1. DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MAT 024
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
PROYECTO DE MATEMÁTICA
GENERADORES DE CORRIENTE CONTINUA
Y CORRIENTE ALTERNA
Integrantes:
- Lindsay Astorga
2512015-9
- Rodrigo Sánchez
2423016-3
- Alex Santander
2523002-7
- Cristoffer Tapia
2423010-4
Profesor:
- Renato Vásquez T.
Fecha de entrega:
- 16 de noviembre de 2006

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INTRODUCCIÓN
El presente trabajo esta realizado sobre la segunda temática del curso matemáticas IV, la
que se resume principalmente en Integrales de Línea. El tema fue escogido por
unanimidad ya que creemos que es importante en todas las áreas de la ingeniería el
conocimiento con respecto a campos magnéticos y la inducción de una fuerza
electromotriz a través de estos campos.
Para esto nos ayudaran unos teoremas relacionados con la materia de Integrales de
Línea: el teorema de Stokes, la ley de inducción de Faraday y el teorema de Gauss los
cuales aplicaremos sobre curvas cerradas (espiras).
Es importante destacar que las demostraciones de los teoremas antes mencionados se
hacen en laboratorios o en su defecto ya han sido explicados en las clases por lo que el
motivo de este trabajo será ver la aplicación de estos a la física eléctrica.
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PRINCIPIOS MATEMÁTICOS
Primero, analizaremos de qué forma el teorema de Stokes nos proporciona una
herramienta (el teorema de Faraday) increíblemente poderosa para poder describir el
proceso de transformación de energía de un generador de corriente.
La ley de inducción de Faraday,
nos dice que un campo magnético variable es capaz de producir una fem y por tanto un
campo eléctrico. La fem generada es totalmente de origen magnético y puede obtenerse
a partir de la expresión de la fuerza de Lorentz para una espira cargada que se mueve a
una velocidad v en el seno de un campo magnético B (motional electromotive force –
fuerza electromotriz).
Imaginemos una espira en movimiento en presencia de un campo magnético B. En el
instante t, la espira viene definida por un contorno C(t) que limita la superficie S(t), en
verde en la figura. Recordemos que la dirección del pseudovector superficie viene
definida por el Teorema de Stokes. Después de un instante de tiempo dt, el contorno se
habrá desplazado a una nueva posición, que viene definida en la figura por C(t + dt),
contorno que encierra la superficie S(t + dt) (en amarillo en la figura).
Del teorema de Gauss aplicado al campo magnético
por tanto si consideramos la superficie cerrada como la formada por S(t), S(t + dt) y la
superficie lateral dS, el flujo a través de la superficie total es cero, es decir
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El flujo de la segunda integral es negativo porque el vector superficie debe ir hacia fuera
de la superficie cerrada (va en dirección contraria del dS definido por el Teorema de
Stokes). Como se trata de cantidades infinitesimales podemos escribir
luego la variación temporal del flujo sobre la superficie lateral es
es igual a la variación temporal de la diferencia de flujos entre las superficies de los
contornos, cambiada de signo.
Nos falta relacionar el flujo lateral con la fuerza electromotriz. Esto puede hacerse
utilizando la definición de fuerza electromotriz y el hecho de que la fuerza es de origen
magnético:
Cuando la espira se desplaza, el elemento dl sobre la espira sigue siendo el mismo,
puesto que se trata del mismo contorno. El significado de v por tanto hay que buscarlo en
la figura anterior, es v = dr/dt, siendod r la cantidad diferencial que se ha desplazado la
espira en el tiempo dt. Por lo tanto, podemos escribir
siendo dS la superficie definida por el vector dS = ∑contorno dlµ dr, es decir la superficie
lateral. Pero esto no es mas que la variación del flujo a través de la superficie lateral, es
decir
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Conceptos Básicos.
Los generadores de corriente alterna también se denominan alternadores. Casi toda la
energía eléctrica para uso domestico e industrial es entregada por alternadores de las
plantas generadoras. Un alternador sencillo consta, principalmente, de un imán
permanente (por lo común con algunos pedazos de hierro), que se usa para producir un
intenso campo magnético constante; y por toro lado, conductores que giran en el campo
magnético. El campo magnético es producido por el paso de una corriente por la bobina
del campo estacionaria, o estator. La excitación de la bobina del campo es proporcionada
por una batería o alguna otra fuente de cc.
