдрүүлэх
Moving Averages
(үргэлжлэл)
 Жишээлбэл: 5 жилээр дундажлах
 Эхний дундаж:
Y1  Y2  Y3  Y4  Y5
MA(5) 
5
 Хоѐрдох дундаж:
Y2  Y3  Y4  Y5  Y6
MA(5) 
5
 гэх мэт.

17. Жишээлбэл: Өгөгдөл(жилээр)
Жил Эндэгдэл
1 23
2 40
60
3 25
4 27 50
5 32 40
Эндэгдэл
6 48 30
7 33
20
8 37
10
9 37
10 50 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11 40 Жилээр
гм ... гм…

18. Calculating Moving Averages
5-жилийн
Дундаж дундажаар
Жил Эндэгдэл
жил жигдрүүлэх
1 2  3  4  5
1 23
3 29.4 3
2 40 5
4 34.4
3 25 23  40  25  27  32
5 33.0 29.4 
4 27 5
6 35.4
5 32
7 37.4
6 48
8 41.0
7 33
9 39.4
8 37
etc… … …
9 37
10 50  Блок бүр нь 5 жилийн дундажууд
11 40

19. Жил ба жигдрүүлэл
5 жилээр
жигдрүүлэлт 60
хийхэд эхний 2 50
оны өгөгдөл 40
тооцогдохгүй
Эндэгдэл
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Жил
Annual 5-Year Moving Average

20. Экспоненциал жигдрүүлэлт
 Used for smoothing and short term
forecasting (one period into the future)
 Жинлэгдсэн дундаар жигдрүүлэх
 Weights decline exponentially
 Most recent observation is given the highest
weight

21. Экспоненциал жигдрүүлэлт
(үргэлжлэл)
 W нь жин (жигдрүүлэх коэффициент)
 Субьектив сонголт
 [0,1] хооронд утгаа авдаг
 Жин нь:
 Цикл, тогтворгүй элемент ихтэй бол 0 рүү
ойрхон
 Бага бол 1тэй ойрхон авна

22. Экспоненциал
жигдрүүлэлтийн загвар
Загвар :

E1  Y1
Ei  WYi  (1 W )Ei1
i = 2, 3, 4, …
Энд :
Ei = i хугацаанд дах экспоненциал жигдрүүлсэн утга
Ei-1 = i-1 хугацаанд дах экспоненциал жигдрүүлсэн утга
Yi = i хугацаанд дах бодит утга
W = жин (жигдрүүлэх коэффициент), 0 < W < 1

23. Жишээ
 W = 0.2 гэж үзвэл
(Ei) хугацаан дах
Эндэгдэл
Хугацаа (i)
(Yi) (Ei-1) утга экспоненциал
жигдрүүлсэн утга
1 23 -- 23 E1 = Y1
2 40 23.000 (.2)(40)+(.8)(23)=26.4
3 25 26.400 (.2)(25)+(.8)(26.4)=26.12
4 27 26.120 (.2)(27)+(.8)(26.12)=26.296
5 32 26.296 (.2)(32)+(.8)(26.296)=27.437
Ei 
6 48 27.437 (.2)(48)+(.8)(27.437)=31.549
WYi  (1  W )Ei1
7 33 31.549 (.2)(48)+(.8)(31.549)=31.840
8 37 31.840 (.2)(33)+(.8)(31.840)=32.872
9 37 32.872 (.2)(37)+(.8)(32.872)=33.697
10 50 33.697 (.2)(50)+(.8)(33.697)=36.958
гэх мэт гэх мэт гэх мэт гэх мэт

24. Эндэгдэл ба жигдрүүлсэн
эндэгдэл
 Тогтворгүй
элемент багатай
учраас W=0.2
байхаар сонгосон

25. i + 1 хугацаан дах хэтийн
төлөв
 (i + 1) хугацаан дах хэтийн төлвийн
утга нь (i) хугацаан дах жигдрүүлсэн
утгатай тэнцүү :
ˆ
Yi1  Ei

