1. Contenido Temático
Créditos
Presentación
Ing. Jorge Luis Paredes Estacio
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
FACULTA DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

2. Momento de una fuerza
Formulación Escalar
 Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá
una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto
que no esté en la línea de acción de la fuerza. Este giro se le
conoce como par de torsión, momento de una fuerza o
simplemente momento.

3. Momento de una fuerza
Formulación Escalar
 Ahora podemos generalizar el análisis anterior y considerar
la Fuerza F y el punto O que se encuentran en un plano
sombreado. El momento M0 con respecto al punto O, o
con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al
plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud
y dirección específicas.

4. Formulación Escalar
 MAGNITUD: Su magnitud se expresa así:
 DIRECCIÓN: La dirección de M0 esta definida por su
eje de momento, el cual es perpendicular al plano que
contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d.
Para establecer el sentido y dirección de M0 se utiliza
la regla de la mano derecha. Su representación en dos
dimensiones y tres dimensiones es distinta. El sentido
anti-horario generalmente es el positivo.

5. Formulación Escalar
 MOMENTO RESULTANTE:
Para fuerzas que se encuentran
en el plano x-y el momento
resultante (MR)0 con respecto al
punto O (el eje z) puede
determinarse al encontrar la
suma algebraica de los momentos
causados por todas las fuerzas del
sistema.
 Por convención de signos se
considerará a los momentos
positivos como en sentido anti-
horario. Los momentos negativos
serán en sentido horario.

6. Problema aplicativo
 Para cada figura determinar el momento de la fuerza
con respecto al punto O.

7. Problema aplicativo
 Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas
que actúan sobre la barra con respecto al punto O.

8. Momento de una fuerza
Formulación Vectorial
 El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o
realmente con respecto al eje del momento que pasa
por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a
F, puede expresarse por el producto cruz vectorial
Aquí r representa un vector
posición trazado desde O
hasta cualquier punto que se
encuentre sobre la línea de
acción de F

9. Formulación Vectorial
 MAGNITUD: La magnitud del producto cruz se define con
la ecuación como M0=rFsenθ, donde el ángulo θ se mide
entre las colas de r y F. Para establecer este ángulo, se
debe tratar a r como un vector deslizante, de manera que θ
se pueda construir correctamente. Como el brazo de
momento d=rsenθ, entonces

10. Formulación Vectorial
 DIRECCIÓN: La dirección y el sentido de M0 estan
determinados mediante la regla de la mano derecha, tal
como se aplica ésta al producto cruz. Para ello, deslizamos
el vector r, como se ve en la línea discontinua, y cerramos
los dedos de la mano derecha de r hacia F. Esto define la
dirección y el sentido del momento M0.

11. Formulación Vectorial
 PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD: La operación del
Producto Cruz que se usa en tres dimensiones no requiere
la distancia perpendicular o el brazo de momento desde el
punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Por lo tanto
podemos usar cualquier vector posición r medido desde O
hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza
F.

12. Formulación Vectorial
 FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA: Si
establecemos ejes coordenados x, y, z, el vector posición r y
la fuerza F pueden expresarse como vectores cartesianos:

13. Formulación Vectorial
 FORMULACIÓN
VECTORIAL CARTESIANA:
Donde,
rx, ry, rz: representa las
componentes x, y, z del vector de
posición trazado desde el punto
O hasta cualquier punto sobre la
línea de acción de la fuerza
Fx, Fy, Fz: representan las
componentes x, y, z del
vector fuerza.

14. Formulación Vectorial
 FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA: Si
desarrollamos el determinante tenemos
• MOMENTO RESULTANTE DE
UN SISTEMA DE FUERZAS
Si un sistema de fuerzas actúa sobre
un cuerpo, el momento resultante
respecto al punto O puede ser
determinado mediante la adición
del momento de cada fuerza. Esta
resultante sería:

15. Problema Aplicativo
Determine el momento producido por la fuerza F respecto al
punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

16. Problema Aplicativo
Dos fuerzas actúan sobre la barra. Determine el momento
resultante con respecto al soporte en O. Exprese el resultado
como un vector cartesiano.

17. Principio de Momentos
 Se le llama también Teorema de
Varignon, puesto que lo desarrolló un
frances Varignon (1654-1722).
 Establece que el momento de una
fuerza con respecto a un punto es igual
a la suma de los momentos de las
componentes de la fuerza con respecto
al punto. Esta Teoría se comprueba
aplicando el producto cruz. Por
ejemplo considerar los momentos de la
fuerza F y dos de sus componentes
respecto al punto O. Como
F=F1+F2, tenemos

18. Principio de Momentos
 Para problemas en dos dimensiones se puede descomponer
la fuerza en sus componentes rectangulares y despúes
determinar el momento con un análisis escalar de la
siguiente manera.
Por lo general, este
método es más
sencillo que
determinar el mismo
momento con
M0=Fd

19. Problema Aplicativo
Determine el momento de la fuerza que se muestra en la
figura respecto del punto O.

20. Problema Aplicativo
La fuerza F actúa en el extremo de la ménsula. Determine el
momento de la fuerza con respecto del punto O.