1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
PROJETO ENGENHEIRO DO FUTURO
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM NOVAS METODOLOGIAS
PARA O ENSINO MÉDIO EM CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
Oficina sobre Funções
Professoras: Isolda Gianni de Lima, Laurete Zanol Sauer e Solange Galiotto Sartor
(iglima@ucs.br, lzsauer@ucs.br, sgsartor@ucs.br)
A proposta desta oficina é oferecer aos professores uma possibilidade de atualização no
estudo de funções. Como sabemos, trata-se de um dos conceitos fundamentais da Matemática,
além de ser indispensável no estudo de Matemática aplicada à Engenharia, já que pode ser
considerado o ponto de partida para a construção dos conceitos de derivada e de integral que são
a base do Cálculo Diferencial e Integral.
Com um enfoque interdisciplinar esperamos que, ao final da atividade proposta, todos os
participantes tenham condições de identificar, em suas respectivas áreas, possíveis relações
interdisciplinares deste estudo com o de temas relacionados às suas especificidades. De fato, a
interdisciplinaridade constitui-se em um fator de transformação pessoal e não apenas na
integração de teorias, conteúdos, métodos ou outros aspectos do conhecimento. A integração é
apenas um momento do processo, que possibilita chegar a novos questionamentos, novas buscas,
para uma mudança na atitude de compreender e de entender. Sem dúvida, trata-se de um
momento privilegiado que esperamos estar valorizando, neste Curso, em que pretendemos
promover a interação das disciplinas entre si e com a realidade, de modo a superar a
fragmentação do ensino, objetivando a formação integral dos alunos, a fim de que possam
exercer criticamente a cidadania, mediante uma visão global de mundo e serem capazes de
enfrentar os problemas complexos, amplos e globais da realidade atual. (CARLOSA, J. G.,
ZIMMERMANN, E., Análise da concepção de interdisciplinaridade nos documentos oficiais).
Quanto aos professores de Matemática, esperamos que estes, partindo das idéias aqui
discutidas, possam organizar suas aulas, as quais devem, evidentemente, ser complementadas
com outras propriedades e outros conceitos necessários, com exercícios e atividades para os
alunos.
Funções representam fenômenos que envolvem duas grandezas, entre as quais existe uma
determinada relação de dependência. Assim:
a variação do peso de frangos num aviário num determinado período de tempo;
os instantes de chegadas sucessivas na fila de um banco;
a demanda diária de um determinado produto no supermercado;
a temperatura mensal na cidade;
o aumento de peso na gravidez;
o preço cobrado por estacionamentos, que está na dependência do tempo, ou seja, em que os preços
variam conforme o tempo;
a relação entre as escalas termométricas;
fenômenos físicos como a lei de Hooke;
fenômenos químicos como a solubilidade;
a relação da quantidade de calorias necessárias para uma dieta saudável com a idade e/ou com o sexo;
a variação de uma população de seres vivos num determinado período de tempo;
a relação entre o espaço de frenagem e a velocidade de um móvel;
a relação entre a pressão osmótica e a concentração de uma solução;
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2. dentre tantos outros,
são exemplos de funções. Alguns deles são fenômenos que podem ser modelados pelos
estudantes num determinado período de tempo, para que depois possam ser analisados do ponto
de vista da função que representam. A vantagem é que, ao discutir sobre os modelos
matemáticos de situações reais, podemos promover a discussão sobre as vantagens e limitações
dos mesmos, procurando descrever a realidade. Por um lado, ao concluir com base num
experimento real, o aluno é desafiado a refletir não somente sobre o fenômeno em si, mas sobre
suas relações com o contexto que está sendo considerado, suas propriedades, além de tantos
outros desdobramentos que vão depender do interesse e disponibilidade, em cada caso. Por outro
lado, é também importante considerar que nem sempre é possível modelar a situação tal como se
apresenta e, com isso, também gerar boas oportunidades de discussões interdisciplinares.
A partir da análise de um dado fenômeno, representado por um determinado tipo de função
que temos em vista estudar, podemos discutir sobre generalidades desta função tais como suas
propriedades e aspectos relevantes do ponto de vista matemático e mesmo de outras aplicações.
Os aspectos relevantes, em termos de Matemática aplicada à Engenharia, dizem respeito à
compreensão da função, nas suas abordagens algébrica, numérica, gráfica e verbal. É muito
importante que o estudante consiga identificar uma função, reconhecendo suas principais
propriedades relacionadas ao domínio, imagem, crescimento/decrescimento, pontos de extremo
(máximo ou mínimo), rapidez de crescimento, reconhecimento da variação linear, da variação
exponencial, fazer previsões e analisar o comportamento da função.