26. Excel ашиглах
 data analysis / exponential smoothing
 “damping factor” нь (1 - W)
Экспоненциал Хугацаа Эндэгдэл Жигдрүүлсэн
жигдрүүлэлт 1 23
60 2 40 23
3 25 26.4
40
Утга
4 27 26.12
20 Actual 5 32 26.296
0 Forecast 6 48 27.4368
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 33 31.54944
8 37 31.83955
Хугацаа
9 37 32.87164
10 50 33.69731
Chap 16-26

27. Түгээмэл хэрэглэдэг хандлагын
загварууд
 Шугаман загвараар хэтийн төлөв тооцох
 Шугаман бус загвараар хэтийн төлөв тооцох
 Экспоненциал загвараар хэтийн төлөв
тооцох

28. Шугаман загвар
Регрессийн тэгшитгэлээр шугаман загвар үнэлэх
Хугацаа  Хугацаа (X) нь үл
Эндэгдэл
Жил (X)
(Y) хамаарах хувьсагч:
2004 0 20
2005 1 40 ˆ
Y  b0  b1X
2006 2 30
2007 3 50
2008 4 70 X хувьсагчийг 0-ээс эхлэн нэг жилээр
ихсэх дарааллаар дахин байгуулдаг
2009 5 65

29. Шугаман загвар (үргэлжлэл)
Хэтийн төлөв тооцох тэгшитгэл:
Хугацаа ˆ
Yi  21.905  9.5714 Xi
(X) Эндэгдэл
Жил (Y) Хандлага
2004 0 20
80
2005 1 40 70
60
2006 2 30 50
Эндэгдэл
40
2007 3 50 30
20
2008 4 70 10
2009 5 65 0
0 1 2 3 4 5 6
Жил
Chap 16-29

30. Шугаман загвар (үргэлжлэл)
 Прогнозын утга 6 (2010):
ˆ
Y  21.905 9.5714(6)
Хугацаа
Жил (X) Эндэгдэл  79.33
(Y)
Хандлага
2004 0 20
80
2005 1 40
70
2006 2 30 60
50
Эндэгдэл
2007 3 50 40
2008 4 70 30
20
2009 5 65 10
0
2010 6 ?? 0 1 2 3 4 5 6
Жил
Chap 16-30

31. Шугаман бус загвар
 График нь шугаман бус хандлагатай
тохиолдолд шугаман бус загварыг ашиглана.
 Квадратлаг хэлбэр нь шугаман бус загварын
нэг хэлбэр
Yi  0  1Xi  2 X  i
2
i
 Шугаман ба квадрат загварын засварласан r2
болон стандарт алдаануудыг харьцуулах
 Шугаман бус загварын өөр хэлбэртэй
харьцуулах

32. Экспоненциал загвар
 Шугаман бус загвар:
Yi  β β
Xi
0 1 εi
 Шугаман хэлбэрт хувиргавал:
log(Yi )  log(β0 )  Xi log(β1 )  log(εi )

33. Экспоненциал загвар (үргэлжлэл)
 Хэтийн төлөв тооцох тэгшитгэл:
ˆ
log(Yi )  b0  b1Xi
Энд b0 = log(β0) – ийн үнэлгээ
b1 = log(β1) – ийн үнэлгээ
Тайлан:
ˆ
(β1  1)  100% нь жилд хэдэн хувиар өсөхийг
харуулдаг

34. Ялгааг ашиглан загвар
сонгох
 Анхдагч ялгаварыг ашиглах, шугаман
загварыг ашиглана
(Y2  Y1 )  ( Y3  Y2 )    ( Yn  Yn-1 )
 Хоѐрдогч ялгаварыг ашиглах, квадрат
загварыг ашиглах
[(Y3  Y2 )  ( Y2  Y1 )]  [(Y4  Y3 )  ( Y3  Y2 )]
   [(Yn  Yn-1 )  ( Yn-1  Yn-2 )]

