1. =INFORMATICA=
GRAFURI
NEORIENTATE
Prof. BrIA MoNICA

2. Conţinuturi
 Graf neorientat, adiacenţă, incidenţă,
grad(manual pentru clasa a XI-a, G.D.
Mateescu, Ed. Niculescu, 2001).
 Reprezentarea grafurilor neorientate
(Informatică, M. Gheorghe, Ed.
Corint, Bucureşti 2003).
 Noţiunile de graf parţial şi subgraf
(Informatică, M. Gheorghe, Ed.
Corint, Bucureşti 2003):

3. Prefaţă
 Disciplina informatică cuprinde în ansamblul ei
unitatea de învăţare „Grafuri neorientate”. În
cadrul acestei unităţi de învăţare elevii vor
înţelege utilitatea grafurilor în rezolvarea
problemelor practice (din lumea înconjurătoare).
Multitudinea de probleme ce apar zilnic în
activitatea noastră cotidiană îşi găsesc răspuns
în teoria grafurilor. Pornind de la orientarea
noastră în spaţiu până la realizarea de
enciclopedii, dicţionare, articole, etc. Au la bază
însuşirea temeinică a noţiunii de graf.

4. Standarde de performanţă -
obiective de referinţă şi competenţe
specifice
 1. Identificarea conexiunilor dintre unitatea de învăţare
studiată şi societate.
 2. Identificarea datelor care intervin într-o problemă şi a
relaţiilor dintre acestea.
 3. Elaborarea algoritmilor simpli de verificare a însuşirii
terminologiei sau de verificare a unor proprietăţi
specifice grafurilor (de exemplu, calcularea gradelor
vârfurilor unui graf, verificarea faptului că o succesiune
de vârfuri reprezintă lanţ, drum, ciclu sau circuit în graf
etc.).
 4. Rezolvarea unor probleme practice, care solicită
aplicarea algoritmilor de parcurgere a grafurilor.

5. Obiective operaţionale
 O1. Să analizeze noţiunea de graf;
 O2. Să stabilească modul de rezolvare a unei activităţi desfăşurate în viaţa
de zi cu zi prin intermediul graf-urilor;
 O3. Să analizeze problema prin aplicarea cunoştinţelor însuşite în cadrul
temei studiate;
 O4. Să descopere relaţiile existente între datele problemelor propuse;
 O5. Să identifice caracteristicile de bază ale unui graf;
 O6. Să identifice aplicarea, pe exemple relevante, a algoritmilor
fundamentali din teoria graf-urilor;
 O7. Să adapteze algoritmii fundamentali de prelucrare a datelor pentru
rezolvarea problemelor propuse;
 O8. Să identifice situaţii în care alegerea unui algoritm prezintă avantaje în
raport cu altul;
 O9. Să elaboreze programe pentru rezolvarea unor probleme întâlnite de
elevi în studiul altor discipline şcolare;
 O10. Să evidenţieze greşelile tipice în elaborarea algoritmilor.

6. Cum ne afectează
viaţa modul de alocare
al tipurilor de date?

7. Care este metoda de utilizare
a grafurilor în activitatea zilnică?

8. Utilizarea grafului
• Pentru a înţelege utilizarea grafurilor, să ne imaginăm cum arată oraşul
nostru. El poate fi privit ca un ansamblu de străzi care se intersectează
între ele. Pentru a ajunge dintr-un loc în altul, trebuie să parcurgeţi nişte
străzi şi să treceţi prin intersecţii. Cum poate să ajungă un turist, din locul
X în locul Y. Va trebui să-i faceţi un mic desen pe o foaie de hârtie. Cum?
Mai intâi veţi reprezenta intersecţiile prin puncte. Apoi străzile care
“leagă” aceste intersecţii le veţi reprezenta prin linii drepte sau curbe,
care în desenul vostru vor uni punctele deja fixate. Fără să vă daţi seama,
aţi construit astfel un graf.
• Să zicem că dorim să realizăm o mică enciclopedie. Dispunem de un
dicţionar de articole, despre care avem mai multe informaţii. Aceste
articole sunt legate între ele, în sensul că, odată ajunşi să studiem un
anumit articol, ni se pune la dispoziţie o listă de trimiteri la articole
înrudite, pe care le putem numi articole vecine. Cum vom memora
articolele şi legăturile dintre ele? Cea mai indicată structură de date, într-
o asemenea situaţie, este graful. Un graf va fi o reţea de noduri, legate
prin linii drepte (muchii).