En primer lugar analizaremos el caso más simple, que es el de un generador que consta
de una bobina de alambre que gira en un campo magnético uniforme. Supongamos que
tenemos una bobina circular de alambre que puede girar en un eje paralelo a uno de sus
diámetros. Ahora colocamos esta bobina en un campo magnético perpendicular el eje de
rotación, como el que se muestra en la figura nº1.
Figura 1: Una bobina de
alambre girando en un campo
magnético uniforme.
Debido a la rotación de la bobina, el flujo magnético a través de ella variará. Por lo tanto el
circuito de la bobina tendrá una f.e.m. (fuerza electromotriz). Sea S el área de la bobina y
θ el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano de la bobina. Entonces el flujo a
través de la bobina es
BScosθ
Si la bobina gira con velocidad angula uniforme ω, θ varía con el tiempo como θ = ωt
Cada vuelta de la bobina tendrá una fem igual a la derivada de este flujo respecto al
tiempo. Si la bobina tiene N vueltas de alambre, la fem total será N veces más grande, es
decir
∂ = -N d/dt (BS cosωt) = NBSω sinωt
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Funcionamiento
a) Generadores de Corriente Continua (cc)
Sabemos que se puede producir electricidad haciendo que un conductor atraviese un
campo magnético. Este es el principio de producción de corriente de cualquier generador
dinamo − eléctrico, desde el mas pequeño hasta los gigantescos que producen miles de
kilovatios de potencia. Con el fin de comprender mejor el funcionamiento de los
generadores prácticos, examinemos un generador elemental compuesto por un conductor
y un campo magnético para observar como puede producir electricidad aprovechable.
Una vez conocido el funcionamiento de la maquina dinamo − eléctrica elemental, no habrá
dificultad en apreciar como se convierte a la misma en un generador practico.
El generador elemental está constituido por una espira de alambre colocada de manera
que pueda girar dentro de un campo magnético fijo y que produzca una tensión inducida
en la espira. Para conectar la espira al circuito exterior y aprovechar la f.e.m. inducida se
utilizan contactos deslizantes.
Las piezas polares son los polos norte y sur del imán que suministran el campo
magnético. La espira de alambre que gira a través del campo magnético se llama inducido
o armadura. Los cilindros a los cuales están conectados los extremos del inducido se
denominan "anillos rozantes" o de contacto, los cuales giran a la vez que el inducido.
Unas escobillas van rozando los anillos de contacto para recoger la electricidad producida
en la armadura y transportarla al circuito exterior.
Al describir la acción del generador, veremos la manera en que la espira va girando a
través del campo magnético cuando los costados de la espira atraviesan el campo
magnético, generan una fuerza electromotriz inducida que produce un flujo de corriente en
la espira, en los anillos de contacto, en las escobillas en el instrumento de medición y en
la resistencia de carga, todos conectados en serie. La fuerza electromotriz inducida que
se produce en las espiras, y por lo tanto la corriente que fluye, dependen de la posición
en que se encuentra la espira en relación con el campo magnético. Ahora
analizaremos la acción de la espira a medida que gira a través del campo.
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Vamos a suponer que la espira que forma el inducido esta girando en el mismo sentido de
las agujas de un reloj que su posición inicial es A (cero grados), la espira es perpendicular
al campo magnético y los conductores negro y blanco de la espira que forman el inducido,
se desplazan paralelamente al campo. Al moverse el conductor paralelamente al campo
magnético no corta líneas de fuerza y por lo tanto no se puede generar en él ninguna
fuerza electromotriz. Esto rige para los conductores de la espira en el instante en que
pasan por la posición A, no se genera en ellos fuerza electromotriz y, por lo tanto, no
existe flujo de corriente en el circuito. El instrumento indica cero.
A medida que la espira va pasando de la posición A a la posición A, los conductores
atraviesan cada vez más líneas de fuerza hasta que, cuando están a noventa grados
(posición B), cortan la máxima
Cantidad de líneas de fuerza. En otras palabras, entre cero y 90 Grados la fuerza
electromotriz inducida en los conductores va aumentando de cero a un valor máximo.