35. Ялгааг ашиглан загвар
сонгох (үргэлжлэл)
 Хувийн ялгааг харгалзах, экспоненциал
загварыг ашиглах
(Y2  Y1 ) (Y3  Y2 ) (Yn  Yn-1 )
 100%   100%     100%
Y1 Y2 Yn-1

36. Авторегрессийн загвар
 Хэтийн төлөв тооцох
 Автокорреляцийн давуу тал
 1-р эрэмбийн – дараах, өмнөх хугацааны өгөгдлийн
корреляци
 2-р эрэмбийн – 2 хугацааны өгөгдлийн корреляци
 p эрэмбийн авторегрессийн загвар:
Yi  A 0  A1Yi-1  A 2 Yi-2    A p Yi-p  δi
Алдаа

37. Авторегрессийн загвар:
Жишээ
Сүлийн 8 жилийн туршид тохиолдсон машины ослын
тухай тоон мэдээлэл бүртгэгджээ.
2-р эрэмбийн авторегрессийн загварыг байгуулбал.
жил нэгж
02 4
03 3
04 2
05 3
06 2
07 2
08 4
09 6

38. Авторегрессийн загвар:
Жишээ
 хүснэгтээр үзүүлсэн Жил Yi Yi-1 Yi-2
02 4 -- --
 регрессийн загвар
03 3 4 --
тооцвол 04 2 3 4
05 3 2 3
06 2 3 2
Coefficients 07 2 2 3
I n te rc e p t 3.5 08 4 2 2
X V a ri a b l e 1 0.8125 09 6 4 2
X V a ri a b l e 2 -0 . 9 3 7 5
ˆ
Yi  3.5  0.8125Yi1  0.9375Yi2

39. Авторегрессийн загвар
Жишээ: Прогноз
2010 оны осолд өртсөн хүний тоог
таамаглах:
ˆ
Yi  3.5  0.8125Yi 1  0.9375Yi  2
ˆ
Y2010  3.5  0.8125(Y2009)  0.9375(Y2008)
 3.5  0.8125(6)  0.9375(4)
 4.625

40. Авторегрессийн загварын
алхмууд
1. p олох (df = n – 2p – 1 чөлөөний зэрэг)
2.“хоцрогдолтой предиктор” хувьсагчийн утгууд
Yi-1 , Yi-2 , … ,Yi-p
3.Бүх р –дээр байгуулсан загварыг
статистикийн програм ашиглан тооцсон гэж
үзвэл
4.Ap тестийн статистик ач холбогдол
 Тэг таамаглалыг няцаавал, энэ загварыг
ашиглана
 Тэг таамаглалыг хүлээж авбал р-г 1-р бууруулж
дахин тооцно

41. Хэтийн төлөв тооцох
загварыг сонгох
 Алдааны шинжилгээний хийх
 Цувааг тэгшитгэх, жигдрүүлэх
 Квадрат ялгааг ашиглан алдааны
далайцыг хэмжих ба алдаа нь хамгийн
бага байх загварыг сонгох
 Абсолют ялгааг ашиглан алдааны
далайцыг хэмжих ба алдаа нь хамгийн
бага байх загварыг сонгох

42. Алдааны шинжилгээ
e e
0 0
T T
Санамсаргүй алдаа Цикл нөлөөлөлгүй цуваа
e e
0 0
T T
Трендгүй цуваа Улирлын биш цуваа

43. Алдааг хэмжих
 Хамгийн бага алдаатай загварыг сонгох
 Алдааны  Дундаж абсолют
квадратуудын хазайлт (MAD)
нийлбэр (SSE)
n
n
SSE   (Yi  Yi )2
ˆ  Y Y
ˆ
i i
MAD  i1
i1 n
 Алсын утгуудад мэдрэг  Хэт өндөр, бага утгуудыг
бага мэдрэг
outlier extreme