Para isto a experiência tem nos mostrado que não é suficiente “dar aulas” em que todos
estes conceitos sejam listados e definidos, nem mesmo, listas de exercícios para que calculem,
sem que tenham atribuido algum significado para os termos e operações envolvidas. Neste
sentido é que, cada vez mais, precisamos, em nossas aulas, relacionar os conceitos com os
conhecimentos prévios dos alunos, o que pode ser feito com a proposição de estratégias de
aprendizagem em que eles se envolvam ativamente, desde a formulação dos problemas para os
quais buscamos solução, ou mesmo, por meio dos quais buscamos construir um novo conceito.
Vale chamar a atenção para o fato de que a sugestão de construir os conceitos com base na
análise de situaçõs do cotidiano nada tem a ver com tornar mais fácil. Até por que, em muitos
casos, as situações reais são mais complexas do que as teóricas que muitas vezes nos são
apresentadas nos livros texto.
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MODELOS MATEMÁTICOS
Um modelo matemático de uma lei física é uma descrição desta lei, em linguagem
matemática. O processo de construção deste modelo é chamado modelagem matemática. Por
exemplo, suponhamos que duas variáveis x e y, estejam relacionadas por alguma lei da física, a
qual gostaríamos de descrever por um modelo matemático. Os modelos podem ser expressos em
termos de gráficos, de tabelas ou de equações, variando desde o mais simples ao extremamente
complicado. Porém, muitos modelos matemáticos importantes são simplesmente equações do
tipo y f x , que relaciona as variáveis x e y. Para estes modelos, o problema fundamental é
encontrar uma função f que descreva com precisão a relação física entre as variáveis. Às vezes,
uma função f, apropriada, pode ser sugerida por dados experimentais; neste caso, dizemos que o
modelo foi obtido intuitivamente. Outras vezes, ela pode ser deduzida de alguma teoria geral,
proposta por um pesquisador e, neste caso, dizemos que o modelo foi obtido dedutivamente.
Quanto mais fatores são levados em conta quando da criação de um modelo matemático,
mais complicado ele tenderá a ser. Assim sendo, há sempre um equilíbrio a ser alcançado entre
manter o modelo matematicamente simples e levar em conta todos os fatores físicos, os quais
podem afetar a relação entre as variáveis. Por exemplo, se um meteorologista estiver tentando
modelar a relação entre a velocidade de um pingo de chuva quando atinge o solo e a altura da
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3. nuvem na qual ele se formou, então ele teria que levar em conta a resistência do ar. Porém, ele,
certamente, ignoraria a atração gravitacional do planeta Plutão, pois seu efeito é muito pequeno.
Uma vez obtido um modelo matemático de uma lei física, pode ser possível usar métodos
matemáticos para deduzir resultados sobre o mundo físico que não são evidentes por si só, ou
nunca foram observados. Por exemplo, a possibilidade de colocar um satélite em órbita em torno
da Terra foi deduzida matematicamente do modelo de mecânica de Isac Newton,
aproximadamente 200 anos antes do lançamento de Sputnik e o modelo de mecânica relativista
de Albert Einstein, de 1915, explicou uma precessão (mudança na posição) no periélio do
planeta Mercúrio, a qual só foi confirmada por medidas físicas, em 1967.
Um bom modelo matemático é aquele que produz resultados que estão em conformidade
com as observações do mundo físico. Se, em determinado momento, os resultados matemáticos
produzidos por um modelo não estão de acordo com as observações do mundo real, então o
modelo deve ser abandonado em favor de um novo modelo que o faça. Esta é a natureza do
método científico - velhos modelos estão sendo constantemente substituídos por novos, os quais
descrevem com mais precisão o mundo real.
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1
ANTON, H. Cálculo um Novo Horizonte. Vol1, 6.ed. Porto Alegre: Editora Bookman, 2000.
Referências:
1. ANTON, H. Cálculo um Novo Horizonte. Vol1, 6.ed. Porto Alegre: Editora Bookman,
2000.
2. HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M., et al. Cálculo, v.1. Rio de Janeiro: LTC,
1997.
3. HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M., LOCK, P. F.; FLATH, D. E. et al. Cálculo e
aplicações. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1999.
4. Revista do Professor de Matemática, RPM - artigos sobre funções: 12, 14, 17, 20,
22, 32, 33, 35, 39, 41, 43, 45, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63.
5. TROTTA, F.; IMENES, L. M. P.; JAKUBOVIC, J. Matemática Aplicada, v.1. São
Paulo: Editora Moderna, 1979.
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