Observaremos que de cero a 90 grados el conductor negro corta al campo hacia abajo,
mientras que al mismo tiempo el conductor blanco corta al campo hacia arriba. Las
fuerzas electromotrices inducidas en los dos conductores están en serie, por lo tanto se
suman, por lo cual el voltaje resultante en las escobillas (tensión en bornes) es la suma de
dos fuerzas electromotrices inducidas, puesto que los voltajes inducidos son iguales entre
sí. La intensidad del circuito varía de la misma manera que la fuerza electromotriz
inducida y es nula a cero grados y llega a un máximo de 90 grados. La aguja del
instrumento se va desviando cada vez más a la derecha entre las posiciones A y B,
indicando que la corriente de la carga, está circulando en esa dirección. El sentido del
flujo de corriente y la polaridad de la fuerza electromotriz inducida dependen del sentido
de giro del inducido.
A medida que la espira va girando desde la posición B (90 grados) hasta la posición C
(180 grados), los conductores que están atravesando una cantidad máxima de líneas de
fuerza en la posición B, van atravesando menos líneas hasta que, cuando llegan a la
posición C, se desplazan paralelamente al campo magnético y ya no cortan líneas de
fuerza. Por lo tanto, la fuerza electromotriz inducida irá disminuyendo de 90 a 180 grados
de la misma manera que aumentaba de cero a 90 grados. El flujo de corriente seguirá de
la misma manera las variaciones de tensión. De cero a 180 grados los conductores han
venido desplazándose en el mismo sentido a través del campo magnético, por lo tanto, la
polaridad de la fuerza electromotriz inducida no ha variado. Ahora bien, cuando la espira
comienza a girar más allá de 180 grados para volver a la posición A, el sentido del
movimiento transversal de los conductores en el campo magnético se invierten ahora el
conductor negro sube dentro del campo magnético y el conductor blanco desciende.
En consecuencia, la polaridad de la fuerza electromotriz inducida y el flujo se invierten.
Desde las posiciones C y D hasta la posición A, el flujo de corriente tendrá un sentido
opuesto al que tiene entre las posiciones A y C. La tensión en el generador será la misma
que de A a C, pero la polaridad será inversa.
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Examinemos con mayor detenimiento la onda de salida del generador elemental, la
tensión de corriente continua, puede presentarse como una línea recta cuya distancia por
encima de la línea de referencia "cero" depende de su valor.
El voltaje generado, no es tensión continua, puesto que el de tensión continua es un
voltaje que mantiene la misma polaridad en todo momento. El voltaje generado se llama
"voltaje alterno" porque alterna periódicamente mas o menos, comúnmente se dice voltaje
c.a. El flujo de corriente, puesto que varia al mismo tiempo que el voltaje, también es
alterno. A este flujo de corriente se le denomina corriente alterna. La corriente alterna
siempre esta asociada con la tensión alterna, puesto que la tensión alterna siempre
produce un flujo de corriente alterna.
A- Forma de onda de un generador de
corriente continua de una sola espira.
B- Forma de onda con más de una espira.
Como hemos, visto en el generador elemental la tensión alterna inducida en la espira
invierte su polaridad cada vez que pasa de cero a 180 grados. En esos puntos los
conductores de la espira invierten el sentido de desplazamiento a través del campo
magnético. Sabemos que la polaridad de la fuerza electromotriz inducida depende del
sentido en que el conductor se mueve a través del campo magnético.
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Si se invierte el sentido, la polaridad también se invierte. Como la espira sigue girando
dentro del campo, sus conductores siempre tendrán una fuerza electromotriz inducida
alterna en ellos. Por lo tanto, la única manera de obtener corriente continua del generador
es convertir la corriente alterna producida en corriente continua. Una de las maneras de
hacerlo es con un interruptor conectado a la salida del generador. Este interruptor debe
estar instalado de manera que invierta la polaridad de la tensión de salida en los
momentos en que la polaridad de la fuerza electromotriz inducida se modifique dentro del
generador.
El interruptor tendría que ser accionado a mano cada vez que la polaridad del voltaje se
invierte. Si se hiciera esto, el voltaje aplica do a la carga siempre tendría la misma
polaridad y el flujo de corriente en la resistencia no cambiaría de sentido, aunque
aumentaría y disminuiría de valor a medida que girase la espira.
Para convertir el voltaje alterno del generador en voltaje continuo variable es necesario
accionar el interruptor dos veces por ciclo. Si el generador esta produciendo c.a de 60
ciclos por segundo sería necesario mover el interruptor 120 veces por segundo para
convertir la C.A. en c.c. Sería imposible accionarlo manualmente a tanta velocidad y
diseñar un dispositivo mecánico, seria poco practico. Si teóricamente el interruptor sirve
para hacer la tarea, será necesario reemplazarlo por algo que produzca la misma acción a
gran velocidad.