44. Гол санаа
 Өгөгдлийн хамгийн сайн тайлбарлах
загварыг сонгох, загваруудыг
харьцуулан
 Хамгийн энгийн загваруудыг сонгох
 Шугаман загвар
 Квадрат загвар
 1-р эрэмбийн авторегрессийн загвар
 Илүү нарийн аргууд:
 2,3-р эрэмбийн авторегрессийн загвар
 Экспоненциал загвар

45. Улирлын компонентийн хэтийн
төлвийг тооцох
 Хугацааны цуваа нь ихэвчлэн
жилээр, сараар өгөгддөг
 Эдгээр цуваа нь ихэвчлэн
тренд, улирал, тогтворгүй компонентүүдийг
агуулж байдаг.
 Улирлаар өгөгдсөн цувааны хувьд
 Шинэ 3 дамми хувьсагчид задлана
Q1 = 1 /1-р улирал, бусад 0/
Q2 = 1 /2-р улирал, бусад 0/
Q3 = 1 /3-р улирал, бусад 0/
(Q1 = Q2 = Q3 = 0 4-р улирал )

46. Улирлын өгөгдлийн
экспоненциал загвар
Yi  β β β2 β3 β4 ε i
Xi Q1 Q2 Q3
0 1
(β1–1)x100% хэдэн хувиар өсөх, буурахыг илэрхийлдэг
Βi i-р улирлыг 4-р улиралтай харьцуулахад (i = 2, 3, 4)
 Шугаман хэлбэрт хувиргавал:
log(Yi )  log(β0 )  Xilog(β1 )  Q1log(β2 )
 Q2log(β3 )  Q3log(β4 )  log(ε i )

47. Улирлын загварыг үнэлэх
 Экспоненциал тэгшитгэл:
ˆ
log(Yi )  b0  b1Xi  b2Q1  b3Q2  b4Q3
Энд b0 = log(β0)-ийн үнэлгээ, ˆ
10b0  β0
b1 = log(β1) -ийн үнэлгээ, ˆ
10b1  β
1
гэх мэт…

48. Тайлбар
ˆ
(β1  1)  100% = улиралд хэдэн хувиар өсөх, буурахыг харуулдаг
ˆ
β2 = 1-р улирлыг бусад улиралтай харьцуулаха хэдэн %-аар
өсөх буурах
ˆ
β3 = 2-р улирлыг бусад улиралтай харьцуулаха хэдэн %-аар
өсөх буурах
ˆ
β4 = 3-р улирлыг бусад улиралтай харьцуулаха хэдэн %-аар
өсөх буурах
Chap 16-48

49. Жишээ
 Тэгшитгэл нь:
ˆ
log(Yi )  3.43  .017Xi  .082Q1  .073Q2  .022Q3
b0 = 3.43, so ˆ
10b0  β0  2691.53
b1 = .017, so ˆ
10b1  β1  1.040
ˆ
b2 = -.082, so 10b2  β2  0.827
b3 = -.073, so ˆ
10b3  β3  0.845
b4 = .022, so ˆ
10b4  β4  1.052

50. Жишээ
(үргэлжлэл)
Утга: Тайлбар:
β0  2691.53 Эхний жилийн эхний улиралын засварлагдаагүй
ˆ
тренд утга
ˆ
β1  1.040 4.0% = улирал тутамд хувиар өснө.
ˆ 1-р улиралд 4-р улиралтай харьцуулахад 82.7%-аар
β2  0.827
өссөн
ˆ
β3  0.845 2-р улиралд 4-р улиралтай харьцуулахад 84.5% -аар
өссөн
ˆ
β4  1.052 2-р улиралд 4-р улиралтай харьцуулахад 105.2 % -
аар өссөн

51. АСУУЛТ
Chap 16-51

52. АНХААРАЛ ТАВЬСАНД БАЯРЛАЛАА
Chap 16-52