9. Conceptul 1
GRAF NEORIENTAT
ADIACENÎȚĂ, INCIDENȚĂ,
GRAD

10. Graf neorientat
Se numeşte graf Pentru o muchie uk=(a, b),
neorientat, o pereche vom spune că:
ordonată de mulţimi (X, U), Vârfurile a şi b sunt
unde: adiacente şi se numesc
X este o mulţime finită şi extremităţile muchiei uk;
nevidă de elemente numite Muchia uk şi vârful a sunt
vârfuri sau noduri; incidente în graf. La fel,
U este o mulţime de muchia uk şi vârful b;
perechi neordonate de Muchia (a, b)este totuna cu
câte două elemente din X, (b, a) (nu există o
numite muchii sau arce. orientare a muchiei)
Suport curs

11. Conceptul 2
REPREZENTAREA
GRAFURILOR NEORIENTATE

12. Reprezentarea grafurilor neorienta
Considerăm un graf neorientat G=(X, U) cu
m muchii şi n vârfuri numerotate 1, 2, 3,…,
n. Cele mai cunoscute forme de
reprezentare ale unui astfel de graf, sunt:
Matricea de adiacenţă;
Listele vecinilor; Suport curs
Vectorul muchiilor.

13. Matricea de adiacenţă
Este o matrice a cu n linii şi n coloane, în care
elementele a[i, j] se definesc astfel:
• a[i, j]= 1, dacă ∃ muchia [i, j] cu i ≠j
0, în caz contrar
a[i, j]= a[j, i] oricare ar fi i, j∈{1, 2, …,n} cu i≠j.
Pentru orice graf neorientat, matricea de
adiacenta a este simetrica faţă de diagonala
principală . Suport curs

14. Proprietatile matricei de adiacenta:
• Este o matrice simetrica;
• Pe diagonala principala are
toate elemntele egale cu 0;
• Suma elementelor pe linia sau
coloana i este egala cu gradul
nodului i;
• Daca elementele pe
linia/coloana i sunt toate
egale cu 0 atunci nodul este
izolat;
• Daca toate elementele din
matrice,mai putin cele de pe
diagonala principala, sunt 1
inseamna ca graful este
complet.

15. Listele vecinilor
• Pentru fiecare nod i (cu i=1, 2,…, n),
formăm lista vecinilor lui i. Aceasta
cuprinde toate nodurile care sunt
extremităţi ale muchiilor ce trec prin nodul
i.
• Observăm că fiecare linie I din listele
vecinilor conţine indicii coloanelor pe care
se găsesc valori de 1 în linia i a matricei de
adiacenţă. Suport curs

16. Vectorul muchiilor
Fiecare muchie a grafului poate fi privită
ca o înregistrare cu două componente: cele
două vârfuri care constituie extremităţile
muchiei. Definim graful ca un “Vector de
muchii“, adică un vector cu elemente de
tipul TMUCHIE:
Type TMUCHIE=record
nod1, nod2 :integer; Suport curs
end;

17. Conceptul 3
NOŢIUNILE DE GRAF
PARŢIAL ŞI SUBGRAF

18. Noţiunea de graf parţial
• Fie graful G=(X, U). Un graf parţial al
lui G, este un graf G1=(X, V), cu V⊆U.
Altfel spus, un graf parţial G1 al lui G,
este chiar G, sau se obţine din G
păstrând toate vârfurile şi suprimând
nişte muchii. Suport curs

19. Noţiunea de subgraf
• Fie graful G=(X, U). Un subgraf al lui G,
este un graf G1=(Y, V), unde Y⊂X şi V⊂U,
iar V va conţine numai muchiile care au
ambele extremităţi în Y. Altfel spus, un
subgraf G1 al lui G, se obţine din G
eliminând nişte vârfuri şi păstrând doar
acele muchii care au ambele extremităţi în
mulţimea vârfurilor rămase. Suport curs

20. Clik aici
Test recapitulativ 1 Clik aici
Evaluare Autoevaluare
Clik aici
Test recapitulativ 2
Clik aici
Clik aici
Evaluare Autoevaluare
Clik aici

21. BIBLIOGRAFIE
• Vlad Tudor (Huţanu), Tudor Sorin Manual de
INFORMATICĂ, clasa a XI-a, profilul real (neintensiv),
Editura L&S SOFT, 2006
• George Daniel Mateescu - Informatica - manual pentru
clasa a XI-a, Ed. Niculescu, București, 2001
• M. Gheorghe, Informatică, Ed. Corint, Bucureşti, 2003
• M. Bold, A. Matei – Aplicaţii de informatică pentru liceu,
Pitești, Ed. Paralela 45, 2007
• Mirela Popa, Informatică-fișe de lucru pentru elevi,
Editura Donaris, Sibiu, 2005

22.  Ce este un graf?
 De câte tipuri pot fi grafurile?
 Ce înţelegem prin noţiunile de
adiacenţă, incidenţă şi grad?
 Care este reprezentarea
grafurilor neorientate?
 Cum definim noţiunile de graf
partial şi subgraf?