Los anillos de contacto del generador elemental se pueden modificar de modo que den el
mismo resultado práctico que el interruptor mecánico que hemos mencionado. Para
hacerlo, eliminamos uno de los anillos de contacto y el otro lo dividimos en dos a lo largo
de su eje. Los extremos de la bobina están conectados con cada una de las dos partes
del anillo. Las partes del anillo de contacto están aisladas entre si para evitar el contacto
eléctrico entre ellas, así como con cualquier otra parte de la armadura. Al anillo dividido
completo se le conoce con el nombre de colector y su acción de convertir c.a. en c.c. se
conoce con el nombre de conmutación. A las partes del colector, se les llama delgas. las
escobillas están colocadas frente a frente y las delgas del colector están montadas de
manera que hacen cortocircuito con las escobillas cuando la espira pasa por los puntos de
voltaje cero. Observemos también que a medida que la espira gira, cada uno de los
conductores estará. conectado por medio del colector, primero con la escobilla positiva y
después con la escobilla negativa.
Cuando la espira de la armadura gira, el colector cambia automáticamente el contacto de
cada extremo de la espira de una escobilla a la otra, cada vez que la espira de media
revolución. Esta acción es exactamente igual que la del interruptor de inversión.
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Piezas mínimas de un generador de cc
Carcasa: a la carcasa se le llama a veces bastidor principal. Es el cimiento de la máquina
y sostiene a todos los otros componentes. Además sirve para completar el campo
magnético entre las piezas polares.
Piezas polares: Las piezas polares están formadas por muchas capas delgadas de hierro
o acero, unidas entre sí y sujetas por dentro de la carcasa. Estas piezas polares sostienen
las bobinas de campo y están diseñadas para producir un campo concentrado. La
laminación de los polos se debe a que evitan las corrientes parásitas.
Bobinados de campo: Los bobinados de campo, cuando están montados sobre las
piezas polares, forman electroimanes que suministran el campo magnético necesario para
el funcionamiento de la dínamo. A los bobinados y piezas polares se les llama a menudo
campos. Los bobinados son bobinas de alambre aislado que ha sido arrollado de manera
que encaje en forma ajustada en las piezas polares. La corriente que circula por las
bobinas produce el campo magnético. Las dinamos pueden tener dos polos o varios pares
de polos. Cualquiera que sea el número polos, los alternos siempre tendrán polaridad
contraria.
Casquetes: los casquetes están montados en los extremos del bastidor principal y
contienen los cojinetes de la armadura. El casquete posterior suele sostener el cojinete
solo mientras el anterior sostiene el juego de escobillas.
Portaescobillas: Este componente consiste en una pieza de material aislante, sostiene
las escobillas y sus conductores respectivos. Los portaescobillas vienen asegurados con
grapas al casquete delantero. En algunas dínamos los portaescobillas pueden hacerse
girar alrededor del árbol para su ajuste.
Inducido: Prácticamente en todas las dínamos de c.c. el inducido gira entre los polos del
estator. El inducido está. formado por el eje, núcleo, bobinas y colector. El núcleo del
inducido es laminado y tiene unas ranuras para alojar las bobinas. El colector esta hecho
con trozos de cobre aislado entre sí y con respecto al eje estos trozos de cobre, llamados
delgas, están asegurados con anillos de retención para impedir que patinen debido a la
fuerza centrífuga, en los extremos de la delgas hay unas pequeñas ranuras a las cuales
se sueldan las bobinas del inducido. El árbol o eje sostiene el conjunto del inducido y gira
apoyado en los cojinetes de los casquetes
Entre el inducido y las piezas polares existe un pequeño espacio llamado entrehierro para
evitar el rozamiento entre esas partes durante la rotación el entrehierro siempre es
pequeño, para que la fuerza del campo sea máxima.
Escobillas: Las escobillas rozan sobre el colector y transportan la tensión generada a la
carga. Las escobillas suelen estar elaboradas de grafito duro y son mantenidas en
posición por el portaescobillas. La escobillas puedan subir y bajar dentro de los
portaescobillas para seguir las irregularidades de su superficie del colector. Un conductor
flexible llamado chicote conecta las escobilla. con el circuito externo.
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Núcleo laminado: Para evitar las corrientes parásitas, los núcleos en los motores están
hechos con láminas metálicas superpuestas.
b) Generadores de Corriente Continua (cc) o Alternadores
Como vimos anteriormente, un generador simple sin conmutador producirá una corriente
eléctrica que cambia de dirección a medida que gira la armadura. Este tipo de corriente
alterna es ventajosa para la transmisión de potencia eléctrica, por lo que la mayoría de los
generadores eléctricos son de este tipo. En su forma más simple, un generador de
corriente alterna se diferencia de uno de corriente continua en sólo dos aspectos: los
extremos de la bobina de su armadura están sacados a los anillos colectores sólidos sin
segmentos del árbol del generador en lugar de los conmutadores, y las bobinas de campo
se excitan mediante una fuente externa de corriente continua más que con el generador
en sí. Los generadores de corriente alterna de baja velocidad se fabrican con hasta 100
polos, para mejorar su eficiencia y para lograr con más facilidad la frecuencia deseada.
Los alternadores accionados por turbinas de alta velocidad, sin embargo, son a menudo
máquinas de dos polos. La frecuencia de la corriente que suministra un generador de
corriente alterna es igual a la mitad del producto del número de polos y el número de
revoluciones por segundo de la armadura.
A veces, es preferible generar un voltaje tan alto como sea posible. Las armaduras
rotatorias no son prácticas en este tipo de aplicaciones, debido a que pueden producirse
chispas entre las escobillas y los anillos colectores, y a que pueden producirse fallos
mecánicos que podrían causar cortocircuitos. Por tanto, los alternadores se construyen
con una armadura fija en la que gira un rotor compuesto de un número de imanes de
campo. El principio de funcionamiento es el mismo que el del generador de corriente
alterna descrito con anterioridad, excepto en que el campo magnético (en lugar de los
conductores de la armadura) está en movimiento.
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La corriente que se genera mediante los alternadores descritos más arriba, aumenta
hasta un pico, cae hasta cero, desciende hasta un pico negativo y sube otra vez a cero
varias veces por segundo, dependiendo de la frecuencia para la que esté diseñada la
máquina. Este tipo de corriente se conoce como corriente alterna monofásica. Sin
embargo, si la armadura la componen dos bobinas, montadas a 90º una de otra, y con
conexiones externas separadas, se producirán dos ondas de corriente, una de las cuales
estará en su máximo cuando la otra sea cero. Este tipo de corriente se denomina
corriente alterna bifásica. Si se agrupan tres bobinas de armadura en ángulos de 120º, se
producirá corriente en forma de onda triple, conocida como corriente alterna trifásica. Se
puede obtener un número mayor de fases incrementando el número de bobinas en la
armadura, pero en la práctica de la ingeniería eléctrica moderna se usa sobre todo la
corriente alterna trifásica, con el alternador trifásico, que es la máquina dinamoeléctrica
que se emplea normalmente para generar potencia eléctrica.
Principio básico de un
generador de corriente
alternada.
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CONCLUSION
Con este proyecto, pudimos dimensionar la gran implicancia que tiene la matemática en el
mundo ingenieril. Sin duda, la base industrial del mundo moderno en que vivimos reposa
en los números y su gran fuente de soluciones a problemas físicos.
La electricidad, como bien sabemos, es una de las áreas técnicas con mayor
aprovechamiento en el planeta. Siempre nos encontramos en contacto con algún artefacto
electrónico, necesitamos luz artificial en los momentos de oscuridad, etc. Con este trabajo
pudimos aprender satisfactoriamente cómo se produce la energía eléctrica de una manera
eficaz e inteligente.
Cabe destacar que tres cuartos de nuestro grupo está conformado por estudiantes de la
carrera de Ingeniería Civil Eléctrica, y un estudiante perteneciente a la carrera de
Construcción Civil. No cabe duda que todos estaremos en contacto con la electricidad, y
comenzar nuestros ramos de carrera con una idea en mente acerca del
electromagnetismo nos acerca a una mejor preparación psicológica para lo que viene.
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BIBLIOGRAFÍA
Fundamentos de Electrónica – R. Boylestad, L. Nashelsky. Prentice-Hall
Hispanoamericana. Cuarta Edición, 1997.
Fundamentos de Electricidad – M. Gussow. McGraw-Hill. 1991.
Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba. Adisson-Wesley Iberoamericana. Quinta
Edición, 2004.
The Feynman Lectures On Physics, Volume II – R. Feynman, R. Leighton, M. Sands.
California Institute of Technology, 1989.
Cálculo con geometría analítica – Thomas G., Finney R.
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